Что такое предел функции определение. Предел функции – определения, теоремы и свойства
Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала - самое общее определение предела:
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim - от английского limit - предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача - найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами , читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Пусть есть предел:
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Еще один вид неопределенностей: 0/0
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос "как решать пределы в высшей математике". Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
Рассмотрим функцию %%f(x)%%, определенную, по крайней мере, в некоторой проколотой окрестности %%\stackrel{\circ}{\text{U}}(a)%% точки %%a \in \overline{\mathbb{R}}%% расширенной числовой прямой.
Понятие предела по Коши
Число %%A \in \mathbb{R}%% называют пределом функции %%f(x)%% в точке %%a \in \mathbb{R}%% (или при %%x%%, стремящемся к %%a \in \mathbb{R}%%), если, каково бы ни было положительное число %%\varepsilon%%, найдется положительное число %%\delta%%, такое, что для всех точек проколотой %%\delta%%-окрестности точки %%a%% значения функции принадлежат %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%%, или
$$ A = \lim\limits_{x \to a}{f(x)} \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel{\circ}{\text{U}}_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text{U}_\varepsilon (A) \big) $$
Это определение называется определением на языке %%\varepsilon%% и %%\delta%%, предложено французским математиком Огюстеном Коши и используется с начала XIX века по настоящее время, поскольку обладает необходимой математической строгостью и точностью.
Комбинируя различные окрестности точки %%a%% вида %%\stackrel{\circ}{\text{U}}_\delta(a), \text{U}_\delta (\infty), \text{U}_\delta (-\infty), \text{U}_\delta (+\infty), \text{U}_\delta^+ (a), \text{U}_\delta^- (a)%% с окрестностями %%\text{U}_\varepsilon (A), \text{U}_\varepsilon (\infty), \text{U}_\varepsilon (+\infty), \text{U}_\varepsilon (-\infty)%%, получим 24 определения предела по Коши.
Геометрический смысл
Геометрический смысл предела функции
Выясним, в чем заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции %%y = f(x)%% и отметим на нем точки %%x = a%% и %%y = A%%.
Предел функции %%y = f(x)%% в точке %%x \to a%% существует и равен A, если для любой %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%% можно указать такую %%\delta%%-окрестность точки %%a%%, что для любого %%x%% из этой %%\delta%%-окрестности значение %%f(x)%% будет находиться в %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%%.
Отметим, что по определению предела функции по Коши для существования предела при %%x \to a%% не важно, какое значение принимает функция в самой точке %%a%%. Можно привести примеры, когда функция не определена при %%x = a%% или принимает значение, отличное от %%A%%. Тем не менее предел может быть равен %%A%%.
Определение предела по Гейне
Элемент %%A \in \overline{\mathbb{R}}%% называется пределом функции %%f(x)%% при %% x \to a, a \in \overline{\mathbb{R}}%%, если для любой последовательности %%\{x_n\} \to a%% из области определения, последовательность соответствующих значений %%\big\{f(x_n)\big\}%% стремится к %%A%%.
Определение предела по Гейне удобно использовать, когда возникают сомнения в существовании предела функции в данной точке. Если можно построить хотя бы одну последовательность %%\{x_n\}%% с пределом в точке %%a%% такую, что последовательность %%\big\{f(x_n)\big\}%% не имеет предела, то можно сделать вывод о том, что функция %%f(x)%% не имеет предела в этой точке. Если для двух различных последовательностей %%\{x"_n\}%% и %%\{x""_n\}%%, имеющих одинаковый предел %%a%%, последовательности %%\big\{f(x"_n)\big\}%% и %%\big\{f(x""_n)\big\}%% имеют различные пределы, то в этом случае также не существует предел функции %%f(x)%%.
Пример
Пусть %%f(x) = \sin(1/x)%%. Проверим, существует ли предел данной функции в точке %%a = 0%%.
