Cómo sumar fracciones comunes con los mismos denominadores. Suma de fracciones con números enteros y diferentes denominadores
Acciones con fracciones.
¡Atención!
Hay adicionales
material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")
Entonces, ¿qué son las fracciones, los tipos de fracciones, las transformaciones? Lo recordamos. Abordemos la cuestión principal.
¿Qué puedes hacer con fracciones? Sí, todo es igual que con los números ordinarios. Sumar, restar, multiplicar, dividir.
Todas estas acciones con decimal Las operaciones con fracciones no son diferentes de las operaciones con números enteros. En realidad, para eso sirven, decimal. Lo único es que necesitas poner la coma correctamente.
Numeros mezclados, como dije, son de poca utilidad para la mayoría de las acciones. Todavía necesitan ser convertidos a fracciones ordinarias.
Y aquí están las acciones con fracciones ordinarias será más inteligente. ¡Y mucho más importante! Déjame recordarte: todas las acciones con expresiones fraccionarias con letras, senos, incógnitas, etc., no son diferentes de las acciones con fracciones ordinarias! Las operaciones con fracciones ordinarias son la base de todo el álgebra. Es por ello que analizaremos aquí con gran detalle toda esta aritmética.
Suma y resta de fracciones.
Todos pueden sumar (restar) fracciones con los mismos denominadores (¡realmente espero!). Bueno, déjame recordarte que soy completamente olvidadizo: al sumar (restar), el denominador no cambia. Los numeradores se suman (restan) para dar el numerador del resultado. Escribe:
En resumen, en términos generales:
¿Qué pasa si los denominadores son diferentes? Luego, usando la propiedad principal de la fracción (¡aquí volvió a ser útil!), ¡Hacemos los mismos denominadores! Por ejemplo:
Aquí tuvimos que hacer la fracción 4/10 de la fracción 2/5. Únicamente con el propósito de hacer que los denominadores sean iguales. Tomo nota, por si acaso, que 2/5 y 4/10 son la misma fracción! Solo 2/5 nos resulta incómodo, y 4/10 es incluso nada.
Por cierto, esta es la esencia de resolver cualquier tarea en matemáticas. cuando estamos fuera incómodo las expresiones hacen lo mismo, pero más conveniente para resolver.
Otro ejemplo:
La situación es parecida. Aquí hacemos 48 de 16. Por simple multiplicación por 3. Todo esto está claro. Pero aquí nos encontramos con algo como:
¡¿Cómo ser?! ¡Es difícil sacar un nueve de un siete! ¡Pero somos inteligentes, conocemos las reglas! vamos a transformar cada fracción para que los denominadores sean iguales. Esto se llama "reducir a un denominador común":
¡Cómo! ¿Cómo supe del 63? ¡Muy simple! 63 es un número que es divisible por 7 y 9 al mismo tiempo. Tal número siempre se puede obtener multiplicando los denominadores. Si multiplicamos un número por 7, por ejemplo, ¡entonces el resultado seguramente se dividirá por 7!
Si necesitas sumar (restar) varias fracciones, no hace falta hacerlo por parejas, paso a paso. Solo necesitas encontrar el denominador que es común a todas las fracciones y llevar cada fracción a este mismo denominador. Por ejemplo:
¿Y cuál será el común denominador? Por supuesto, puedes multiplicar 2, 4, 8 y 16. Obtenemos 1024. Pesadilla. Es más fácil estimar que el número 16 es perfectamente divisible por 2, 4 y 8. Por lo tanto, de estos números es fácil obtener 16. Este número será el común denominador. Convirtamos 1/2 en 8/16, 3/4 en 12/16 y así sucesivamente.
Por cierto, si tomamos 1024 como denominador común, todo saldrá bien, al final todo se reducirá. Solo que no todos llegarán a este fin, debido a los cálculos ...
Resuelva el ejemplo usted mismo. No es un logaritmo... Debería ser 29/16.
Entonces, con la suma (resta) de fracciones queda claro, ¿espero? Por supuesto, es más fácil trabajar en una versión abreviada, con multiplicadores adicionales. Pero este placer está disponible para aquellos que trabajaron honestamente en los grados inferiores ... Y no olvidaron nada.
Y ahora haremos las mismas acciones, pero no con fracciones, sino con expresiones fraccionarias. Aquí se encontrarán nuevos rastrillos, sí...
