Razmotrite poligon na koje je oblike podijeljen. Pravilni poligon

Kako se zove poligon? Vrste poligona. POLIGON, plošni geometrijski lik s tri ili više stranica koje se sijeku u tri ili više točaka (vrhova). Definicija. Poligon je geometrijska figura sa svih strana omeđena zatvorenom izlomljenom linijom, koja se sastoji od tri ili više segmenata (karika). Trokut je definitivno mnogokut. Poligon je lik koji ima pet ili više kutova.

Definicija. Četverokut je ravna geometrijska figura koja se sastoji od četiri točke (vrhovi četverokuta) i četiri uzastopna segmenta koji ih povezuju (stranice četverokuta).

Pravokutnik je četverokut sa svim pravim kutovima. Nazivaju se prema broju stranica ili vrhova: TROKUT (trostrani); KVADAGON (četverostrani); PETEROKUT (petostrani) itd. U elementarnoj geometriji lik se naziva lik omeđen ravnim linijama koje se nazivaju stranice. Točke u kojima se stranice sijeku nazivaju se vrhovima. Poligon ima više od tri kuta. Ovo je prihvaćeno ili dogovoreno.

Trokut je trokut. A četverokut također nije mnogokut, i ne zove se četverokut - on je ili kvadrat, romb ili trapez. Činjenica da mnogokut s tri strane i tri kuta ima svoje ime "trokut" ne oduzima mu status poligona.

Pogledajte što je "POLIGON" u drugim rječnicima:

Saznajemo da je ta figura ograničena zatvorenom isprekidanom linijom, koja pak može biti jednostavna, zatvorena. Razgovarajmo o tome da poligoni mogu biti ravni, pravilni ili konveksni. Tko još nije čuo za misteriozni Bermudski trokut u kojem brodovi i zrakoplovi netragom nestaju? Ali trokut, koji nam je poznat iz djetinjstva, prepun je puno zanimljivih i tajanstvenih stvari.

Iako se, naravno, lik koji se sastoji od tri kuta također može smatrati poligonom

Ali to nije dovoljno za karakterizaciju figure. Izlomljena linija A1A2...An je lik koji se sastoji od točaka A1,A2,...An i odsječaka A1A2, A2A3,... koji ih spajaju. Jednostavna zatvorena izlomljena crta naziva se mnogokut ako njezine susjedne karike ne leže na istoj ravnici (slika 5). Zamijenite određeni broj, na primjer 3, u riječi "mnogokut" umjesto dijela "mnogo". Dobit ćete trokut. Imajte na umu da, koliko ima kutova, toliko je i stranica, pa bi se ove figure mogle nazvati polilateralama.

Neka je A1A2...A n zadan konveksni poligon i n>3. Nacrtajmo dijagonale u njemu (iz jednog vrha)

Zbroj kutova svakog trokuta je 1800, a broj tih trokuta n je 2. Dakle, zbroj kutova konveksnog n - trokuta A1A2...A n je 1800* (n - 2). Teorem je dokazan. Vanjski kut konveksnog mnogokuta na danom vrhu je kut koji graniči s unutarnjim kutom mnogokuta na tom vrhu.

U četverokutu nacrtaj ravnu liniju tako da ga dijeli na tri trokuta

Četverokut nikada nema tri vrha na istoj liniji. Riječ "poligon" označava da sve figure u ovoj obitelji imaju "mnogo kutova". Izlomljena linija se naziva jednostavnom ako nema samosjecišta (sl. 2, 3).

Duljina izlomljene linije je zbroj duljina njezinih karika (slika 4). U slučaju n=3 teorem vrijedi. Dakle, kvadrat se može nazvati drugačije - pravilan četverokut. Takve su figure dugo zanimale obrtnike koji su ukrašavali zgrade.

Broj vrhova jednak je broju stranica. Polilinija se naziva zatvorenom ako joj se krajevi podudaraju. Oni su napravili lijepe šare, na primjer na parketu. Naša petokraka zvijezda je pravilna peterokutna zvijezda.

Ali nisu svi pravilni poligoni mogli poslužiti za izradu parketa. Pogledajmo pobliže dvije vrste poligona: trokut i četverokut. Mnogokut u kojem su svi unutarnji kutovi jednaki naziva se pravilnim. Poligoni se nazivaju prema broju stranica ili vrhova.

