Возможных перемещений принцип. Общее уравнение динамики Приведение сил основано на принципе возможных перемещений

Рисунок 2.4

Решение

Заменим распределенную нагрузку сосредоточенной силой Q = q∙DH . Эта сила приложена в середине отрезка DH – в точке L .

Силу F разложим на составляющие, спроецировав ее на оси : горизонтальную F x cosα и вертикальную F y sinα .

Рисунок 2.5

Чтобы решить задачу с помощью принципа возможных перемещений, необходимо, чтобы конструкция могла перемещаться и при этом чтобы в уравнении работ была одна неизвестная реакция . В опоре A реакция раскладывается на составляющие X A , Y A .

Для определения X A изменим конструкцию опоры A так, чтобы точка A могла перемещаться только по горизонтали. Выразим перемещения точек конструкции через возможный поворот части CDB вокруг точки B на угол δφ 1 , часть AKC конструкции в этом случае поворачивается вокруг точки C V1 — мгновенного центра вращения (рисунок 2.5) на угол δφ 2 , и перемещения точек L и C – будут

δS L = BL∙δφ 1 ;
δS C = BC∙δφ 1 .

В то же время

δS C = CC V1 ∙δφ 2

δφ 2 = δφ 1 ∙BC/CC V1 .

Уравнение работ удобнее составить через работу моментов заданных сил , относительно центров вращений.

Q∙BL∙δφ 1 + F x ∙BH∙δφ 1 + F y ∙ED∙δφ 1 +
+ M∙δφ 2 — X A ∙AC V1 ∙δφ 2 = 0 .

Реакция Y A работу не совершает. Преобразуя это выражение, получим

Q∙(BH + DH/2)∙δφ 1 + F∙cosα∙BD∙δφ 1 +
+ F∙sinα∙DE∙δφ 1 + M∙δφ 1 ∙BC/CC V1 —
— X A ∙AC V1 ∙δφ 1 ∙BC/CC V1 = 0 .

Сократив на δφ 1 , получим уравнение, из которого легко находится X A .

Для определения Y A конструкцию опоры A изменим так, чтобы при перемещении точки A работу совершала только сила Y A (рисунок 2.6). Примем за возможное перемещение части конструкции BDC поворот вокруг неподвижной точки B — δφ 3 .

Рисунок 2.6

Для точки C δS C = BC∙δφ 3 , мгновенным центром вращения для части конструкции AKC будет точка C V2 , и перемещение точки C выразится.

Принцип возможных перемещений : для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю. или в проекциях: .

Принцип возможных перемещений дает в общей форме условия равновесия для любой механической системы, дает общий метод решения задач статики .

Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнение принципа возможных перемещений составляют для каждого из независимого перемещений в отдельности, т.е. будет столько уравнений, сколько система имеет степеней свободы.

Принцип возможных перемещений удобен тем, что при рассмотрении системы с идеальными связями их реакции не учитываются и необходимо оперировать только активными силами.

Принцип возможных перемещений формулируется следующим образом:

Для того, чтобы матер. система, подчиненная идеальным связям находилась в состоянии покоя, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ, производимых активными силами на возможных перемещениях точек системы была положительная

Общее уравнение динамики - при движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времен сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. Уравнение использует принцип возможных перемещений и принцип Даламбера и позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Дает общий метод решения задач динамики.

Последовательность составления:

а) к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силы и моменты пар сил инерции;

б) сообщают системе возможные перемещения;

в) составляют уравнения принципа возможных перемещений, считая систему находящейся в равновесии.

Следует отметить, что общее уравнение динамики можно применять и для систем с неидеальными связями, только в этом случае реакции неидеальных связей, таких, например, как сила трения или момент трения качения, необходимо отнести к категории активных сил.

Работа на возможном перемещении как активных, так и сил инерций , ищется также как и элементарная работа на действительном перемещении:

Возможная работа силы: .

Возможная работа момента (пары сил): .

Обобщенными координатами механической системы называются независимые между собой параметры q 1 , q 2 , …, q S любой размерности, однозначно определяющие положение системы в любой момент времени.

Число обобщенных координат равно S - числу степеней свободы механической системы. Положение каждой ν-й точки системы, то есть ее радиус вектор в общем случае всегда можно выразить в виде функции обобщенных координат:

Общее уравнение динамики в обобщенных координатах выглядит в виде системы S уравнений следующим образом:

……..………. ;

………..……. ;

здесь - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате :

а - обобщенная сила инерции, соответствующая обобщенной координате :

Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Например. шар на плоскости может перемещаться в любом направлении, но любое его возможное перемещение может быть получено как геометрическая сумма двух перемещений вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы.

Обобщенные силы. Каждой обобщенной координате можно вычислить соответствующую ей обобщенную силу Q k .

