Dom Razno

Istraživanje funkcije i crtanje grafa s detaljnim rješenjem. Puna funkcija istraživanja i crtanja

Za cjelovito proučavanje funkcije i crtanje njenog grafa preporuča se koristiti sljedeću shemu:

1) pronaći opseg funkcije;

2) pronaći točke diskontinuiteta funkcije i vertikalne asimptote (ako postoje);

3) istražiti ponašanje funkcije u beskonačnosti, pronaći horizontalne i kose asimptote;

4) istražiti funkciju za parnost (neparnost) i za periodičnost (za trigonometrijske funkcije);

5) pronaći ekstreme i intervale monotonosti funkcije;

6) odrediti intervale konveksnosti i pregibnih točaka;

7) pronaći točke presjeka s koordinatnim osi, ako je moguće, i neke dodatne točke koje preciziraju graf.

Proučavanje funkcije provodi se istodobno s konstrukcijom njezina grafa.

Primjer 9 Istražite funkciju i izgradite graf.

1. Područje definicije: ;

2. Funkcija se prekida u točkama
,
;

Istražujemo funkciju prisutnosti vertikalnih asimptota.

;
,
─ vertikalna asimptota.

3. Istražujemo funkciju prisutnosti kosih i horizontalnih asimptota.

Ravno
─ kosa asimptota, ako
,
.

,
.

Ravno
─ horizontalna asimptota.

4. Funkcija je čak jer
. Parnost funkcije označava simetriju grafa u odnosu na y-os.

5. Pronađite intervale monotonosti i ekstreme funkcije.

Nađimo kritične točke, t.j. točke u kojima je derivacija 0 ili ne postoji:
;
. Imamo tri boda
;

. Te točke dijele cijelu realnu os na četiri intervala. Definirajmo znakove na svakom od njih.

Na intervalima (-∞; -1) i (-1; 0) funkcija raste, na intervalima (0; 1) i (1; +∞) opada. Prilikom prolaska kroz točku
derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, stoga u ovom trenutku funkcija ima maksimum
.

6. Nađimo intervale konveksnosti, točke pregiba.

Nađimo točke gdje je 0 ili ne postoji.

nema pravih korijena.
,
,

bodova
i
realnu os podijeliti na tri intervala. Definirajmo znak u svakom intervalu.

Dakle, krivulja na intervalima
i
konveksan prema dolje, na intervalu (-1;1) konveksan prema gore; nema točaka pregiba, budući da je funkcija u točkama
i
nije utvrđeno.

7. Pronađite točke presjeka s osi.

s osovinom
graf funkcije siječe se u točki (0; -1) i s osi
graf se ne siječe, jer brojnik ove funkcije nema pravih korijena.

Grafikon zadane funkcije prikazan je na slici 1.

Slika 1 ─ Grafikon funkcije

Primjena koncepta derivata u ekonomiji. Funkcija elastičnosti

Za proučavanje ekonomskih procesa i rješavanje drugih primijenjenih problema često se koristi koncept elastičnosti funkcije.

Definicija. Funkcija elastičnosti
naziva se granica omjera relativnog prirasta funkcije na relativni prirast varijable na
, . (VII)

Elastičnost funkcije pokazuje otprilike za koliko posto će se funkcija promijeniti
pri promjeni nezavisne varijable za 1%.

Elastičnost funkcije koristi se u analizi potražnje i potrošnje. Ako je elastičnost potražnje (u apsolutnoj vrijednosti)
, tada se potražnja smatra elastičnom ako
─ neutralno ako
─ neelastično u odnosu na cijenu (ili prihod).

Primjer 10 Izračunajte elastičnost funkcije
i pronađite vrijednost indeksa elastičnosti za = 3.

Rješenje: prema formuli (VII) elastičnost funkcije:

Neka je onda x=3
To znači da ako se nezavisna varijabla poveća za 1%, tada će se vrijednost zavisne varijable povećati za 1,42%.