U ovoj lekciji ćemo započeti novu temu i predstaviti novi koncept za nas: "poligon". Razmotrit ćemo osnovne pojmove povezane s poligonima: stranice, vršni kutovi, konveksnost i nekonveksnost. Onda ćemo dokazati najvažnije činjenice, kao što je teorem o zbroju unutarnjih kutova mnogokuta, teorem o zbroju vanjskih kutova mnogokuta. Kao rezultat toga, približit ćemo se proučavanju posebnih slučajeva poligona, što ćemo razmotriti u daljnjim lekcijama.

Tema: Četverokuti

Lekcija: Poligoni

U tečaju geometrije proučavamo svojstva geometrijskih figura i već smo ispitali najjednostavnije od njih: trokute i krugove. U isto vrijeme, također smo raspravljali o specifičnim posebnim slučajevima ovih figura, kao što su pravi, jednakokračni i pravilni trokuti. Sada je vrijeme da razgovaramo o općenitijim i složenijim brojkama - poligoni.

S posebnim slučajem poligoni već smo upoznati - ovo je trokut (vidi sliku 1).

Riža. 1. Trokut

Već sam naziv naglašava da se radi o liku s tri kuta. Stoga, u poligon može ih biti mnogo, tj. više od tri. Na primjer, nacrtajmo peterokut (vidi sl. 2), tj. lik s pet kutova.

Riža. 2. Peterokut. Konveksni poligon

Definicija.Poligon- lik koji se sastoji od nekoliko točaka (više od dvije) i odgovarajućeg broja segmenata koji ih uzastopno povezuju. Te se točke nazivaju vrhovi poligon, a segmenti su stranke. U tom slučaju nijedna susjedna stranica ne leži na istoj pravoj liniji niti se dvije nesusjedne stranice sijeku.

Definicija.Pravilni poligon je konveksni mnogokut u kojem su sve stranice i kutovi jednaki.

Bilo koje poligon dijeli ravninu na dva područja: unutarnje i vanjsko. Unutrašnje područje također se naziva poligon.

Drugim riječima, kada se, primjerice, govori o peterokutu, misli se i na njegovu cjelokupnu unutarnju regiju i na njegovu granicu. A unutarnja regija uključuje sve točke koje leže unutar poligona, tj. točka se također odnosi na peterokut (vidi sliku 2).

Poligoni se također ponekad nazivaju n-kuti kako bi se naglasilo da se razmatra opći slučaj prisutnosti nekog nepoznatog broja kutova (n komada).

Definicija. Opseg poligona- zbroj duljina stranica mnogokuta.

Sada se trebamo upoznati s vrstama poligona. Dijele se na konveksan I nekonveksan. Na primjer, poligon prikazan na Sl. 2 je konveksan, a na Sl. 3 nekonveksna.

Riža. 3. Nekonveksni poligon

Definicija 1. Poligon nazvao konveksan, ako pri povlačenju ravne crte kroz bilo koju njegovu stranicu, cijeli poligon leži samo s jedne strane ove ravne linije. Nekonveksan su svi ostali poligoni.

Lako je zamisliti da kada produžite bilo koju stranicu peterokuta na Sl. 2 sve će biti s jedne strane ove ravne crte, tj. konveksan je. Ali kada crtate ravnu liniju kroz četverokut na Sl. 3 već vidimo da ga dijeli na dva dijela, t j . nije konveksan.

Ali postoji još jedna definicija konveksnosti poligona.

Definicija 2. Poligon nazvao konveksan, ako su pri odabiru bilo koje dvije njegove unutarnje točke i njihovom povezivanju segmentom sve točke segmenta ujedno i unutarnje točke poligona.

Demonstracija korištenja ove definicije može se vidjeti na primjeru konstruiranja segmenata na sl. 2 i 3.

Definicija. Dijagonalno poligona je svaki segment koji povezuje dva nesusjedna vrha.

Za opisivanje svojstava poligona postoje dva najvažnija teoreme o njihovim kutovima: teorem o zbroju unutarnjih kutova konveksnog mnogokuta I teorem o zbroju vanjskih kutova konveksnog mnogokuta. Pogledajmo ih.

