Kako nacrtati simetralu okomitu u trouglu. Četiri divne tačke trougla

U trouglu postoje takozvana četiri divni poeni: tačka preseka medijana. Tačka preseka simetrala, tačka preseka visina i tačka preseka okomitih simetrala. Hajde da razmotrimo svaku od njih.

Tačka presjeka medijana trougla

Teorema 1

Na presjeku medijana trougla: Medijani trougla se seku u jednoj tački i dele presečnu tačku u omjeru $2:1$ počevši od vrha.

Dokaz.

Razmotrimo trougao $ABC$, gdje je $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ njegova medijana. Pošto medijane dijele strane na pola. Razmotrite srednju liniju $A_1B_1$ (slika 1).

Slika 1. Medijane trougla

Prema teoremi 1, $AB||A_1B_1$ i $AB=2A_1B_1$, dakle $\ugao ABB_1=\ugao BB_1A_1,\ \ugao BAA_1=\ugao AA_1B_1$. Stoga su trouglovi $ABM$ i $A_1B_1M$ slični prema kriteriju sličnosti prvog trougla. Onda

Slično, dokazano je da

Teorema je dokazana.

Točka preseka simetrala trougla

Teorema 2

Na presjeku simetrala trougla: Simetrale trougla seku se u jednoj tački.

Dokaz.

Razmotrimo trougao $ABC$, gdje su $AM,\ BP,\ CK$ njegove simetrale. Neka je tačka $O$ presjek simetrala $AM\ i\ BP$. Povucite iz ove tačke okomito na stranice trougla (slika 2).

Slika 2. Simetrale trougla

Teorema 3

Svaka tačka simetrale neproširenog ugla jednako je udaljena od svojih stranica.

Prema teoremi 3, imamo: $OX=OZ,\ OX=OY$. Otuda $OY=OZ$. Stoga je tačka $O$ jednako udaljena od stranica ugla $ACB$ i stoga leži na njegovoj simetrali $CK$.

Teorema je dokazana.

Presjek simetrala okomitog trougla

Teorema 4

Okomite simetrale stranica trougla seku se u jednoj tački.

Dokaz.

Neka je zadan trokut $ABC$, $n,\ m,\ p$ njegove okomite simetrale. Neka je tačka $O$ presjek simetrala okomite $n\ i\ m$ (slika 3).

Slika 3. Okomite simetrale trougla

Za dokaz nam je potrebna sljedeća teorema.

Teorema 5

Svaka tačka simetrale okomite na segment jednako je udaljena od krajeva datog segmenta.

Prema teoremi 3, imamo: $OB=OC,\ OB=OA$. Otuda $OA=OC$. To znači da je tačka $O$ jednako udaljena od krajeva segmenta $AC$ i, prema tome, leži na njegovoj okomitoj simetrali $p$.

Teorema je dokazana.

Tačka presjeka visina trougla

Teorema 6

Visine trokuta ili njihovih produžetaka seku se u jednoj tački.

Dokaz.

Razmotrimo trougao $ABC$, gdje je $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ njegova visina. Povucite liniju kroz svaki vrh trougla paralelnu sa stranicom suprotnom od vrha. Dobijamo novi trougao $A_2B_2C_2$ (slika 4).

Slika 4. Visine trougla

Pošto su $AC_2BC$ i $B_2ABC$ paralelogrami sa zajedničkom stranom, onda je $AC_2=AB_2$, odnosno tačka $A$ središte stranice $C_2B_2$. Slično, dobijamo da je tačka $B$ središte stranice $C_2A_2$, a tačka $C$ središte stranice $A_2B_2$. Iz konstrukcije imamo da je $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Dakle, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ su okomite simetrale trougla $A_2B_2C_2$. Zatim, prema teoremi 4, imamo da se visine $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sijeku u jednoj tački.

Srednje okomito (srednja okomita ili posrednica) je prava prava okomita na dati segment i prolazi kroz njegovu sredinu.

Svojstva

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2), gdje indeks označava stranu na koju je povučena okomica, S je površina trokuta, a također se pretpostavlja da su stranice povezane nejednačinama a \geqslant b \geqslant c. p_a\geq p_b i p_c\geq p_b. Drugim riječima, za trokut najmanja okomita simetrala se odnosi na srednji segment.