Выберем сначала сходящуюся к этой точке последовательность $$ \{x_n\} = \left\{\frac{(-1)^n}{n\pi}\right\}. $$
Ясно, что %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb{N}%% и %%\lim {x_n} = 0%%. Тогда %%f(x_n) = \sin{\left((-1)^n n\pi\right)} \equiv 0%% и %%\lim\big\{f(x_n)\big\} = 0%%.
Затем возьмем сходящуюся к той же точке последовательность $$ x"_n = \left\{ \frac{2}{(4n + 1)\pi} \right\}, $$
для которой %%\lim{x"_n} = +0%%, %%f(x"_n) = \sin{\big((4n + 1)\pi/2\big)} \equiv 1%% и %%\lim\big\{f(x"_n)\big\} = 1%%. Аналогично для последовательности $$ x""_n = \left\{-\frac{2}{(4n + 1)\pi} \right\}, $$
также сходящейся к точке %%x = 0%%, %%\lim\big\{f(x""_n)\big\} = -1%%.
Все три последовательности дали разные результаты, что противоречит условию определения по Гейне, т.е. данная функция не имеет предела в точке %%x = 0%%.
Теорема
Определение предела по Коши и по Гейне эквивалентны.
Приводятся формулировки основных теорем и свойств предела функции. Даны определения конечных и бесконечных пределов в конечных точках и на бесконечности (двусторонних и односторонних) по Коши и Гейне. Рассмотрены арифметические свойства; теоремы, связанные с неравенствами; критерий сходимости Коши; предел сложной функции; свойства бесконечно малых, бесконечно больших и монотонных функций. Дано определение функции.
СодержаниеВторое определение по Коши
Предел функции (по Коши) при ее аргументе x , стремящемся к x 0 - это такое конечное число или бесконечно удаленная точка a , для которой выполняются следующие условия:1) существует такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой функция f(x) определена;
2) для любой окрестности точки a , принадлежащей , существует такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой значения функции принадлежат выбранной окрестности точки a :
при .
Здесь a
и x 0
также могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать следующим образом:
.
Если в качестве множества взять левую или правую окрестность конечной точки, то получим определение предела по Коши слева или справа.
Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство
Применяемые окрестности точек
Тогда, фактически, определение по Коши означает следующее.
Для любых положительных чисел ,
существуют числа ,
так что для всех x, принадлежащих проколотой окрестности точки :
,
значения функции принадлежат окрестности точки a: ,
где ,
.
С таким определением не совсем удобно работать, поскольку окрестности определяются с помощью четырех чисел . Но его можно упростить, если ввести окрестности с равноудаленными концами. То есть можно положить , . Тогда мы получим определение, которое проще использовать при доказательстве теорем. При этом оно является эквивалентным определению, в котором используются произвольные окрестности. Доказательство этого факта приводится в разделе «Эквивалентность определений предела функции по Коши» .
Тогда можно дать единое определение предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
;
;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
;
;
.
Конечные пределы функции в конечных точках
Число a называется пределом функции f(x) в точке x 0 , если1) функция определена на некоторой проколотой окрестности конечной точки ;
2) для любого существует такое , зависящее от , что для всех x , для которых , выполняется неравенство
.
С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.
Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
;
.
Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках
Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.
Бесконечные пределы функции
Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.
Свойства и теоремы предела функции
Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей проколотой окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.
Основные свойства
Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , ... x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .
Если существует конечный предел ,
то существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
на которой функция f(x)
ограничена:
.
Пусть функция имеет в точке x 0
конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c
из интервала ,
существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для ,
,
если ;
,
если .
Если, на некоторой проколотой окрестности точки , - постоянная, то .
Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .
Если ,
и на некоторой окрестности точки
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если ,
то и ;
если ,
то и .
Если на некоторой проколотой окрестности точки x 0
:
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
,
то
.
Доказательства основных свойств приведены на странице
«Основные свойства предела функции ».
Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки .
И пусть существуют конечные пределы:
и .
И пусть C
- постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
,
если .
Если , то .
Доказательства арифметических свойств приведены на странице
«Арифметические свойства предела функции ».
Критерий Коши существования предела функции
Теорема
Для того, чтобы функция ,
определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x 0
,
имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0
существовала такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.
Предел сложной функции
Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки .
Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: .
Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.
Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного .
Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки ,
на которой множество значений функции не содержит точку :
.
Если функция непрерывна в точке ,
то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.
Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции g(x)
при x → x 0
,
и он равен t 0
:
.
Здесь точка x 0
может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(t)
непрерывна в точке t 0
.
Тогда существует предел сложной функции f(g(x))
,
и он равен f(t 0)
:
.
Доказательства теорем приведены на странице
«Предел и непрерывность сложной функции ».
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Бесконечно малые функции
Определение
Функция называется бесконечно малой при ,
если
.
Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .
Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .
Для того, чтобы функция имела конечный предел ,
необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при .
«Свойства бесконечно малых функций ».
Бесконечно большие функции
Определение
Функция называется бесконечно большой при ,
если
.
Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .
Если функция является бесконечно большой при ,
а функция - ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки ,
то
.
Если функция ,
на некоторой проколотой окрестности точки ,
удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
,
и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.
Доказательства свойств изложены в разделе
«Свойства бесконечно больших функций ».
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .
Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
,
.
Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при ,
то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки ,
то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при ,
то пишут:
.
Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
,
,
,
.
Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».
Пределы монотонных функций
Определение
Функция ,
определенная на некотором множестве действительных чисел X
называется строго возрастающей
, если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей
функции выполняется неравенство:
.
Для неубывающей
:
.
Для невозрастающей
:
.
Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.
Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.
Теорема
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Если она ограничена сверху числом M
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена снизу, то .
Если точки a
и b
являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы в точках a
и b
:
;
.
Аналогичная теорема для невозрастающей функции.
Пусть функция не возрастает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы:
;
.
Доказательство теоремы изложено на странице
«Пределы монотонных функций ».
Определение функции
Функцией y = f(x) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .
Элемент x ∈
X
называют аргументом функции
или независимой переменной
.
Элемент y ∈
Y
называют значением функции
или зависимой переменной
.
Множество X
называется областью определения функции
.
Множество элементов y ∈
Y
,
которые имеют прообразы в множестве X
,
называется областью или множеством значений функции
.
Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу)
, если существует такое число M
,
что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной
, если существует такое число M
,
что для всех :
.
Верхней гранью
или точной верхней границей
действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого превосходит s′
:
.
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.
Соответственно нижней гранью
или точной нижней границей
действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого меньше чем i′
:
.
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
В этой статье мы расскажем, что из себя представляет предел функции. Сначала поясним общие моменты, которые очень важны для понимания сути этого явления.
Понятие предела
В математике принципиально важным является понятие бесконечности, обозначаемое символом ∞ . Его следует понимать как бесконечно большое + ∞ или бесконечно малое - ∞ число. Когда мы говорим о бесконечности, часто мы имеем в виду сразу оба этих ее смысла, однако запись вида + ∞ или - ∞ не стоит заменять просто на ∞ .
Запись предела функции имеет вид lim x → x 0 f (x) . В нижней части мы пишем основной аргумент x , а с помощью стрелочки указываем, к какому именно значению x 0 он будет стремиться. Если значение x 0 является конкретным действительным числом, то мы имеем дело с пределом функции в точке. Если же значение x 0 стремится к бесконечности (не важно, ∞ , + ∞ или - ∞), то следует говорить о пределе функции на бесконечности.
Предел бывает конечным и бесконечным. Если он равен конкретному действительному числу, т.е. lim x → x 0 f (x) = A , то его называют конечным пределом, если же lim x → x 0 f (x) = ∞ , lim x → x 0 f (x) = + ∞ или lim x → x 0 f (x) = - ∞ , то бесконечным.
Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.
В этом пункте мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расходимость.
Определение 1
Число A является пределом функции f (x) при x → ∞ , если последовательность ее значений будет сходиться к A для любой бесконечно большой последовательности аргументов (отрицательной или положительной).
Запись предела функции выглядит так: lim x → ∞ f (x) = A .
Определение 2
При x → ∞ предел функции f (x) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной).
Запись выглядит как lim x → ∞ f (x) = ∞ .
Пример 1
Докажите равенство lim x → ∞ 1 x 2 = 0 с помощью основного определения предела для x → ∞ .
Решение
Начнем с записи последовательности значений функции 1 x 2 для бесконечно большой положительной последовательности значений аргумента x = 1 , 2 , 3 , . . . , n , . . . .
1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .
Мы видим, что значения будут постепенно уменьшаться, стремясь к 0 . См. на картинке:
x = - 1 , - 2 , - 3 , . . . , - n , . . .
1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .
Здесь тоже видно монотонное убывание к нулю, что подтверждает верность данного в условии равенства:
Ответ: Верность данного в условии равенства подтверждена.
Пример 2
Вычислите предел lim x → ∞ e 1 10 x .
Решение
Начнем, как и раньше, с записи последовательностей значений f (x) = e 1 10 x для бесконечно большой положительной последовательности аргументов. Например, x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .
e 1 10 ; e 4 10 ; e 9 10 ; e 16 10 ; e 25 10 ; . . . ; e 100 10 ; . . . = = 1 , 10 ; 1 , 49 ; 2 , 45 ; 4 , 95 ; 12 , 18 ; . . . ; 22026 , 46 ; . . .
Мы видим, что данная последовательность бесконечно положительна, значит, f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞
Переходим к записи значений бесконечно большой отрицательной последовательности, например, x = - 1 , - 4 , - 9 , - 16 , - 25 , . . . , - 10 2 , . . . → - ∞ .
e - 1 10 ; e - 4 10 ; e - 9 10 ; e - 16 10 ; e - 25 10 ; . . . ; e - 100 10 ; . . . = = 0 , 90 ; 0 , 67 ; 0 , 40 ; 0 , 20 ; 0 , 08 ; . . . ; 0 , 000045 ; . . . x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . → ∞
Поскольку она тоже стремится к нулю, то f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .
Наглядно решение задачи показано на иллюстрации. Синими точками отмечена последовательность положительных значений, зелеными – отрицательных.
Ответ: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , п р и x → + ∞ 0 , п р и x → - ∞ .
Перейдем к методу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это пригодится нам и для того, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции.
Определение 3
Число B является пределом функции f (x) слева при x → a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции x n , сходящейся к a , если при этом ее значения остаются меньше a (x n < a).
Такой предел на письме обозначается как lim x → a - 0 f (x) = B .
Теперь сформулируем, что такое предел функции справа.
Определение 4
Число B является пределом функции f (x) справа при x → a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции x n , сходящейся к a , если при этом ее значения остаются больше a (x n > a).
Этот предел мы записываем как lim x → a + 0 f (x) = B .
Мы можем найти предел функции f (x) в некоторой точке тогда, когда для нее существуют равные пределы с левой и правой стороны, т.е. lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B . В случае бесконечности обоих пределов предел функции в исходной точке также будет бесконечен.
Теперь мы разъясним данные определения, записав решение конкретной задачи.
Пример 3
Докажите, что существует конечный предел функции f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 в точке x 0 = 2 и вычислите его значение.
Решение
Для того чтобы решить задачу, нам потребуется вспомнить определение предела функции в точке. Для начала докажем, что у исходной функции имеется предел слева. Запишем последовательность значений фукнции, которая будет сходиться к x 0 = 2 , если x n < 2:
f (- 2) ; f (0) ; f (1) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . = = 8 , 667 ; 2 , 667 ; 0 , 167 ; - 0 , 958 ; - 1 , 489 ; - 1 , 747 ; - 1 , 874 ; . . . ; - 1 , 998 ; . . . → - 2
Поскольку приведенная последовательность сводится к - 2 , мы можем записать, что lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2 .