Primjer 11 Neka potražnja funkcionira u vezi cijene ima oblik
, gdje ─ konstantni koeficijent. Odrediti vrijednost indeksa elastičnosti funkcije potražnje po cijeni x = 3 den. jedinice

Rješenje: izračunajte elastičnost funkcije potražnje pomoću formule (VII)

Uz pretpostavku
novčane jedinice, dobivamo
. To znači da po cijeni
monetarna jedinica povećanje cijene od 1% će uzrokovati smanjenje potražnje za 6%, tj. potražnja je elastična.

Danas vas pozivamo da s nama istražite i nacrtate graf funkcije. Nakon pažljivog proučavanja ovog članka, nećete se morati dugo znojiti da izvršite ovakav zadatak. Nije lako istražiti i izgraditi graf funkcije, posao je obiman, zahtijeva maksimalnu pažnju i točnost izračuna. Kako bismo olakšali percepciju materijala, postupno ćemo proučavati istu funkciju, objasniti sve naše radnje i izračune. Dobrodošli u nevjerojatan i fascinantan svijet matematike! Ići!

Domena

Da biste istražili i nacrtali funkciju, morate znati nekoliko definicija. Funkcija je jedan od osnovnih (osnovnih) pojmova u matematici. Odražava ovisnost između nekoliko varijabli (dvije, tri ili više) s promjenama. Funkcija također pokazuje ovisnost skupova.

Zamislite da imamo dvije varijable koje imaju određeni raspon promjena. Dakle, y je funkcija od x, pod uvjetom da svaka vrijednost druge varijable odgovara jednoj vrijednosti druge. U ovom slučaju varijabla y je ovisna i naziva se funkcija. Uobičajeno je reći da su varijable x i y u Radi veće jasnoće ove ovisnosti gradi se graf funkcije. Što je graf funkcije? Ovo je skup točaka na koordinatnoj ravnini, gdje svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y. Grafovi mogu biti različiti - ravna linija, hiperbola, parabola, sinusoida i tako dalje.

Funkcijski graf se ne može nacrtati bez istraživanja. Danas ćemo naučiti kako provesti istraživanje i nacrtati graf funkcije. Vrlo je važno voditi bilješke tijekom studija. Tako će biti puno lakše nositi se sa zadatkom. Najprikladniji plan učenja:

Domena.
Kontinuitet.
Par ili nepar.
Periodičnost.
Asimptote.
Nule.
Postojanost.
Uzlazno i silazno.
Ekstremi.
Konveksnost i konkavnost.

Počnimo s prvom točkom. Nađimo domenu definicije, odnosno na kojim intervalima postoji naša funkcija: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). U našem slučaju, funkcija postoji za bilo koju vrijednost x, odnosno, domena definicije je R. To se može napisati kao xOR.

Kontinuitet

Sada ćemo istražiti funkciju diskontinuiteta. U matematici se pojam "kontinuitet" pojavio kao rezultat proučavanja zakona gibanja. Što je beskonačno? Prostor, vrijeme, neke ovisnosti (primjer je ovisnost varijabli S i t u problemima gibanja), temperatura zagrijanog predmeta (voda, tava, termometar i sl.), kontinuirana linija (tj. koji se može nacrtati bez skidanja s lista olovke).

Graf se smatra kontinuiranim ako se u nekom trenutku ne prekine. Jedan od najočitijih primjera takvog grafa je sinusni val, koji možete vidjeti na slici u ovom odjeljku. Funkcija je kontinuirana u nekoj točki x0 ako je ispunjen niz uvjeta:

funkcija je definirana u danoj točki;
desna i lijeva granica u točki su jednake;
granica je jednaka vrijednosti funkcije u točki x0.

Ako barem jedan uvjet nije zadovoljen, kaže se da funkcija prekida. A točke u kojima se funkcija prekida nazivaju se točke prekida. Primjer funkcije koja će se "pokvariti" kada se prikaže grafički je: y=(x+4)/(x-3). Štoviše, y ne postoji u točki x = 3 (budući da je nemoguće podijeliti s nulom).

