Теоретический материал. §6 Частные производные сложных функций нескольких переменных Вычислить производные от сложных функций нескольких переменных

Пусть функция z - /(х, у) определена в некоторой области D на плоскости хОу. Возьмем внутреннюю точку (х, у) из области D и дадим х приращение Ах такое, чтобы точка (х + Ах, у) 6 D (рис.9). Величину назовем частным приращением функции z по х. Составим отношение Для данной точки (х, у) это отношение является функцией от Определение. Если при Ах -* 0 отношение ^ имеет конечный предел, то этот предел называется частной производной функции z = /(х, у) по независимой переменной х в точке (х, у) и обозначается символом jfc (или /i(x, jj), или z"x(x, Та ним образом, по определению или, чтотоже самое, Аналогично Если и - функция п независимых переменных, то Заметив, что Arz вычисляется при неизменном значении переменной у, a Atz - при неизменном значении переменной х, определения частных производных можно сформулировать так: Частные производные Геометрический смысл частных производных функции двух переменных Дифференцируемость функции нескольких переменных Необходимые условия дифференцируемости функции Достаточные условия дифференцируемсти функций нескольких переменных Полный дифференциал. Частные дифференциалы Производные сложной функции частной производной по х функции z = /(х, у) называется обычная производная этой функции по х, вычисленная в предположении, что у - постоянная; частной производной по у функции z - /(х, у) называется ее производная по у, вычисленная в предположении, что х - постоянная. Отсюда следует, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, доказанными для функции одной переменной. Пример. Найти частные производные функции 4 Имеем Заменами*. Из существования у функции г = /(х, у) в данной точке частных производных по всем аргументам не вытемает непрерывности функции в этой точке. Так, функция не является непрерывной в точке 0(0,0). Однако в этой точке указанная функция имеет частные производные по х и по у. Это следует из того, что /(х, 0) = 0 и /(0, у) = 0 и поэтому Геометрический смысл частных производных функции двух переменных Пусть в трехмерном пространстве поверхность S задана уравнением где f(x, у) - функция, непрерывная в некоторой области D и имеющая там частные производные по х и по у. Выясним геометрический смысл этих производных в точке Мо(хо,уо) 6 D, которой на поверхности z = f{x}y) соответствует точка f(x0}yo)). При нахождении частной производной вточке М0 мы полагаем, что z является только функцией аргумента х, тогда как аргумент у сохраняет постоянное значение у = уо, т. е. Функция fi(x) геометрически изображается кривой L, по которой поверхность S пересекается плоскостью у = у о. В силу геометрического смысла производной функции одной переменной f\(xo) = tg а, где а - угол, образованный касательной к линии L в точке JV0 с осью Ох (рис. 10). Но так что Такимобразом, частная производная ($|) равнатангенсуугла а между осью Ох и касательной в точке N0 к кривой, полученной в сечении поверхности z = /(х, у) плоскостью у Аналогично получаем, что §6. Дифференцируемость функции нескольких переменных Пусть функция z = /(х, у) определена в некоторой области D на плоскости хОу. Возьмем точку (х, у) € D и выбранным значениям х и у дадим любые приращения Ах и Ду, но такие, чтобы точка. Определение. Функция г = /(х, у) называется дифференцируемой * точке (ж, у) € 2Э, если полное прирашение этой функции, отвечающее приращениям Дх, Ду аргументов, можно представить в виде где Л и В не зависят от Дх и Д у (но вообще зависят от х и у), а а(Дх, Ду) и /?(Дх, Ду) стремятся к нулю при стремлении к нулю Дх и Ду. . Если фунмция z = /(х, у) дифференцируема в точке (х, у), то часть А Дх 4- ВДу приращения функции, линейная относительно Дх и Ду, называется полным дифференциалом этой функции в точке (х, у) и обозначается символом dz: Таним образом, Пример. Пусть г = х2 + у2. Во всякой точке (г,у) и для любых Дх и Ду имеем Здесь. тек что а и /3 стремятся к нулю при стремлении к нулю Дх и Ду. Согласно определению, данная функция дифференцируема в любой точке плоскости хОу. При этом Заметим, что в наших рассуждениях не был формально исключен тот случай, когда приращения Дх, Ду порознь или даже оба сразу равны нулю. Формулу (1) можно записать более компактно, если ввести выражение (расстояние между точками (Пользуясь им, можем написать Обозначив выражение, стоящее в скобнах, через е, будем иметь где с зависит от Дж, Ду и стремится к нулю, если Дж 0 и Ду 0, или, короче, если р 0. Формулу (1), выражающую условие дифференцируемости функции z = f{xt у) в точке (ж, у), можно теперь записать в виде Так, в приведенном выше примере 6.1. Необходимые условия дифференцируемое™ функции Теореме 4. Если функция г = /(ж, у) дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна. 4 Если в точке (ж, у) фунлшя г = /(ж, у) дифференцируема, то полное приращение функции я в этой точ»«е, отвечающее приращениям Дж и Ду аргументов, можно представи ть в виде (величины Л, В для данной точки постоянны; , откуда следует, что Последнее означает, что в точке (ж, у) функция г /(ж, у) непрерывна. Теорем! б. Если функция г = /(ж, у) дифференцируема в данной точке, mo око ы.иеет в этой точке частные производные $§ и. Пусть функция z = /(х, у) дифференцируемад точке (х, у). .Тогда прираше^ Дг этой функции, отвечающее приращениям Дх, Ау аргументов, можно представить в виде (1). Взяв в равенстве (1) Дх Ф 0, Ду = 0, получим откуда Так как в правой части последнего равенства величина А не зависит от, Это означает, что в точке (х, у) существует частная производная функции г = /{х, у) по х, причем Подобными же рассуждениями убеждаемся (х, существует частная производная функции zу, причем Из теоремы следует, что Подчеркнем, что теорема 5 утверждает существование частных производных только в точке (х, у), но ничего не говорит о непрерывности их в этой точке, а также об их поведении в окрестности точки (х, у). 6.2. Достаточные условия дифференцируемое™ функций нескольких переменных Как известно, необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции у = /(х) одной переменной в точке хо являетсясу шествование конечной производной /"(х) в точке х0. В случае, когда функция зависит от нескольких переменных, дело обстоит значительно сложнее: необходимых и достаточных условий дифференцируемости нет уже для функ ии z = /(х, у) двух независимых переменных х, у; есть лишь отдельно необходимые условия (см. выше) и отдельно - достаточные. Эти достаточные условия дифференцируемости функций нескольких переменных выражаются следующей теоремой. Теорема в. Если функция имеет частные производные /£ и f"v в некоторой окрестности тонки (хо, Уо) и если эти производные непрерывны в самой точке (хо,Уо), то функция z = f(x, у) дифференцируема в точке (х- Пример. Рассмотрим функцию Частные производные Геометрический смысл частных производных функции двух переменных Дифференцируемость функции нескольких переменных Необходимые условия дифференцируемости функции Достаточные условия дифференцируемсти функций нескольких переменных Полный дифференциал. Частные дифференциалы Производные сложной функции Она определена всюду. Исходя из определения частных производных, имеем Для наощдрлм* дифференцируемое™ данной функции в точке 0(0,0) найдем и приращение этой точит Для дифференцируем ости функции /(х,у) = в точив 0(0,0) необходимо, чтобы функция е(Дх, Ду) быле 6всконеио малой при Дх 0 и Ду 0. Положим Д0. Тогда из формулы (1) будем иметь Поэтому функции /(х,у) = не дифференцируема в точке 0(0,0), хотя и имеет в этой точке производим fa и f"r Полученный результат объясняется тем, что производные f"z и f"t разрывны точке §7. Полный дифференциал. Частные дифференциалы Если функция г - f(z> у) дифференцируема, то ее пожьгй дифференциал dz равен Замечая, что А = В = щ, запишем формулу (1) в следующем виде Распространим понятие дифференциала функции на независимые переменные, положив дифференциалы независимых переменных равными их приращениям: После этого формула полного дифференциала функции приметвкд Пример. Пусть i - 1л(х + у2). Тогда Аналогично, если u =) есть дифференцируемая функция n независимых переменных, то Выражение называется постным дифференциалом функции z = f(x, у) по переменной х; выражение называется частным дифференциалом функции z = /(ж, у) попеременной у. Из формул (3), (4) и (5) следует, что полный дифференциал функции является суммой ее частных дифференциалов: Отметим, что полное приращение Az функции z = /(ж, у), вообще говоря, не равно сумме частных приращений. Если в точке (я, у) фунмцияг = /(ж, у) дифференцируема и дифференциал dz Ф О в этой точке, то ее полное приращение отличается от своей линейной части только на сумму последних слагаемых аАх 4- /?