6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2
Значения функции в этой последовательности будут выглядеть так:
f (6) ; f (4) ; f (3) ; f 2 1 2 ; f 2 3 4 ; f 2 7 8 ; f 2 15 16 ; . . . ; f 2 1023 1024 ; . . . = = - 7 , 333 ; - 5 , 333 ; - 3 , 833 ; - 2 , 958 ; - 2 , 489 ; - 2 , 247 ; - 2 , 124 ; . . . , - 2 , 001 , . . . → - 2
Данная последовательность также сходится к - 2 , значит, lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .
Мы получили, что пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 в точке x 0 = 2 существует, и lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .
Вы можете увидеть ход решения на иллюстрации (зеленые точки– последовательность значений, сходящаяся к x n < 2 , синие – к x n > 2).
Ответ: Пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции существует, и lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .
Чтобы более глубоко изучить теорию пределов, советуем вам прочесть статью о непрерывности функции в точке и основных видах точек разрыва.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Приводится определение конечного предела последовательности. Рассмотрены связанные с этим свойства и эквивалентное определение. Приводится определение, что точка a не является пределом последовательности. Рассмотрены примеры, в которых доказывается существование предела, используя определение.
СодержаниеСм. также:
Предел последовательности – основные теоремы и свойства
Основные виды неравенств и их свойства
Здесь мы рассмотрим определение конечного предела последовательности. Случай последовательности, сходящейся к бесконечности, рассмотрен на странице «Определение бесконечно большой последовательности» .
Предел последовательности - это такое число a , если для любого положительного числа ε > 0 существует такое натуральное число N ε , зависящее от ε , что для всех натуральных n > N ε выполняется неравенство| x n - a| < ε .
Здесь x n - элемент последовательности с номером n . Предел последовательности обозначается так:
.
Или при .
Преобразуем неравенство:
;
;
.
Из определения следует, что, если последовательность имеет предел a , то какую бы ε - окрестностью точки a мы не выбрали, за ее пределами может оказаться, лишь конечное число элементов последовательности, или вообще ни одного (пустое множество). А любая ε - окрестность содержит бесконечное число элементов. В самом деле, задав определенное число ε , мы, тем самым имеем число . Так что все элементы последовательности с номерами , по определению, находятся в ε - окрестностью точки a . Первые элементов могут находиться где угодно. То есть за пределами ε - окрестности может находиться не более элементов - то есть конечное число.
Также заметим, что разность вовсе не обязана монотонно стремиться к нулю, то есть все время убывать. Она может стремиться к нулю не монотонно: может то возрастать, то убывать, имея локальные максимумы. Однако эти максимумы, с ростом n , должны стремиться к нулю (возможно тоже не монотонно).
С помощью логических символов существования и всеобщности, определение предела можно записать следующим образом:
(1)
.
Определение, что число a не является пределом
Теперь рассмотрим обратное утверждение, что число a не является пределом последовательности.
Число a
не является пределом последовательности
,
если существует такое ,
что для любого натурального n
существует такое натуральное m >
n
,
что
.
Запишем это утверждение с помощью логических символов.
(2)
.
Утверждение, что число a
не является пределом последовательности
, означает, что
можно выбрать такую ε
- окрестность точки a
,
за пределами которой будет находиться бесконечное число элементов последовательности
.
Рассмотрим пример
. Пусть задана последовательность с общим элементом
(3)
Любая окрестность точки содержит бесконечное число элементов. Однако эта точка не является пределом последовательности, поскольку и любая окрестность точки также содержит бесконечное число элементов. Возьмем ε
- окрестность точки с ε = 1
.
Это будет интервал (-1, +1)
.
