gráfico de arcoseno senx. Funciones trigonométricas inversas, sus gráficas y fórmulas

Funciones trigonométricas inversas(funciones circulares, funciones de arco) - funciones matemáticas que son inversas a las funciones trigonométricas.

arcoseno(denotado como arcosen x; arcosen x es el ángulo pecado sus iguales X).

arcoseno (y = arcosen x) - función trigonométrica inversa a pecado (x = seno), que tiene un dominio de definición y un conjunto de valores . En otras palabras, devuelve el ángulo por su valor pecado.

Función y=sen x continua y acotada a lo largo de toda su recta numérica. Función y=arcosen x- estrictamente aumenta.

Propiedades de la función arcsen.

gráfico de arcoseno.

Obtenga la función arcsen.

tener una función y = sen x. Es monótono por partes en todo su dominio de definición, por lo que la correspondencia inversa y = arcosen x no es una función. Por lo tanto, consideramos el segmento en el que solo aumenta y toma cada valor del rango - . Porque para la función y = sen x en el intervalo, todos los valores de la función se obtienen con un solo valor del argumento, lo que significa que hay una función inversa en este segmento y = arcosen x, cuya gráfica es simétrica a la gráfica de la función y = sen x en un segmento de línea y=x.

Las tareas relacionadas con las funciones trigonométricas inversas a menudo se ofrecen en los exámenes finales de la escuela y en los exámenes de ingreso en algunas universidades. Un estudio detallado de este tema solo se puede lograr en clases extracurriculares o en cursos electivos. El curso propuesto está diseñado para desarrollar al máximo las habilidades de cada estudiante, para mejorar su formación matemática.

El curso está diseñado para 10 horas:

1. Funciones de arcsen x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 horas).

2. Operaciones sobre funciones trigonométricas inversas (4 horas).

3. Operaciones trigonométricas inversas sobre funciones trigonométricas (2 horas).

Lección 1 (2 horas) Tema: Funciones y = arcsen x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Propósito: cobertura completa de este tema.

1. Función y \u003d arcsin x.

a) Para la función y \u003d sen x en el segmento, hay una función inversa (de un solo valor), que acordamos llamar arcoseno y denotamos de la siguiente manera: y \u003d arcsen x. La gráfica de la función inversa es simétrica con la gráfica de la función principal con respecto a la bisectriz de los ángulos coordenados I - III.

Propiedades de la función y = arcsen x .

1)Ámbito de definición: segmento [-1; una];

2) Zona de cambio: corte;

3) Función y = arcsen x impar: arcsen (-x) = - arcsen x;

4) La función y = arcsen x es monótonamente creciente;

5) La gráfica cruza los ejes Ox, Oy en el origen.

Ejemplo 1. Encuentra a = arcsen . Este ejemplo se puede formular en detalle de la siguiente manera: encuentre tal argumento a , que se encuentra en el rango de a , cuyo seno es igual a .

Solución. Hay innumerables argumentos cuyo seno es , por ejemplo: etc. Pero solo nos interesa el argumento que está en el intervalo. Este argumento será. Asi que, .

Ejemplo 2. Encuentra .Solución. Argumentando de la misma manera que en el ejemplo 1, obtenemos .

b) ejercicios orales. Encuentre: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0 Ejemplo de respuesta: , porque . ¿Tienen sentido las expresiones: ; arcosen 1,5; ?

c) Ordene en orden ascendente: arcsin, arcsin (-0.3), arcsin 0.9.

II. Funciones y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (similarmente).

Lección 2 (2 horas) Tema: Funciones trigonométricas inversas, sus gráficas.

Propósito: en esta lección es necesario desarrollar habilidades para determinar los valores de las funciones trigonométricas, en el trazado de funciones trigonométricas inversas usando D (y), E (y) y las transformaciones necesarias.

En esta lección, realice ejercicios que incluyan encontrar el dominio de definición, el alcance de funciones del tipo: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .

Es necesario construir gráficas de funciones: a) y = arcsen 2x; b) y = 2 arcosen 2x; c) y \u003d arcsin;

d) y \u003d arcsin; e) y = arcosen; f) y = arcosen; g) y = | arcsen | .

Ejemplo. Grafiquemos y = arccos

Puedes incluir los siguientes ejercicios en tu tarea: construye gráficas de funciones: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Gráficas de funciones inversas

Lección #3 (2 horas) Tema:

Operaciones sobre funciones trigonométricas inversas.

Propósito: ampliar el conocimiento matemático (esto es importante para los aspirantes a especialidades con mayores requisitos de preparación matemática) mediante la introducción de las relaciones básicas para las funciones trigonométricas inversas.

Material de la lección.

Algunas operaciones trigonométricas simples sobre funciones trigonométricas inversas: sin (arcsen x) \u003d x, i xi? una; cos (arcos x) = x, i xi? una; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x yo R.

Ejercicios.

a) tg (1.5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg(arctgx) = ; tg (arctg x) = .

b) cos (+ arcsen 0,6) = - cos (arcsen 0,6). Sea arcsin 0.6 \u003d a, sin a \u003d 0.6;

cos(arcosen x) = ; sen (arcos x) = .

Nota: tomamos el signo "+" delante de la raíz porque a = arcsen x satisface .

c) sen (1.5 + arcsen).Respuesta:;

d) ctg (+ arctg 3).Respuesta: ;

e) tg (- arcctg 4).Respuesta: .

f) coseno (0,5 + arccos) . Responder: .

Calcular:

a) pecado (2 arctan 5) .

Sea arctg 5 = a, luego sen 2 a = o sen(2 arctan 5) = ;

b) cos (+ 2 arcsen 0.8) Respuesta: 0.28.

c) arctg + arctg.

Sea a = arctg, b = arctg,

entonces tan(a + b) = .

d) sen (arcsen + arcsen).

e) Demostrar que para todo x I [-1; 1] verdadero arcsen x + arccos x = .

Prueba:

arcsen x = - arccos x

sen (arcsen x) = sen (- arccos x)

x = cos (arcos cos x)

Para una solución independiente: sin (arccos ), cos (arcsin ) , cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos ) , ctg (arccos ).

Para una solución casera: 1) sin (arcsin 0.6 + arctg 0); 2) arcsen + arcsen; 3) ctg ( - arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sen (1,5 - arcsen 0,8); 6) arctg 0.5 - arctg 3.

Lección No. 4 (2 horas) Tema: Operaciones sobre funciones trigonométricas inversas.

Propósito: en esta lección mostrar el uso de razones en la transformación de expresiones más complejas.

Material de la lección.

ORALMENTE:

a) sen (arcos 0,6), cos (arcos 0,8);

b) tg (arctg 5), ctg (arctg 5);

c) pecado (arctg -3), cos (arctg ());

d) tg (arcos), ctg (arcos()).

ESCRITO:

1) coseno (arcosen + arcsen + arcsen).

2) cos (arctg 5 - arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0.8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0.8) =

3) tg (- arcsen 0.6) = - tg (arcsen 0.6) =

4)

El trabajo independiente ayudará a determinar el nivel de asimilación del material.

1) tg ( arctg 2 - arctg ) 2) cos( - arctg2) 3) arcsen + arccos	1) coseno (arcosen + arcsen) 2) sin (1.5 - arctg 3) 3) arcctg3 - arctg 2

Para la tarea, puede ofrecer:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) pecado 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) sen (2 arctg + tg ( arcsen )); 4) pecado (2 arctan); 5) tg ((arcoseno))

Lección N° 5 (2h) Tema: Operaciones trigonométricas inversas sobre funciones trigonométricas.

Propósito: formar la comprensión de los estudiantes de las operaciones trigonométricas inversas en funciones trigonométricas, enfocarse en aumentar el significado de la teoría que se estudia.

Al estudiar este tema, se asume que la cantidad de material teórico a memorizar es limitada.

Material para la lección:

Puede comenzar a aprender material nuevo examinando la función y = arcsin (sin x) y representándola.

3. Cada x I R está asociado con y I , es decir<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. La función es impar: sin (-x) \u003d - sin x; arcosen(sen(-x)) = - arcsen(sen x).

6. Grafique y = arcsen (sen x) en:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sen y \u003d sen ( - x) \u003d senx, 0<= - x <= .

Asi que,

Habiendo construido y = arcsen (sen x) en , continuamos simétricamente alrededor del origen en [- ; 0], teniendo en cuenta la imparidad de esta función. Usando la periodicidad, continuamos con todo el eje numérico.

Luego escribe algunas proporciones: arcsen (sen a) = a si<= a <= ; arccos (cos a ) = a si 0<= a <= ; arctg (tg a) = a si< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

Y haz los siguientes ejercicios: a) arccos (sen 2) Respuesta: 2 - ; b) arcsen (cos 0.6) Respuesta: - 0.1; c) arctg (tg 2) Respuesta: 2 -;

d) arcctg (tg 0,6) Respuesta: 0,9; e) arccos (cos (- 2)).Respuesta: 2 -; f) arcsen (sen (- 0,6)). Respuesta: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Respuesta: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Respuesta: - 0,6; - arcanx; e) arco cos + arco cos

Las funciones sin, cos, tg y ctg siempre van acompañadas de un arcoseno, un arcocoseno, un arcotangente y un arcocotangente. Una es consecuencia de la otra, y los pares de funciones son igualmente importantes para trabajar con expresiones trigonométricas.

Considere el dibujo de un círculo unitario, que muestra gráficamente los valores de las funciones trigonométricas.

Si calculas los arcos OA, arcos OC, arctg DE y arcctg MK, entonces todos serán iguales al valor del ángulo α. Las fórmulas siguientes reflejan la relación entre las funciones trigonométricas principales y sus arcos correspondientes.

Para entender más sobre las propiedades del arcoseno, es necesario considerar su función. Calendario tiene la forma de una curva asimétrica que pasa por el centro de coordenadas.

Propiedades del arcoseno:

Si comparamos gráficos pecado y arco pecado, dos funciones trigonométricas pueden encontrar patrones comunes.

Arco coseno

El arco coseno del número a es el valor del ángulo α, cuyo coseno es igual a a.

Curva y = arcos x refleja la gráfica de arcsen x, con la única diferencia de que pasa por el punto π/2 en el eje OY.

Considere la función arcocoseno con más detalle:

1. La función se define en el segmento [-1; una].
2. ODZ para arccos-.
3. El gráfico está completamente ubicado en los cuartos I y II, y la función en sí no es ni par ni impar.
4. Y = 0 para x = 1.
5. La curva decrece en toda su longitud. Algunas propiedades del arcocoseno son las mismas que las de la función coseno.

Algunas propiedades del arcocoseno son las mismas que las de la función coseno.

Es posible que un estudio tan "detallado" de los "arcos" parezca superfluo para los escolares. Sin embargo, de lo contrario, algunas tareas elementales típicas de USE pueden llevar a los estudiantes a un callejón sin salida.

Ejercicio 1. Especifique las funciones que se muestran en la figura.

Responder: arroz. 1 - 4, figura 2 - 1.

En este ejemplo, el énfasis está en las pequeñas cosas. Por lo general, los estudiantes no prestan mucha atención a la construcción de gráficos y la aparición de funciones. De hecho, ¿por qué memorizar la forma de la curva, si siempre se puede construir a partir de puntos calculados? No olvide que, en condiciones de prueba, el tiempo dedicado a dibujar para una tarea simple se requerirá para resolver tareas más complejas.

arcotangente

Arctg el número a es un valor del ángulo α tal que su tangente es igual a a.

Si consideramos la gráfica del arco tangente, podemos distinguir las siguientes propiedades:

1. El gráfico es infinito y está definido en el intervalo (- ∞; + ∞).
2. La arcotangente es una función impar, por lo tanto, arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 para x = 0.
4. La curva aumenta en todo el dominio de definición.

Hagamos un breve análisis comparativo de tg x y arctg x en forma de tabla.

Arco tangente

Arcctg del número a - toma tal valor de α del intervalo (0; π) que su cotangente es igual a a.

Propiedades de la función arco cotangente:

1. El intervalo de definición de la función es infinito.
2. El rango de valores admisibles es el intervalo (0; π).
3. F(x) no es ni par ni impar.
4. A lo largo de su longitud, la gráfica de la función decrece.

Comparar ctg x y arctg x es muy sencillo, solo necesitas dibujar dos dibujos y describir el comportamiento de las curvas.

Tarea 2. Relaciona la gráfica y la forma de la función.

Lógicamente, las gráficas muestran que ambas funciones son crecientes. Por lo tanto, ambas figuras muestran alguna función arctg. Se sabe por las propiedades del arco tangente que y=0 para x = 0,

Responder: arroz. 1 - 1, figura. 2-4.

Identidades trigonométricas arcsin, arcos, arctg y arcctg

Anteriormente, ya hemos identificado la relación entre los arcos y las principales funciones de la trigonometría. Esta dependencia se puede expresar mediante una serie de fórmulas que permiten expresar, por ejemplo, el seno de un argumento a través de su arcoseno, arcocoseno o viceversa. El conocimiento de tales identidades puede ser útil para resolver ejemplos específicos.

También hay proporciones para arctg y arcctg:

Otro par de fórmulas útiles establece el valor de la suma de los valores arcsin y arcos y arcctg y arcctg del mismo ángulo.

Ejemplos de resolución de problemas

Las tareas de trigonometría se pueden dividir condicionalmente en cuatro grupos: calcular el valor numérico de una expresión particular, trazar una función dada, encontrar su dominio de definición u ODZ y realizar transformaciones analíticas para resolver el ejemplo.