ДУ, которые при Аж 0 и Ау --» О являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем слагаемыелинейной части. Поэтому при dz Ф 0 линейную часть приращения дифференцируемой функции называют главной частью приращения функции и пользуются приближенной формулой которая будет тем более точной, чем меньшими по абсолютной величине будут приращения аргументов. §8. Производные сложной функции 1. Пусть функция определена в некоторой области D на плоскости хОу, причем каждая из переменных ж, у в свою очередь является функцией аргумента t: Будем предполагать, что при изменении t в интервале (соответствующие точки (ж, у) не выходят за пределы области D. Если подставить значения в функцию z = / (ж, у), то получим сложную функцию одной переменной t. и при соответствующих значениях функция /(х,у) дифференцируема, то сложная функция, в точке t имеет производную причем M Дадим t приращение Дt. Тогда x и у получат некоторые приращения Ах и Ду. В результате этого при (Дж)2 + (Ду)2 Ф 0 функция z также получит некоторое приращение Дг, которое в силу дифференцируемости функции z = /(ж, у) в точке (х, у) может быть представлено в виде где а) стремятся к нулю при стремлении к нулю Ах и Ду. Доопределим а и /3 при Ах = Ау = 0, положив а Тогда а(будут непрерывны при Дж = Ду = 0. Рассмотрим отношение Имеем В каждом слагаемом^ в Правой части (2) оба сомножителя имеют пределы при действительно, частные производные и ^ для данной являются постоянными, по условию существуют пределы из существования производных ^ и в точке £ следует непрерывность в этой точке функций х = y(t) и у = поэтому при At 0 стремятся к нулю и Дж и Ду, что в свою очередь влечет за собой стремление к нулю а(Дх, Ду) и Р(Ах, Ау). Таким образом, правая часть равенства (2) при 0 имеет предел, равный Значит, существует при At 0 и предел левой части (2), т. е. существует равный Переходя в равенстве (2) к пределу при At -» 0, получаем требуемую формулу В частном случае, когда, следовательно, z является сложной функцией от ж, получаем В формуле (5) есть частная производная фунадииг = /(ж, у) по ж, при вычи слении которой в выражении/(ж, у) аргумент у принимается за постоянную. А есть полная производная функции z по независимой переменной ж, при вычислении которой у в выражении /(ж, у) уже не принимается за постоянную, а считается в свою очередь функцией от ж: у = tp(x)t и поэтому зависимость z от ж учитывается полностью. Пример. Найти и jg , если 2. Рассмотрим теперь дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Пусть где в свою очередь так что Предположим, что в точке (() существуют непрерывные частные производные щ, 3?» а в соответствующей точке (ж,у), где Функция /(ж, у) дифференцируема. Покажем, что при этих условиях сложная фуншия z = z({} у) в точке t7) имеет производные и щ, и найдем выражения для этих производных. Заметим, что этот случай от уже изученного существенно не отличается. Действительно, при дифференцировании z по £ вторая независимая переменная rj принимается за постоянную, вследствие чего ж и у при этой операции становятся функциями одной переменной ж" = с), у = с) и вопрос о производной Ц решается совершенно так же, как вопрос о производной при выводе формулы (3). Используя формулу (3) и формально заменяя в ней производные § и ^ на производные щ и соответственно, получим Аналогично находим Пример. Найти частные производные ^ и ^ функции г = ж2 у - хуесли х - у = Если сложная функция « Задана формулами так что то при выполнении соответствующих условий имеем В частном случае, когда И = где Частные производные Геометрический смысл частных производных функции двух переменных Дифференцируемость функции нескольких переменных Необходимые условия дифференцируемости функции Достаточные условия дифференцируемсти функций нескольких переменных Полный дифференциал. Частные дифференциалы Производные сложной функции имеем Здесь т- полная.частная производная функции и по независимой переменной х, учитывающая полную зависимость и от х, втомчисле и через z = z(x,y),a ^ -частная произврдная.функдодои и = /(г,у, г) по х, при вычислении к