U funkciji koju proučavamo (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) sve se pokazalo jednostavnim, budući da će graf biti kontinuiran.

Parno, neparno

Sada ispitajte funkciju za paritet. Počnimo s malo teorije. Parna funkcija je funkcija koja zadovoljava uvjet f (-x) = f (x) za bilo koju vrijednost varijable x (iz raspona vrijednosti). Primjeri su:

modul x (graf izgleda kao čavka, simetrala prve i druge četvrtine grafa);
x na kvadrat (parabola);
kosinus x (kosinusni val).

Imajte na umu da su svi ovi grafikoni simetrični kada se gledaju u odnosu na y-os.

Što se onda naziva neparnom funkcijom? To su one funkcije koje zadovoljavaju uvjet: f (-x) \u003d - f (x) za bilo koju vrijednost varijable x. primjeri:

hiperbola;
kubična parabola;
sinusoida;
tangenta i tako dalje.

Imajte na umu da su ove funkcije simetrične u odnosu na točku (0:0), odnosno ishodište. Na temelju onoga što je rečeno u ovom dijelu članka, parna i neparna funkcija moraju imati svojstvo: x pripada skupu definicija i -x također.

Ispitajmo funkciju na paritet. Vidimo da ona ne odgovara ni jednom od opisa. Dakle, naša funkcija nije ni parna ni neparna.

Asimptote

Počnimo s definicijom. Asimptota je krivulja koja je što bliža grafu, odnosno udaljenost od neke točke teži nuli. Postoje tri vrste asimptota:

okomito, odnosno paralelno s osi y;
vodoravno, tj. paralelno s x-osi;
koso.

Što se tiče prve vrste, ove linije treba tražiti u nekim točkama:

jaz;
krajeve domene.

U našem slučaju funkcija je kontinuirana, a područje definicije je R. Dakle, nema vertikalnih asimptota.

Graf funkcije ima horizontalnu asimptotu, koja ispunjava sljedeći uvjet: ako x teži beskonačnosti ili minus beskonačnost, a granica je jednaka određenom broju (na primjer, a). U ovom slučaju, y=a je horizontalna asimptota. U funkciji koju proučavamo nema horizontalnih asimptota.

Kosa asimptota postoji samo ako su ispunjena dva uvjeta:

lim(f(x))/x=k;
lim f(x)-kx=b.

Tada se može naći po formuli: y=kx+b. Opet, u našem slučaju nema kosih asimptota.

Nule funkcije

Sljedeći korak je ispitivanje grafa funkcije za nule. Također je vrlo važno napomenuti da se zadatak povezan s pronalaženjem nula funkcije javlja ne samo u proučavanju i crtanju grafa funkcije, već i kao samostalan zadatak, te kao način rješavanja nejednakosti. Možda ćete morati pronaći nule funkcije na grafu ili koristiti matematičku notaciju.

Pronalaženje ovih vrijednosti pomoći će vam da točnije nacrtate funkciju. Ako govoriti prostim jezikom, tada je nula funkcije vrijednost varijable x, pri kojoj je y=0. Ako tražite nule funkcije na grafu, onda biste trebali obratiti pažnju na točke gdje se graf siječe s x-osi.

Da biste pronašli nule funkcije, trebate riješiti sljedeću jednadžbu: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Nakon što izvršimo potrebne izračune, dobivamo sljedeći odgovor:

konstantnost znaka

Sljedeća faza u proučavanju i konstrukciji funkcije (grafike) je pronalaženje intervala konstantnosti predznaka. To znači da moramo odrediti u kojim intervalima se funkcija nalazi pozitivna vrijednost, a na nekima - negativno. Nule funkcija koje se nalaze u prethodnom odjeljku pomoći će nam u tome. Dakle, trebamo izgraditi ravnu liniju (odvojeno od grafa) i rasporediti nule funkcije duž nje ispravnim redoslijedom od najmanjeg do najvećeg. Sada morate odrediti koji od rezultirajućih intervala ima znak "+", a koji "-".

