Središte mase: pojam, proračun i osnovni principi. Težina sustava
Razmotrimo ponovno isti sustav materijalnih točaka. Konstruirajmo radijus vektor prema sljedećem pravilu:
gdje je radijus vektor te materijalne točke sustava, a je njena masa.
Radijus vektor određuje položaj u prostoru centar inercije (centar mase) sustava.
Uopće nije nužno da će u središtu mase sustava biti neka materijalna točka.
Primjer. Pronađimo središte mase sustava koji se sastoji od dvije male kuglice - materijalnih točaka povezanih bestežinskom šipkom (sl. 3.29). Ovaj tjelesni sustav naziva se bučica.
Riža. 3.29. Središte mase bučice
Od sl. jasno je da
Zamjenjujući u te jednakosti izraz za radijus vektor centra mase
Slijedi da središte mase leži na pravoj liniji koja prolazi središtima kuglica. Udaljenosti l 1 i l 2 između kuglica i središta mase jednaki su redom
Središte mase je bliže lopti čija je masa veća, što se vidi iz omjera:
Odredimo kojom se brzinom giba centar tromosti sustava. Oba dijela razlikujemo po vremenu:
Brojnik dobivenog izraza na desnoj strani sadrži zbroj impulsa svih točaka, odnosno impuls sustava. Nazivnik je ukupna masa sustava
Utvrdili smo da je brzina središta tromosti povezana s momentom gibanja sustava i njegovom ukupnom masom istim omjerom koji vrijedi za materijalnu točku:
Video 3.11. Gibanje središta mase dvaju jednakih kolica spojenih oprugom.
Središte mase zatvorenog sustava uvijek se giba konstantnom brzinom, budući da je moment količine gibanja takvog sustava očuvan.
Ako sada diferenciramo izraz za količinu gibanja sustava s obzirom na vrijeme i uzmemo u obzir da je derivacija količine gibanja sustava rezultanta vanjskih sila, dobivamo jednadžba gibanja centra mase sustava općenito:
Jasno je da
Središte mase sustava giba se na potpuno isti način kao što bi se kretala materijalna točka čija je masa jednaka masi svih čestica u sustavu pod djelovanjem vektorskog zbroja svih vanjskih sila koje djeluju na sustav.
Ako postoji sustav materijalnih točaka čiji nas unutarnji položaj i kretanje ne zanimaju, imamo ga pravo smatrati materijalnom točkom s koordinatama radijus vektora središta tromosti i masom jednakom zbroju mase materijalnih točaka sustava.
Ako referentni sustav povežemo sa središtem mase zatvorenog sustava materijalnih točaka (čestica) (tzv. sustav centra mase), tada će ukupni moment svih čestica u takvom sustavu biti jednak nuli. Dakle, u sustavu centra mase, zatvoreni sustav čestica u cjelini miruje i postoji samo gibanje čestica u odnosu na središte mase. Stoga se jasno otkrivaju svojstva unutarnjih procesa koji se odvijaju u zatvorenom sustavu.
U slučaju kada je sustav tijelo s kontinuiranom raspodjelom masa, definicija centra mase ostaje u biti ista. Proizvoljnu točku u našem tijelu okružujemo malim volumenom. Masa sadržana u tom volumenu jednaka je , gdje je gustoća tvari tijela, koja ne mora biti konstantna u njegovom volumenu. Zbroj po svim takvim elementarnim masama sada je zamijenjen integralom po cijelom volumenu tijela, tako da za položaj centra mase tijela dobivamo izraz
Ako je tvar tijela homogena, njegova gustoća je konstantna i može se izvući ispod predznaka integrala, tako da će se poništiti u brojniku i nazivniku. Tada izraz za radijus vektor centra mase tijela poprima oblik
gdje je volumen tijela.
I u slučaju kontinuirane raspodjele masa, istinita je tvrdnja da
Središte mase krutog tijela giba se na isti način kao što bi se kretala materijalna točka čija je masa jednaka masi tijela pod djelovanjem vektorskog zbroja svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo.
Primjer. Ako projektil eksplodira u određenoj točki svoje parabolične putanje, tada krhotine lete duž raznih putanja, ali se njegov centar mase nastavlja kretati duž parabole.