1°

1°. Случай одной независимой переменной . Если z=f(x,y) есть дифференцируемая функция аргументов х и у, которые в свою очередь являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t : , то производная сложной функции может быть вычислена по формуле

Пример. Найти , если , где .

Решение. По формуле (1) имеем:

Пример . Найти частную производную и полную производную , если .

Решение. .

На основании формулы (2) получаем .

2°. Случай нескольких независимых переменных.

Пусть z = f (x ; y ) - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t : х = x (t ), у = y (t ). В этом случае функция z = f (x (t ); y (t )) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у - промежуточные переменные.

Теорема . Если z == f (x ; у) - дифференцируемая в точке М(х;у) D функция и х = x (t ) и у =y (t ) - дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z (t ) == f (x (t ); y (t )) вычисляется по формуле

Частный случай: z = f (x ; у), где у = у(х), т.е. z = f (x ; y (x )) - сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (3) имеем:

.

Последняя формула носит название формулы полной производной.

Общий случай: z = f (x ; y ), где х = x (u ; v ), y = y (u ; v ). Тогда z = f { x (u ; v ); y (u ; v )) - сложная функция независимых переменных и и v . Ее частные производные и можно найти, используя формулу (3) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней , соответствующими частными производными

Таким образом, производная сложной функции (z ) по каждой независимой переменной (и и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (x и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

Во всех рассмотренных случаях справедлива формула

(свойство инвариантности полного дифференциала).

Пример. Найти и , если z =f (x ,y ), где x =uv , .

Решение. Применяя формулы (4) и (5), получим:

Пример. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение. Функция зависит от х и у через промежуточный аргумент , поэтому

Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь:

Т. е. функция z удовлетворяет данному уравнению.

Производная в данном направлении и градиент функции

1°. Производная функции в данном направлении . Производной функции z=f (x,y) в данном направлении называется , где и - значения функции в точках и . Если функция z дифференцируема, то справедлива формула

где - углы между направлением l и соответствующими координатными осями. Производная в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом направлении.

Пример. Найти производную функции z = 2х 2 - Зу 2 в точке P (1; 0) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в 120°.

Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке P .

Теорема. Пусть u = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t) и у = у(t) определены в области , причём, когда , то х и у принадлежат области D . Пусть функция u дифференцируема в точке M 0 (x 0 , y 0 , z 0), а функции х (t) и у (t) дифференцируемы в соответствующей точке t 0 , то сложная функция u = f [x (t ), y (t )]=F (t ) дифференцируема в точке t 0 и имеет место равенство:

.

Доказательство. Так как u дифференцируема по условию в точке (x 0 , y 0), то её полное приращение представляется в виде

Разделив это соотношение на , получим:

Перейдём к пределу при и получим формулу

.