Napišite recenziju na članak "Srednja okomita"

Bilješke

Izvod koji karakterizira simetralu okomice

Kutuzov, prestajući da žvaće, iznenađeno je zurio u Volcogena, kao da ne shvata šta mu se govori. Wolzogen je, primjećujući uzbuđenje des alten Herrna, [starog gospodina (Nemca)], rekao sa osmehom:
- Nisam smatrao da imam pravo da krijem od vašeg gospodstva ono što sam video... Trupe su u potpunom neredu...
- Jeste li vidjeli? Jeste li vidjeli? .. - viknuo je Kutuzov mršteći se, brzo ustao i krenuo prema Wolzogenu. “Kako se usuđuješ... kako se usuđuješ...!” viknuo je, praveći prijeteće pokrete rukovanja i gušenja. - Kako se usuđujete, moj dragi gospodine, da mi ovo kažete. Ne znaš ništa. Recite generalu Barkliju od mene da su njegove informacije netačne i da je pravi tok bitke poznat meni, glavnokomandujućem, bolje nego njemu.
Volcogen je hteo nešto da prigovori, ali ga je Kutuzov prekinuo.
- Neprijatelj je odbijen na lijevom i poražen na desnom krilu. Ako niste dobro vidjeli, poštovani gospodine, onda ne dozvolite sebi da kažete ono što ne znate. Molim vas idite kod generala Barclaya i prenesite mu moju neizostavnu namjeru da sutra napadnem neprijatelja”, rekao je Kutuzov strogo. Svi su ćutali i čuo se jedan težak dah starog generala zadihanog. - Odbijeni svuda, na čemu zahvaljujem Bogu i našoj hrabroj vojsci. Neprijatelj je poražen, a sutra ćemo ga istjerati iz svete ruske zemlje - reče Kutuzov prekrstivši se; i odjednom briznula u plač. Wolzogen, slegnuvši ramenima i iskrivivši usne, tiho se udaljio, čudeći se uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [o ovoj tiraniji starog gospodina. (Njemački)]
"Da, evo ga, moj heroj", rekao je Kutuzov punašnom, zgodnom crnokosom generalu, koji je u to vrijeme ulazio u humku. Bio je to Raevski, koji je ceo dan proveo na glavnoj tački Borodinskog polja.
Raevsky je izvestio da su trupe čvrsto na svojim mestima i da se Francuzi više ne usuđuju da napadnu. Nakon što ga je saslušao, Kutuzov je rekao na francuskom:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [Znači ne mislite, kao ostali, da se trebamo povući?] Dokaz teorema o svojstvima kružnice opisane oko trougla

Srednje okomito na segment

Definicija 1. Srednje okomito na segment zove se prava linija koja je okomita na ovaj segment i prolazi kroz njegovu sredinu (slika 1).

Teorema 1. Svaka tačka simetrale okomite na segment je na istoj udaljenosti od krajeva ovom segmentu.

Dokaz. Razmotrimo proizvoljnu tačku D koja leži na simetrali okomice na segment AB (slika 2) i dokaži da su trouglovi ADC i BDC jednaki.

Zaista, ovi trouglovi su pravougli trouglovi čiji su kraci AC i BC jednaki, dok su kraci DC zajednički. Iz jednakosti trouglova ADC i BDC slijedi jednakost segmenata AD i DB. Teorema 1 je dokazana.

Teorema 2 (obrnuta teoremi 1). Ako je tačka na istoj udaljenosti od krajeva segmenta, onda leži na okomitoj simetrali na ovaj segment.

Dokaz. Dokažimo teoremu 2 metodom “kontradikcijom”. U tu svrhu, pretpostavimo da je neka tačka E na istoj udaljenosti od krajeva segmenta, ali ne leži na simetrali okomice na ovaj segment. Dovedemo ovu pretpostavku u kontradikciju. Razmotrimo prvo slučaj kada tačke E i A leže na suprotnim stranama simetrale okomice (slika 3). U ovom slučaju, segment EA siječe simetralu okomice u nekoj tački, koju ćemo označiti slovom D.

Dokažimo da je segment AE duži od segmenta EB. stvarno,

Dakle, u slučaju kada tačke E i A leže na suprotnim stranama simetrale okomice, dobili smo kontradikciju.

