Какие цифры делятся 7 без остатка. Основные признаки делимости

Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:

• На 2 : последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
• На 3 : сумма цифр числа должна делиться на 3;
• На 4 : число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
• На 5 : последняя цифра должна быть 0 или 5;
• На 6 : число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
• Признак делимости на 7 часто пропускается;
• Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8 , хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
• Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
• Признак делимости на 10 , наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
• Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11 . Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.

Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.

Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.

Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).

Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.

Используя универсальный признак делимости , можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.

Усовершенствованный признак делимости на 7
Чтобы проверить, делится ли число на 7, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру дважды отнять. Если результат делится на 7, то и само число делится на 7.

Пример 1:
Делится ли на 7 число 238?
23-8-8 = 7. Значит, число 238 делится на 7.
Действительно, 238 = 34х7

Это действие можно проводить многократно.
Пример 2:
Делится ли на 7 число 65835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 делится на 7 (если бы мы этого не заметили, то могли бы сделать ещё 1 шаг: 6-3-3 = 0, а 0 уж точно делится на 7).

Значит, и число 65835 делится на 7.

На основе универсиального признака делимости, можно усовершенствовать признаки делимости на 4 и на 8.

Усовершенствованный признак делимости на 4
Если половина числа единиц в сумме с числом десятков - чётнное число, то число делится на 4.

Пример 3
Делится ли число 52 на 4?
5+2/2 = 6, число чётное, значит, число на 4 делится.

Пример 4
Делится ли число 134 на 4?
3+4/2 = 5, число нечётное, значит, 134 на 4 не делится.

Усовершенствованный признак делимости на 8
Если сложить удвоенное число сотен, число десятков и половину числа единиц, и результат будет делиться на 4, то само число делится на 8.

Пример 5
Делится ли число 512 на 8?
5*2+1+2/2 = 12, число делится на 4, значит, 512 делится на 8.

Пример 6
Делится ли число 1984 на 8?
9*2+8+4/2 = 28, число делится на 4, значит, 1984 делится на 8.

Признак делимости на 12 - это объединение признаков делимсоти на 3 и на 4. Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимнопростых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению pq,актих, что НОД(p,q)=1), одно должно делиться одновремено на p и на q.

Однако будьте внимательны! Чтобы работали составные признаки делимости, множители числа должны быть именно взаимнопростыми. Нельзая сказать, что число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.

Усовершенствованный признак делимости на 13
Чтобы проверить, делится ли число на 13, надо от числа отбросить последнюю цифру и к получившемуся результату её четырежды прибавить. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 7
Делится ли на 8 число 65835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Число 43 не делится на 13, значит, и число 65835 не делится на 13.

Пример 8
Делится ли на 13 число 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 делится на 13, значит, и число 715 делится на 13.

Признаки делимости на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 и прочие составные числа, не являющиеся степенями простых, аналогичны признакам делимости на 12. Мы проверяем делимость на взаимно-простыем множители этих чисел.

• Для14: на 2 и на 7;
• Для 15: на 3 и на 5;
• Для 18: на 2 и на 9;
• Для 21: на 3 и на 7;
• Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя - чётной);
• Для 24: на 3 и на 8;
• Для 26: на 2 и на 13;
• Для 28: на 4 и на 7.

Усовершенствованный признак делимости на 16.
Вместо того, чтобы проверять, делится ли 4-циферное окончание числа на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с
увеличенной в восемь раз цифрой тысяч, и проверить, делится ли результат на 16.

Пример 9
Делится ли число 1984 на 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 не делится на 16, значит, и 1984 не делится на 16.

Пример 10
Делится ли число 1526 на 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 не делитсся на 16, значит, и 1526 делится на 16.

Усовершенствованный признак делимости на 17.
Чтобы проверить, делится ли число на 17, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру пять раз отнять. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 11
Делится ли число 59772 на 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 делится на 17, значит и число 59772 делится на 17.

Пример 12
Делится ли число 4913 на 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 делится на 17, значит и число 4913 делится на 17.