Замечание 1. Если u = u (x, y ) и x = x , y = y (x ), то полная производная функции u по переменной х

или .

Последнее равенство можно использовать для доказательства правила дифференцирования функции одной переменной, заданной неявно в виде F (x , y ) = 0, где y = y (x ) (см. тему № 3 и пример 14).

Имеем: . Отсюда . (6.1)

Вернёмся к примеру 14 темы № 3:

;

.

Как видим, ответы совпали.

Замечание 2. Пусть u = f (х, у ), где х = х (t , v ), у = у (t , v ). Тогда u есть в конечном счёте сложная функция двух переменных t и v . Если теперь функция u дифференцируема в точке M 0 (x 0 , y 0), а функции х и у дифференцируемы в соответствующей точке (t 0 , v 0), то можно говорить о частных производных по t и v от сложной функции в точке (t 0 , v 0). Но если мы говорим о частной производной по t в указанной точке, то вторая переменная v считается постоянной и равной v 0 . Следовательно, речь идёт о производной только от сложной функции по t и, следовательно, мы можем воспользоваться выведенной формулой. Таким образом, получим:

и .

Пример 13. Найти полную производную функции u = x y , где x = sin t , y = cos t .

41. Экстремумы функции нескольких переменных.

Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума

Определение 7. Точка называется точкой минимума (максимума) функции, если существует такая окрестность точки, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство, ().

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно).

Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если - точка экстремума дифференцируемой функции, то ее частные производные и в этой точке равны нулю: .

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция: а) определена в некоторой окрестности критической точки, в которой и; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Тогда, если, то функция в точке имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если, то функция в точке экстремума не имеет. В случае вопрос о наличии экстремума остается открытым.

При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти частные производные первого порядка: и.

2. Решить систему уравнений и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка: , .

4. Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.

5. Найти экстремумы функции.

Пример 6. Найти экстремумы функции.

Решение. 1. Находим частные производные и:

2. Для определения критических точек решаем систему уравнений

Из первого уравнения системы находим: . Подставляя найденное значение y во второе уравнение, получим

Находим значения y, соответствующие значениям. Подставляя значения в уравнение, получим: .

Таким образом, имеем две критические точки: и.

3. Находим частные производные второго порядка:

4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой критической точке. Для точки имеем:

то в точке экстремума нет.

и, следовательно,

Значит, в силу достаточного условия экстремума, в точке функция имеет минимум, так как в этой точке и.

§ 5. Частные производные сложных функций. дифференциалы сложных функций

1. Частные производные сложной функции.

Пусть – функция двух переменных, аргументы которой и , сами являются функциями двух или большего числа переменных. Например, пусть
,
.

Тогда будет сложной функцией независимых переменных и , переменные и будут для нее промежуточными переменными. Как в этом случае найти частные производные функции по и ?

Можно, конечно, выразить непосредственно через и :

и искать частные производные от получившейся функции. Но выражение может оказаться очень сложным, и нахождение частных производных , потребует тогда больших усилий.

Если функции
,
,
дифференцируемы, то найти и можно не прибегая к непосредственному выражению через и . В этом случае будут справедливы формулы

(5.1)

Действительно, дадим аргументу приращение
, – const. Тогда функции
и получат приращения

а функция получит приращение

где , – бесконечно малые при
,
. Разделим все члены последнего равенства на . Получим:

Так как по условию функции и дифференцируемы, то они непрерывны. Следовательно, если
, то и . А значит, переходя в последнем равенстве к пределу при получим:

(так как , – бесконечно малые при , ).

Аналогично доказывается и второе равенство из (5.1).