Вычисление производится по такому правилу.

Чтобы определить обобщенную силу Q k , соответствующую обобщенной координате q k , надо дать этой координате приращение (увеличить координату на эту величину), оставив все другие координаты неизменными, вычислить сумму работ всех сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях точек и поделить ее на приращение координаты :

где - перемещение i -той точки системы, полученное за счет изменения k -той обобщенной координаты.

Обобщенная сила определяется с помощью элементарных работ. Поэтому эту силу можно вычислить иначе:

И так как есть приращение радиуса-вектора за счет приращения координаты при остальных неизменных координатах и времени t , отношение можно определять как частную производную . Тогда

где координаты точек - функции обобщенных координат (5).

Если система консервативная, то есть движение происходит под действием сил потенциального поля, проекции которых , где , а координаты точек - функции обобщенных координат, то

Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус.

Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат

П = П(q 1 , q 2 , q 3 ,…,q s ).

Замечания.

Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.

Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты.

Уравнения Лагранжа 2-го рода выводятся из общего уравнения динамики в обобщенных координатах. Число уравнений соответствует числу степеней свободы:

Для составления уравнения Лагранжа 2-го рода выбираются обобщенные координаты и находятся обобщенные скорости . Находится кинетическая энергия системы, которая является функцией обобщенных скоростей, и, в некоторых случаях, обобщенных координат. Выполняются операции дифференцирования кинетической энергии, предусмотренные левыми частями уравнений Лагранжа.Полученные выражения приравниваются обобщенным силам, для нахождения которых помимо формул (26) часто при решении задач используют следующие:

В числителе правой части формулы - сумма элементарных работ все активных сил на возможном перемещении системы, соответствующем вариации i-й обобщенной координаты - . При этом возможном перемещении все остальные обобщенные координаты не изменяются. Полученные уравнения являются дифференциальными уравнениями движения механической системы с S степенями свободы.

Необходимо и достаточно, чтобы сумма работ , всех приложенных к системе активных сил на любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Количество уравнений, которые можно составить для механической системы, исходя из принципа возможных перемещений, равно количеству степеней свободы этой самой механической системы.

Литература

• Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. Учеб. для втузов.- 10-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1986.- 416 с, ил.
• Основной курс теоретической механики (часть первая) Н. Н. Бухгольц, изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, Москва, 1972, 468 стр.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Принцип возможных перемещений" в других словарях:

принцип возможных перемещений

Один из вариационных принципов механики, устанавливающий общее условие равновесия механич. системы. Согласно В. п. п., для равновесия механич. системы с идеальными связями (см. СВЯЗИ МЕХАНИЧЕСКИЕ) необходимо и достаточно, чтобы сумма работ dAi… … Физическая энциклопедия

Большой Энциклопедический словарь

ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИНЦИП, для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех действующих на систему сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Возможных перемещений принцип применяется при… … Энциклопедический словарь

Один из вариационных принципов механики (См. Вариационные принципы механики), устанавливающий общее условие равновесия механической системы. Согласно В. п. п., для равновесия механической системы с идеальными связями (см. Связи… … Большая советская энциклопедия

Виртуальных скоростей принцип, дифференциальный вариационный принцип классической механики, выражающий наиболее общие условия равновесия механических систем, стесненных идеальными связями. Согласно В. п. п. механич. система находится в равновесии … Математическая энциклопедия

Для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех действующих на систему сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Возможных перемещений принцип применяется при изучении условий равновесия… … Энциклопедический словарь

Для равновесия механич. системы необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех действующих на систему сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. В. п. п. применяется при изучении условий равновесия сложных механич. систем… … Естествознание. Энциклопедический словарь

принцип виртуальных смещений - virtualiųjų poslinkių principas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. principle of virtual displacement vok. Prinzip der virtuellen Verschiebungen, n rus. принцип виртуальных смещений, m; принцип возможных перемещений, m pranc. principe des … Fizikos terminų žodynas

Один из вариационных принципов механики, согласно к рому для данного класса сравниваемых друг с другом движений механич. системы действительным является то, для которого физ. величина, наз. действием, имеет наименьшее (точнее, стационарное)… … Физическая энциклопедия

Книги

• Теоретическая механика. В 4-х томах. Том 3: Динамика. Аналитичекая механика. Тексты лекций. Гриф МО РФ , Богомаз Ирина Владимировна. В учебном пособии изложены две части единого курса по теоретической механике: динамика и аналитическая механика. В первой части подробно рассматривается первая ивторая задачи динамики, также…

Устанавливающий общее условие равновесия механической системы . Согласно этому принципу, для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма виртуальных работ $A\_i$ только активных сил на любом возможном перемещении системы была равна нулю (если система приведена в это положение с нулевыми скоростями).

