Pravac a siječe jednu od dvije koje se sijeku. Vrste ravnih linija

pravci l1 i l2 nazivaju se kosi ako ne leže u istoj ravnini. Neka su a i b vektori smjera ovih pravaca, a točke M1 i M2 neka pripadaju pravcima l1 odnosno l2.

Tada vektori a, b, M1M2> nisu komplanarni, pa stoga njihov mješoviti umnožak nije jednak nuli, tj. (a, b, M1M2>) =/= 0. Obratna izjava također vrijedi: ako (a, b , M1M2> ) =/= 0, tada vektori a, b, M1M2> nisu komplanarni, pa stoga pravci l1 i l2 ne leže u istoj ravnini, odnosno sijeku se. Dakle, dva se pravca sijeku ako i samo ako je uvjet(a, b, M1M2>) =/= 0, gdje su a i b vektori smjera pravaca, a M1 i M2 su točke koje pripadaju tim pravcima. Uvjet (a, b, M1M2>) = 0 je nužan i dovoljan uvjet da pravci leže u istoj ravnini. Ako su pravci zadani svojim kanonskim jednadžbama

tada je a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) i uvjet (2) se piše na sljedeći način:

Udaljenost između križnih linija

ovo je udaljenost između jedne od linija koje se sijeku i ravnine koja je paralelna s njom, a prolazi kroz drugu liniju. Udaljenost između linija koje se sijeku je udaljenost od neke točke jedne od linija koje se sijeku do ravnine koja prolazi kroz drugu liniju paralelnu s prvom crta.

26.Definicija elipse, kanonska jednadžba. Derivacija kanonske jednadžbe. Svojstva.

Elipsa je geometrijsko mjesto točaka na ravnini za koje je zbroj udaljenosti do dviju fokusnih točaka F1 i F2 ove ravnine, zvanih žarišta, konstantna vrijednost. U ovom slučaju, podudarnost žarišta elipse je nije isključeno. Ako se okusi podudaraju, tada je elipsa krug. Za svaku elipsu možete pronaći kartezijanski koordinatni sustav takav da će elipsa biti opisana jednadžbom (kanonskom jednadžbom elipse):

Opisuje elipsu sa središtem u ishodištu, čije se osi podudaraju s koordinatnim osima.

Ako na desnoj strani postoji jedinica s predznakom minus, tada je rezultirajuća jednadžba:

opisuje zamišljenu elipsu. Takvu elipsu nemoguće je prikazati u realnoj ravnini.Označimo žarišta s F1 i F2, a udaljenost između njih s 2c, a zbroj udaljenosti od proizvoljne točke elipse do žarišta s 2a.

Za izvođenje jednadžbe elipse odabiremo koordinatni sustav Oxy tako da žarišta F1 i F2 leže na osi Ox, a ishodište se poklapa sa sredinom segmenta F1F2. Tada će žarišta imati sljedeće koordinate: i Neka je M(x;y) proizvoljna točka elipse. Tada, prema definiciji elipse, tj.

Ovo je, u biti, jednadžba elipse.

27. Definicija hiperbole, kanonska jednadžba. Derivacija kanonske jednadžbe. Svojstva

Hiperbola je geometrijsko mjesto točaka na ravnini za koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti do dviju fiksnih točaka F1 i F2 ove ravnine, koje se nazivaju žarišta, konstantna vrijednost. Neka je M(x;y) proizvoljna vrijednost točka hiperbole. Tada, prema definiciji hiperbole |MF 1 – MF 2 |=2a ili MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Definicija parabole, kanonska jednadžba. Derivacija kanonske jednadžbe. Svojstva. Parabola je HMT ravnine za koju je udaljenost do neke fiksne točke F te ravnine jednaka udaljenosti do neke fiksne ravne crte, koja se također nalazi u ravnini koja se razmatra. F – fokus parabole; fiksna linija je direktrisa parabole. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2 ; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4; g 2 =2px;

Svojstva: 1. Parabola ima os simetrije (os parabole); 2.Sve

parabola se nalazi u desnoj poluravnini ravnine Oxy pri p>0, a u lijevoj

ako str<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

Ako dva pravca u prostoru imaju zajedničku točku, kaže se da se ta dva pravca sijeku. Na sljedećoj slici pravci a i b sijeku se u točki A. Pravci a i c se ne sijeku.

Bilo koje dvije ravne crte ili imaju samo jednu zajedničku točku ili nemaju nijednu zajedničku točku.

Paralelne linije

Dva pravca u prostoru nazivaju se paralelnima ako leže u istoj ravnini i ne sijeku se. Za označavanje paralelnih linija koristite posebnu ikonu - ||.

Oznaka a||b znači da je pravac a paralelan s pravcem b. Na gornjoj slici, pravci a i c su paralelni.

Teorem o paralelnim pravcima

Kroz bilo koju točku u prostoru koja ne leži na zadanom pravcu, prolazi pravac paralelan zadanom i, štoviše, samo jedan.

Prelaženje granica

Dvije linije koje leže u istoj ravnini mogu se sijeći ili biti paralelne. Ali u prostoru dvije ravne linije ne moraju nužno pripadati ovoj ravnini. Mogu se nalaziti u dvije različite ravnine.