ПРИМЕР. Пусть
, где
,
. Тогда является сложной функцией независимых переменных и . Для нахождения ее частных производных воспользуемся формулой (5.1). Имеем

Подставляя в (5.1), получаем

,

Формулы (5.1) естественным образом обобщаются на случай функции большего числа независимых и промежуточных аргументов. А именно, если ,

………………………

и все рассматриваемые функции дифференцируемы, то для любого
имеет место равенство

Возможен также случай, когда аргументы функции являются функциями только одной переменной, т.е.

,
.

Тогда будет являться сложной функцией только одной переменной и можно ставить вопрос о нахождении производной . Если функции ,
,
дифференцируемы, то она может быть найдена по формуле
(5.2)

ПРИМЕР. Пусть
, где
,
. Здесь является сложной функцией одной независимой переменной . Пользуясь формулой (5.2) получим

.

И, наконец, возможен случай, когда роль независимой переменной играет , т.е. ,

где
.

Из формулы (5.2) тогда получаем

(5.3)

(так как
). Производная , стоящая в формуле (5.3) справа – это частная производная функции по . Она вычисляется при закрепленном значении . Производная в левой части формулы (5.3) называется полной производной функции . При ее вычислении учтено, что зависит от двояким образом: непосредственно и через второй аргумент .

ПРИМЕР. Найти и для функции
, где
.

Имеем
.

Для нахождения воспользуемся формулой (5.3). Получим

.

И в заключение этого пункта заметим, что формулы (5.2) и (5.3) легко обобщить на случай функций с большим числом промежуточных аргументов.

2. Дифференциал сложной функции.

Напомним, что если

– дифференцируемая функция двух независимых переменных, то по определению

, (5.4)

или в другом виде
. (5.5)

Преимущество формулы (5.5) в том, что она остается верна и в том случае, когда – сложная функция.

Действительно, пусть , где , . Предположим, что функции , , дифференцируемы. Тогда сложная функция тоже будет дифференцируема и ее полный дифференциал по формуле (5.5) будет равен

.

Применяя формулу (5.1) для вычисления частных производных сложной функции, получаем

Так как в скобках стоят полные дифференциалы функций и , то окончательно имеем

Итак, мы убедились, что и в том случае, когда и – независимые переменные, и в том случае, когда и – зависимые переменные, дифференциал функции можно записать в виде (5.5). В связи с этим, данная форма записи полного дифференциала называется инвариантной . Предложенная в (5.4) форма записи дифференциала не будет инвариантной, она может использоваться только в том случае, когда и – независимые переменные. Не будет инвариантной и форма записи дифференциала -го порядка. Напомним, что ранее мы показали, что дифференциал порядка функции двух переменных может быть найден по формуле

. (4.12)

Но если и не являются независимыми переменными, то формула (4.12) при
перестает быть верной.

Очевидно, что все рассуждения, проведенные в этом пункте для функции двух переменных, можно повторить и в случае функции большего числа аргументов. Следовательно, для функции дифференциал тоже может быть записан в двух видах:

причем вторая форма записи будет инвариантной, т.е. справедливой и в том случае, когда
являются не независимыми переменными, а промежуточными аргументами.

§ 6. Дифференцирование неявных функций

Говоря о способах задания функции одной и нескольких переменных, мы отмечали, что аналитическое задание функции может быть явным или неявным. В первом случае значение функции находится по известным значениям аргументов; во втором – значение функции и ее аргументов связаны некоторым уравнением. При этом мы не уточняли, когда уравнения

и

определяют неявно заданные функции и соответственно. Удобные для применения достаточные условия существования неявной функции переменных (
) содержатся в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 6.1 . (существования неявной функции) Пусть функция
и ее частные производные
определены и непрерывны в некоторой окрестности точки . Если
и
, то существует такая окрестность точки , в которой уравнение

определяет непрерывную функцию причем

1) Рассмотрим уравнение
. Условия теоремы выполняются, например, в любой окрестности точки
. Следовательно, в некоторой окрестности точки
это уравнение определяет как неявную функцию двух переменных и . Явное выражение этой функции легко получить, разрешив уравнение относительно :

2) Рассмотрим уравнение
. Оно определяет две функции двух переменных и . Действительно, условия теоремы выполняются, например, в любой окрестности точки

, в которой заданное уравнение определяет непрерывную функцию, принимающую в точке значение
.