Teorema. O zbroju unutarnjih kutova konveksnog mnogokuta (n-gon).

Gdje je broj njegovih kutova (stranica).

Dokaz 1. Prikažimo na sl. 4 konveksni n-kut.

Riža. 4. Konveksni n-kut

Iz vrha povučemo sve moguće dijagonale. Dijele n-kut na trokute, jer svaka od stranica poligona tvori trokut, osim stranica koje graniče s vrhom. Sa slike je lako vidjeti da će zbroj kutova svih ovih trokuta biti točno jednak zbroju unutarnjih kutova n-kuta. Budući da je zbroj kutova bilo kojeg trokuta , tada je zbroj unutarnjih kutova n-kuta:

Q.E.D.

Dokaz 2. Moguć je još jedan dokaz ovog teorema. Nacrtajmo sličan n-kut na sl. 5 i spoji bilo koju njegovu unutarnju točku sa svim vrhovima.

Riža. 5.

Dobili smo razdiobu n-kuta na n trokuta (onoliko stranica koliko i trokuta). Zbroj svih njihovih kutova jednak je zbroju unutarnjih kutova mnogokuta i zbroju kutova u unutarnjoj točki, a to je kut. Imamo:

Q.E.D.

dokazano.

Prema dokazanom teoremu jasno je da zbroj kutova n-kuta ovisi o broju njegovih stranica (na n). Na primjer, u trokutu, a zbroj kutova je . U četverokutu, a zbroj kutova je itd.

Teorema. O zbroju vanjskih kutova konveksnog mnogokuta (n-gon).

Gdje je broj njegovih kutova (stranica), a , …, su vanjski kutovi.

Dokaz. Oslikajmo konveksni n-kut na sl. 6 i označite njegove unutarnje i vanjske kutove.

Riža. 6. Konveksni n-kut s naznačenim vanjskim kutovima

Jer Zatim je vanjski kut povezan s unutarnjim kao susjedni a slično i za ostale vanjske kutove. Zatim:

Prilikom transformacija koristili smo već dokazani teorem o zbroju unutarnjih kutova n-kuta.

dokazano.

Iz dokazanog teorema slijedi zanimljiva činjenica, da je zbroj vanjskih kutova konveksnog n-kuta jednak na broj njegovih kutova (stranica). Usput, za razliku od zbroja unutarnjih kutova.

Bibliografija

1. Aleksandrov A.D. i dr. Geometrija 8.r. - M.: Obrazovanje, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolov V.V. Geometrija, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija, 8. razred. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Domaća zadaća

§ 1. Pojam trokuta

U ovoj lekciji ćete se upoznati s oblicima kao što su trokuti i poligoni.

Ako tri točke koje ne leže na istoj liniji spojimo segmentima, dobit ćemo trokut. Trokut ima tri vrha i tri stranice.

Pred vama je trokut ABC, ima tri vrha (točku A, točku B i točku C) i tri stranice (AB, AC i CB).

Usput, te iste strane mogu se nazvati drugačije:

AB=BA, AC=SA, CB=BC.

Stranice trokuta tvore tri kuta na vrhovima trokuta. Na slici vidite kut A, kut B, kut C.

Dakle, trokut je geometrijska figura koju čine tri segmenta koji povezuju tri točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji.

§ 2 Pojam mnogokuta i njegove vrste

Osim trokuta postoje i četverokuti, peterokuti, šesterokuti i tako dalje. Jednom riječju, mogu se nazvati poligoni.

Na slici vidite četverokut DMKE.

Točke D, M, K i E su vrhovi četverokuta.

Dužci DM, MK, KE, ED su stranice ovog četverokuta. Kao iu slučaju trokuta, stranice četverokuta tvore četiri kuta na vrhovima, kao što pogađate, pa otuda i naziv - četverokut. Za ovaj četverokut vidite na slici kut D, kut M, kut K i kut E.

Koje četverokute već poznajete?

Kvadrat i pravokutnik! Svaki od njih ima četiri ugla i četiri strane.

Druga vrsta poligona je peterokut.