Kada se radi o sustavu čestica, zgodno je pronaći točku - centar mase - koja bi karakterizirala položaj i kretanje tog sustava kao cjeline. U sustavu dviju identičnih čestica takva točka C očito leži u sredini između njih (slika 110a). To je jasno iz razmatranja simetrije: u homogenom i izotropnom prostoru, ova se točka razlikuje od svih ostalih, jer za svaku drugu točku A koja se nalazi bliže jednoj od čestica, postoji točka B koja joj je simetrična, koja se nalazi bliže čestici. druga čestica.
Riža. 110. Središte mase dviju identičnih čestica je u točki C s radijus vektorom ; središte mase dviju čestica različitih masa dijeli segment između njih u omjeru obrnuto proporcionalnom masama čestica (b)
Očito, radijus vektor točke C jednak je polovici zbroja radijus vektora identičnih čestica (slika 110a): Drugim riječima, to je uobičajena prosječna vrijednost vektora
Određivanje središta mase. Kako generalizirati ovu definiciju na slučaj dviju čestica s različitim masama Može se očekivati da će uz geometrijsko središte sustava, čiji je radijus vektor još uvijek jednak polovici zbroja, određenu ulogu imati točka, čiji je položaj određen raspodjelom
Jedem masu. Prirodno je definirati ga tako da je doprinos svake čestice proporcionalan njezinoj masi:
Radijus vektor centra mase, određen formulom (1), je ponderirana prosječna vrijednost radijus vektora čestica, što je očito ako (1) prepišemo u obliku
Radijus vektor svake čestice ulazi s težinom proporcionalnom njezinoj masi. Lako je vidjeti da središte mase C, određeno formulom (1), leži na pravocrtnom segmentu koji povezuje čestice i dijeli ga u omjeru obrnuto proporcionalnom masama čestica: (slika 110b).
Imajte na umu da je ovdje navedena definicija centra mase povezana s uvjetom ravnoteže poluge, koji znate. Zamislimo da su točkaste mase, koje su podložne djelovanju jednolikog gravitacijskog polja, spojene štapom zanemarive mase. Takva poluga će biti u ravnoteži ako joj se uporište nalazi u središtu mase C.
Prirodna generalizacija formule (1) na slučaj sustava koji se sastoji od materijalnih točaka s masama i radijus vektorima je jednakost
koji služi kao definicija radijus vektora centra mase (ili centra tromosti) sustava.
Brzina centra mase. Središte mase karakterizira ne samo položaj, već i kretanje sustava čestica kao cjeline. Brzina centra mase, određena jednakošću koja slijedi iz (2), izražava se na sljedeći način u terminima brzina čestica koje tvore sustav:
Brojnik na desnoj strani ovog izraza, kao što proizlazi iz formule (6) prethodnog odlomka, sadrži ukupnu količinu gibanja sustava P, a nazivnik je njegovu ukupnu masu M. Stoga je količina gibanja sustava čestica jednaka umnošku mase cijelog sustava M i brzine njegova središta mase
Formula (4) pokazuje da je količina gibanja sustava povezana s brzinom njegova centra mase na isti način kao što je količina gibanja pojedinačne čestice povezana s brzinom čestice. U tom smislu kretanje centra mase karakterizira kretanje sustava u cjelini.
Zakon gibanja centra mase. Zakon promjene momenta količine gibanja sustava čestica, izražen formulom (9) iz prethodnog odlomka, u biti je zakon gibanja njegova središta mase. Naime, iz (4) uz konstantnu ukupnu masu M sustava imamo
što znači da je brzina promjene količine gibanja sustava jednaka umnošku njegove mase i akceleracije centra mase. Uspoređujući (5) s formulom (6) § 29, dobivamo
Prema (6), središte mase sustava kreće se kao što bi se kretala jedna materijalna točka mase M pod utjecajem sile jednake zbroju svih vanjskih sila koje djeluju na čestice koje ulaze u sustav. Konkretno, središte mase zatvorenog fizikalnog sustava, na koje ne djeluju vanjske sile, giba se jednoliko i pravocrtno u inercijalnom referentnom okviru ili miruje.