Усовершенствованный признак делимости на 19.
Чтобы проверить, делится ли число на 19, надо удвоенную последнюю цифру прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 13
Делится ли число 9044 на 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 делится на 19, значит и число 9044 делится на 19.

Усовершенствованный признак делимости на 23.
Чтобы проверить, делится ли число на 23, надо последнюю цифру, увеличенную в 7 раз, прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 14
Делится ли число 208012 на 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Вообще-то, уже можно заметить, что 253 - это 23,

Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:

• На 2 : последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
• На 3 : сумма цифр числа должна делиться на 3;
• На 4 : число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
• На 5 : последняя цифра должна быть 0 или 5;
• На 6 : число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
• Признак делимости на 7 часто пропускается;
• Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8 , хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
• Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
• Признак делимости на 10 , наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
• Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11 . Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.

Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.

Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.

Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).

Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.

Используя универсальный признак делимости , можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.

Усовершенствованный признак делимости на 7
Чтобы проверить, делится ли число на 7, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру дважды отнять. Если результат делится на 7, то и само число делится на 7.

Пример 1:
Делится ли на 7 число 238?
23-8-8 = 7. Значит, число 238 делится на 7.
Действительно, 238 = 34х7

Это действие можно проводить многократно.
Пример 2:
Делится ли на 7 число 65835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 делится на 7 (если бы мы этого не заметили, то могли бы сделать ещё 1 шаг: 6-3-3 = 0, а 0 уж точно делится на 7).

Значит, и число 65835 делится на 7.

На основе универсиального признака делимости, можно усовершенствовать признаки делимости на 4 и на 8.

Усовершенствованный признак делимости на 4
Если половина числа единиц в сумме с числом десятков - чётнное число, то число делится на 4.

Пример 3
Делится ли число 52 на 4?
5+2/2 = 6, число чётное, значит, число на 4 делится.

Пример 4
Делится ли число 134 на 4?
3+4/2 = 5, число нечётное, значит, 134 на 4 не делится.

Усовершенствованный признак делимости на 8
Если сложить удвоенное число сотен, число десятков и половину числа единиц, и результат будет делиться на 4, то само число делится на 8.

Пример 5
Делится ли число 512 на 8?
5*2+1+2/2 = 12, число делится на 4, значит, 512 делится на 8.

Пример 6
Делится ли число 1984 на 8?
9*2+8+4/2 = 28, число делится на 4, значит, 1984 делится на 8.

Признак делимости на 12 - это объединение признаков делимсоти на 3 и на 4. Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимнопростых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению pq,актих, что НОД(p,q)=1), одно должно делиться одновремено на p и на q.

Однако будьте внимательны! Чтобы работали составные признаки делимости, множители числа должны быть именно взаимнопростыми. Нельзая сказать, что число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.

Усовершенствованный признак делимости на 13
Чтобы проверить, делится ли число на 13, надо от числа отбросить последнюю цифру и к получившемуся результату её четырежды прибавить. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 7
Делится ли на 8 число 65835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Число 43 не делится на 13, значит, и число 65835 не делится на 13.

Пример 8
Делится ли на 13 число 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 делится на 13, значит, и число 715 делится на 13.

Признаки делимости на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 и прочие составные числа, не являющиеся степенями простых, аналогичны признакам делимости на 12. Мы проверяем делимость на взаимно-простыем множители этих чисел.

• Для14: на 2 и на 7;
• Для 15: на 3 и на 5;
• Для 18: на 2 и на 9;
• Для 21: на 3 и на 7;
• Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя - чётной);
• Для 24: на 3 и на 8;
• Для 26: на 2 и на 13;
• Для 28: на 4 и на 7.

Усовершенствованный признак делимости на 16.
Вместо того, чтобы проверять, делится ли 4-циферное окончание числа на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с
увеличенной в восемь раз цифрой тысяч, и проверить, делится ли результат на 16.

Пример 9
Делится ли число 1984 на 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 не делится на 16, значит, и 1984 не делится на 16.

Пример 10
Делится ли число 1526 на 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 не делитсся на 16, значит, и 1526 делится на 16.