Entonces, necesitamos sumar dos expresiones fraccionarias:
Tenemos que hacer que los denominadores sean iguales. Y solo con la ayuda multiplicación! Así que la propiedad principal de la fracción dice. Por lo tanto, no puedo sumar uno a x en la primera fracción del denominador. (¡Pero eso sería bueno!). Pero si multiplicas los denominadores, verás, ¡todo crecerá junto! Entonces escribimos, la línea de la fracción, dejamos un espacio vacío arriba, luego lo sumamos y escribimos el producto de los denominadores debajo, para no olvidar:
Y, por supuesto, no multiplicamos nada en el lado derecho, ¡no abrimos corchetes! Y ahora, mirando el denominador común del lado derecho, pensamos: para obtener el denominador x (x + 1) en la primera fracción, necesitamos multiplicar el numerador y el denominador de esta fracción por (x + 1) . Y en la segunda fracción - x. Obtienes esto:
¡Nota! ¡Los paréntesis están aquí! Este es el rastrillo que muchos pisan. No corchetes, por supuesto, sino su ausencia. Los paréntesis aparecen porque multiplicamos El conjunto numerador y El conjunto¡denominador! Y no sus piezas individuales...
En el numerador del lado derecho, escribimos la suma de los numeradores, todo es como en fracciones numéricas, luego abrimos los paréntesis en el numerador del lado derecho, es decir multiplica todo y dale like. ¡No necesitas abrir los paréntesis en los denominadores, no necesitas multiplicar algo! En general, en denominadores (cualquiera) ¡el producto siempre es más agradable! Obtenemos:
Aquí tenemos la respuesta. El proceso parece largo y difícil, pero depende de la práctica. Resuelve ejemplos, acostúmbrate, todo se volverá simple. Aquellos que hayan dominado las fracciones en el tiempo asignado, ¡hagan todas estas operaciones con una mano, en la máquina!
Y una nota más. Muchos tratan con fracciones, pero se aferran a ejemplos con entero números. Tipo: 2 + 1/2 + 3/4= ? ¿Dónde sujetar un deuce? No es necesario sujetarlo en ningún lado, debe hacer una fracción de un dos. ¡No es fácil, es muy simple! 2=2/1. Como esto. Cualquier número entero se puede escribir como una fracción. El numerador es el mismo número, el denominador es uno. 7 es 7/1, 3 es 3/1 y así sucesivamente. Es lo mismo con las letras. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1, etc. Y luego trabajamos con estas fracciones de acuerdo con todas las reglas.
Bueno, en la suma - resta de fracciones, se actualizó el conocimiento. Transformaciones de fracciones de un tipo a otro - repetidas. También puedes consultar. ¿Nos acomodamos un poco?)
Calcular:
Respuestas (en desorden):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Multiplicación / división de fracciones - en la próxima lección. También hay tareas para todas las acciones con fracciones.
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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)
puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Puede realizar varias acciones con fracciones, por ejemplo, sumar fracciones. La suma de fracciones se puede dividir en varios tipos. Cada tipo de suma de fracciones tiene sus propias reglas y algoritmo de acciones. Echemos un vistazo más de cerca a cada tipo de adición.
Suma de fracciones con el mismo denominador.
Por ejemplo, veamos cómo sumar fracciones con un denominador común.
Los excursionistas hicieron una caminata del punto A al punto E. El primer día, caminaron del punto A al B, o \(\frac(1)(5)\) todo el camino. El segundo día fueron del punto B al D o \(\frac(2)(5)\) todo el camino. ¿Qué distancia recorrieron desde el comienzo del viaje hasta el punto D?
Para encontrar la distancia del punto A al punto D, suma las fracciones \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).
Sumar fracciones con los mismos denominadores es que necesitas sumar los numeradores de estas fracciones, y el denominador seguirá siendo el mismo.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
En forma literal, la suma de fracciones con los mismos denominadores se verá así:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Respuesta: los turistas viajaron \(\frac(3)(5)\) todo el camino.
Suma de fracciones con distinto denominador.
Considere un ejemplo:
Suma dos fracciones \(\frac(3)(4)\) y \(\frac(2)(7)\).
Para sumar fracciones con diferentes denominadores, primero debes encontrar, y luego usa la regla para sumar fracciones con los mismos denominadores.
