الزاوية المستقيمة في الهندسة. مفهوم الزوايا وأنواعها ثلاث زوايا متطورة

يتم تعريف الطلاب على مفهوم الزاوية في المدرسة الابتدائية. ولكن كشكل هندسي له خصائص معينة ، بدأوا بدراسته من الصف السابع في الهندسة. يبدو، شكل بسيط جداماذا يمكن ان يقال عنها. لكن اكتساب معرفة جديدة ، يفهم تلاميذ المدارس أكثر فأكثر أنه يمكنك معرفة حقائق مثيرة للاهتمام عنها.

في تواصل مع

متى يتم دراستها

ينقسم مقرر الهندسة المدرسية إلى قسمين: قياس الكواكب والهندسة الصلبة. كل واحد منهم لديه الكثير من الاهتمام. تعطى للزوايا:

• في علم القياسات ، يتم تقديم مفهومهم الأساسي ، ويتم التعرف على أنواعهم في الحجم. تمت دراسة خصائص كل نوع من أنواع المثلثات بمزيد من التفصيل. تظهر تعريفات جديدة للطلاب - هذه هي الأشكال الهندسية التي تشكلت عند تقاطع سطرين مع بعضهما البعض وتقاطع عدة خطوط من القاطع.
• في القياس الفراغي ، تتم دراسة الزوايا المكانية - ثنائية السطوح وثلاثية السطوح.

انتباه!تتناول هذه المقالة جميع أنواع وخصائص الزوايا في قياس الكواكب.

التعريف والقياس

بدء الدراسة ، حدد أولاً ، ما هي الزاويةفي قياس الكواكب.

إذا أخذنا نقطة معينة على المستوى ورسمنا شعاعين تعسفيين منها ، نحصل على شكل هندسي - زاوية ، تتكون من العناصر التالية:

• الرأس - النقطة التي تم رسم الأشعة منها ، يشار إليها بحرف كبير من الأبجدية اللاتينية ؛
• الجوانب نصف خط مرسوم من الأعلى.

جميع العناصر التي تشكل الشكل الذي ندرسه تقسم المستوى إلى جزئين:

• داخلي - في قياس الكواكب لا يتجاوز 180 درجة ؛
• خارجي.

مبدأ قياس الزوايا في قياس الكواكبوأوضح بشكل حدسي. بادئ ذي بدء ، يتم تعريف الطلاب بمفهوم الزاوية المتطورة.

مهم!يُقال إن الزاوية تتطور إذا كانت نصف الخطوط المنبثقة من رأسها تشكل خطًا مستقيمًا. الزاوية غير المطوية هي جميع الحالات الأخرى.

إذا تم تقسيمها إلى 180 جزءًا متساويًا ، فمن المعتاد النظر في قياس جزء واحد يساوي 10. في هذه الحالة ، يقولون إن القياس يتم بالدرجات ، وقياس درجة هذا الشكل هو 180 درجة.

أنواع رئيسية

يتم تقسيم أنواع الزوايا وفقًا لمعايير مثل قياس الدرجة وطبيعة تكوينها والفئات أدناه.

حسب الحجم

بالنظر إلى الحجم ، يتم تقسيم الزوايا إلى:

• نشر؛
• مستقيم؛
• صريح؛
• حار.

ما يسمى الزاوية تم عرضه أعلاه. دعنا نحدد مفهوم الخط المستقيم.

يمكن الحصول عليها بتقسيم المنشور إلى قسمين متساويين. في هذه الحالة ، من السهل الإجابة على السؤال: الزاوية القائمة ، كم درجة؟

قسّم 180 درجة على 2 لتحصل على الزاوية اليمنى 90 درجة. هذا رقم رائع ، حيث ترتبط به العديد من الحقائق في الهندسة.

كما أن لها خصائصها الخاصة في التعيين. لإظهار الزاوية اليمنى في الشكل ، لا يُشار إليها بقوس ، بل بمربع.

تسمى الزوايا التي يتم الحصول عليها بتقسيم شعاع تعسفي لخط مستقيم بالزوايا الحادة.وفقًا لمنطق الأشياء ، يترتب على ذلك أن الزاوية الحادة أقل من الزاوية القائمة ، لكن قياسها يختلف عن 0 درجة. أي أن لها قيمة من 0 إلى 90 درجة.

الزاوية المنفرجة أكبر من الزاوية القائمة ولكنها أقل من الزاوية المستقيمة. يتراوح قياس درجته من 90 إلى 180 درجة.

يمكن تقسيم هذا العنصر إلى أنواع مختلفة من الأشكال قيد الدراسة ، باستثناء الشكل الموسع.