U našem slučaju, funkcija uzima pozitivnu vrijednost na intervalima:

od 1 do 4;
od 9 do beskonačnosti.

Negativno značenje:

od minus beskonačnosti do 1;
od 4 do 9.

To je prilično lako odrediti. Zamijenite bilo koji broj iz intervala u funkciju i pogledajte koji je znak odgovor (minus ili plus).

Funkcija uzlazno i opadajuće

Da bismo istražili i izgradili funkciju, moramo saznati gdje će se graf povećati (popeti gore na Oy), a gdje će pasti (puzati prema dolje duž y-osi).

Funkcija se povećava samo ako veća vrijednost varijable x odgovara većoj vrijednosti y. To jest, x2 je veći od x1, a f(x2) je veći od f(x1). A potpuno suprotnu pojavu promatramo u opadajućoj funkciji (što je više x, to je manje y). Da biste odredili intervale povećanja i smanjenja, morate pronaći sljedeće:

opseg (već ga imamo);
derivacija (u našem slučaju: 1/3(3x^2-28x+49);
riješiti jednadžbu 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Nakon izračuna, dobivamo rezultat:

Dobivamo: funkcija raste na intervalima od minus beskonačnosti do 7/3 i od 7 do beskonačnosti, a opada na intervalu od 7/3 do 7.

Ekstremi

Istražena funkcija y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) je kontinuirana i postoji za sve vrijednosti varijable x. Točka ekstrema pokazuje maksimum i minimum ove funkcije. U našem slučaju ih nema, što uvelike pojednostavljuje zadatak izgradnje. Inače, oni se također nalaze pomoću derivacijske funkcije. Nakon pronalaska, ne zaboravite ih označiti na grafikonu.

Konveksnost i konkavnost

Nastavljamo proučavati funkciju y(x). Sada ga moramo provjeriti na konveksnost i konkavnost. Definicije ovih pojmova prilično je teško percipirati, bolje je sve analizirati na primjerima. Za test: funkcija je konveksna ako je neopadajuća funkcija. Slažem se, ovo je neshvatljivo!

Moramo pronaći derivaciju funkcije drugog reda. Dobivamo: y=1/3(6x-28). Sada izjednačavamo desnu stranu s nulom i rješavamo jednadžbu. Odgovor: x=14/3. Pronašli smo prevojnu točku, odnosno mjesto gdje se graf mijenja iz konveksnog u konkavno ili obrnuto. Na intervalu od minus beskonačnosti do 14/3 funkcija je konveksna, a od 14/3 do plus beskonačno je konkavna. Također je vrlo važno napomenuti da točka pregiba na grafikonu treba biti glatka i mekana, ne smije biti oštrih kutova.

Definicija dodatnih točaka

Naš zadatak je istražiti i nacrtati graf funkcije. Završili smo studiju, neće biti teško sada iscrtati funkciju. Za precizniju i detaljniju reprodukciju krivulje ili ravne linije na koordinatnoj ravnini, možete pronaći nekoliko pomoćnih točaka. Prilično ih je lako izračunati. Na primjer, uzmemo x=3, riješimo rezultirajuću jednadžbu i pronađemo y=4. Ili x=5 i y=-5 i tako dalje. Možete uzeti onoliko dodatnih bodova koliko trebate za izgradnju. Nađe ih se najmanje 3-5.

Ucrtavanje

Trebali smo istražiti funkciju (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Na koordinatnoj ravnini učinjene su sve potrebne oznake tijekom proračuna. Sve što treba učiniti je izgraditi graf, odnosno povezati sve točke jedna s drugom. Povezivanje točaka je glatko i točno, ovo je stvar vještine - malo vježbe i vaš će raspored biti savršen.