Ideja o središtu mase u nizu slučajeva omogućuje da se odgovori na neka pitanja dobiju čak i jednostavnije nego izravnim korištenjem zakona o održanju momenta. Razmotrite sljedeći primjer.
Astronaut izvan broda. Masovni kozmonaut, nepomičan u odnosu na masovnu svemirsku letjelicu s isključenim motorom, počinje se povlačiti prema brodu pomoću laganog sigurnosnog užeta. Kolike će udaljenosti prijeći astronaut i letjelica prije susreta ako je početna udaljenost između njih
Središte mase broda i astronauta nalazi se na pravoj liniji koja ih povezuje, a pripadajuće udaljenosti obrnuto su proporcionalne masama.
odmah dobijemo
U dubokom svemiru, gdje nema vanjskih sila, središte mase ovog zatvorenog sustava ili miruje ili se kreće konstantnom brzinom. U referentnom sustavu u kojem on miruje, astronaut i brod prije susreta prijeći će udaljenosti zadane formulama (7).
Za valjanost takvog rezoniranja, temeljno je važno koristiti inercijski referentni okvir. Da smo ovdje neoprezno povezali referentni sustav sa svemirskim brodom, došli bismo do zaključka da se, kada se astronaut izvuče, središte mase sustava počinje pomicati u nedostatku vanjskih sila: on se približava brodu. Središte mase održava svoju brzinu samo u odnosu na inercijalni referentni sustav.
Jednadžba (6), koja određuje ubrzanje centra mase sustava čestica, ne uključuje unutarnje sile koje u njemu djeluju. Znači li to da unutarnje sile uopće ne utječu na kretanje središta mase? U nedostatku vanjskih sila ili kada su te sile konstantne, to je doista slučaj. Na primjer, u jednoličnom gravitacijskom polju, središte mase projektila koji je eksplodirao u letu nastavlja se kretati duž iste parabole sve dok niti jedan od fragmenata ne padne na tlo.
Uloga unutarnjih sila. U slučajevima kada se vanjske sile mogu promijeniti, situacija je nešto kompliciranija. Vanjske sile ne djeluju na centar mase, već na pojedinačne čestice sustava. Te sile mogu ovisiti o položaju čestica, a položaj svake čestice tijekom njezina gibanja određen je svim silama koje na nju djeluju, kako vanjskim tako i unutarnjim.
Objasnimo to na istom jednostavnom primjeru projektila koji se u letu pod utjecajem unutarnjih sila razbija na male fragmente. Dok su svi fragmenti u letu, središte mase, kao što je već spomenuto, nastavlja se kretati duž iste parabole. No, čim barem jedan od krhotina dotakne tlo i njegovo kretanje prestane, pridodat će se nova vanjska sila - sila reakcije zemljine površine koja djeluje na otpali fragment. Zbog toga će se promijeniti akceleracija središta mase i ono se više neće kretati po istoj paraboli. Sama pojava ove sile reakcije posljedica je djelovanja unutarnjih sila koje su eksplodirale projektil. Dakle, djelovanje unutarnjih sila u trenutku loma projektila može dovesti do promjene ubrzanja kojim će se središte mase pomicati u kasnijim vremenima i, posljedično, do promjene njegove putanje.
Navedimo još upečatljiviji primjer utjecaja unutarnjih sila na kretanje središta mase. Zamislimo da je Zemljin satelit,
okrećući se oko njega u kružnoj orbiti, pod utjecajem unutarnjih sila dijeli se na dvije polovice. Jedna od polovica se zaustavlja i počinje padati okomito na Zemlju. Prema zakonu o očuvanju momenta, druga polovica mora u ovom trenutku udvostručiti svoju brzinu, usmjerenu tangencijalno na krug. Kao što ćemo vidjeti u nastavku, takvom brzinom ova polovica će odletjeti od Zemlje na beskonačno veliku udaljenost. Posljedično, središte mase satelita, odnosno njegove dvije polovice, također će se pomaknuti na beskonačno veliku udaljenost od Zemlje. A razlog tome je djelovanje unutarnjih sila kada je satelit podijeljen na dva dijela, jer bi se inače nepodijeljeni satelit nastavio kretati po kružnoj orbiti.