Pogledajmo sada slučaj kada tačke E i A leže na istoj strani simetrale okomice (slika 4). Dokažimo da je segment EB duži od segmenta AE. stvarno,

Dobivena kontradikcija završava dokaz teoreme 2

Krug koji opisuje trokut

Definicija 2. Krug koji opisuje trougao, nazovimo kružnicu koja prolazi kroz sva tri vrha trougla (slika 5). U ovom slučaju trokut se zove trougao upisan u krug ili upisani trougao.

Svojstva kružnice opisane oko trougla. Sinusni teorem

SlikaSlikaNekretnina
Srednje okomite
na stranice trougla		 seku u jednoj tački .

Centar opisan oko oštrog trougla kružniceCentar opisano o oštrougao unutra trougao.
Centar krug opisan oko pravouglog trouglaSredište opisanog o pravougaona sredina hipotenuze .
Centar opisano oko tupougla kružniceCentar opisano o tupo kružni trokut leži vani trougao.

,
Square trougao

S= 2R 2 sin A grijeh B grijeh C ,
Poluprečnik opisane kružnice

Za bilo koji trokut, jednakost je tačna:
Srednje okomite na stranice trougla

Sve okomite simetrale povučen na stranice proizvoljnog trougla, seku u jednoj tački .
Krug koji opisuje trokut

Bilo koji trougao može biti opisan krugom. . Središte kružnice opisane oko trougla je tačka u kojoj se sijeku sve okomite simetrale povučene na stranice trougla.
Centar kružnice opisane oko oštrog trougla

Centar opisano o oštrougao kružni trokut leži unutra trougao.
Centar kružnice opisane oko pravouglog trougla

Središte opisanog o pravougaona kružni trougao je sredina hipotenuze .
Centar kružnice opisane oko tupouglog trougla

Centar opisano o tupo kružni trokut leži vani trougao.

Za bilo koji trougao vrijede jednakosti (sinusna teorema):

,

gdje su a, b, c stranice trougla, A, B, C su uglovi trougla, R je poluprečnik opisane kružnice.
Površina trougla

Za bilo koji trokut, jednakost je tačna:

S= 2R 2 sin A grijeh B grijeh C ,

gdje su A, B, C uglovi trokuta, S je površina trokuta, R je polumjer opisane kružnice.
Poluprečnik opisane kružnice

Za bilo koji trokut, jednakost je tačna:

gdje su a, b, c stranice trokuta, S je površina trokuta, R je polumjer opisane kružnice.

Dokaz teorema o svojstvima kružnice opisane oko trougla

Teorema 3. Sve srednje okomite povučene na stranice proizvoljnog trougla seku se u jednoj tački.

Dokaz. Razmotrimo dvije okomite simetrale povučene na stranice AC i AB trougla ABC i označimo tačku njihovog sjecišta slovom O (slika 6).

Pošto tačka O leži na simetrali okomite na segment AC , onda na osnovu teoreme 1 važi jednakost.

  • Dajte ideju o novoj klasi problema - konstrukciji geometrijski oblici korištenjem šestara i ravnala bez podjela mjerila.
  • Uvedite koncept GMT.
  • Dajte definiciju simetrale okomite, naučite kako je izgraditi i dokazati termin o simetrali okomite, kao i njen inverz.
  • Koristeći Compass-3D kompjuterski sistem za crtanje izvodite geometrijske konstrukcije, koje je preporučljivo izvoditi na kursu geometrije koristeći šestar i lenjir.

    • Materijal (Dodatak br. 1)

    Problemi za izgradnju sa šestarom i ravnalom bez podjela najčešće se rješavaju prema određenoj shemi:

    I. Analiza: Šematski nacrtajte željenu figuru i uspostavite veze između podataka o problemu i željenih elemenata.

    II. Zgrada: Po planu grade se šestarom i lenjirom.

    III. Dokaz: Dokažite da konstruisani lik zadovoljava uslove zadatka.

    IV. Studija: Provedite studiju, za bilo koje podatke, da li problem ima rješenje i ako ima, koliko rješenja (ne izvodite u svim problemima).