Усовершенствованный признак делимости на 17.
Чтобы проверить, делится ли число на 17, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру пять раз отнять. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 11
Делится ли число 59772 на 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 делится на 17, значит и число 59772 делится на 17.

Пример 12
Делится ли число 4913 на 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 делится на 17, значит и число 4913 делится на 17.

Усовершенствованный признак делимости на 19.
Чтобы проверить, делится ли число на 19, надо удвоенную последнюю цифру прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 13
Делится ли число 9044 на 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 делится на 19, значит и число 9044 делится на 19.

Усовершенствованный признак делимости на 23.
Чтобы проверить, делится ли число на 23, надо последнюю цифру, увеличенную в 7 раз, прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 14
Делится ли число 208012 на 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Вообще-то, уже можно заметить, что 253 - это 23,

Правило

Признак делимости на 7

Чтобы определить, делится ли число на \(\displaystyle 7\), надо:

1. Взять исходное число без последней цифры.

2. К полученному на первом шаге числу прибавить последнюю цифру исходного числа, умноженную на \(\displaystyle 5\).

Число делится на \(\displaystyle 7\) тогда и только тогда, когда сумма, полученная на втором шаге, делится на \(\displaystyle 7\).

Пояснение

Признак делимости на 7 для двузначных чисел

Для двузначного числа признак делимости на \(\displaystyle 7\) можно сформулировать следующим образом:

1. \(\displaystyle {\color{blue}X}{\color{red}Y}\rightarrow {\color{blue}X}\).

2. \(\displaystyle {\color{blue}X}+5\cdot{\color{red}Y}\).

Число \(\displaystyle {\color{blue}X}{\color{red}Y}\) делится на \(\displaystyle 7\) тогда и только тогда, когда число \(\displaystyle {\color{blue}X}+5\cdot{\color{red}Y}\) делится на \(\displaystyle 7\).

Дано число \(\displaystyle 78\). Произведем вычисления в соответствии с описанным выше правилом.

1. Отбрасываем последнюю цифру у исходного числа:

\(\displaystyle {\color{blue}7}{\color{red}8} \rightarrow {\color{blue}7}\).

2. Вычисляем:

\(\displaystyle {\color{blue}7}+5 \cdot {\color{red}8} = 47\).

Число \(\displaystyle 78\) делится на \(\displaystyle 7\) тогда и только тогда, когда число \(\displaystyle 47\) делится на \(\displaystyle 7\).

Но так как \(\displaystyle 47\) не делится на \(\displaystyle 7\), то и \(\displaystyle 78\) также не делится на \(\displaystyle 7\).

Ответ: нет, не делится на \(\displaystyle 7\).

Добрый день!
Сегодня мы продолжим рассматривать признаки делимости.
И начнём мы вот с чего:
Берём последнюю цифру числа, удваиваем её и вычитаем из числа, которое осталось без этой последней цифры. Если разность делится на 7, значит всё число делится на 7. Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 7.

Пример: 298109.
1-й шаг. Берём 9, умножаем её на 2 и производим вычитание:
29810-18=29792.
2-й шаг. 29792. Берём 2, умножаем её на 2 и производим вычитание:
2979-4 = 2975.
3-й шаг. 2975. Берём 5, умножаем на 2 и производим вычитание: 297-10=287.
4-й шаг. 287. Берём 7, умножаем на 2 и производим вычитание 28-14=14. Делится на 7.
Значит всё число 298109 делится на 7.

Ещё пример. Число 1102283.
1-й шаг. 110228-3*2 = 110222
2-й шаг. 11022-2*2 = 11018.
3-й шаг. 1101-8*2 = 1085.
4-й шаг. 108-5*2 = 98.
5-й шаг. 9-8*2 = -7. Делится на 7. Значит, 1102283 делится на 7.

Признак делимости на 13. Берём последнюю цифру числа, умножаем её на 4 и складываем с числом без последней цифры. Если сумма делится на 13, значит все число делится на 13.
Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 13.
Пример: Число 595166.
1-й шаг. 59516 + 6*4 = 59540
2-й шаг. 5954 + 0*4 = 5954
3-й шаг. 595 + 4*4 = 611
4-й шаг. 61 + 1*4 = 65
5-й шаг. 6 + 5*4 = 26. Делится на 13.
Значит, число 595166 делится нацело на 13.