Para los denominadores 4 y 7, el común denominador es 28. La primera fracción \(\frac(3)(4)\) se debe multiplicar por 7. La segunda fracción \(\frac(2)(7)\) se debe multiplicado por 4
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ veces \color(rojo) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
En forma literal, obtenemos la siguiente fórmula:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)
Adición de números mixtos o fracciones mixtas.
La adición ocurre de acuerdo con la ley de la adición.
Para fracciones mixtas, sume las partes enteras a las partes enteras y las partes fraccionarias a las partes fraccionarias.
Si las partes fraccionarias de los números mixtos tienen el mismo denominador, sumamos los numeradores y el denominador sigue siendo el mismo.
Suma los números mixtos \(3\frac(6)(11)\) y \(1\frac(3)(11)\).
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(red) (3) + \color(blue) (\frac(6)(11))) + ( \color(rojo) (1) + \color(azul) (\frac(3)(11))) = (\color(rojo) (3) + \color(rojo) (1)) + (\color( azul) (\frac(6)(11)) + \color(azul) (\frac(3)(11))) = \color(rojo)(4) + (\color(azul) (\frac(6 + 3)(11))) = \color(rojo)(4) + \color(azul) (\frac(9)(11)) = \color(rojo)(4) \color(azul) (\frac (9)(11))\)
Si las partes fraccionarias de números mixtos tienen distintos denominadores, entonces encontramos un denominador común.
Sumemos los números mixtos \(7\frac(1)(8)\) y \(2\frac(1)(6)\).
El denominador es diferente, por lo que necesitas encontrar un denominador común, es igual a 24. Multiplica la primera fracción \(7\frac(1)(8)\) por un factor adicional de 3, y la segunda fracción \( 2\frac(1)(6)\) en 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1 \times \color(rojo) (4))(6 \times \color(rojo) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
Preguntas relacionadas:
¿Cómo sumar fracciones?
Respuesta: primero debe decidir a qué tipo pertenece la expresión: las fracciones tienen los mismos denominadores, diferentes denominadores o fracciones mixtas. Dependiendo del tipo de expresión, se procede al algoritmo de solución.
¿Cómo resolver fracciones con diferente denominador?
Respuesta: necesitas encontrar un denominador común y luego seguir la regla de sumar fracciones con los mismos denominadores.
¿Cómo resolver fracciones mixtas?
Respuesta: Sumar partes enteras a partes enteras y partes fraccionarias a partes fraccionarias.
Ejemplo 1:
¿Puede la suma de dos dar como resultado una fracción propia? Fracción incorrecta? Dar ejemplos.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
La fracción \(\frac(5)(7)\) es una fracción propia, es el resultado de la suma de dos fracciones propias \(\frac(2)(7)\) y \(\frac(3) (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
La fracción \(\frac(58)(45)\) es una fracción impropia, es el resultado de la suma de las fracciones propias \(\frac(2)(5)\) y \(\frac(8) (9)\).
Respuesta: La respuesta es sí a ambas preguntas.
Ejemplo #2:
Sumar fracciones: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\).
a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(rojo) (3))(3 \times \color(rojo) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
Ejemplo #3:
Escribe la fracción mixta como la suma de un número natural y una fracción propia: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)
a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
Ejemplo #4:
Calcula la suma: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)
c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2 \times 3)(5 \times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
Tarea 1:
En la cena comieron \(\frac(8)(11)\) del pastel, y por la noche en la cena comieron \(\frac(3)(11)\). ¿Crees que el pastel se comió por completo o no?
Solución:
El denominador de la fracción es 11, indica en cuántas partes se dividió el pastel. Para el almuerzo, comimos 8 pedazos de pastel de 11. En la cena, comimos 3 pedazos de pastel de 11. Sumamos 8 + 3 = 11, comimos pedazos de pastel de 11, es decir, todo el pastel.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Respuesta: Se comieron todo el pastel.