Mlazni pogon. Zakon o održanju količine gibanja zatvorenog sustava olakšava objašnjenje principa reaktivnog gibanja. Prilikom izgaranja goriva raste temperatura i stvara se visok tlak u komori za izgaranje, zbog čega nastali plinovi velikom brzinom izlaze iz mlaznice raketnog motora. U nedostatku vanjskih polja, ukupni moment rakete i plinova koji izlaze iz mlaznice ostaje nepromijenjen. Stoga, kada plinovi istječu, raketa dobiva brzinu u suprotnom smjeru.
Meščerski jednadžba. Dobivamo jednadžbu koja opisuje gibanje rakete. Neka u nekom trenutku raketa u nekom inercijalnom referentnom sustavu ima brzinu.Uvedimo drugi inercijalni referentni okvir, u kojem je u danom trenutku raketa nepomična. Nazovimo takav referentni sustav pokretnim. Ako radni raketni motor izbacuje masovne plinove brzinom u odnosu na raketu tijekom određenog vremena, tada će nakon nekog vremena brzina rakete u ovom popratnom sustavu biti različita od nule i jednaka
Primijenimo zakon očuvanja količine gibanja na zatvoreni fizički sustav koji razmatramo, raketu i plinove. U početnom trenutku, u pratećem referentnom okviru, raketa i plinovi miruju, pa je ukupni moment jednak nuli. Nakon vremena moment količine gibanja rakete je jednak momentu količine gibanja izbačenih plinova.Dakle
Ukupna masa raketnog sustava plus plinovi je očuvana, pa je masa izbačenih plinova jednaka gubitku mase rakete:
Sada se jednadžba (8) nakon dijeljenja s vremenskim razdobljem prepisuje kao
Pomicanjem do granice dobivamo jednadžbu gibanja tijela promjenjive mase (raketa) u odsutnosti vanjskih sila:
Jednadžba (9) ima oblik drugog Newtonovog zakona, ako se njezina desna strana smatra reaktivnom silom, tj. silom kojom plinovi koji izlaze iz nje djeluju na raketu. Masa rakete ovdje nije konstantna, već se s vremenom smanjuje zbog gubitka materije, tj. Dakle, reaktivna sila; usmjerena u smjeru suprotnom od brzine izlaza plinova iz mlaznice u odnosu na raketu. Vidljivo je da je ta sila veća što je veća brzina strujanja plina i što je veća potrošnja goriva u jedinici vremena.
Jednadžba (9) je dobivena u određenom inercijalnom referentnom sustavu - pratećem sustavu. Zbog načela relativnosti to vrijedi iu bilo kojem drugom inercijalnom referentnom okviru. Ako osim reaktivne sile na raketu djeluju i druge vanjske sile, poput gravitacije i otpora zraka, tada ih treba dodati na desnu stranu jednadžbe (9):
Ovu je jednadžbu prvi dobio Meshchersky i nosi njegovo ime. Za određeni način rada motora, kada je masa određena poznata funkcija vremena, jednadžba Meshcherskyja omogućuje vam izračunavanje brzine rakete u bilo kojem trenutku.
Koja fizikalna razmatranja ukazuju na uputnost određivanja središta mase pomoću formule (1)?
U kojem smislu centar mase karakterizira kretanje sustava čestica kao cjeline?
Što kaže zakon gibanja centra mase sustava međusobno djelujućih tijela? Utječu li unutarnje sile na ubrzanje središta mase?
Mogu li unutarnje sile utjecati na putanju središta mase sustava?
U problemu pucanja projektila, razmatranom u prethodnom odlomku, zakon gibanja središta mase omogućuje nam da odmah pronađemo domet leta drugog fragmenta ako je njegova početna brzina vodoravna. Kako to učiniti? Zašto se ova razmatranja ne primjenjuju u slučaju kada njegova početna brzina ima vertikalnu komponentu?