Al resolver el primer tipo de tareas, es necesario cumplir con el siguiente plan de acción:

Cuando se trabaja con gráficos de funciones, lo principal es el conocimiento de sus propiedades y la apariencia de la curva. Se necesitan tablas de identidades para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas. Cuantas más fórmulas recuerde el estudiante, más fácil será encontrar la respuesta a la tarea.

Supongamos que en el examen es necesario encontrar la respuesta para una ecuación del tipo:

Si transforma correctamente la expresión y la lleva a la forma deseada, entonces resolverla es muy simple y rápido. Primero, movamos arcsen x al lado derecho de la ecuación.

Si recordamos la fórmula arcsen (sinα) = α, entonces podemos reducir la búsqueda de respuestas a resolver un sistema de dos ecuaciones:

La restricción sobre el modelo x surgió, nuevamente de las propiedades de arcsen: ODZ para x [-1; una]. Cuando a ≠ 0, parte del sistema es una ecuación cuadrática con raíces x1 = 1 y x2 = - 1/a. Con a = 0, x será igual a 1.

Dado que las funciones trigonométricas son periódicas, las funciones inversas a ellas no tienen un solo valor. Entonces, la ecuación y = pecado x, dado , tiene infinitas raíces. De hecho, debido a la periodicidad del seno, si x es tal raíz, entonces x + 2n(donde n es un número entero) también será la raíz de la ecuación. De este modo, Las funciones trigonométricas inversas tienen varios valores.. Para facilitar el trabajo con ellos, se introduce el concepto de sus principales valores. Considere, por ejemplo, el seno: y = pecado x. Si limitamos el argumento x al intervalo , entonces sobre él la función y = pecado x aumenta monótonamente. Por lo tanto, tiene una función inversa de un solo valor, que se llama arcoseno: x = arcsen y.

A menos que se indique lo contrario, las funciones trigonométricas inversas significan sus valores principales, que están definidos por las siguientes definiciones.

arcoseno ( y= arcosen x) es la función inversa del seno ( x= seno
Arco coseno ( y= arco cos x) es la función inversa del coseno ( x= acogedor) que tiene un dominio de definición y un conjunto de valores.
arcotangente ( y= arco x) es la función inversa de la tangente ( x= tg y) que tiene un dominio de definición y un conjunto de valores.
Arco tangente ( y= arcctg x) es la función inversa de la cotangente ( x= ctg y) que tiene un dominio de definición y un conjunto de valores.

Gráficas de funciones trigonométricas inversas

Las gráficas de funciones trigonométricas inversas se obtienen a partir de gráficas de funciones trigonométricas por reflexión especular con respecto a la recta y = x. Ver secciones Seno, coseno, Tangente, cotangente.

y= arcosen x

y= arco cos x

y= arco x

y= arcctg x

fórmulas básicas

Aquí, se debe prestar especial atención a los intervalos para los cuales las fórmulas son válidas.

arcosen(sen x) = x a
sin(arcosen x) = x
arccos(cos x) = x a
cos(arcos cos x) = x

arctg(tg x) = x a
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x a
ctg(arctg x) = x

Fórmulas que relacionan funciones trigonométricas inversas

Ver también: Derivación de fórmulas para funciones trigonométricas inversas

Fórmulas de suma y diferencia

en o

en y

en y

en o

en y

en y

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Referencias:
EN. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes de Instituciones de Educación Superior, Lan, 2009.

(funciones circulares, funciones de arco) - funciones matemáticas que son inversas a las funciones trigonométricas.

Arco coseno, función inversa de cos (x = cos y), y= arccos X se define para y tiene un conjunto de valores. En otras palabras, devuelve el ángulo por su valor porque.

Arco coseno(símbolo: arco cos x; arco cos x es el ángulo cuyo coseno es igual a X y así).

Función y = cos x continua y acotada a lo largo de toda su recta numérica. Función y = arc cos x es estrictamente decreciente.

Propiedades de la función arcsen.

Obtención de la función arccos.

Dada una función y = cos x. Es monótono por partes en todo su dominio de definición y, por lo tanto, la correspondencia inversa y = arc cos x no es una función. Por lo tanto, consideraremos el segmento en el que disminuye estrictamente y toma todos sus valores. En este segmento y = cos x decrece estrictamente monótonamente y toma todos sus valores una sola vez, lo que significa que existe una función inversa en el intervalo y = arc cos x, cuya gráfica es simétrica a la gráfica y = cos x en un segmento de recta y=x.