Все элементы, кроме первого, с четными n
принадлежат этому интервалу. Но все элементы с нечетными n
находятся за пределами этого интервала, поскольку они удовлетворяют неравенству x n > 2
.
Поскольку число нечетных элементов бесконечно, то за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число элементов. Поэтому точка не является пределом последовательности.
Теперь покажем это, строго придерживаясь утверждения (2). Точка не является пределом последовательности (3), поскольку существует такое ,
так что, для любого натурального n
,
существует нечетное ,
для которого выполняется неравенство
.
Также можно показать, что любая точка a не может являться пределом этой последовательности. Мы всегда можем выбрать такую ε - окрестность точки a , которая не содержит либо точку 0, либо точку 2. И тогда за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число элементов последовательности.
Эквивалентное определение предела последовательности
Можно дать эквивалентное определение предела последовательности, если расширить понятие ε - окрестности. Мы получим равносильное определение, если в нем, вместо ε - окрестности, будет фигурировать любая окрестность точки a . Окрестности точки - это любой открытый интервал, содержащий эту точку. Математически окрестность точки определяется так: , где ε 1 и ε 2 - произвольные положительные числа.
Тогда эквивалентное определение предела будет следующим.
Предел последовательности - это такое число a , если для любой его окрестности существует такое натуральное число N , так что все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности.
Это определение можно представить и в развернутом виде.
Предел последовательности - это такое число a
,
если для любых положительных чисел и существует такое натуральное число N
,
зависящее от и ,
что для всех натуральных выполняются неравенства
.
Доказательство равносильности определений
Докажем, что, представленные выше, два определения предела последовательности равносильны.
Пусть число a
является пределом последовательности согласно первому определению. Это означает, что имеется функция ,
так что для любого положительного числа ε
выполняются неравенства:
(4)
при .
Покажем, что число a
является пределом последовательности и по второму определению. То есть нам нужно показать, что существует такая функция ,
так что для любых положительных чисел ε 1
и ε 2
выполняются неравенства:
(5)
при .
Пусть мы имеем два положительных числа: ε 1
и ε 2
.
И пусть ε
- наименьшее из них: .
Тогда ;
;
.
Используем это в (5):
.
Но неравенства выполняются при .
Тогда и неравенства (5) выполняются при .
То есть мы нашли такую функцию ,
при которой выполняются неравенства (5) для любых положительных чисел ε 1
и ε 2
.
Первая часть доказана.
Теперь пусть число a
является пределом последовательности согласно второму определению. Это означает, что имеется функция ,
так что для любых положительных чисел ε 1
и ε 2
выполняются неравенства:
(5)
при .
Покажем, что число a
является пределом последовательности и по первому определению. Для этого нужно положить .
Тогда при выполняются неравенства:
.
Это соответствует первому определению с .
Равносильность определений доказана.
Примеры
Пример 1
Доказать, что .
(1)
.
В нашем случае ;
.
.
Воспользуемся свойствами неравенств . Тогда если и ,
то
.
.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом заданной последовательности:
.
Пример 2
С помощью определения предела последовательности доказать, что
.
Выпишем определение предела последовательности:
(1)
.
В нашем случае ,
;
.
Вводим положительные числа и :
.
Воспользуемся свойствами неравенств . Тогда если и ,
то
.
То есть, для любого положительного ,
мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
.
Пример 3
.
Вводим обозначения ,
.
Преобразуем разность:
.
Для натуральных n = 1, 2, 3, ...
имеем:
.
Выпишем определение предела последовательности:
(1)
.
Вводим положительные числа и :
.
Тогда если и ,
то
.
То есть, для любого положительного ,
мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
При этом
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.
Пример 4
Используя определение предела последовательности доказать, что
.
Выпишем определение предела последовательности:
(1)
.
В нашем случае ,
;
.
Вводим положительные числа и :
.
Тогда если и ,
то
.
То есть, для любого положительного ,
мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