بغض النظر عن كيفية كسر الزاوية غير المستديرة ، فإن البديهية الأساسية للقياس تُستخدم دائمًا - "الخاصية الرئيسية للقياس".

في قسمة الزاوية بشعاع واحدأو أكثر ، فإن درجة قياس الشكل المعين تساوي مجموع قياسات الزوايا التي تم تقسيمها إليها.

في مستوى الصف السابع ، تنتهي أنواع الزوايا في حجمها عند هذا الحد. ولكن لزيادة سعة الاطلاع ، يمكن إضافة أن هناك أنواعًا أخرى لها مقياس درجة يزيد عن 180 درجة ، وتسمى محدبة.

أرقام عند تقاطع الخطوط

الأنواع التالية من الزوايا التي يتعرف عليها الطلاب هي العناصر التي تتكون عند تقاطع خطين. تسمى الأشكال الموضوعة مقابل بعضها البعض الرأسية. السمة المميزة لهم هي أنهم متساوون.

تسمى العناصر المجاورة للخط نفسه بالمجاورة. نظرية تعيين ممتلكاتهم تقول ذلك مجموع الزوايا المجاورة يصل إلى 180 درجة.

العناصر في المثلث

إذا اعتبرنا الشكل عنصرًا في مثلث ، فسيتم تقسيم الزوايا إلى داخلية وخارجية. يحد المثلث ثلاثة أجزاء ويتكون من ثلاثة رؤوس. الزوايا الموجودة داخل المثلث عند كل رأس ، دعا الداخلية.

إذا أخذنا أي عنصر داخلي في أي رأس وقمنا بتوسيع أي جانب ، فإن الزاوية التي تم تشكيلها والمجاورة للداخل تسمى الخارجية. هذا الزوج من العناصر له الخاصية التالية: مجموعهما 180 درجة.

تقاطع خطين مستقيمين

تقاطع الخط

عندما يتقاطع خطان مستقيمان ، تتشكل الزوايا أيضًا، والتي يتم توزيعها عادة في أزواج. كل زوج من العناصر له اسمه الخاص. تبدو هكذا:

• الكذب المتصالب الداخلي: ∟4 و ∟6 و 3 و ∟5 ؛
• من جانب واحد داخلي: ∟4 و ∟5 و 3 و 6 ؛
• المقابلة: 1 و ∟5 و 2 و 6 و 4 و 8 و 3 و 7.

في حالة تقاطع القاطع مع خطين ، فإن كل أزواج الزوايا هذه لها خصائص معينة:

1. الكذب العرضي الداخلي والأرقام المقابلة متساوية مع بعضها البعض.
2. تضيف العناصر الداخلية أحادية الجانب ما يصل إلى 180 درجة.

ندرس الزوايا في الهندسة وخصائصها

أنواع الزوايا في الرياضيات

خاتمة

تقدم هذه المقالة جميع الأنواع الرئيسية للزوايا الموجودة في قياس الكواكب والتي تمت دراستها في الصف السابع. في جميع الدورات اللاحقة ، تعتبر الخصائص المتعلقة بجميع العناصر التي تم النظر فيها أساسًا لمزيد من الدراسة للهندسة. على سبيل المثال ، الدراسة ، سيكون من الضروري تذكر جميع خصائص الزوايا المتكونة عند تقاطع خطين متوازيين للقاطع. عند دراسة سمات المثلثات ، من الضروري أن نتذكر ما هي الزوايا المجاورة. بعد التحول إلى القياس الفراغي ، ستتم دراسة وبناء جميع الأشكال ثلاثية الأبعاد بناءً على أشكال قياس الكواكب.

ستنظر هذه المقالة في أحد الأشكال الهندسية الرئيسية - الزاوية. بعد مقدمة عامة لهذا المفهوم ، سنركز على نوع معين من هذا الرقم. تعتبر الزاوية المستقيمة مفهومًا مهمًا في الهندسة وستكون محور هذه المقالة.

مقدمة لمفهوم الزاوية الهندسية

في الهندسة ، هناك عدد من الأشياء التي تشكل أساس كل العلوم. تشير الزاوية إليهم فقط ويتم تحديدها باستخدام مفهوم الشعاع ، فلنبدأ بها.

أيضًا ، قبل الانتقال إلى تعريف الزاوية نفسها ، عليك أن تتذكر عدة كائنات لا تقل أهمية في الهندسة - هذه نقطة وخط مستقيم على مستوى والمستوى نفسه. الخط المستقيم هو أبسط شكل هندسي ليس له بداية ولا نهاية. المستوى هو سطح له بعدين. حسنًا ، الشعاع (أو نصف الخط) في الهندسة هو جزء من خط مستقيم له بداية ، ولكن ليس له نهاية.

باستخدام هذه المفاهيم ، يمكننا أن نجعل الزاوية عبارة عن شكل هندسي يقع بالكامل في مستوى معين ويتكون من شعاعين غير متطابقين مع أصل مشترك. تسمى هذه الأشعة بجوانب الزاوية ، والبداية المشتركة للأضلاع هي قمتها.

أنواع الزوايا والهندسة

نحن نعلم أن الزوايا يمكن أن تكون مختلفة تمامًا. وبالتالي ، سيتم تقديم تصنيف صغير أدناه ، مما سيساعد على فهم أنواع الزوايا وخصائصها الرئيسية بشكل أفضل. إذن ، هناك عدة أنواع من الزوايا في الهندسة:

1. زاوية مستقيمة. تتميز بقيمة 90 درجة ، مما يعني أن جوانبها دائمًا متعامدة مع بعضها البعض.
2. زاوية حادة. تشمل هذه الزوايا جميع ممثليهم ، بحجم أقل من 90 درجة.
3. زاوية منفرجة. يمكن أن توجد هنا أيضًا جميع الزوايا التي تتراوح قيمتها من 90 إلى 180 درجة.
4. الزاوية الموسعة. يبلغ حجمها 180 درجة تمامًا وتشكل جوانبها من الخارج خطًا مستقيمًا واحدًا.

مفهوم الزاوية المستقيمة

الآن دعونا نلقي نظرة على الزاوية المطورة بمزيد من التفصيل. هذا هو الحال عندما يقع كلا الجانبين على نفس الخط المستقيم ، والذي يمكن رؤيته بوضوح في الشكل أدناه. هذا يعني أنه يمكننا القول بثقة أن أحد جوانبها هو في الواقع استمرار للآخر.

يجدر بنا أن نتذكر حقيقة أنه يمكن دائمًا تقسيم هذه الزاوية باستخدام شعاع يخرج من رأسها. نتيجة لذلك ، نحصل على زاويتين ، تسمى في الهندسة زاويتان مجاورتان.

أيضا ، الزاوية المتقدمة لها العديد من الميزات. للحديث عن أولهما ، عليك أن تتذكر مفهوم "منصف الزاوية". تذكر أن هذا شعاع يقسم أي زاوية إلى نصفين تمامًا. أما بالنسبة للزاوية المستقيمة ، فإن منصفها يقسمها بحيث تتشكل زاويتان قائمتان قياسهما 90 درجة. من السهل جدًا حساب ذلك رياضيًا: 180 درجة (درجة الزاوية المستقيمة): 2 = 90 درجة.

إذا قسمنا الزاوية المطورة بواسطة شعاع عشوائي تمامًا ، فنتيجة لذلك نحصل دائمًا على زاويتين ، إحداهما حادة والأخرى منفرجة.

خصائص الزاوية المسطحة

سيكون من المناسب النظر في هذه الزاوية ، والجمع بين جميع خصائصها الرئيسية ، والتي قمنا بها في هذه القائمة:

1. أضلاع الزاوية المستقيمة عكسيتان وتشكلان خطًا مستقيمًا.
2. دائمًا ما تكون قيمة الزاوية المتطورة 180 درجة.
3. تشكل الزاويتان المتجاورتان معًا دائمًا زاوية مستقيمة.
4. الزاوية الكاملة ، التي تبلغ 360 درجة ، تتكون من زاويتين منتشرتين وتساوي مجموعهما.
5. نصف الزاوية المستقيمة هي الزاوية القائمة.

لذا ، بمعرفة كل هذه الخصائص لهذا النوع من الزوايا ، يمكننا استخدامها لحل عدد من المسائل الهندسية.

مشاكل الزوايا المستقيمة

لفهم ما إذا كنت قد أتقنت مفهوم الزاوية المستقيمة ، حاول الإجابة عن بعض الأسئلة التالية.

1. ما هي الزاوية المستقيمة إذا كانت أضلاعها تشكل خطًا رأسيًا؟
2. هل ستكون زاويتان متجاورتان إذا كان حجم الأولى 72˚ والأخرى 118˚؟
3. إذا كانت الزاوية الكاملة تتكون من زاويتين مستقيمتين ، فكم عدد الزوايا القائمة لها؟
4. يتم تقسيم الزاوية المستقيمة بواسطة شعاع إلى زاويتين بحيث ترتبط مقاييس درجتهما بـ 1: 4. احسب الزوايا الناتجة.

الحلول والأجوبة:

1. بغض النظر عن كيفية تحديد الزاوية المستقيمة ، فهي دائمًا بحكم التعريف تساوي 180 درجة.
2. الزوايا المجاورة لها جانب واحد مشترك. لذلك ، لحساب حجم الزاوية التي جمعوها معًا ، ما عليك سوى إضافة قيمة مقاييس الدرجة الخاصة بهم. إذن ، 72 +118 = 190. لكن حسب التعريف ، الزاوية المستقيمة هي 180˚ ، مما يعني أن زاويتين معطيتين لا يمكن أن تكونا متجاورتين.
3. تحتوي الزاوية المستقيمة على زاويتين قائمتين. ونظرًا لوجود خطين منتشرين في الخط الكامل ، فهذا يعني أنه سيكون هناك 4 خطوط مستقيمة فيه.
4. إذا أطلقنا على الزاويتين المرغبتين a و b ، فدعنا يكون x هو معامل التناسب بالنسبة لهما ، مما يعني أن a \ u003d x ، وبالتالي ب \ u003d 4x. قياس الزاوية المستقيمة بالدرجات يساوي 180 درجة. ووفقًا لخصائصها ، فإن قياس درجة الزاوية يساوي دائمًا مجموع مقاييس درجة تلك الزوايا التي يتم تقسيمها عليها بواسطة أي شعاع عشوائي يمر بين جانبيها ، يمكننا أن نستنتج أن x + 4x = 180 ˚ ، ما يعني 5x = 180˚. من هنا نجد: x = a = 36˚ و b = 4x = 144˚. الجواب: 36 درجة و 144 درجة.

إذا تمكنت من الإجابة على كل هذه الأسئلة دون مطالبات ودون إلقاء نظرة خاطفة على الإجابات ، فأنت على استعداد للانتقال إلى درس الهندسة التالي.

لنبدأ بتحديد الزاوية. أولاً ، هو ثانيًا ، يتكون من شعاعين يطلق عليهما جوانب الزاوية. ثالثًا ، يأتي الأخير من نقطة واحدة ، تسمى قمة الزاوية. بناءً على هذه العلامات ، يمكننا تحديد تعريف: الزاوية هي شكل هندسي يتكون من شعاعين (جانبين) ينبثقان من نقطة واحدة (قمة).

يتم تصنيفها حسب الدرجات والموقع بالنسبة لبعضها البعض ونسبتها إلى الدائرة. لنبدأ بأنواع الزوايا حسب حجمها.

هناك عدة أنواع منها. دعونا نلقي نظرة فاحصة على كل نوع.

لا يوجد سوى أربعة أنواع رئيسية من الزوايا - الزاوية اليمنى ، والمنفرجة ، والزاوية الحادة والمتطورة.

مستقيم

تبدو هكذا:

قياس درجته دائمًا 90 درجة ، بمعنى آخر ، الزاوية القائمة هي زاوية 90 درجة. فقط مربعات الزوايا مثل المربع والمستطيل بها.

صريح

تبدو هكذا:

دائمًا ما يكون قياس الدرجة أكبر من 90 درجة ، ولكنه أقل من 180 درجة. يمكن أن يحدث في رباعي الزوايا مثل المعين ، متوازي الأضلاع التعسفي ، في المضلعات.

حار

تبدو هكذا:

دائمًا ما يكون قياس درجة الزاوية الحادة أقل من 90 درجة. يحدث في جميع الأشكال الرباعية ، باستثناء المربع ومتوازي الأضلاع التعسفي.

نشر

تبدو الزاوية الموسعة كما يلي:

لا يحدث في المضلعات ، لكنه لا يقل أهمية عن كل المضلعات الأخرى. الزاوية المستقيمة هي شكل هندسي ، ودرجته تساوي دائمًا 180 درجة. يمكنك البناء عليه عن طريق سحب شعاع واحد أو أكثر من قمته في أي اتجاه.

هناك عدة أنواع ثانوية أخرى من الزوايا. لم يتم دراستهم في المدارس ، لكن من الضروري معرفة وجودهم على الأقل. لا يوجد سوى خمسة أنواع ثانوية من الزوايا:

1. صفر

تبدو هكذا:

يتحدث اسم الزاوية بالفعل عن حجمها. مساحتها الداخلية 0 o ، والجوانب فوق بعضها البعض كما هو موضح في الشكل.

2. منحرف

يمكن أن يكون المائل مستقيمًا ومنفرجًا وحادًا وزاوية متطورة. الشرط الرئيسي هو أنه لا ينبغي أن تكون مساوية لـ 0 o ، 90 o ، 180 o ، 270 o.

3. محدب

الزوايا المحدبة هي زوايا صفرية ، صحيحة ، منفرجة ، حادة ومتطورة. كما فهمت بالفعل ، فإن قياس درجة الزاوية المحدبة يتراوح من 0 إلى 180 درجة.

4. غير محدب

غير المحدبة هي زوايا بمقياس درجة من 181 درجة إلى 359 درجة شاملة.

5. كامل

الزاوية التي يبلغ قياسها 360 درجة هي زاوية كاملة.

هذه كلها أنواع من الزوايا حسب حجمها. فكر الآن في أنواعها حسب الموقع على المستوى بالنسبة لبعضها البعض.

1. إضافية

هاتان زاويتان حادتان تشكلان خطًا مستقيمًا واحدًا ، أي مجموعها 90 س.

2. ذات صلة

تتشكل الزوايا المجاورة إذا تم رسم شعاع في أي اتجاه من خلال منتشر ، بشكل أكثر دقة ، من خلال قمته. مجموعهم 180 س.

3. عمودي

تتشكل الزوايا العمودية عندما يتقاطع خطان. مقاييس درجتهم متساوية.

الآن دعنا ننتقل إلى أنواع الزوايا الموجودة بالنسبة للدائرة. لا يوجد سوى اثنان منهم: مركزي ومنقوش.

1. المركزية

الزاوية المركزية هي الزاوية التي يكون رأسها في مركز الدائرة. قياس درجته يساوي قياس درجة القوس الأصغر الذي يقابله الجانبان.

2. المدرج

الزاوية المحيطية هي الزاوية التي يقع رأسها على الدائرة وتتقاطع ضلعاها. قياس درجته يساوي نصف القوس الذي يرتكز عليه.

كل شيء عن الزوايا. الآن أنت تعلم أنه بالإضافة إلى الأنواع الأكثر شهرة - حاد ، منفرج ، مستقيم ومنتشر - في الهندسة ، هناك العديد من الأنواع الأخرى.

الزاوية هي شكل هندسي يتكون من شعاعين مختلفين ينبثقان من نقطة واحدة. في هذه الحالة ، تسمى هذه الأشعة جوانب الزاوية. النقطة التي هي بداية الأشعة تسمى رأس الزاوية. في الصورة يمكنك أن ترى الزاوية مع الرأس عند النقطة عنوالأطراف كو م.

تم وضع علامة على النقطتين A و C على جانبي الزاوية ، ويمكن تعيين هذه الزاوية على أنها الزاوية AOC. في المنتصف يجب أن يكون اسم النقطة التي يقع عندها رأس الزاوية. هناك أيضًا تسميات أخرى ، الزاوية O أو الزاوية km. في الهندسة ، بدلاً من زاوية الكلمة ، غالبًا ما تتم كتابة رمز خاص.

زاوية دائرية وغير دوارة

إذا كان كلا جانبي الزاوية يقعان على نفس الخط المستقيم ، فإن هذه الزاوية تسمى نشرزاوية. أي أن أحد جوانب الزاوية هو استمرار للجانب الآخر من الزاوية. يوضح الشكل أدناه الزاوية O.

وتجدر الإشارة إلى أن أي زاوية تقسم المستوى إلى قسمين. إذا لم يتم توسيع الزاوية ، فإن أحد الأجزاء يسمى المنطقة الداخلية للزاوية ، والآخر هو المنطقة الخارجية لهذه الزاوية. يوضح الشكل أدناه زاوية غير مسطحة وتميز المناطق الخارجية والداخلية لهذه الزاوية.

في حالة الزاوية المتطورة ، يمكن اعتبار أي من الجزأين اللذين تقسم إليهما المستوى المنطقة الخارجية للزاوية. يمكننا التحدث عن موضع نقطة بالنسبة للزاوية. قد تقع النقطة خارج الزاوية (في المنطقة الخارجية) ، أو قد تكون على أحد جوانبها ، أو قد تقع داخل الزاوية (في المنطقة الداخلية).

في الشكل أدناه ، تقع النقطة A خارج الزاوية O ، وتقع النقطة B على جانب واحد من الزاوية ، والنقطة C تقع داخل الزاوية.

قياس الزاوية

لقياس الزوايا ، هناك جهاز يسمى منقلة. وحدة الزاوية هي درجة. وتجدر الإشارة إلى أن لكل زاوية مقياس درجة معينة أكبر من الصفر.

اعتمادًا على مقياس الدرجة ، يتم تقسيم الزوايا إلى عدة مجموعات.