Točke O, P, X, Y, T su vrhovi peterokuta, a odsječci TO, OP, PX, XY, YT su stranice ovog peterokuta. Peterokut ima pet kutova i pet stranica.

Što mislite, koliko kutova i koliko stranica ima šesterokut? Tako je, šest! Rezonirajući na sličan način, možemo reći koliko stranica, vrhova ili kutova ima pojedini mnogokut. I možemo zaključiti da je trokut također mnogokut, koji ima točno tri kuta, tri stranice i tri vrha.

Tako ste se u ovoj lekciji upoznali s pojmovima kao što su trokut i poligon. Naučili smo da trokut ima 3 vrha, 3 stranice i 3 kuta, četverokut ima 4 vrha, 4 stranice i 4 kuta, peterokut ima 5 stranica, 5 vrhova, 5 kutova itd.

Popis korištene literature:

1. Matematika 5. razred. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. i dr. 31. izd. izbrisano. - M: 2013. (monografija).
2. Didaktički materijali za peti razred matematike. Autor - Popov M.A. - godina 2013
3. Računamo bez grešaka. Rad sa samoprovjerom iz matematike 5.-6. Autor - Minaeva S.S. - godina 2014
4. Didaktički materijali za peti razred matematike. Autori: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010. (prikaz).
5. Testovi i samostalni radovi iz matematike 5. razred. Autori - Popov M.A. - godina 2012
6. Matematika. 5. razred: obrazovni. za učenike općeg obrazovanja. ustanove / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009

Dio ravnine omeđen zatvorenom izlomljenom linijom zove se poligon.

Segmenti ove izlomljene linije nazivaju se stranke poligon. AB, BC, CD, DE, EA (slika 1) su stranice mnogokuta ABCDE. Zbroj svih stranica mnogokuta naziva se njegovim perimetar.

Poligon se zove konveksan, ako se nalazi na jednoj strani bilo koje od njegovih stranica, neograničeno proširen izvan oba vrha.

Poligon MNPKO (slika 1) neće biti konveksan jer se nalazi na više od jedne strane pravca KR.

Razmotrit ćemo samo konveksne poligone.

Kutovi koje tvore dvije susjedne stranice mnogokuta nazivaju se njegovim unutarnje uglovi, a njihovi vrhovi su vrhovi poligona.

Isječak ravne crte koji spaja dva nesusjedna vrha mnogokuta naziva se dijagonala mnogokuta.

AC, AD - dijagonale mnogokuta (slika 2).

Kutovi susjedni unutarnjim kutovima mnogokuta nazivaju se vanjskim kutovima mnogokuta (slika 3).

Ovisno o broju kutova (stranica), mnogokut se naziva trokut, četverokut, peterokut itd.

Za dva mnogokuta kažemo da su sukladna ako se mogu spojiti preklapanjem.

Upisani i opisani poligoni

Ako svi vrhovi mnogokuta leže na kružnici, tada se mnogokut zove upisana u krug, a krug - opisao blizu poligona (sl.).

Ako su sve strane poligona tangente na krug, tada se mnogokut zove opisao o krugu, a krug se zove upisana u poligon (sl.).

Sličnost poligona

Dva istoimena mnogokuta nazivaju se sličnima ako su kutovi jednoga od njih jednaki kutovima drugoga, a slične su stranice mnogokuta proporcionalne.

Mnogokuti s istim brojem stranica (kutova) nazivaju se istoimenim mnogokutima.

Stranice sličnih poligona koji spajaju vrhove odgovarajućih jednakih kutova nazivaju se sličnim (slika).

Tako, na primjer, da bi mnogokut ABCDE bio sličan mnogokutu A'B'C'D'E', potrebno je da je: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' i, dodatno, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Omjer opsega sličnih poligona

Prvo, razmotrite svojstvo niza jednakih omjera. Neka nam, na primjer, budu sljedeći omjeri: 2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4 =2.

Nađimo zbroj prethodnih članova ovih odnosa, zatim zbroj njihovih sljedećih članova i pronađimo omjer rezultirajućih zbrojeva, dobivamo:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Istu stvar dobivamo ako uzmemo niz nekih drugih odnosa, na primjer: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Nađimo zbroj prethodnih članova te relacije i zbroj sljedećih, a zatim pronaći omjer tih suma, dobivamo:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

U oba slučaja, zbroj prethodnih članova niza jednakih odnosa odnosi se na zbroj sljedećih članova istog niza, kao što se prethodni član bilo koje od tih relacija odnosi na svoj sljedeći.