Ещё пример. Число 10221224.
1-й шаг. 1022122 + 4*4 = 1022138
2-й шаг. 102213 + 8*4 = 102245
3-й шаг. 10224 + 5*4 = 10244
4-й шаг. 1024 + 4*4 = 1040
5-й шаг. 104 + 0*4 = 104
6-й шаг. 10 + 4*4 = 26. Делится на 13.
Значит, число 10221224 делится нацело на 13.

Теперь я бы хотел показать несколько других признаков делимости и не только на простые числа, но и на составные.

Признак делимости на 11. Возьмём число и сложим все цифры, которые стоят на нечётных местах. Затем сложим все цифры числа, которые стоят на чётных местах.
Если разность между первой суммой и второй кратна 11, то всё число делится на 11.
При этом разность может быть как положительна, так и отрицательна.
Примеры: 160369 (Сумма цифр, которые стоят на нечётных местах
1+0+6 = 7. Сумма цифр, которые стоят на чётных местах 6+3+9 = 18.
18 — 7 = 11. Делится на 11. Значит, число 160369 делится на 11).
Ещё пример: 7527927 (7+2+9+7 = 25. 5+7+2 = 14. 25 — 14 = 11.
Число 7527927 делится на 11).

Признак делимости на 15. Число 15 — составное. Его можно представить в виде произведения простых множителей, а именно 5 и 3.
А мы уже знаем Значит, число делится на 15, если
1. — оно заканчивается на 0 или 5;

Пример: 36840 (Число оканчивается на 0; сумма цифр его равна 3+6+8+4 = 21. Делится на 3.) Значит, все число делится на 15.
Ещё пример: 113445 Число оканчивается на 5; сумма цифр его равна 1+1+3+4+4+5 = 18. Делится на 3.) Значит, всё число делится на 15.

Признак делимости на 12. Число 12 — составное. Его можно представить в виде произведения следующих множителей: 4 и 3.
Значит, число делится на 12, если
1. — 2 последние цифры его делятся на 4;
2. — сумма цифр его делится на 3.
Примеры: 78864 (Две последние цифры — 64. Число, составленное из них, делится на 4; сумма цифр равна 7+8+8+6+4 = 33. Делится на 3.) Значит, всё число делится на 12.
Ещё пример: 943908 (Две последние цифры — 08. Число, составленное из этих цифр, делится на 4; сумма цифр равна 9+4+3+9+0+8 = 33.
Делится на 3.) Значит, всё число делится на 12.

О своем изобретении нового признака делимости на 7, удобного для использования в школе, рассказывает ТРИЗ-педагог Сергей Владимирович Ефремов.

Работая в школе с подготовишками, зашёл в кабинет шестого класса и увидел на стене плакат «Признаки делимости чисел». Там были признаки делимости для чисел 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, а для числа 7 такого признака не было. Я спросил у учителя математики:

— Почему нет признака делимости на семь?

Мне ответили, что он есть, но очень сложный. Навел справки в Интернете. Нашёл три признака.

Признак 1 : число делится на тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 делится 15*3+4=49.

Другой пример - число 1001 делится на 7, так как на 7 делятся 100*3+1=301, 30*3+1=91, 9*3+1=28, 2*3+8=14.

Признак 2 . число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7. Например, 138689257 делится на 7, так как на 7 делится |138-689+257|=294.

Признак 3 . Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 - (2 · 9) = 7 делится на 7).

