Dom država

Stupnjevi su isti, ali su baze različite. Pravilo za podjelu vlasti

Svaka aritmetička operacija ponekad postaje preglomazna za pisanje i pokušavaju je pojednostaviti. To je nekad bio slučaj s operacijom zbrajanja. Ljudi su morali izvršiti ponovljeno zbrajanje iste vrste, na primjer, kako bi izračunali cijenu stotinu perzijskih tepiha, čija je cijena 3 zlatnika za svaki. 3+3+3+…+3 = 300. Zbog svoje glomazne prirode, odlučeno je skratiti zapis na 3 * 100 = 300. Zapravo, zapis "tri puta sto" znači da trebate uzeti jedan sto tri i zbrojite ih. Množenje je zaživjelo i steklo opću popularnost. Ali svijet ne stoji mirno, au srednjem vijeku pojavila se potreba za ponovljenim množenjem iste vrste. Sjećam se stare indijske zagonetke o mudracu koji je kao nagradu za obavljeni rad tražio zrna pšenice u sljedećim količinama: za prvo polje na šahovskoj ploči tražio je jedno zrno, za drugo dva, za treće četiri, za peti - osam, i tako dalje. Tako se pojavilo prvo množenje potencija, jer je broj zrna bio jednak dva na potenciju broja ćelije. Na primjer, na zadnjoj ćeliji bilo bi 2*2*2*...*2 = 2^63 zrna, što je jednako broju od 18 znakova, što je zapravo i smisao zagonetke.

Operacija potenciranja vrlo se brzo udomaćila, a brzo se pojavila i potreba za zbrajanjem, oduzimanjem, dijeljenjem i množenjem potencija. Ovo posljednje vrijedi detaljnije razmotriti. Formule za zbrajanje potencija jednostavne su i lako se pamte. Osim toga, vrlo je lako razumjeti odakle dolaze ako se operacija potencije zamijeni množenjem. Ali prvo morate razumjeti neke osnovne terminologije. Izraz a^b (čitaj "a na potenciju b") znači da broj a treba pomnožiti sam sa sobom b puta, pri čemu se "a" naziva bazom potencije, a "b" eksponentom potencije. Ako su baze stupnjeva iste, tada se formule izvode vrlo jednostavno. Konkretan primjer: pronađite vrijednost izraza 2^3 * 2^4. Da biste znali što bi se trebalo dogoditi, trebali biste pronaći odgovor na računalu prije pokretanja rješenja. Unosom ovog izraza u bilo koji online kalkulator, tražilicu, upisivanjem "potencije množenja s različitim bazama i istim" ili matematički paket, rezultat će biti 128. Sada napišimo ovaj izraz: 2^3 = 2*2*2, i 2^4 = 2 *2*2*2. Ispada da je 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Ispada da je umnožak potencija s istom bazom jednak bazi podignutoj na potenciju jednaku zbroju dvije prethodne potencije.

Možda mislite da je ovo slučajnost, ali ne: svaki drugi primjer može samo potvrditi ovo pravilo. Dakle, općenito, formula izgleda ovako: a^n * a^m = a^(n+m) . Također postoji pravilo da je svaki broj na nultu potenciju jednak jedan. Ovdje se treba sjetiti pravila negativnih potencija: a^(-n) = 1 / a^n. To jest, ako je 2^3 = 8, tada je 2^(-3) = 1/8. Pomoću ovog pravila možete dokazati valjanost jednakosti a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) može se smanjiti i ostaje jedan. Odavde se izvodi pravilo da je kvocijent potencija s istim bazama jednak ovoj bazi do stupnja jednakog kvocijentu djelitelja i djelitelja: a^n: a^m = a^(n-m) . Primjer: pojednostavite izraz 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Množenje je komutativna operacija, stoga prvo morate zbrojiti eksponente množenja: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Zatim se trebate pozabaviti dijeljenjem negativnom potencijom. Od eksponenta djelitelja potrebno je oduzeti eksponent djelitelja: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Ispada da je operacija dijeljenja negativnim stupnjem identična operaciji množenja sličnim pozitivnim eksponentom. Dakle, konačni odgovor je 8.

Postoje primjeri gdje se događa nekanonsko umnožavanje moći. Množenje potencija s različitim bazama često je puno teže, a ponekad čak i nemoguće. Treba navesti neke primjere različitih mogućih tehnika. Primjer: pojednostavite izraz 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Očito postoji množenje potencija s različitim bazama. Ali treba napomenuti da su sve baze različite potencije trojke. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Koristeći pravilo (a^n) ^m = a^(n*m) , trebate prepisati izraz u prikladnijem obliku: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Odgovor: 3^11. U slučajevima kada postoje različite baze, pravilo a^n * b^n = (a*b) ^n radi za jednake pokazatelje. Na primjer, 3^3 * 7^3 = 21^3. Inače, kada su baze i eksponenti različiti, ne može se izvršiti potpuno množenje. Ponekad možete djelomično pojednostaviti ili pribjeći pomoći računalne tehnologije.

Kako umnožiti moći? Koje se moći mogu umnožiti, a koje ne? Kako pomnožiti broj s potencijom?

U algebri možete pronaći produkt potencija u dva slučaja:

1) ako stupnjevi imaju iste baze;

2) ako stupnjevi imaju iste pokazatelje.

Kada se potencije množe s istim bazama, baza mora ostati ista, a eksponenti se moraju dodati:

Kada se stupnjevi množe s istim pokazateljima, ukupni se pokazatelj može izvaditi iz zagrada:

Pogledajmo kako množiti potencije na konkretnim primjerima.

Jedinica nije zapisana u eksponentu, ali pri množenju potencije uzimaju u obzir:

Pri množenju može postojati bilo koji broj potencija. Treba imati na umu da ne morate pisati znak množenja ispred slova:

U izrazima se prvo vrši potenciranje.

Ako treba pomnožiti broj s potencijom, prvo treba izvesti potenciranje, a tek onda množenje:

www.algebraclass.ru

Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje potencija

Zbrajanje i oduzimanje potencija

Očito je da se brojevi s potencijama mogu zbrajati kao i druge veličine , dodajući ih jedan za drugim sa svojim predznacima.

Dakle, zbroj a 3 i b 2 je a 3 + b 2.
Zbroj a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Izgledi jednake potencije identičnih varijabli može se zbrajati ili oduzimati.

Dakle, zbroj 2a 2 i 3a 2 jednak je 5a 2.

Također je očito da ako uzmete dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.

Ali stupnjevi razne varijable I razne diplome identične varijable, moraju se sastaviti njihovim zbrajanjem s njihovim predznacima.

Dakle, zbroj 2 i 3 je zbroj 2 + 3.

Očito je da kvadrat od a i kocka od a nisu jednaki dvostrukom kvadratu od a, nego dvostrukom kubu od a.

Zbroj a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.

Oduzimanje potencije se izvode na isti način kao i zbrajanje, osim što se predznaci subtrahenda moraju sukladno tome promijeniti.

Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Množenje moći

Brojeve s potencijama možemo množiti, kao i druge veličine, tako da ih ispisujemo jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.

Dakle, rezultat množenja a 3 s b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.

Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat u posljednjem primjeru može se poredati dodavanjem identičnih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3.

Uspoređujući nekoliko brojeva (varijabli) s potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, tada je rezultat broj (varijabla) s potencijom jednakom iznos stupnjevi pojmova.

Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Ovdje je 5 potencija rezultata množenja, koja je jednaka 2 + 3, zbroju potencija članova.

Dakle, a n .a m = a m+n .

Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je potencija od n;

A m se uzima kao faktor onoliko puta koliko je stupanj m jednak;

Zato, potencije s istim bazama mogu se pomnožiti zbrajanjem eksponenata potencija.

Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnoži (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ovo pravilo vrijedi i za brojeve čiji su eksponenti negativan.

1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ako se a + b pomnože s a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj

Rezultat množenja zbroja ili razlike dvaju brojeva jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.

Ako pomnožite zbroj i razliku dvaju brojeva podignutih na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u Četvrta stupnjeva.

Dakle, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Podjela stupnjeva

Brojevi s potencijama mogu se dijeliti kao i drugi brojevi, oduzimanjem od djelitelja ili stavljanjem u obliku razlomka.

Dakle, a 3 b 2 podijeljeno s b 2 jednako je a 3.

Pisanje 5 podijeljeno s 3 izgleda kao $\frac $. Ali ovo je jednako 2 . U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika pokazatelji djeljivih brojeva.

Pri dijeljenju stupnjeva s istom bazom oduzimaju se njihovi eksponenti..

Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Odnosno, $\frac = y$.

I a n+1:a = a n+1-1 = a n. Odnosno, $\frac = a^n$.

Ili:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Pravilo vrijedi i za brojeve s negativan vrijednosti stupnjeva.
Rezultat dijeljenja -5 s -3 je -2.
Također, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Potrebno je vrlo dobro savladati množenje i dijeljenje potencija, budući da su takve operacije vrlo široko korištene u algebri.

Primjeri rješavanja primjera s razlomcima koji sadrže brojeve s potencijama

1. Smanji eksponente za $\frac $ Odgovor: $\frac $.

2. Smanji eksponente za $\frac$. Odgovor: $\frac$ ili 2x.

3. Eksponente a 2 /a 3 i a -3 /a -4 svesti na zajednički nazivnik.
a 2 .a -4 je a -2 prvi brojnik.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojnik.
a 3 .a -4 je a -1 , zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 reducirajte i dovedite na zajednički nazivnik.
Odgovor: 2a 3 /5a 7 i 5a 5 /5a 7 ili 2a 3 /5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 s (a - b)/3.

6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 s (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnožite b 4 /a -2 s h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podijelite a 4 /y 3 s a 3 /y 2 . Odgovor: a/y.

Svojstva stupnja

Podsjećamo vas da ćemo u ovoj lekciji razumjeti svojstva stupnjeva s prirodnim pokazateljima i nulom. O potencijama s racionalnim eksponentima i njihovim svojstvima govorit ćemo u nastavi za 8. razred.

Potencija s prirodnim eksponentom ima nekoliko važnih svojstava koja nam omogućuju da pojednostavimo izračune u primjerima s potencijama.

Svojstvo br. 1
Proizvod moći

Kod množenja potencija s istim bazama baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti potencija se zbrajaju.

a m · a n = a m + n, gdje je “a” bilo koji broj, a “m”, “n” su bilo koji prirodni brojevi.

Ovo svojstvo potencija također se odnosi na umnožak tri ili više potencija.

Pojednostavite izraz.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Predstavite to kao diplomu.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Predstavite to kao diplomu.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Napominjemo da smo u navedenom svojstvu govorili samo o množenju potencija s istim bazama. Ne odnosi se na njihov dodatak.

Zbroj (3 3 + 3 2) ne možete zamijeniti s 3 5. To je razumljivo ako
izračunaj (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, i 3 5 = 243

Svojstvo br. 2
Djelomični stupnjevi

Kod dijeljenja potencija s istim bazama, baza ostaje nepromijenjena, a eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende.

Zapiši kvocijent kao potenciju
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Izračunati.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Primjer. Riješite jednadžbu. Koristimo svojstvo kvocijentnih potencija.
3 8: t = 3 4

Odgovor: t = 3 4 = 81

Koristeći svojstva br. 1 i br. 2, možete jednostavno pojednostaviti izraze i izvesti izračune.

Primjer. Pronađite vrijednost izraza pomoću svojstava eksponenata.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Imajte na umu da smo u svojstvu 2 govorili samo o podjeli potencija s istim osnovama.

Ne možete zamijeniti razliku (4 3 −4 2) s 4 1. To je razumljivo ako izračunate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 i 4 1 = 4

Nekretnina br. 3
Dizanje stupnja na potenciju

Kod podizanja stupnja na potenciju baza stupnja ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe.

(a n) m = a n · m, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.

Imajte na umu da se svojstvo br. 4, kao i druga svojstva stupnjeva, također primjenjuje obrnutim redoslijedom.

(a n · b n)= (a · b) n

To jest, za množenje potencija s istim eksponentima, možete množiti baze, ali ostaviti eksponent nepromijenjen.

Primjer. Izračunati.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Primjer. Izračunati.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

U složenijim primjerima mogu postojati slučajevi u kojima se množenje i dijeljenje moraju izvesti preko potencija s različitim bazama i različitim eksponentima. U tom slučaju savjetujemo vam da učinite sljedeće.

Na primjer, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Primjer podizanja decimale na potenciju.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Svojstva 5
Snaga kvocijenta (razlomak)

Da biste podigli kvocijent na potenciju, možete zasebno podići dividendu i djelitelj na tu potenciju i podijeliti prvi rezultat s drugim.

(a: b) n = a n: b n, gdje su “a”, “b” bilo koji racionalni brojevi, b ≠ 0, n - bilo koji prirodni broj.

Primjer. Predstavite izraz kao kvocijent potencija.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Podsjećamo vas da se kvocijent može prikazati kao razlomak. Stoga ćemo se na sljedećoj stranici detaljnije zadržati na temi dizanja razlomka na potenciju.

Moći i korijeni

Operacije s ovlastima i korijenima. Stupanj s negativnim ,

nula i razlomak indikator. O izrazima koji nemaju značenja.

Operacije sa stupnjevima.

1. Pri množenju potencija s istom bazom zbrajaju se njihovi eksponenti:

a m · a n = a m + n.

2. Pri dijeljenju stupnjeva s istom bazom, njihovi eksponenti oduzimaju se .

3. Stupanj umnoška dvaju ili više faktora jednak je umnošku stupnjeva tih faktora.

4. Stupanj omjera (razlomka) jednak je omjeru stupnjeva djelitelja (brojnika) i djelitelja (nazivnika):

(a/b) n = a n / b n.

5. Pri dizanju potencije na potenciju njihovi se eksponenti množe:

Sve gore navedene formule se čitaju i izvode u oba smjera slijeva na desno i obrnuto.

PRIMJER (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operacije s korijenima. U svim dolje navedenim formulama simbol znači aritmetički korijen(radikalni izraz je pozitivan).

1. Korijen umnoška više faktora jednak je umnošku korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru korijena djelitelja i djelitelja:

3. Kod podizanja korijena na potenciju, dovoljno je dići na ovu potenciju radikalni broj:

4. Ako povećate stupanj korijena za m puta i istovremeno podignete radikalni broj na m-tu snagu, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjite stupanj korijena za m puta i istovremeno izvučete m-ti korijen radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Proširivanje pojma stupnja. Do sada smo razmatrali stupnjeve samo s prirodnim eksponentima; ali operacije s ovlastima i korijenima također mogu dovesti do negativan, nula I frakcijski indikatori. Svi ti eksponenti zahtijevaju dodatnu definiciju.

Stupanj s negativnim eksponentom. Potencija određenog broja s negativnim (cjelobrojnim) eksponentom definirana je kao jedinica podijeljena s potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti negativnog eksponenta:

Sada formula a m : a n = a m - n može se koristiti ne samo za m, više od n, ali i sa m, manje od n .

PRIMJER a 4: a 7 =a 4 — 7 =a — 3 .

Ako želimo formulu a m : a n = a m — n bilo pošteno kada m = n, trebamo definiciju nultog stupnja.

Diploma s nultim indeksom. Potencija bilo kojeg broja različitog od nule s eksponentom nula je 1.

PRIMJERI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stupanj s razlomačkim eksponentom. Da biste podigli realni broj a na potenciju m / n, morate izvući n-ti korijen iz m-te potencije ovog broja a:

O izrazima koji nemaju značenja. Postoji nekoliko takvih izraza.

Gdje a ≠ 0 , ne postoji.

Zapravo ako pretpostavimo da x je određeni broj, tada u skladu s definicijom operacije dijeljenja imamo: a = 0· x, tj. a= 0, što je u suprotnosti s uvjetom: a ≠ 0

— bilo koji broj.

Zapravo, ako pretpostavimo da je ovaj izraz jednak nekom broju x, tada prema definiciji operacije dijeljenja imamo: 0 = 0 · x. Ali ta jednakost nastaje kada bilo koji broj x, što je i trebalo dokazati.

0 0 — bilo koji broj.

Rješenje. Razmotrimo tri glavna slučaja:

1) x = 0 – ova vrijednost ne zadovoljava ovu jednadžbu

2) kada x> 0 dobivamo: x/x= 1, tj. 1 = 1, što znači

Što x– bilo koji broj; ali uzimajući u obzir da u

u našem slučaju x> 0, odgovor je x > 0 ;

Pravila množenja potencija s različitim bazama

STUPNJA S RACIONALNIM POKAZATELJEM,

FUNKCIJA MOĆI IV

§ 69. Množenje i dijeljenje potencija s istim bazama

Teorem 1. Za množenje potencija s istim bazama dovoljno je zbrojiti eksponente, a bazu ostaviti istom, tj.

Dokaz. Po definiciji stupnja

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Promatrali smo umnožak dviju snaga. Zapravo, dokazano svojstvo vrijedi za bilo koji broj potencija s istim bazama.

Teorem 2. Za dijeljenje potencija s istim bazama, kada je indeks djelitelja veći od indeksa djelitelja, dovoljno je od indeksa djelitelja oduzeti indeks djelitelja, a osnovicu ostaviti istom, tj. na t > str

(a =/= 0)

Dokaz. Podsjetimo se da je kvocijent dijeljenja jednog broja s drugim broj koji, kada se pomnoži djeliteljem, daje dividendu. Stoga dokažite formulu gdje je a =/= 0, to je isto kao dokazivanje formule

Ako t > str , zatim broj t - str bit će prirodno; dakle, prema teoremu 1

Teorem 2 je dokazan.

Treba napomenuti da formula

to smo dokazali samo pod pretpostavkom da t > str . Stoga iz onoga što je dokazano još nije moguće izvući, primjerice, sljedeće zaključke:

Osim toga, još nismo razmatrali stupnjeve s negativnim eksponentima i još ne znamo kakvo se značenje može dati izrazu 3 - 2 .

Teorem 3. Da bi se stupanj podigao na potenciju, dovoljno je pomnožiti eksponente, ostavljajući bazu stupnja istom, to je

Dokaz. Koristeći definiciju stupnja i teorem 1 ovog odjeljka, dobivamo:

Q.E.D.

Na primjer, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (usmeno) Odredi x iz jednadžbi:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Set br.) Pojednostavite:

520. (Set br.) Pojednostavite:

521. Predstavi ove izraze u obliku stupnjeva s istim bazama:

1) 32. i 64.; 3) 8 5 i 16 3; 5) 4 100 i 32 50;

2) -1000 i 100; 4) -27 i -243; 6) 81 75 8 200 i 3 600 4 150.

Potencija s prirodnim eksponentom ima nekoliko važnih svojstava koja nam omogućuju da pojednostavimo izračune u primjerima s potencijama.