Количество линейно независимых уравнений равновесия, которые можно составить для механической системы, исходя из принципа возможных перемещений, равно количеству степеней свободы этой механической системы.

Возможными перемещениями несвободной механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями (при этом время, входящее явно в уравнения нестационарных связей, считается зафиксированным). Проекции возможных перемещений на декартовы координатные оси называются вариациями декартовых координат.

Виртуальными перемещениями называются бесконечно малые перемещения, допускаемые связями, при "замороженном времени". Т.е. они отличаются от возможных перемещений, только когда связи реономны (явно зависят от времени).

Если, например, на систему наложено $l$ голономных реономных связей:

$f\_\{\backslash alpha\}(\backslash vec\; r,\; t)\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline\{1,l\}$

То возможные перемещения $\backslash Delta\; \backslash vec\; r$ - это те, которые удовлетворяют

$\backslash sum\_\{i=1\}^\{N\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\_\{\backslash alpha\}\}\{\backslash partial\; \backslash vec\{r\}\}\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; \backslash vec\{r\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\_\{\backslash alpha\}\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash Delta\; t\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline\{1,l\}$

А виртуальные $\backslash delta\; \backslash vec\; r$:

$\backslash sum\_\{i=1\}^\{N\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\_\{\backslash alpha\}\}\{\backslash partial\; \backslash vec\{r\}\}\backslash delta\; \backslash vec\{r\}\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline\{1,l\}$

Виртуальные перемещения, вообще говоря, не имеют отношения к процессу движения системы - они вводятся лишь для того, чтобы выявить существующие в системе соотношения сил и получить условия равновесия. Малость же перемещений нужна для того, чтобы можно было считать реакции идеальных связей неизменными.

Напишите отзыв о статье "Принцип возможных перемещений"

Литература

• Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1. 10-е изд. - Спб.: Лань, 2009. - 480 с. - ISBN 978-5-8114-0926-6 .
• Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для вузов. 18-е изд. - М .: Высшая школа, 2010. - 416 с. - ISBN 978-5-06-006193-2 .
• Маркеев А. П. Теоретическая механика: учебник для университетов. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотичная динамика", 2001. - 592 с. - ISBN 5-93972-088-9 .

Отрывок, характеризующий Принцип возможных перемещений

– Nous у voila, [В этом то и дело.] отчего же ты прежде ничего не сказала мне?
– В мозаиковом портфеле, который он держит под подушкой. Теперь я знаю, – сказала княжна, не отвечая. – Да, ежели есть за мной грех, большой грех, то это ненависть к этой мерзавке, – почти прокричала княжна, совершенно изменившись. – И зачем она втирается сюда? Но я ей выскажу всё, всё. Придет время!

В то время как такие разговоры происходили в приемной и в княжниной комнатах, карета с Пьером (за которым было послано) и с Анной Михайловной (которая нашла нужным ехать с ним) въезжала во двор графа Безухого. Когда колеса кареты мягко зазвучали по соломе, настланной под окнами, Анна Михайловна, обратившись к своему спутнику с утешительными словами, убедилась в том, что он спит в углу кареты, и разбудила его. Очнувшись, Пьер за Анною Михайловной вышел из кареты и тут только подумал о том свидании с умирающим отцом, которое его ожидало. Он заметил, что они подъехали не к парадному, а к заднему подъезду. В то время как он сходил с подножки, два человека в мещанской одежде торопливо отбежали от подъезда в тень стены. Приостановившись, Пьер разглядел в тени дома с обеих сторон еще несколько таких же людей. Но ни Анна Михайловна, ни лакей, ни кучер, которые не могли не видеть этих людей, не обратили на них внимания. Стало быть, это так нужно, решил сам с собой Пьер и прошел за Анною Михайловной. Анна Михайловна поспешными шагами шла вверх по слабо освещенной узкой каменной лестнице, подзывая отстававшего за ней Пьера, который, хотя и не понимал, для чего ему надо было вообще итти к графу, и еще меньше, зачем ему надо было итти по задней лестнице, но, судя по уверенности и поспешности Анны Михайловны, решил про себя, что это было необходимо нужно. На половине лестницы чуть не сбили их с ног какие то люди с ведрами, которые, стуча сапогами, сбегали им навстречу. Люди эти прижались к стене, чтобы пропустить Пьера с Анной Михайловной, и не показали ни малейшего удивления при виде их.
– Здесь на половину княжен? – спросила Анна Михайловна одного из них…
– Здесь, – отвечал лакей смелым, громким голосом, как будто теперь всё уже было можно, – дверь налево, матушка.
– Может быть, граф не звал меня, – сказал Пьер в то время, как он вышел на площадку, – я пошел бы к себе.
Анна Михайловна остановилась, чтобы поровняться с Пьером.
– Ah, mon ami! – сказала она с тем же жестом, как утром с сыном, дотрогиваясь до его руки: – croyez, que je souffre autant, que vous, mais soyez homme. [Поверьте, я страдаю не меньше вас, но будьте мужчиной.]
– Право, я пойду? – спросил Пьер, ласково чрез очки глядя на Анну Михайловну.