    Evo nekoliko primjera elementarnih građevinskih zadataka koje ćemo razmotriti:

    1. Odvojite segment jednak ovom (ranije proučavanom).

    2. Konstrukcija simetrale okomite na segment:

    • konstruisati sredinu datog segmenta;
    • konstruisati pravu koja prolazi kroz datu tačku i okomita na datu pravu (tačka može, ali ne mora ležati na datoj pravoj).

    3. Konstrukcija simetrale ugla.

    4. Konstrukcija ugla jednakog datom.

    Medijan okomit na segment.

    Definicija: Simetrala okomitog segmenta je prava koja prolazi središtem segmenta i okomita je na nju.

    Zadatak: "Konstruiraj simetralu okomitu na segment." Prezentacija

    O - sredina AB

    Opis konstrukcije ( slajd broj 4):

    Beam a; A - početak grede

    Obim (A; r =m)

    Krug a = B; AB = m

    Krug 1 (A; r 1 > m/2)

    Krug 2 (B; r 1)

    Krug 1 Krug 2 =

    MN ; MN AB =0, (MN = L)

    gdje je MN AB, O središte AB

    III. Dokaz(slajd broj 5, 6)

    1. Uzmite u obzir AMN i BNM:

    AM = MB=BN=AN=r 2 , dakle AM ​​= BN , AN = BM MN je zajednička strana

    (Slika 3)

    Dakle, AMN = BNM (na 3 strane),

    Shodno tome

    1= 2 (po definiciji jednako)

    3= 4 (po definiciji jednako)

    2. MAN i NBM su jednakokraki (po definiciji) ->

    1 \u003d 4 i 3 \u003d 2 (po svojstvu jednakokrake)

    3. Iz tačaka 1 i 2 -> 1 = 3 stoga je MO simetrala jednakokrake AMB

    4. Tako smo dokazali da je MN simetrala okomita na segment AB

    IV. Studija

    Ovaj problem ima jedinstveno rješenje, jer Svaki segment ima samo jednu polovinu, a kroz datu tačku se može povući jedna prava okomita na datu.

    Definicija: Geometrijski skup tačaka (GMT) je skup tačaka koje imaju neka svojstva. (Dodatak br. 2)

    Poznato vam GMT:

    1. Okomita simetrala segmenta je skup tačaka jednako udaljenih od krajeva segmenta.
    2. Simetrala ugla - skup tačaka jednako udaljenih od strana ugla

    Pa hajde da dokažemo teoremu:

    Teorema: "Svaka tačka simetrale okomite na segment jednako je udaljena od krajeva ovog segmenta."

    (Slika 4)

    Dato: AB; MO - okomita simetrala

    Dokazati: AM = VM

    dokaz:

    1. MO - simetrala okomice (po uslovu) -> O - sredina segmenta AB, MOAB

    2. Razmotrite AMO i WMO - pravougaone

    MO - zajednička noga

    		 AO \u003d VO (O - sredina AB) -\u003e AMO \u003d BMO (na 2 noge) -\u003e AM \u003d VM (po definiciji jednakih trokuta, kao odgovarajućih stranica)

    Q.E.D

    Domaći zadatak: “Dokazati teoremu inverznu datoj”

    Teorema: “Svaka tačka jednako udaljena od krajeva segmenta leži na simetrali okomitoj na ovaj segment.”

    (Slika 5)

    Dato: AB; MA=MV

    Dokazati: Tačka M leži na okomitoj simetrali

    dokaz:

    To. MO - okomita simetrala koja sadrži sve tačke jednako udaljene od krajeva segmenta.

    Svojstvo simetrala okomitih na stranice trougla

    Seku se u jednoj tački i ta tačka je centar opisane kružnice oko trougla, učićemo u osmom razredu.

    Radionica

    Materijalno-tehnička oprema:

    Distribucija: 29,574 KB

    OS: Windows 9x/2000/XP

    Web stranica: http://www.ascon.ru

    Sada ćemo prenijeti konstrukciju u grafičko okruženje računara (slajd broj 7)

    Moraju se primijeniti prethodno stečena znanja i vještine konkretan zadatak. Vidjet ćete da vam konstrukcija neće oduzeti ništa više vremena od konstrukcije u bilježnici. Između ostalog, zanimljivo je vidjeti kako kompjutersko okruženje izvršava ljudske komande za izgradnju ravnih figura. Pred vama je dodatak br. 3, u kojem su detaljno opisani vaši koraci izgradnje. Učitajte program i otvorite novi crtež ( slajd broj 8, 9).

    Nacrtajte geometrijske objekte navedene u uslovu problema: zraka a počevši od tačke ALI a segment je jednak m– proizvoljna dužina ( slajd broj 10).

    Pomoću kartice unesite oznaku grede, segmenta, početka grede na crtežu „Alati"tekst.

    Konstruišite kružnicu poluprečnika koji je jednak segmentu m centriran na vrhu datom tačkom ALI (slajd broj 11).

    m centriran u vrhu datoj tački A ( slajd №12, 13).

    Konstruišite krug poluprečnika koji je jednak segmentu većem od 1/2 m Da biste to učinili, odaberite stavku " Između 2 boda” (slajd №14, 15, 16).

    Kroz tačke preseka kružnica M i N nacrtaj liniju ( slajd №17,18).

    rabljene knjige:

    1. Ugrinovich N.D. “Informatika. Osnovni kurs” 7. razred. - M.: BINOM - 2008 - 175 str.
    2. Ugrinovich N.D. „Radionica o informatici i informacione tehnologije". Tutorial. - M.: BINOM, 2004-2006. -
    3. Ugrinovich N.D. „Nastava predmeta „Informatika i IKT“ u osnovnim i srednjim razredima 8-11 M.: Laboratorija znanja BINOM, 2008. - 180 str.
    4. Ugrinovich ND Računarska radionica na CD-ROM-u. - M.: BINOM, 2004-2006.
    5. Boguslavsky A.A., Tretyak T.M. Farafonov A.A. “Kompas - 3D v 5.11-8.0 Radionica za početnike” - M.: SOLON - PRESS, 2006 - 272 str.
    6. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al „Geometrija 7-9. Udžbenik za srednje škole“ – M: Obrazovanje 2006 – 384 str.
    7. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al „Proučavanje geometrije razreda 7-9. Smjernice za udžbenik "- M: Obrazovanje 1997. - 255 str.
    8. Afanasjeva T.L., Tapilina L.A. “Planovi lekcija za udžbenik za 8. razred Atanasyana L.S.” - Volgograd "Učitelj" 2010, 166 str.

    Aplikacija br. 1

    Plan za rješavanje zadataka o konstrukciji šestara i ravnala.

    1. Analiza.
    2. Izgradnja.
    3. Dokaz.
    4. Studija.

    Objašnjenje

    1. Prilikom izvođenja analize šematski se iscrtava tražena figura i uspostavlja se veza između podataka zadatka i traženih elemenata.
    2. Prema planu, gradnja se izvodi šestarom i ravnalom.
    3. Oni dokazuju da konstruisana figura zadovoljava uslove problema.
    4. Provedite studiju: za bilo koji podatak, da li problem ima rješenje, i ako ima, koliko rješenja?

    Primjeri elementarnih građevinskih zadataka

    1. Odvojite segment jednak datom.
    2. Konstruisati simetralu okomitu na segment.
    3. Konstruirajte sredinu segmenta.
    4. Konstruirajte pravu koja prolazi kroz datu tačku, okomitu na datu pravu (Tačka može, ali ne mora ležati na datoj pravoj).
    5. Konstruisati simetralu ugla.
    6. Konstruisati ugao jednak zadatom.

    Aplikacija №2

    Lokus tačaka (GMT) je skup tačaka koje imaju neko svojstvo.

    Primjeri GMT:

    1. Okomita simetrala segmenta je skup tačaka jednako udaljenih od krajeva segmenta.
    2. Krug je skup tačaka jednako udaljenih od date tačke – centra kružnice.
    3. Simetrala ugla je skup tačaka jednako udaljenih od stranica ugla.

    Svaka tačka simetrale okomite na segment jednako je udaljena od krajeva ovog segmenta.

    U prethodnoj lekciji razmatrali smo svojstva simetrale ugla, zatvorene u trokut i slobodne. Trokut uključuje tri ugla, a za svaki od njih su sačuvana razmatrana svojstva simetrale.

    Teorema:

    Simetrale AA 1, BB 1, CC 1 trougla seku se u jednoj tački O (slika 1).

    Rice. 1. Ilustracija za teoremu

    dokaz:

    Razmotrimo prve dvije simetrale BB 1 i SS 1 . Seku se, tačka preseka O postoji. Da bismo to dokazali, pretpostavimo suprotno: neka se date simetrale ne sijeku, u tom slučaju su paralelne. Tada je prava BC sekansa i zbir uglova , ovo je u suprotnosti s činjenicom da je u cijelom trokutu zbir uglova .

    Dakle, tačka O preseka dve simetrale postoji. Razmotrite njegova svojstva:

    Tačka O leži na simetrali ugla , što znači da je jednako udaljena od svojih stranica BA i BC. Ako je OK okomito na BC, OL je okomito na BA, tada su dužine ovih okomica jednake -. Također, tačka O leži na simetrali ugla i jednako je udaljena od njegovih stranica CB i CA, okomice OM i OK su jednake.

    Dobili smo sljedeće jednakosti:

    , odnosno sve tri okomice ispuštene iz tačke O na stranice trougla jednake su jedna drugoj.

    Zanima nas jednakost okomica OL i OM. Ova jednakost kaže da je tačka O jednako udaljena od stranica ugla, pa stoga leži na njegovoj simetrali AA 1.

    Tako smo dokazali da se sve tri simetrale trougla sijeku u jednoj tački.

    Osim toga, trokut se sastoji od tri segmenta, što znači da treba razmotriti svojstva jednog segmenta.

    Dat je segment AB. Bilo koji segment ima sredinu, a kroz nju se može povući okomita - označavamo je sa p. Dakle, p je simetrala okomice.

    Rice. 2. Ilustracija za teoremu

    Svaka tačka koja leži na simetrali okomice jednako je udaljena od krajeva segmenta.

    Dokažite to (sl. 2).

    dokaz:

    Razmotrimo trouglove i . Oni su pravougaoni i jednaki, jer imaju zajedničku krak OM, a katete AO i OB su jednake po uslovu, tako da imamo dva pravougla trougla jednaka u dva kraka. Iz toga slijedi da su i hipotenuze trouglova jednake, odnosno, što je trebalo dokazati.

    Obrnuta teorema je tačna.

    Svaka tačka jednako udaljena od krajeva segmenta leži na okomitoj simetrali na ovaj segment.

    Dat je segment AB, simetrala okomice na njega je p, tačka M je jednako udaljena od krajeva segmenta. Dokazati da tačka M leži na okomitoj simetrali na segment (slika 3).

    Rice. 3. Ilustracija za teoremu

    dokaz:

    Razmotrimo trougao. Jednakokraka je, po uslovu. Razmotrimo medijanu trougla: tačka O je središte baze AB, OM je medijana. Prema svojstvu jednakokračnog trougla, medijana povučena do njegove osnove je i visina i simetrala. Otuda sledi da . Ali prava p je također okomita na AB. Znamo da se u tačku O može povući jedna okomita na segment AB, što znači da se prave OM i p poklapaju, pa slijedi da tačka M pripada pravoj p, što je i trebalo dokazati.

    Direktne i inverzne teoreme mogu se generalizirati.

    Tačka leži na okomitoj simetrali segmenta ako i samo ako je jednako udaljena od krajeva ovog segmenta.

    Dakle, ponavljamo da postoje tri segmenta u trouglu i svojstvo simetrale okomice je primjenjivo na svaki od njih.

    Teorema:

    Okomite simetrale trougla seku se u jednoj tački.

    Dat je trougao. Okomito na njegove stranice: P 1 na stranu BC, P 2 na stranu AC, P 3 na stranu AB.

    Dokazati da se okomite R 1 , R 2 i R 3 seku u tački O (slika 4).

    Rice. 4. Ilustracija za teoremu

    dokaz:

    Posmatrajmo dvije srednje okomite P 2 i P 3 , one se sijeku, presječna tačka O postoji. Dokažimo ovu činjenicu kontradiktorno – neka su okomite P 2 i P 3 paralelne. Tada je ugao ravan, što je u suprotnosti sa činjenicom da je zbir tri ugla trougla . Dakle, postoji tačka O preseka dve od tri okomite simetrale. Svojstva tačke O: leži na okomitoj simetrali na stranicu AB, što znači da je jednako udaljena od krajeva segmenta AB:. Također leži na okomitoj simetrali na stranu AC, tako da . Dobili smo sljedeće jednakosti.

    Slični postovi