En esta lección, consideraremos la suma y resta de fracciones algebraicas con diferentes denominadores. Ya sabemos sumar y restar fracciones comunes con distinto denominador. Para hacer esto, las fracciones deben reducirse a un denominador común. Resulta que las fracciones algebraicas siguen las mismas reglas. Al mismo tiempo, ya sabemos cómo reducir fracciones algebraicas a un denominador común. Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores es uno de los temas más importantes y difíciles en el curso de octavo grado. Además, este tema se encontrará en muchos temas del curso de álgebra, que estudiará en el futuro. Como parte de la lección, estudiaremos las reglas para sumar y restar fracciones algebraicas con diferentes denominadores, y analizaremos varios ejemplos típicos.
Considere el ejemplo más simple para fracciones ordinarias.
Ejemplo 1 Sumar fracciones: .
Solución:
Recuerda la regla para sumar fracciones. Para empezar, las fracciones deben reducirse a un denominador común. El común denominador de las fracciones ordinarias es minimo común multiplo(mcm) de los denominadores originales.
Definición
El menos número natural, que es divisible simultáneamente por números y .
Para encontrar el MCM, es necesario descomponer los denominadores en factores primos y luego seleccionar todos los factores primos que están incluidos en la expansión de ambos denominadores.
; . Entonces el MCM de los números debe incluir dos 2 y dos 3: .
Después de encontrar el común denominador, es necesario encontrar un factor adicional para cada una de las fracciones (de hecho, dividir el común denominador por el denominador de la fracción correspondiente).
Luego, cada fracción se multiplica por el factor adicional resultante. Obtenemos fracciones con los mismos denominadores, que aprendimos a sumar y restar en lecciones anteriores.
Obtenemos: 
.
Responder:.
Considere ahora la suma de fracciones algebraicas con diferentes denominadores. Primero considera fracciones cuyos denominadores son números.
Ejemplo 2 Sumar fracciones: .
Solución:
El algoritmo de solución es absolutamente similar al ejemplo anterior. Es fácil encontrar un denominador común para estas fracciones: y factores adicionales para cada una de ellas.
.
Responder:.
Así que vamos a formular algoritmo para sumar y restar fracciones algebraicas con diferentes denominadores:
1. Encuentra el mínimo común denominador de las fracciones.
2. Encuentra factores adicionales para cada una de las fracciones (al dividir el denominador común por el denominador de esta fracción).
3. Multiplica los numeradores por los factores adicionales apropiados.
4. Sumar o restar fracciones usando las reglas para sumar y restar fracciones con el mismo denominador.
Considere ahora un ejemplo con fracciones en cuyo denominador hay expresiones literales.
Ejemplo 3 Sumar fracciones: .
Solución:
Dado que las expresiones literales en ambos denominadores son iguales, debes encontrar un denominador común para los números. El denominador común final se verá así: . Así que la solución a este ejemplo es:
Responder:.
Ejemplo 4 Restar fracciones: .
Solución:
Si no puedes “hacer trampa” al elegir un denominador común (no puedes factorizarlo o usar las fórmulas de multiplicación abreviada), entonces tienes que tomar el producto de los denominadores de ambas fracciones como denominador común.
Responder:.
En general, al resolver tales ejemplos, la tarea más difícil es encontrar un denominador común.
Veamos un ejemplo más complejo.
Ejemplo 5 simplifica: .
Solución:
Al encontrar un denominador común, primero debe tratar de factorizar los denominadores de las fracciones originales (para simplificar el denominador común).
En este caso particular:
Entonces es fácil determinar el común denominador: 
.
Determinamos factores adicionales y resolvemos este ejemplo:
Responder:.
Ahora arreglaremos las reglas para sumar y restar fracciones con diferentes denominadores.
Ejemplo 6 simplifica: .
Solución:
Responder:.
Ejemplo 7 simplifica: .
Solución:
.
Responder:.
Considere ahora un ejemplo en el que no se suman dos, sino tres fracciones (después de todo, las reglas para la suma y resta de más fracciones siguen siendo las mismas).
Ejemplo 8 simplifica: .
Considera la fracción $\frac63$. Su valor es 2, ya que $\frac63 =6:3 = 2$. ¿Qué sucede si el numerador y el denominador se multiplican por 2? $\frac63\times 2=\frac(12)(6)$. Obviamente, el valor de la fracción no ha cambiado, por lo que $\frac(12)(6)$ también es igual a 2 cuando y. multiplicar el numerador y el denominador por 3 y obtienes $\frac(18)(9)$, o por 27 y obtienes $\frac(162)(81)$ o por 101 y obtienes $\frac(606)(303)$. En cada uno de estos casos, el valor de la fracción que obtenemos al dividir el numerador por el denominador es 2. Esto significa que no ha cambiado.