Проверим делимость числа 86 576 (восемьдесят шесть тысяч пятьсот семьдесят шесть). В этом числе 8 657 (восемь тысяч шестьсот пятьдесят семь) десятков и 6 (шесть) единиц. Приступаем к проверке делимости этого числа на 7 (семь):

8657 — 6 х 2 = 8657 — 12 = 8645

Снова проверяем делимость на 7 (семь), теперь уже полученного нами числа 8 645 (восемь тысяч шестьсот сорок пять). Теперь у нас 864 (восемь шестьдесят четыре) десятка и 5 (пять) единиц:

864 — 5 х 2 = 864 — 10 = 854

Опять повторяем наши действия для числа 854 (восемьсот пятьдесят четыре), в котором 85 (восемьдесят пять) десятков и 4 (четыре) единицы:

85 — 4 х 2 = 85 — 8 = 77

В принципе, уже невооруженным глазом видно, что число 77 (семьдесят семь) делится на 7 (семь) и в результате получается 11 (одиннадцать). Подобный результат мы уже рассматривали выше.

Как видите, признаки действительно сложные. Пользоваться ими в уме трудно из-за большого количества операций. Наиболее простой – третий признак, но тоже два действия, сначала умножение, а потом вычитание, а для чисел за 700 уже надо делать несколько циклов.

Поставил задачу:

«Найти признак деления на 7 с меньшим количеством математических действий».

Применил инструмент ТРИЗ – ИКР (идеальный конечный результат).

Само число должно давать ресурс для вычисления.

И этот ресурс нашёлся. Если посмотреть таблицу умножения на 7, то его произведения имеют отличительное свойство – конечная цифра не повторяется: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70. На первый взгляд, это усложняет задачу, т.к. проверяемое число с любым окончанием может делиться на 7. Но ведь по правилу ТРИЗ: «Кто мешает, тот и помогает». Надо использовать это свойство на пользу.

Смотря на последнюю цифру в проверяемом числе, мы уже знаем один признак ответа – это число из таблицы умножения, дающее этот кончик. Например, если проверяемое число 154, то если оно делится на 7, последняя цифра в ответе должна быть 2 (7х2=14), а если число 259, то последняя цифра ответа должна быть 7 (7х7=49).

Вот он нужный ресурс – это таблица умножения на 7 – 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.

Предполагаем, что он у нас есть в памяти. Теперь используем действие из третьего (самого простого) признака – вычитание. Получаем новый признак делимости на 7.

Число делится на 7, когда результат вычитания первой цифры известного произведения из этого числа без последней цифры делится на 7.

А теперь простыми словами.

— Смотрим на проверяемое число, например, уже известное 259.

— Оно оканчивается на 9. Берём ресурс из таблицы умножения 49 . Её первая цифра – 4.

— Вычитаем из 25 эту цифру. 25 – 4 = 21

— Ответ 21. Значит число делится на 7. Это так: 259: 7 = 37. Последняя цифра 7, как мы и предполагали.

Ещё несколько примеров. 756 делится на 7?

Оно оканчивается на 6. Ресурс – 56. Вычитаем 75 – 5 = 70. Число делится 756: 7 = 108

Число 392. Оканчивается на 2. Ресурс – 42. Вычитаем 39 -4 = 35. Делится 392: 7 = 56.

Число 571. Оканчивается на 1. Ресурс – 21. Вычитаем 57 – 2 = 55. Не делится.

Число 574. Оканчивается на 4. Ресурс – 14. Вычитаем 57 – 1 = 56. Делится 574: 7 = 82

В этом признаке мы исключили одно математическое действие – умножение.

Дополнение.

Для проверяемых чисел больше 700, чтобы избежать повторных циклов, как в признаке 3, используйте для вычитаемого кратные десятки и сотни семёрки.

Рассмотрим, например, число 973. Оно оканчивается на 3. Ресурс – 63. Вычитаем 97 — 6 = 91. Можно идти на второй цикл, а можно вычитать не 6, а 76. 97 — 76 = 21. Делится.

Добавки идут по системе счисления семи: 70, 140, 210 и т.д. в зависимости от проверяемого числа.

1. Этот признак можно применять в уме без особых трудностей, для чисел до 1000. Он поможет искать кратные для деления.

2. Коллеги, используйте ТРИЗ для решения своих задач! Это экономит время. Мне, чтобы найти этот признак делимости, потребовалось 3 часа с учётом поиска аналогов в интернете.

Буду рад, если этот признак кому-то пригодится.