Pravac a siječe jedan od dvaju pravaca koji se sijeku. Vrste linija

pravci l1 i l2 nazivaju se sijekućima ako ne leže u istoj ravnini. Neka su a i b vektori smjera ovih pravaca, a točke M1 i M2 pripadaju redom pravcima i l1 i l2

Tada vektori a, b, M1M2> nisu komplanarni, pa stoga njihov mješoviti produkt nije jednak nuli, tj. (a, b, M1M2>) =/= 0. Vrijedi i obrnuto: ako (a, b, M1M2> ) =/= 0, tada vektori a, b, M1M2> nisu koplanarni, pa prema tome, pravci l1 i l2 ne leže u istoj ravnini, tj. sijeku se. Dakle, dva se pravca sijeku ako i samo ako je uvjet(a, b, M1M2>) =/= 0, gdje su a i b vektori smjera pravaca, a M1 i M2 točke koje redom pripadaju zadanim pravcima. Uvjet (a, b, M1M2>) = 0 je nužan i dovoljan uvjet da pravci leže u istoj ravnini. Ako su pravci zadani svojim kanonskim jednadžbama

tada je a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) i uvjet (2) se piše na sljedeći način:

Udaljenost između linija koje se sijeku

ovo je udaljenost između jedne od kosih linija i ravnine paralelne s njom koja prolazi kroz drugu liniju. Udaljenost između kosih linija je udaljenost od neke točke jedne od kosih linija do ravnine koja prolazi kroz drugu liniju paralelnu s prva linija.

26. Definicija elipse, kanonska jednadžba. Derivacija kanonske jednadžbe. Svojstva.

Elipsa je geometrijsko mjesto točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti do dviju fokusnih točaka F1 i F2 te ravnine, koje se nazivaju žarišta, konstanta. To ne isključuje slučajnost žarišta elipse. Ako žarišta poklapaju, tada je elipsa kružni koordinatni sustav tako da će elipsa biti opisana jednadžbom (kanonskom jednadžbom elipse):

Opisuje elipsu sa središtem u ishodištu, čije se osi podudaraju s koordinatnim osima.

Ako se na desnoj strani nalazi jedinica s predznakom minus, tada je dobivena jednadžba:

opisuje zamišljenu elipsu. Takvu elipsu nemoguće je nacrtati u realnoj ravnini.Označimo žarišta s F1 i F2, a udaljenost između njih s 2c, a zbroj udaljenosti od proizvoljne točke elipse do žarišta s 2a.

Za izvođenje jednadžbe elipse biramo koordinatni sustav Oxy tako da žarišta F1 i F2 leže na osi Ox, a ishodište koordinata se poklapa sa sredinom segmenta F1F2. Tada će žarišta imati sljedeće koordinate: u Neka je M(x; y) proizvoljna točka elipse. Tada, prema definiciji elipse, tj.

Ovo je zapravo jednadžba elipse.

27. Definicija hiperbole, kanonska jednadžba. Derivacija kanonske jednadžbe. Svojstva

Hiperbola je geometrijsko mjesto točaka u ravnini za koje je apsolutna vrijednost razlike između udaljenosti do dviju fiksnih točaka F1 i F2 te ravnine, zvanih žarišta, konstanta. Neka je M(x;y) proizvoljna točka od hiperbole. Tada je prema definiciji hiperbole |MF 1 – MF 2 |=2a ili MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Definicija parabole, kanonska jednadžba. Derivacija kanonske jednadžbe. Svojstva. Parabola je GMT ravnine za koju je udaljenost do neke fiksne točke F te ravnine jednaka udaljenosti do neke fiksne ravne crte, koja se također nalazi u ravnini koja se razmatra. F je žarište parabole; fiksna ravna crta je direktrisa parabole. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2 ; x 2 -xp + p 2 / 4 + y 2 \u003d x 2 + px + p 2 / 4; g 2 =2px;

Svojstva: 1. Parabola ima os simetrije (os parabole); 2.Sve

parabola se nalazi u desnoj poluravnini ravnine Oxy pri p>0, a u lijevoj

ako str<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

Ako dva pravca u prostoru imaju zajedničku točku, kaže se da se ta dva pravca sijeku. Na sljedećoj slici pravci a i b sijeku se u točki A. Pravci a i c se ne sijeku.

Bilo koja dva pravca ili imaju samo jednu zajedničku točku ili nemaju zajedničkih točaka.

Paralelne linije

Dva pravca u prostoru nazivaju se paralelnima ako leže u istoj ravnini i ne sijeku se. Za označavanje paralelnih linija koristite posebnu ikonu - ||.

Oznaka a||b znači da je pravac a paralelan s pravcem b. Na gornjoj slici, pravci a i c su paralelni.

Teorem o paralelnom pravcu

Kroz bilo koju točku u prostoru koja ne leži na zadanom pravcu, prolazi pravac paralelan zadanom pravcu i to samo jedan.

Prekrižene linije

Dvije linije koje leže u istoj ravnini mogu se sijeći ili biti paralelne. Ali u prostoru dvije ravne crte ne moraju pripadati istoj ravnini. Mogu se nalaziti u dvije različite ravnine.