El mismo patrón se observa en el caso de otras fracciones. Si el numerador y el denominador de la fracción $\frac(120)(60)$ (igual a 2) se divide por 2 (resultado de $\frac(60)(30)$), o por 3 (resultado de $\ frac(40)(20) $), o por 4 (el resultado de $\frac(30)(15)$) y así sucesivamente, entonces en cada caso el valor de la fracción permanece sin cambios e igual a 2.
Esta regla también se aplica a las fracciones que no son iguales. número entero.
Si el numerador y el denominador de la fracción $\frac(1)(3)$ se multiplican por 2, obtenemos $\frac(2)(6)$, es decir, el valor de la fracción no ha cambiado. Y de hecho, si divides la tarta en 3 partes y coges una de ellas, o la divides en 6 partes y coges 2 partes, obtendrás la misma cantidad de tarta en ambos casos. Por lo tanto, los números $\frac(1)(3)$ y $\frac(2)(6)$ son idénticos. Formulemos una regla general.
El numerador y el denominador de cualquier fracción se pueden multiplicar o dividir por el mismo número, y el valor de la fracción no cambia.
Esta regla es muy útil. Por ejemplo, permite en algunos casos, pero no siempre, evitar operaciones con números grandes.
Por ejemplo, podemos dividir el numerador y el denominador de la fracción $\frac(126)(189)$ por 63 y obtener la fracción $\frac(2)(3)$ que es mucho más fácil de calcular. Un ejemplo más. Podemos dividir el numerador y el denominador de la fracción $\frac(155)(31)$ por 31 y obtener la fracción $\frac(5)(1)$ o 5, ya que 5:1=5.
En este ejemplo, nos encontramos por primera vez una fracción cuyo denominador es 1. Tales fracciones juegan un papel importante en los cálculos. Debe recordarse que cualquier número se puede dividir por 1 y su valor no cambiará. Es decir, $\frac(273)(1)$ es igual a 273; $\frac(509993)(1)$ es igual a 509993 y así sucesivamente. Por lo tanto, no tenemos que dividir números por , ya que todo número entero se puede representar como una fracción con denominador 1.
Con tales fracciones, cuyo denominador es igual a 1, puedes realizar las mismas operaciones aritméticas que con todas las demás fracciones: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
Te preguntarás de qué sirve representar un número entero como una fracción, que tendrá una unidad debajo de la barra, porque es más conveniente trabajar con un número entero. Pero el hecho es que la representación de un número entero como una fracción nos da la oportunidad de realizar varias acciones de manera más eficiente cuando estamos tratando con números enteros y fraccionarios al mismo tiempo. Por ejemplo, para aprender sumar fracciones con distinto denominador. Supongamos que necesitamos sumar $\frac(1)(3)$ y $\frac(1)(5)$.
Sabemos que solo puedes sumar fracciones cuyos denominadores sean iguales. Entonces, necesitamos aprender cómo llevar fracciones a tal forma cuando sus denominadores son iguales. En este caso, nuevamente necesitamos el hecho de que puedes multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número sin cambiar su valor.
Primero, multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción $\frac(1)(3)$ por 5. Obtenemos $\frac(5)(15)$, el valor de la fracción no ha cambiado. Luego multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción $\frac(1)(5)$ por 3. Obtenemos $\frac(3)(15)$, nuevamente el valor de la fracción no ha cambiado. Por lo tanto, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Ahora intentemos aplicar este sistema a la suma de números que contienen tanto partes enteras como fraccionarias.
Necesitamos sumar $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Primero, convertimos todos los términos en fracciones y obtenemos: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Ahora necesitamos llevar todas las fracciones a un denominador común, para esto multiplicamos el numerador y el denominador de la primera fracción por 12, la segunda por 4 y la tercera por 3. Como resultado, obtenemos $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, que es igual a $\frac(55)(12)$. Si quieres deshacerte de fracción impropia, se puede convertir en un número que consta de un entero y una parte fraccionaria: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ o $4\frac( 7)(12)$.
Todas las reglas que permiten operaciones con fracciones, que acabamos de estudiar, también son válidas en el caso de los números negativos. Entonces, -1: 3 se puede escribir como $\frac(-1)(3)$, y 1: (-3) como $\frac(1)(-3)$.
Dado que tanto dividir un número negativo entre un número positivo como dividir un número positivo entre un número negativo da como resultado números negativos, en ambos casos obtendremos la respuesta en forma de número negativo. Eso es
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ o $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. El signo menos, cuando se escribe de esta manera, se refiere a la fracción completa como un todo, y no al numerador o al denominador por separado.
Por otro lado, (-1) : (-3) se puede escribir como $\frac(-1)(-3)$, y dado que dividir un número negativo entre otro número negativo da un número positivo, entonces $\frac (-1 )(-3)$ se puede escribir como $+\frac(1)(3)$.
La suma y resta de fracciones negativas se realiza de la misma forma que la suma y resta de fracciones positivas. Por ejemplo, ¿cuánto es $1- 1\frac13$? Representemos ambos números como fracciones y obtengamos $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Reduzcamos las fracciones a un denominador común y obtengamos $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, es decir, $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, o $-\frac(1)(3)$.
En el siglo V aC, el antiguo filósofo griego Zenón de Elea formuló sus famosas aporías, la más famosa de las cuales es la aporía "Aquiles y la tortuga". Así es como suena:Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que Aquiles corre esta distancia, la tortuga se arrastra cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles haya corrido cien pasos, la tortuga se arrastrará otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.
Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Gilbert... Todos ellos, de una forma u otra, consideraron las aporías de Zenón. El susto fue tan fuerte que" ... las discusiones continúan en la actualidad, la comunidad científica aún no ha logrado llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... el análisis matemático, la teoría de conjuntos, nuevos enfoques físicos y filosóficos se involucraron en el estudio del tema ; ninguno de ellos se convirtió en una solución universalmente aceptada para el problema...“[Wikipedia, “Aporias de Zeno”]. Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende cuál es el engaño.
Desde el punto de vista de las matemáticas, Zenón en su aporía demostró claramente la transición del valor a. Esta transición implica aplicar en lugar de constantes. Según tengo entendido, el aparato matemático para aplicar unidades de medida variables o aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. La aplicación de nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por la inercia del pensamiento, aplicamos unidades constantes de tiempo al recíproco. Desde un punto de vista físico, parece como si el tiempo se detuviera por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no puede alcanzar a la tortuga.
Si le damos la vuelta a la lógica a la que estamos acostumbrados, todo encaja. Aquiles corre a una velocidad constante. Cada segmento subsiguiente de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo empleado en superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará infinitamente rápido a la tortuga".
¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a valores recíprocos. En el lenguaje de Zeno, se ve así:
En el tiempo que tarda Aquiles en correr mil pasos, la tortuga se arrastra cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo, igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.
Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero no lo es solución completa Problemas. La afirmación de Einstein sobre la insuperabilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón "Aquiles y la tortuga". Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución hay que buscarla no en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.
Otra interesante aporía de Zenón habla de una flecha voladora:
Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento del tiempo está en reposo, y como está en reposo en cada momento del tiempo, siempre está en reposo.
En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta aclarar que en cada momento del tiempo la flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, en realidad, es movimiento. Hay otro punto a señalar aquí. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera, es imposible determinar el hecho de su movimiento o la distancia hasta él. Para determinar el hecho del movimiento del automóvil, se necesitan dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos, pero no se pueden usar para determinar la distancia. Para determinar la distancia al automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos en el espacio al mismo tiempo, pero no puede determinar el hecho del movimiento a partir de ellas (por supuesto, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará) . Lo que quiero señalar en particular es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son dos cosas diferentes que no deben confundirse ya que brindan diferentes oportunidades de exploración.
miércoles, 4 de julio de 2018
Muy bien las diferencias entre set y multiset se describen en Wikipedia. Miramos.
Como puede ver, "el conjunto no puede tener dos elementos idénticos", pero si hay elementos idénticos en el conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Los seres razonables nunca comprenderán tal lógica del absurdo. Este es el nivel de los loros que hablan y los monos entrenados, en los que la mente está ausente de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como formadores ordinarios, predicándonos sus ideas absurdas.
Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente durante las pruebas del puente. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.
Por más que los matemáticos se escondan detrás de la frase "atención, estoy en la casa", o más bien "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Apliquemos la teoría matemática de conjuntos a los propios matemáticos.