С другой стороны, условия теоремы выполняются в любой окрестности точки
. Следовательно, в некоторой окрестности точки уравнение определяет непрерывную функцию, принимающую в точке значение
.

Так как функция не может принимать в одной точке два значения, значит здесь идет речь о двух различных функциях
и соответственно. Найдем их явные выражения. Для этого разрешим исходное уравнение относительно . Получим

3) Рассмотрим уравнение
. Очевидно, что условия теоремы выполняются в любой окрестности точки
. Следовательно, найдется такая окрестность точки
, в которой уравнение определяет как неявную функцию переменной . Получить явное выражение для этой функции невозможно, так как уравнение нельзя разрешить относительно .

4) Уравнение
не определяет никакой неявной функции, так как нет таких пар действительных чисел и , которые ему удовлетворяют.

Функция
, заданная уравнением
, согласно теореме 6.1, имеет в окрестности точки непрерывные частные производные по всем аргументам. Выясним, как можно их найти, не имея явного задания функции.

Пусть функция
удовлетворяет условиям теоремы 6.1. Тогда уравнение
непрерывную функцию
. Рассмотрим сложную функцию
, где . Функция является сложной функцией одной переменной , причем если
, то

(6.1)

С другой стороны, по формуле (5.3) для вычисления полной производной
(6.2)

Из (6.1) и (6.2) получаем, что если , то

(6.3)

Замечание. Делить на можно, так как согласно теореме 6.1
в любой точке окрестности .

ПРИМЕР. Найти производную неявной функции , заданной уравнением и вычислить ее значение при
.

,
.

Подставив частные производные в формулу (6.3), получим

.

Далее, подставляя в исходное уравнение , найдем два значения :
и
.

Следовательно, в окрестности точки уравнение определяет две функции:
и
, где
,
. Их производные при будут равны

и
.

Пусть теперь уравнение
определяет в некоторой окрестности точки
функцию . Найдем . Напомним, что фактически это обыкновенная производная функции , рассматриваемой как функция переменной при постоянном значении . Поэтому мы можем применить для нахождения формулу (6.3), считая функцией, – аргументом, – константой. Получим

. (6.4)

Аналогично, считая функцией, – аргументом, – константой по формуле (6.3) находим

. (6.5)

ПРИМЕР. Найти частные производные функции , заданной уравнением
.

,
,
.

Пользуясь формулами (6.4) и (6.5), получим

,
.

И, наконец, рассмотрим общий случай, когда уравнение

определяет в некоторой окрестности точки функцию переменных . Повторяя рассуждения, проведенные для неявно заданной функции двух переменных, получим

,
, …,
.

§ 7. Производная по направлению

1. Производная по направлению.

Пусть функция двух переменных определена в некоторой области
плоскости
, – точка области , –вектор любого направления. Перейдем из точки
в точку в направлении вектора . Функция получит при этом приращение

Разделим приращение функции
на длину отрезка смещения
. Полученное отношение
дает среднюю скорость изменения функции на участке
. Тогда предел этого отношения при
(если он существует и конечен) будет являться скоростью изменения функции в точке
в направлении вектора . Его называют производной функции в точке по направлению вектора и обозначают
или
.

Помимо величины скорости изменения функции, позволяет определить и характер изменения функции в точке в направлении вектора (возрастание или убывание):

Доказываются эти утверждения также, как и подобные для функции одной переменной.

Заметим, что частные производные функции являются частным случаем производной по направлению. А именно,
это производная функции по направлению вектора (направлению оси
), – производная функции по направлению вектора (направлению оси
).

Предположим, что функция дифференцируема в точке . Тогда

где – бесконечно малая при
.