Očito, pravci koji se nalaze u različitim ravninama ne sijeku se i nisu paralelni pravci. Dva pravca koja ne leže u istoj ravnini nazivaju se prelaženje granica.

Sljedeća slika prikazuje dva pravca a i b koji se sijeku i leže u različitim ravninama.

Predznak i teorem o kosim linijama

Ako jedan od dva pravca leži u određenoj ravnini, a drugi pravac siječe tu ravninu u točki koja ne leži na prvom pravcu, tada su ti pravci kosi.

Teorem križanja pravaca: kroz svaki od dva pravca koji se sijeku prolazi ravnina paralelna s drugim pravcem, i to samo jedna.

Dakle, razmotrili smo sve moguće slučajeve međusobnog rasporeda linija u prostoru. Ima ih samo tri.

1. Pravci se sijeku. (Odnosno, imaju samo jednu zajedničku točku.)

2. Pravci su paralelni. (To jest, nemaju zajedničkih točaka i leže u istoj ravnini.)

3. Ravni se sijeku. (Odnosno, nalaze se u različitim ravninama.)

Teorema. Ako jedan pravac leži u datoj ravnini, a drugi pravac siječe tu ravninu u točki koja ne pripada prvom pravcu, tada se ta dva pravca sijeku. Znak sjecišta pravaca Dokaz. Neka pravac a leži u ravnini, a pravac b siječe ravninu u točki B koja ne pripada pravcu a. Ako pravci a i b leže u istoj ravnini, tada bi u toj ravnini ležala i točka B. Kako kroz pravac prolazi samo jedna ravnina i točka izvan te ravnine, ta ravnina mora biti ravnina. Ali tada bi pravac b ležao u ravnini, što je u suprotnosti s uvjetom. Dakle, pravci a i b ne leže u istoj ravnini, tj. križati.

Koliko ima pari kosih pravaca koji sadrže bridove pravilne trokutaste prizme? Rješenje: Za svaki osnovni brid postoje tri brida koja se s njim sijeku. Za svaki bočni brid postoje dva brida koji se s njim sijeku. Stoga je željeni broj pari kosih linija Vježba 5

Koliko ima pari kosih pravaca koji sadrže bridove pravilne šesterokutne prizme? Rješenje: Svaki osnovni brid sudjeluje u 8 pari linija koje se sijeku. Svaki bočni rub sudjeluje u 8 parova linija koje se sijeku. Stoga je željeni broj pari kosih linija Vježba 6

Predavanje: Presječne, paralelne i kose linije; okomitost linija

linije koje se sijeku

Ako na ravnini postoji nekoliko ravnih linija, tada će se one prije ili kasnije presijecati proizvoljno, ili pod pravim kutom, ili će biti paralelne. Pogledajmo svaki slučaj.

Pravci koji se sijeku su oni pravci koji imaju barem jednu točku sjecišta.

Možete se zapitati zašto barem jedna linija ne može dva ili tri puta presijecati drugu liniju. U pravu si! Ali linije se mogu potpuno podudarati jedna s drugom. U tom slučaju postojat će beskonačan broj zajedničkih točaka.

Paralelizam

Paralelno mogu se imenovati one linije koje se nikada neće presijecati, čak ni u beskonačnosti.

Drugim riječima, paralelni su oni koji nemaju niti jednu zajedničku točku. Imajte na umu da je ova definicija važeća samo ako su pravci u istoj ravnini, ali ako nemaju zajedničkih točaka, budući da su u različitim ravninama, tada se smatraju da se sijeku.

Primjeri paralelnih linija u životu: dva suprotna ruba ekrana monitora, crte u bilježnicama, kao i mnogi drugi dijelovi stvari koje imaju kvadratne, pravokutne i druge oblike.

Kada se želi pismeno pokazati da je jedna pravac paralelna s drugom, tada se koristi sljedeći zapis a||b. Ova oznaka kaže da je pravac a paralelan s pravcem b.

Kada proučavate ovu temu, važno je razumjeti još jednu tvrdnju: kroz neku točku na ravnini koja ne pripada danoj liniji, može se povući jedna paralelna linija. Ali obratite pozornost, opet je ispravak u ravnini. Ako uzmemo u obzir trodimenzionalni prostor, tada je moguće nacrtati beskonačan broj linija koje se neće presijecati, ali će se presijecati.

Gore opisana izjava se zove aksiom paralelnih pravaca.

Okomitost

Izravne linije mogu se pozivati ​​samo ako okomito ako se sijeku pod kutom od 90 stupnjeva.

U prostoru se kroz određenu točku na pravcu može povući beskonačno mnogo okomitih pravaca. Međutim, ako govorimo o ravnini, tada se kroz jednu točku na pravcu može povući jedna okomita linija.

Prekrižene linije. Sjekant

Ako se neke linije sijeku u nekoj točki pod proizvoljnim kutom, mogu se nazvati križanje.

Sve nagnute linije imaju okomite kutove i susjedne kutove.

Ako kutovi koje tvore dvije crte koje se sijeku imaju jednu zajedničku stranicu, nazivaju se susjednim:

Zbroj susjednih kutova iznosi 180 stupnjeva.