Estudiamos muy bien las matemáticas y ahora estamos sentados en la caja, pagando salarios. Aquí un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos la cantidad total y la colocamos en nuestra mesa en diferentes montones, en los que ponemos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su "conjunto de salarios matemáticos". Le explicamos las matemáticas de que recibirá el resto de billetes sólo cuando demuestre que el conjunto sin elementos idénticos no es igual al conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde la diversión comienza.
En primer lugar, la lógica de los diputados funcionará: "¡puedes aplicarlo a otros, pero no a mí!" Además, comenzarán las garantías de que en los billetes de la misma denominación existen números de billetes distintos, por lo que no pueden considerarse elementos idénticos. Bueno, contamos el salario en monedas, no hay números en las monedas. Aquí el matemático recordará frenéticamente la física: diferentes monedas tienen diferentes cantidades de suciedad, la estructura cristalina y la disposición de los átomos de cada moneda es única...
Y ahora tengo más interés Preguntar: ¿dónde está el límite más allá del cual los elementos de un conjunto múltiple se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia aquí ni siquiera está cerca.
Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma área de campo. El área de los campos es la misma, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si consideramos los nombres de los mismos estadios, obtenemos mucho, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un conjunto múltiple. ¿Cuánta razón? Y aquí el matemático-chamán-shuller saca un as de triunfo de la manga y comienza a hablarnos sobre un set o un multiset. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.
Para comprender cómo los chamanes modernos operan con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta con responder una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Les mostraré, sin ningún "concebible como no un todo único" o "no concebible como un todo único".
domingo, 18 de marzo de 2018
La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandereta, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas se nos enseña a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarlo, pero los chamanes son para eso, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario, los chamanes simplemente se extinguirán.
¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". ella no existe No existe una fórmula en matemáticas mediante la cual puedas encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje de las matemáticas, la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo elementalmente.
Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número dado. Entonces, digamos que tenemos el número 12345. ¿Qué se necesita hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.
1. Escriba el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo gráfico numérico. Esto no es una operación matemática.
2. Cortamos una imagen recibida en varias imágenes que contienen números separados. Cortar una imagen no es una operación matemática.
3. Convierta caracteres gráficos individuales en números. Esto no es una operación matemática.
4. Suma los números resultantes. Ahora eso es matemáticas.
La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los "cursos de corte y costura" de los chamanes utilizados por los matemáticos. Pero eso no es todo.
Desde el punto de vista de las matemáticas, no importa en qué sistema numérico escribimos el número. Entonces, en diferentes sistemas numéricos, la suma de los dígitos del mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. Con un gran número de 12345, no quiero engañar a mi cabeza, considere el número 26 del artículo sobre. Escribamos este número en sistemas numéricos binarios, octales, decimales y hexadecimales. No consideraremos cada paso bajo un microscopio, ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.
Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos, la suma de los dígitos del mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si obtuvieras resultados completamente diferentes al determinar el área de un rectángulo en metros y centímetros.
El cero en todos los sistemas numéricos tiene el mismo aspecto y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que . Una pregunta para los matemáticos: ¿cómo se denota en matemáticas aquello que no es un número? ¿Qué, para los matemáticos, no existe nada más que números? Para los chamanes, puedo permitir esto, pero para los científicos, no. La realidad no se trata solo de números.
El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de los números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a resultados diferentes después de compararlas, entonces esto no tiene nada que ver con las matemáticas.
¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una acción matemática no depende del valor del número, la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.
¡Ay! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para estudiar la santidad indefinida de las almas al ascender al cielo! Nimbus arriba y flecha arriba. ¿Qué otro baño?
Femenino... Un halo en la parte superior y una flecha hacia abajo es masculino.
Si tiene una obra de arte de diseño de este tipo delante de sus ojos varias veces al día,
Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:
Personalmente, me esfuerzo por ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (composición de varias imágenes: signo menos, número cuatro, designación de grados). Y no considero tonta a esta chica que no sabe física. Ella solo tiene un estereotipo de arco de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. Aquí hay un ejemplo.
1A no es "menos cuatro grados" o "una a". Este es el "hombre cagando" o el número "veintiséis" en el sistema numérico hexadecimal. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente el número y la letra como un símbolo gráfico.