Ovo smo svojstvo izveli razmatrajući brojne numeričke primjere. Može se izvesti striktno iu općem obliku.

Sada razmotrite omjer opsega sličnih poligona.

Neka je mnogokut ABCDE sličan mnogokutu A’B’C’D’E’ (sl.).

Iz sličnosti ovih poligona slijedi da

AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’

Na temelju svojstva koje smo izveli za niz jednakih omjera, možemo napisati:

Zbroj prethodnih članova relacija koje smo uzeli predstavlja opseg prvog poligona (P), a zbroj sljedećih članova ovih relacija predstavlja opseg drugog poligona (P'), što znači P / P ' = AB / A'B'.

Stoga, Opseg sličnih mnogokuta odnosi se na njihove slične stranice.

Omjer površina sličnih poligona

Neka su ABCDE i A’B’C’D’E’ slični poligoni (Slika).

Poznato je da je ΔAVS ~ ΔA'V'S' ΔACD ~ ΔA'C'D' i ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Osim,

;

Budući da su drugi omjeri ovih proporcija jednaki, što slijedi iz sličnosti poligona, onda

Koristeći svojstvo niza jednakih omjera dobivamo:

Ili

gdje su S i S’ površine tih sličnih poligona.

Stoga, Površine sličnih mnogokuta odnose se kao kvadrati sličnih stranica.

Dobivena formula se može pretvoriti u ovaj oblik: S / S’ = (AB / A’B’) 2

Površina proizvoljnog poligona

Neka je potrebno izračunati površinu proizvoljnog četverokuta ABC (sl.).

Nacrtajmo u njemu dijagonalu, na primjer AD. Dobili smo dva trokuta ABD i ACD čije površine možemo izračunati. Zatim nalazimo zbroj površina tih trokuta. Dobiveni zbroj će izraziti površinu ovog četverokuta.

Ako trebate izračunati površinu peterokuta, onda radimo istu stvar: crtamo dijagonale iz jednog od vrhova. Dobili smo tri trokuta čije površine možemo izračunati. To znači da možemo pronaći površinu ovog peterokuta. Činimo isto kada izračunavamo površinu bilo kojeg poligona.

Projektirana površina poligona

Podsjetimo se da je kut između pravca i ravnine kut između zadanog pravca i njegove projekcije na ravninu (sl.).

Teorema. Površina ortogonalne projekcije mnogokuta na ravninu jednaka je površini projiciranog poligona pomnoženoj s kosinusom kuta koji čine ravnina poligona i ravnina projekcije.

Svaki poligon se može podijeliti na trokute čiji je zbroj površina jednak površini poligona. Stoga je dovoljno dokazati teorem za trokut.

Neka je ΔAVS projiciran na ravninu R. Razmotrimo dva slučaja:

a) jedna od stranica ΔABC je paralelna s ravninom R;

b) niti jedna stranica ΔABC nije paralelna R.

Razmotrimo prvi slučaj: neka [AB] || R.

Nacrtajmo ravninu kroz (AB) R 1 || R i projicirati ortogonalno ΔAVS na R 1 i dalje R(riža.); dobivamo ΔAVS 1 i ΔA'V'S'.

Po svojstvu projekcije imamo ΔAVS 1 (cong) ΔA'V'S', pa prema tome

S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’

Nacrtajmo ⊥ i isječak D 1 C 1 . Tada je ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ vrijednost kuta između ravnine ΔABC i ravnine R 1 . Zato

S Δ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

pa prema tome S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.

Prijeđimo na razmatranje drugi slučaj. Nacrtajmo avion R 1 || R kroz taj vrh ΔAVS, udaljenost od koje do ravnine R najmanji (neka ovo bude vrh A).

Projicirajmo ΔAVS na ravninu R 1 i R(riža.); neka su njegove projekcije ΔAV 1 S 1 odnosno ΔA'V'S'.

Neka je (BC) ∩ str 1 = D. Zatim

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Ostali materijali