Обозначая через , имеем , получим, в точке в точке

Приводится доказательство формулы производной сложной функции. Подробно рассмотрены случаи, когда сложная функция зависит от одной и двух переменных. Производится обобщение на случай произвольного числа переменных.

Содержание

См. также: Примеры применения формулы производной сложной функции

Основные формулы

Здесь мы приводим вывод следующих формул для производной сложной функции.
Если , то
.
Если , то
.
Если , то
.

Производная сложной функции от одной переменной

Пусть функцию от переменной x можно представить как сложную функцию в следующем виде:
,
где и есть некоторые функции. Функция дифференцируема при некотором значении переменной x . Функция дифференцируема при значении переменной .
Тогда сложная (составная) функция дифференцируема в точке x и ее производная определяется по формуле:
(1) .

Формулу (1) также можно записать так:
;
.

Доказательство

Введем следующие обозначения.
;
.
Здесь есть функция от переменных и , есть функция от переменных и . Но мы будем опускать аргументы этих функций, чтобы не загромождать выкладки.

Поскольку функции и дифференцируемы в точках x и , соответственно, то в этих точках существуют производные этих функций, которые являются следующими пределами:
;
.

Рассмотрим следующую функцию:
.
При фиксированном значении переменной u , является функцией от . Очевидно, что
.
Тогда
.

Поскольку функция является дифференцируемой функцией в точке , то она непрерывна в этой точке. Поэтому
.
Тогда
.

Теперь находим производную.

.

Формула доказана.

Следствие

Если функцию от переменной x можно представить как сложную функцию от сложной функции
,
то ее производная определяется по формуле
.
Здесь , и есть некоторые дифференцируемые функции.

Чтобы доказать эту формулу, мы последовательно вычисляем производную по правилу дифференцирования сложной функции.
Рассмотрим сложную функцию
.
Ее производная
.
Рассмотрим исходную функцию
.
Ее производная
.

Производная сложной функции от двух переменных

Теперь пусть сложная функция зависит от нескольких переменных. Вначале рассмотрим случай сложной функции от двух переменных .

Пусть функцию , зависящую от переменной x , можно представить как сложную функцию от двух переменных в следующем виде:
,
где
и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x ;
- функция от двух переменных, дифференцируемая в точке , . Тогда сложная функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в производную, которая определяется по формуле:
(2) .

Доказательство

Поскольку функции и дифференцируемы в точке , то они определены в некоторой окрестности этой точки, непрерывны в точке и существуют их производные в точке , которые являются следующими пределами:
;
.
Здесь
;
.
В силу непрерывности этих функций в точке имеем:
;
.

Поскольку функция дифференцируема в точке , то она определена в некоторой окрестности этой точки, непрерывна в этой точке и ее приращение можно записать в следующем виде:
(3) .
Здесь

- приращение функции при приращении ее аргументов на величины и ;
;

- частные производные функции по переменным и .
При фиксированных значениях и , и есть функции от переменных и . Они стремятся к нулю при и :
;
.
Поскольку и , то
;
.

Приращение функции :

. :
.
Подставим (3):



.

Формула доказана.

Производная сложной функции от нескольких переменных

Приведенный выше вывод легко обобщается на случай, когда число переменных сложной функции больше двух.

Например, если f является функцией от трех переменных , то
,
где
, и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x ;
- дифференцируемая функция, от трех переменных, в точке , , .
Тогда, из определения дифференцируемости функции , имеем:
(4)
.
Поскольку, в силу непрерывности,
; ; ,
то
;
;
.

Разделив (4) на и выполнив предельный переход , получим:
.

И, наконец, рассмотрим самый общий случай .
Пусть функцию от переменной x можно представить как сложную функцию от n переменных в следующем виде:
,
где
есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x ;
- дифференцируемая функция от n переменных в точке
, , ... , .
Тогда
.

См. также: