ضع في اعتبارك المضلع في الأشكال التي يقسمها. مضلع منتظم

ما هو المضلع؟ أنواع المضلعات. POLYGON ، شكل هندسي مسطح يتقاطع مع ثلاثة جوانب أو أكثر عند ثلاث نقاط أو أكثر (رؤوس). تعريف. المضلع عبارة عن شكل هندسي يحده من جميع الجوانب خط مكسور مغلق ، يتكون من ثلاثة مقاطع (روابط) أو أكثر. المثلث هو بالتأكيد مضلع. المضلع عبارة عن شكل يحتوي على خمس زوايا أو أكثر.

تعريف. الشكل الرباعي هو شكل هندسي مسطح يتكون من أربع نقاط (رؤوس رباعي الزوايا) وأربعة أجزاء تربطهم في سلسلة (جوانب المربع).

المستطيل شكل رباعي بزوايا قائمة. يتم تسميتها وفقًا لعدد الأضلاع أو الرؤوس: مثلث (ثلاثي الجوانب) ؛ رباعي (رباعي الجوانب) ؛ البنتاغون (خماسي الأضلاع) ، إلخ. في الهندسة الأولية ، م هو شكل محدد بخطوط مستقيمة تسمى الأضلاع. تسمى النقاط التي تتقاطع فيها الأضلاع بالرؤوس. يحتوي المضلع على أكثر من ثلاث زوايا. حتى مقبولة أو متفق عليها.

المثلث هو مثلث. والشكل الرباعي أيضًا ليس مضلعًا ، ولا يُسمى رباعي الأضلاع أيضًا - فهو إما مربع ، أو معين ، أو شبه منحرف. حقيقة أن المضلع بثلاثة جوانب وثلاثة أركان له اسمه الخاص "مثلث" لا يحرمه من مكانته كمضلع.

شاهد ما هو "POLYGON" في القواميس الأخرى:

نتعلم أن هذا الرقم يحده خط مكسور مغلق ، والذي بدوره يمكن أن يكون بسيطًا ومغلقًا. لنتحدث عن حقيقة أن المضلعات مسطحة ومنتظمة ومحدبة. من منا لم يسمع بمثلث برمودا الغامض ، حيث تختفي السفن والطائرات دون أن يترك أثرا؟ لكن المثلث المألوف لنا منذ الطفولة محفوف بالكثير من الأشياء المثيرة والغامضة.

على الرغم من أنه ، بالطبع ، يمكن أيضًا اعتبار الشكل المكون من ثلاث زوايا مضلعًا

لكن هذا لا يكفي لوصف الشكل. الخط المكسور A1A2 ... الرقم الذي يتكون من النقاط A1 ، A2 ،… An والمقاطع A1A2 ، A2A3 ، ... تربط بينهما. يسمى الخط المتقطع البسيط المغلق المضلع إذا كانت الروابط المجاورة له لا تقع على نفس الخط المستقيم (الشكل 5). استبدل كلمة "مضلع" بدلاً من "العديد" برقم محدد ، على سبيل المثال 3. ستحصل على مثلث. لاحظ أن هناك عددًا من الزوايا يساوي عدد الأضلاع ، لذا يمكن تسمية هذه الأشكال بالأشكال متعددة الأطراف.

لنفترض أن А1А2… - n يكون مضلعًا محدبًا و n> 3. ارسم فيه (من رأس واحد) أقطار

مجموع زوايا كل مثلث هو 1800 ، وعدد هذه المثلثات هو n - 2. لذلك ، مجموع زوايا محدب n - زاوية A1A2 ... A n هو 1800 * (n - 2). لقد تم إثبات النظرية. الزاوية الخارجية لمضلع محدب عند رأس معين هي الزاوية المجاورة للزاوية الداخلية للمضلع عند هذا الرأس.

في الشكل الرباعي ، ارسم خطًا بحيث يقسمه إلى ثلاثة مثلثات

لا يحتوي الشكل الرباعي على ثلاثة رؤوس على نفس الخط مطلقًا. تشير كلمة "المضلع" إلى أن جميع أشكال هذه العائلة لها "زوايا متعددة". يسمى الخط المتقطع بسيطًا إذا لم يكن به تقاطعات ذاتية (الشكل 2،3).

طول الخط المكسور هو مجموع أطوال روابطه (الشكل 4). في الحالة n = 3 تكون النظرية صحيحة. لذلك يمكن تسمية المربع بشكل مختلف - شكل رباعي منتظم. لطالما كانت هذه الأشكال محل اهتمام السادة الذين قاموا بتزيين المباني.

عدد الرؤوس يساوي عدد الأضلاع. يسمى الخط المكسور مغلقًا إذا تزامنت نهاياته. تم الحصول عليها منهم أنماط جميلةعلى سبيل المثال على الباركيه. نجمنا الخماسي هو نجم خماسي منتظم.

ولكن لا يمكن استخدام كل المضلعات العادية لتشكيل الباركيه. دعنا نلقي نظرة فاحصة على نوعين من المضلعات: مثلث ورباعي. يسمى المضلع الذي تتساوى فيه جميع الزوايا الداخلية بالمضلع المنتظم. تتم تسمية المضلعات وفقًا لعدد أضلاعها أو رؤوسها.

في هذا الدرس ، سنبدأ موضوعًا جديدًا ونقدم لنا مفهومًا جديدًا - "المضلع". سننظر في المفاهيم الأساسية المرتبطة بالمضلعات: الجوانب والرؤوس والزوايا والتحدب وعدم التحدب. ثم سنثبت مفتاح الحقائقمثل نظرية مجموع الزاوية الداخلية للمضلع ، نظرية مجموع الزاوية الخارجية للمضلع. نتيجة لذلك ، نقترب من دراسة حالات خاصة للمضلعات ، والتي سيتم أخذها في الاعتبار في الدروس المستقبلية.

الموضوع: المربعات

الدرس: المضلعات

في سياق الهندسة ، ندرس خصائص الأشكال الهندسية وقد درسنا بالفعل أبسطها: المثلثات والدوائر. في الوقت نفسه ، ناقشنا أيضًا حالات خاصة محددة لهذه الأشكال ، مثل المثلثات ذات الزاوية اليمنى والمتساوية الساقين والمثلثات المنتظمة. حان الوقت الآن للتحدث عن أشكال أكثر عمومية ومعقدة - المضلعات.

مع حالة خاصة المضلعاتنحن مألوفون بالفعل - هذا مثلث (انظر الشكل 1).

أرز. 1. مثلث

يؤكد الاسم نفسه بالفعل على أن هذا الشكل له ثلاث زوايا. لذلك ، في مضلعيمكن أن يكون هناك الكثير منهم ، أي أكثر من ثلاثة. على سبيل المثال ، لنرسم خماسيًا (انظر الشكل 2) ، أي الرقم مع خمس زوايا.

أرز. 2. البنتاغون. مضلع محدب

تعريف.مضلع- شكل يتكون من عدة نقاط (أكثر من نقطتين) وعدد المقاطع المقابلة التي تربطها في سلسلة. تسمى هذه النقاط القمممضلع وشرائح - حفلات. في هذه الحالة ، لا يوجد جانبان متجاوران يقعان على نفس الخط المستقيم ولا يتقاطع جانبان غير متجاورين.

تعريف.مضلع منتظمهو مضلع محدب تتساوى فيه جميع الجوانب والزوايا.

أي مضلعيقسم الطائرة إلى منطقتين: داخلي وخارجي. يشار إلى الداخل أيضًا باسم مضلع.

بعبارة أخرى ، على سبيل المثال ، عندما يتحدثون عن البنتاغون ، فإنهم يقصدون منطقته الداخلية بأكملها وحدوده. والمنطقة الداخلية تشمل أيضًا جميع النقاط التي تقع داخل المضلع ، أي تنتمي النقطة أيضًا إلى البنتاغون (انظر الشكل 2).

تسمى المضلعات أحيانًا n-gons للتأكيد على أنه يتم النظر في الحالة العامة لوجود عدد غير معروف من الزوايا (قطع n).

تعريف. محيط المضلعهو مجموع أطوال أضلاع المضلع.

نحتاج الآن إلى التعرف على أنواع المضلعات. هم مقسمون إلى محدبو غير محدب. على سبيل المثال ، المضلع الموضح في الشكل. 2 محدب ، وفي الشكل. 3 غير محدب.

أرز. 3. غير مضلع محدب

التعريف 1. مضلعمسمي محدب، إذا كان عند رسم خط مستقيم من خلال أي من جوانبه ، فإن الكل مضلعتقع فقط على جانب واحد من هذا الخط. غير محدبهي كل البقية المضلعات.

من السهل أن نتخيل ذلك عند تمديد أي جانب من البنتاغون في الشكل. 2 سيكون كله على جانب واحد من هذا الخط المستقيم ، أي هو محدب. لكن عند رسم خط مستقيم من خلال الشكل الرباعي في الشكل. 3 نرى بالفعل أنه يقسمها إلى قسمين ، أي هو غير محدب.

لكن هناك تعريف آخر لتحدب المضلع.

التعريف 2. مضلعمسمي محدبإذا ، عند اختيار أي نقطتين داخليتين وربطهما بقطعة ، فإن جميع نقاط المقطع تكون أيضًا نقاطًا داخلية للمضلع.

يمكن رؤية عرض توضيحي لاستخدام هذا التعريف في مثال إنشاء المقاطع في الشكل. 2 و 3.

تعريف. قطريالمضلع هو أي قطعة تربط رأسين غير متجاورين.

لوصف خصائص المضلعات ، هناك نوعان من أهم النظريات حول زواياها: نظرية مجموع الزاوية الداخلية المضلع المحدبو نظرية مجموع الزاوية الخارجية المضلع المحدب. دعونا نفكر فيها.

نظرية. على مجموع الزوايا الداخلية لمضلع محدب (ن-Gon).

أين عدد زواياه (جوانبها).

إثبات 1. دعنا نصور في الشكل. 4 محدب n-gon.

أرز. 4. محدب n-gon

ارسم كل الأقطار الممكنة من الرأس. يقسمون n-gon إلى مثلثات ، لأن يشكل كل جانب من جوانب المضلع مثلثًا ، باستثناء الأضلاع المجاورة للرأس. من السهل أن نرى من الشكل أن مجموع زوايا كل هذه المثلثات سيكون مساويًا لمجموع الزوايا الداخلية لـ n-gon. نظرًا لأن مجموع زوايا أي مثلث هو ، فإن مجموع الزوايا الداخلية لـ n-gon هو:

Q.E.D.

الإثبات 2. دليل آخر لهذه النظرية ممكن أيضًا. دعنا نرسم n-gon مماثل في الشكل. 5 وقم بتوصيل أي من نقاطه الداخلية بجميع القمم.

أرز. خمسة.

لقد حصلنا على قسم من n-gon إلى مثلثات n (كم عدد الأضلاع ، عدد المثلثات). مجموع كل زواياهما يساوي مجموع الزوايا الداخلية للمضلع ومجموع الزوايا عند النقطة الداخلية ، وهذه هي الزاوية. نحن لدينا:

Q.E.D.

مثبت.

وفقًا للنظرية المثبتة ، يمكن ملاحظة أن مجموع زوايا n-gon يعتمد على عدد أضلاعه (على n). على سبيل المثال ، في المثلث ، ومجموع الزوايا هو. في الشكل الرباعي ، ومجموع الزوايا - إلخ.

نظرية. على مجموع الزوايا الخارجية لمضلع محدب (ن-Gon).

أين عدد أركانها (جوانبها) ، و ... الزوايا الخارجية.

دليل - إثبات. لنرسم محدب n-gon في الشكل. 6 و تدل على زاياه الداخلية و الخارجية.

أرز. 6. محدب n-gon مع زوايا خارجية ملحوظة

لان الزاوية الخارجية متصلة بالزاوية الداخلية باعتبارها مجاورة ، إذن وبالمثل للأركان الخارجية الأخرى. ثم:

أثناء التحولات ، استخدمنا النظرية المثبتة بالفعل على مجموع الزوايا الداخلية لـ n-gon.

مثبت.

يتبع من النظرية المثبتة حقيقة مثيرة للاهتمامأن مجموع الزوايا الخارجية ل n-gon المحدب هو على عدد زواياه (جوانب). بالمناسبة ، على عكس مجموع الزوايا الداخلية.

فهرس

1. ألكساندروف أ. الخ الهندسة ، الصف 8. - م: التعليم ، 2006.
2. بوتوزوف ف ، كادومتسيف س ب ، براسولوف ف. الهندسة الصف الثامن. - م: التعليم ، 2011.
3. Merzlyak A.G. ، Polonsky V.B. ، Yakir S.M. الهندسة الصف الثامن. - م: فنتانا جراف ، 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

واجب منزلي

§ 1 مفهوم المثلث

ستتعرف في هذا الدرس على أشكال مثل المثلث والمضلع.

إذا تم توصيل ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم بواسطة مقاطع ، فسيتم الحصول على مثلث. المثلث له ثلاثة رؤوس وثلاثة أضلاع.

قبل أن تكون مثلثًا ABC ، ​​له ثلاثة رؤوس (النقطة A والنقطة B والنقطة C) وثلاثة أضلاع (AB و AC و CB).

بالمناسبة ، يمكن تسمية هذه الجوانب نفسها بشكل مختلف:

AB = BA ، AC = CA ، CB = BC.

تشكل جوانب المثلث ثلاث زوايا عند رءوس المثلث. في الصورة ترى الزاوية أ ، الزاوية ب ، الزاوية ج.

وبالتالي ، فإن المثلث هو شكل هندسي يتكون من ثلاثة أجزاء تربط ثلاث نقاط لا تقع على خط مستقيم واحد.

§ 2 مفهوم المضلع وأنواعه

بالإضافة إلى المثلثات ، هناك أشكال رباعية وخماسية وسداسية وما إلى ذلك. باختصار ، يمكن أن تسمى المضلعات.

في الصورة ترى DMKE الرباعي.

النقاط D و M و K و E هي رؤوس الشكل الرباعي.

المقاطع DM ، MK ، KE ، ED هي جوانب هذا الرباعي. تمامًا كما في حالة المثلث ، تشكل جوانب الشكل الرباعي أربع زوايا عند الرؤوس ، كما خمنت ذلك ، ومن هنا جاء الاسم - رباعي الأضلاع. في هذا الشكل الرباعي ، ترى في الشكل الزاوية D والزاوية M والزاوية K والزاوية E.

ما هي الأشكال الرباعية التي تعرفها بالفعل؟

مربع ومستطيل! كل واحد منهم لديه أربع زوايا وأربعة جوانب.

نوع آخر من المضلعات هو البنتاغون.

النقاط O و P و X و Y و T هي رؤوس البنتاغون ، والمقاطع TO و OP و PX و XY و YT هي جوانب هذا البنتاغون. البنتاغون له خمسة زوايا وخمسة جوانب على التوالي.

كم عدد الزوايا وكم عدد الجوانب التي تعتقد أن الشكل السداسي بها؟ هذا صحيح ، ستة! بالمجادلة بطريقة مماثلة ، يمكننا تحديد عدد الأضلاع أو الرؤوس أو الزوايا في مضلع معين. ويمكننا أن نستنتج أن المثلث هو أيضًا مضلع له ثلاث زوايا وثلاثة أضلاع وثلاثة رؤوس.

وهكذا ، في هذا الدرس تعرفت على مفاهيم مثل المثلث والمضلع. تعلمنا أن المثلث به 3 رؤوس و 3 جوانب و 3 زوايا ، والمربع رباعي الزوايا له 4 رؤوس ، و 4 جوانب و 4 زوايا ، والبنتاغون به 5 جوانب ، و 5 رؤوس ، و 5 زوايا على التوالي ، وهكذا.

قائمة الأدب المستخدم:

1. رياضيات الصف الخامس. فيلينكين إن يا ، جوخوف ف. وآخرون. 31st ed.، ster. - م: 2013.
2. المواد التعليمية في الرياضيات الصف الخامس. المؤلف - بوبوف م. - عام 2013
3. نحسب بدون أخطاء. العمل بالامتحان الذاتي في الرياضيات للصفوف 5-6. المؤلف - Minaeva S.S. - عام 2014
4. المواد التعليمية في الرياضيات الصف الخامس. المؤلفون: Dorofeev G.V. ، Kuznetsova L.V. - 2010
5. رقابة وعمل مستقل في الرياضيات للصف الخامس. المؤلفون - Popov M.A. - سنة 2012
6. الرياضيات. الصف الخامس: كتاب مدرسي. لطلاب التعليم العام. المؤسسات / I. I. Zubareva ، A. G. Mordkovich. - الطبعة التاسعة ، الأب. - م: Mnemosyne ، 2009

يسمى جزء المستوى الذي يحده خط متقطع مغلق بالمضلع.

يتم استدعاء أجزاء هذا الخط المكسور حفلاتمضلع. AB ، BC ، CD ، DE ، EA (الشكل 1) - جوانب المضلع ABCDE. يسمى مجموع كل جوانب المضلع به محيط.

يسمى المضلع محدب، إذا كان موجودًا على جانب واحد من أي جانب من جوانبه ، فإنه يمتد إلى ما بعد كلا الرأسين.

لن يكون المضلع MNPKO (الشكل 1) محدبًا ، لأنه يقع على أكثر من جانب من الخط المستقيم KP.

سننظر فقط في المضلعات المحدبة.

تسمى الزوايا المكونة من جانبين متجاورين للمضلع بزواياها داخليزوايا وقممها - رؤوس المضلع.

يُطلق على القطعة المستقيمة التي تربط رأسين غير متجاورين لمضلع اسم قطري المضلع.

AC ، AD - أقطار المضلع (الشكل 2).

تسمى الزوايا المجاورة للزوايا الداخلية للمضلع الزوايا الخارجية للمضلع (الشكل 3).

اعتمادًا على عدد الزوايا (الجوانب) ، يُطلق على المضلع اسم مثلث ، رباعي الأضلاع ، خماسي ، إلخ.

يُقال أن مضلعين متساويين إذا أمكن فرضهما.

المضلعات المحصورة والمقيدة

إذا كانت كل رءوس المضلع تقع على دائرة ، فإن المضلع يسمى منقوشةفي دائرة والدائرة وصفهابالقرب من المضلع (الشكل).

إذا كانت جميع جوانب المضلع مماسًا لدائرة ، فسيتم استدعاء المضلع وصفهاحول الدائرة ، وتسمى الدائرة منقوشةفي شكل مضلع (شكل).

تشابه المضلعات

يسمى مضلعان يحملان الاسم نفسه متشابهين إذا كانت زوايا أحدهما متساوية على التوالي مع زوايا الآخر ، وكانت الأضلاع المتشابهة للمضلعات متناسبة.

تسمى المضلعات التي لها نفس عدد الأضلاع (الزوايا) مضلعات لها نفس الاسم.

تسمى جوانب المضلعات المتشابهة متشابهة إذا كانت تربط رؤوس الزوايا المتساوية المقابلة (الشكل).

لذلك ، على سبيل المثال ، لكي يكون المضلع ABCDE مشابهًا للمضلع A'B'C'D'E '، من الضروري أن: E = ∠E' ، بالإضافة إلى AB / A'B '= BC / B'C '= CD / C'D' = DE / D'E '= EA / E'A'.

نسبة محيط المضلعات المتشابهة

أولاً ، ضع في اعتبارك خاصية سلسلة من النسب المتساوية. دعنا ، على سبيل المثال ، العلاقات: 2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4 = 2.

دعنا نجد مجموع الأعضاء السابقين لهذه العلاقات ، إذن - مجموع أعضائها اللاحقين وإيجاد نسبة المبالغ المستلمة ، نحصل على:

$$ \ فارك (2 + 4 + 6 + 8) (1 + 2 + 3 + 4) = \ فارك (20) (10) = 2 $$

سنحصل على نفس الشيء إذا أخذنا عددًا من العلاقات الأخرى ، على سبيل المثال: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 2/3 ثم وجدنا نسبة هذه المبالغ ، نحن نحصل:

$$ \ فارك (2 + 4 + 5 + 8 + 10) (3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \ فارك (30) (45) = \ فارك (2) (3) $$

في كلتا الحالتين ، يرتبط مجموع الأعضاء السابقين في سلسلة من العلاقات المتساوية بمجموع الأعضاء اللاحقين من نفس السلسلة ، حيث أن العضو السابق في أي من هذه العلاقات مرتبط بمجموعها التالية.

استنتجنا هذه الخاصية من خلال النظر في عدد من الأمثلة العددية. يمكن استنتاجها بدقة وبشكل عام.

الآن ضع في اعتبارك نسبة محيطات المضلعات المتشابهة.

اجعل المضلع ABCDE مشابهًا للمضلع A'B'C'D'E '(شكل).

ويترتب على تشابه هذه المضلعات أن

AB / A'B '= BC / B'C' = CD / C'D '= DE / D'E' = EA / E'A '

بناءً على خاصية سلسلة من العلاقات المتساوية التي توصلنا إليها ، يمكننا أن نكتب:

مجموع الشروط السابقة للعلاقات التي أخذناها هو محيط المضلع الأول (P) ، ومجموع المصطلحات اللاحقة لهذه العلاقات هو محيط المضلع الثاني (P ') ، لذلك P / P' = AB / A'B '.

بالتالي، ترتبط محيطات المضلعات المتشابهة بجوانبها المقابلة.

نسبة المساحات ذات المضلعات المتشابهة

دع ABCDE و A'B'C'D'E 'يكونان مضلعين متشابهين (شكل).

من المعروف أن ΔABC ~ A'B'C 'ΔACD ~ A'C'D' و ADE ~ A'D'E '.

بجانب،

;

بما أن النسب الثانية من هذه النسب متساوية ، وهو ما يأتي من تشابه المضلعات إذن

باستخدام خاصية سلسلة من النسب المتساوية ، نحصل على:

أو

حيث S و S 'هي مناطق هذه المضلعات المتشابهة.

بالتالي، ترتبط مناطق المضلعات المتشابهة مثل المربعات ذات الجوانب المتشابهة.

يمكن تحويل الصيغة الناتجة إلى هذا النموذج: S / S '= (AB / A'B') 2

مساحة مضلع عشوائي

دعه مطلوبًا لحساب مساحة ABDC الرباعي التعسفي (الشكل).

لنرسم قطريًا فيه ، على سبيل المثال م. نحصل على مثلثين ABD و ACD ، ويمكننا حساب مساحتهما. ثم نوجد مجموع مساحات هذه المثلثات. سيعبر المجموع الناتج عن مساحة المربع المحدد.

إذا كنت بحاجة إلى حساب مساحة البنتاغون ، فسنعمل بنفس الطريقة: نرسم الأقطار من أحد الرؤوس. نحصل على ثلاثة مثلثات يمكننا حساب مساحاتها. إذن ، يمكننا إيجاد مساحة هذا الخماسي. نفعل الشيء نفسه عند حساب مساحة أي مضلع.

منطقة الإسقاط المضلع

تذكر أن الزاوية بين الخط والمستوى هي الزاوية بين خط معين وإسقاطه على المستوى (الشكل).

نظرية. مساحة الإسقاط المتعامد للمضلع على المستوى تساوي مساحة المضلع المسقط مضروبة في جيب التمام للزاوية التي شكلها مستوى المضلع ومستوى الإسقاط.

يمكن تقسيم كل مضلع إلى مثلثات ، مجموع مساحاتها يساوي مساحة المضلع. لذلك ، يكفي إثبات نظرية المثلث.

دع ΔABC يُسقط على المستوى ص. خذ بعين الاعتبار حالتين:

أ) أحد جوانب ΔABS موازٍ للمستوى ص;

ب) لا يوجد جانب من جوانب ABC متوازي ص.

انصح الحالة الأولى: دع [AB] || ص.

ارسم من خلال المستوى (AB) ص 1 || صومشروع ΔABC بشكل متعامد على ص 1 وما فوق ص(أرز.)؛ نحصل على ABC 1 و A’B’C.

من خلال خاصية الإسقاط ، لدينا ΔABC 1 (cong) A’B’C '، وبالتالي

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C '

لنرسم ⊥ والجزء D 1 C 1. ثم ⊥ ، a \ (\ overbrace (CD_1C_1) \) = هي الزاوية بين المستوى ΔABC والمستوى ص 1. وبالتالي

S ∆ ABC1 = 1/2 | AB | | ج 1 د 1 | = 1/2 | AB | | القرص المضغوط 1 | كوس φ = S ∆ ABC كوس φ

وبالتالي ، S Δ A'B'C '= S ABC cos φ.

دعنا ننتقل إلى النظر الحالة الثانية. ارسم طائرة ص 1 || صمن خلال هذا الرأس ΔАВС ، المسافة التي من خلالها إلى المستوى صأصغر (فليكن رأس أ).

دعونا نصمم ΔABC على متن الطائرة ص 1 و ص(أرز.)؛ دع توقعاتها تكون على التوالي AB 1 C 1 و A’B’C '.

دع (قبل الميلاد) ∩ ص 1 = D. ثم

S Δ A'B'C '= S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

مواد اخرى