Принцип возможных перемещений позволяет решать самые разнообразные задачи на равновесие механических систем - находить неизвестные активные силы, определять реакции связей, находить положения равновесия механической системы под действием приложенной системы сил. Проиллюстрируем это на конкретных примерах.

Пример 1. Найти величину силы Р, удерживающей тяжелые гладкие призмы с массами в состоянии равновесия. Угол скоса призм равен (рис. 73).

Решение. Воспользуемся принципом возможных перемещений. Сообщим системе возможное перемещение и вычислим возможную работу активных сил:

Возможная работа силы тяжести равна нулю, так как сила перпендикулярна вектору элементарного перемещения точки приложения силы. Подставляя сюда значение и приравнивая выражение нулю, получаем:

Так как , то равно нулю выражение в скобках:

Отсюда находим

Пример 2. Однородная балка АВ длиной и весом Р, нагруженная парой сил с заданным моментом М, закреплена как показано на рис. 74 и находится в покое. Определить реакцию стержня BD, если он составляет угол а с горизонтом.

Решение. Задача отличается от предыдущей тем, что здесь требуется найти реакцию идеальной связи. Но в уравнение работ выражающее принцип возможных перемещений, реакции идеальных связей не входят. В таких случаях принцип возможных перемещений следует применять совместно с принципом освобождаемости от связей.

Мысленно отбросим стержень BD, а его реакцию S будем считать неизвестной по величине активной силой. После этого сообщим системе возможное перемещение (при условии, что данная связь совершенно отсутствует). Это будет элементарный поворот балки АВ на угол вокруг оси шарнира А в ту или другую сторону (на рис. 74 - против часовой стрелки). Элементарные перемещения точек приложения активных сил и отнесенной к ним реакции S при этом равны:

Составляем уравнение работ

Приравнивая нулю выражение в скобках, отсюда находим

Пример 3. Однородный стержень ОА весом закреплен при помощи цилиндрического шарнира О и пружины АВ (рис. 75). Определить положения, в которых стержень может находиться в равновесии, если жесткость пружины равна к, натуральная длина пружины - и точка В находится на одной вертикали с точкой О.

Решение. К стержню ОА приложены две активные силы - собственный вес и упругая сила пружины где - угол, образуемый стержнем с вертикалью ОВ. Наложенные связи - идеальные (в данном случае имеется единственная связь - шарнир О).

Сообщим системе возможное перемещение - элементарный поворот стержня вокруг оси шарнира О на угол , вычислим возможную работу активных сил и приравняем ее нулю:

Подставляя сюда выражение для силы F и значения

после простых преобразований получаем следующее тригонометрическое уравнение для определения угла (р при равновесии стержня:

Уравнение определяет три значения для угла :

Следовательно, стержень имеет три положения равновесия. Так как два первых положения равновесия существуют, если выполняется условие . Равновесие при существует всегда.

В заключение заметим, что принцип возможных перемещений можно применять и к системам с неидеальными связями. Акцент на идеальность связей делается в формулировке принципа с одной единственной целью - показать, что уравнения равновесия механических систем можно составлять, не включая в них реакции идеальных связей, упрощая этим расчеты.

Для систем с неидеальными связями принцип возможных перемещений следует переформулировать так: для равновесия механической системы с удерживающими связями, среди которых имеются неидеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы возможная работа активных сил и реакций неидеальных связей была равна нулю. Можно, однако, обойтись без переформулировки принципа, условно относя реакции неидеальных связей в число активных сил.

Вопросы для самопроверки

1. В чем основная особенность несвободной механической системы по сравнению со свободной?

2. Что называется возможным перемещением? Приведите примеры.

3. Как определяются вариации координат точек системы при ее возможном перемещении (укажите три способа)?

4. Как классифицируются связи по виду их уравнений? Приведите примеры связей удерживающих и не удерживающих, стационарных и нестационарных.

5. В каком случае связь называется идеальной? Неидеальной?

6. Приведите словесную формулировку и математическую запись принципа возможных перемещений.

7. Как формулируется принцип возможных перемещений для систем, содержащих неидеальные связи?

8. Перечислите основные типы задач, решаемые при помощи принципа возможных перемещений.

Упражнения

При помощи принципа возможных перемещений решить следующие задачи из сборника И.В. Мещерского 1981 г. издания: 46.1; 46.8; 46.17; 2.49; 4.53.