Očito je da se pravci koji se nalaze u različitim ravninama ne sijeku i nisu paralelni pravci. Dva pravca koja ne leže u istoj ravnini nazivaju se križanje ravnih linija.

Na sljedećoj slici prikazane su dvije prave a i b koje se sijeku i koje leže u različitim ravninama.

Test i teorem o kosim pravcima

Ako jedan od dva pravca leži u određenoj ravnini, a drugi pravac siječe tu ravninu u točki koja ne leži na prvom pravcu, tada se ti pravci sijeku.

Teorem o kosim pravcima: kroz svaki od dva pravca koji se sijeku prolazi ravnina paralelna s drugim pravcem, i to samo jedna.

Dakle, razmotrili smo sve moguće slučajeve međusobnog položaja linija u prostoru. Ima ih samo tri.

1. Pravci se sijeku. (Odnosno, imaju samo jednu zajedničku točku.)

2. Pravci su paralelni. (To jest, nemaju zajedničkih točaka i leže u istoj ravnini.)

3. Ravne linije se križaju. (Odnosno, nalaze se u različitim ravninama.)

Teorema. Ako jedan pravac leži u datoj ravnini, a drugi pravac siječe tu ravninu u točki koja ne pripada prvom pravcu, tada se te dvije linije sijeku. Znak križanja crta Dokaz. Neka pravac a leži u ravnini, a pravac b siječe ravninu u točki B koja ne pripada pravcu a. Kad bi pravci a i b ležali u istoj ravnini, tada bi u toj ravnini ležala i točka B. Budući da kroz pravac prolazi samo jedna ravnina i točka izvan te ravnine, ta ravnina mora biti ravnina. Ali tada bi pravac b ležao u ravnini, što je u suprotnosti s uvjetom. Prema tome, prave a i b ne leže u istoj ravnini, tj. križati.

Koliko ima pari kosih pravaca koji sadrže bridove pravilne trokutaste prizme? Rješenje: Za svaki brid baza postoje tri brida koji se s njim sijeku. Za svaki bočni rub postoje dva rebra koja se s njim križaju. Stoga je potreban broj pari kosih linija Vježba 5

Koliko ima pari kosih pravaca koji sadrže bridove pravilne šesterokutne prizme? Rješenje: Svaki brid baza sudjeluje u 8 parova križnih linija. Svaki bočni rub sudjeluje u 8 parova križnih linija. Stoga je potreban broj pari kosih linija 6. vježba

Predavanje: Pravci koji se sijeku, paralelni i križaju; okomitost linija

Crte koje se sijeku

Ako na ravnini postoji nekoliko ravnih linija, tada će se prije ili kasnije ili proizvoljno presijecati, ili pod pravim kutom, ili će biti paralelne. Pogledajmo svaki slučaj.

Oni pravci koji imaju barem jednu točku sjecišta mogu se nazvati sijekućima.

Možete se zapitati zašto barem jedna ravna linija ne može dva ili tri puta presijecati drugu ravnu liniju. U pravu si! Ali ravne linije mogu se potpuno podudarati jedna s drugom. U tom slučaju postojat će beskonačan broj zajedničkih točaka.

Paralelizam

Paralelno Možete imenovati one linije koje se nikad neće presijecati, čak ni u beskonačnosti.

Drugim riječima, paralelni su oni koji nemaju niti jednu zajedničku točku. Imajte na umu da je ova definicija važeća samo ako su pravci u istoj ravnini, ali ako nemaju zajedničkih točaka, jer su u različitim ravninama, tada se smatraju da se sijeku.

Primjeri paralelnih linija u životu: dva suprotna ruba ekrana monitora, crte u bilježnicama, kao i mnogi drugi dijelovi stvari koje imaju kvadratne, pravokutne i druge oblike.

Kada žele pismeno pokazati da je jedan pravac paralelan s drugim, koriste sljedeću oznaku a||b. Ovaj unos kaže da je pravac a paralelan s pravcem b.

Kada proučavate ovu temu, važno je razumjeti još jednu tvrdnju: kroz određenu točku na ravnini koja ne pripada danoj liniji, može se nacrtati jedna paralelna linija. Ali obratite pozornost, opet je ispravak u ravnini. Ako razmatramo trodimenzionalni prostor, tada možemo nacrtati beskonačan broj linija koje se neće sijeći, ali će se sijeći.

Izjava koja je gore opisana zove se aksiom paralelnih pravaca.

Okomitost

Izravne linije mogu se pozivati ​​samo ako okomito, ako se sijeku pod kutom jednakim 90 stupnjeva.

U prostoru se kroz određenu točku na pravcu može povući beskonačno mnogo okomitih pravaca. Međutim, ako govorimo o ravnini, tada kroz jednu točku na liniji možete nacrtati jednu okomitu liniju.

Ukrižene ravne linije. Sjekant

Ako se neke linije sijeku u određenoj točki pod proizvoljnim kutom, mogu se nazvati križanje.

Sve linije koje se sijeku imaju okomite i susjedne kutove.

Ako kutovi koje tvore dvije ravne crte koje se sijeku imaju jednu zajedničku stranicu, nazivaju se susjednim:

Zbroj susjednih kutova iznosi 180 stupnjeva.