Tijekom ubrzanja rakete njezin motor radi u konstantnom režimu, tako da su relativna brzina protoka plina i potrošnja goriva u jedinici vremena nepromijenjeni. Hoće li ubrzanje rakete biti konstantno?
Izvedite jednadžbu Meshcherskyja koristeći, umjesto pratećeg referentnog okvira, inercijski okvir u kojem raketa već ima brzinu
Formula Ciolkovskog. Pretpostavimo da raketa ubrzava u slobodnom prostoru, gdje na nju ne djeluju vanjske sile. Kako se gorivo troši, masa rakete se smanjuje. Pronađimo odnos između mase potrošenog goriva i brzine koju je dobila raketa.
Nakon uključivanja motora, stacionarna raketa počinje dobivati brzinu, krećući se pravocrtno. Projiciranjem vektorske jednadžbe (9) na smjer gibanja rakete dobivamo
U jednadžbi (11) smatrat ćemo masu rakete kao funkciju brzine koju je raketa dobila. Tada se stopa promjene mase tijekom vremena može predstaviti na sljedeći način:
Centar mase centar tromosti, geometrijska točka čiji položaj karakterizira raspodjelu masa u tijelu ili mehaničkom sustavu. Koordinate središnje mase određene su formulama , Gdje m do - mase materijalnih točaka koje tvore sustav, x k, y k, z k - koordinate tih točaka, M=
Σ m do - masa sustava, ρ - gustoća, V- volumen. Koncept centra gravitacije razlikuje se od koncepta centra gravitacije (vidi Centar gravitacije) po tome što potonji ima smisla samo za kruto tijelo koje se nalazi u uniformnom polju gravitacije; Koncept mehaničkog sustava nije povezan ni s jednim poljem sile i ima smisla za bilo koji mehanički sustav. Za kruto tijelo položaji težišta i težišta se podudaraju. Kada se mehanički sustav giba, njegova središnja masa se giba na isti način kao što bi se kretala materijalna točka ako ima masu jednaku masi sustava i pod utjecajem je svih vanjskih sila koje djeluju na sustav. Osim toga, neke jednadžbe gibanja mehaničkog sustava (tijela) u odnosu na osi koje izlaze iz središta gibanja i gibaju se zajedno sa središtem gibanja translatorno zadržavaju isti oblik kao za gibanje u odnosu na inercijalni referentni sustav (vidi Inercijalni referentni sustav). S obzirom na ova svojstva, koncept središnjeg gibanja igra važnu ulogu u dinamici sustava i krutog tijela. S. M. Targ.
Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .
Pogledajte što je "centar mase" u drugim rječnicima:
- (centar tromosti) tijela (sustava materijalnih točaka), točka čiji položaj karakterizira raspored masa u tijelu ili mehaničkom sustavu. Kada se tijelo kreće, njegovo središte mase se kreće kao materijalna točka s masom jednakom masi cijelog tijela, da... ... enciklopedijski rječnik
- (središte tromosti) tijela (sustava materijalnih točaka) točka koja karakterizira raspodjelu masa u tijelu ili mehaničkom sustavu. Kada se tijelo giba, njegovo središte mase se giba kao materijalna točka s masom jednakom masi cijelog tijela kojem ... ... Veliki enciklopedijski rječnik
centar mase- mehanički sustav; centar mase; industrija središte tromosti Geometrijska točka za koju je zbroj umnožaka masa svih materijalnih točaka koje čine mehanički sustav i njihovih radijus vektora povučenih iz te točke jednak nuli... Politehnički terminološki eksplanatorni rječnik
Isto kao centar inercije. Fizički enciklopedijski rječnik. M.: Sovjetska enciklopedija. Glavni urednik A. M. Prokhorov. 1983. CENTAR MASE... Fizička enciklopedija
Ovaj pojam ima i druga značenja, pogledajte Centar gravitacije (značenja). Središte mase, središte tromosti, baricentar (od drugog grčkog: βαρύς težak + κέντρον središte) (u mehanici) geometrijska točka koja karakterizira kretanje tijela ili sustava čestica kao ... ... Wikipedia
centar mase- 3.1 središte mase: Točka povezana s fizičkim tijelom koja ima takvo svojstvo da imaginarni točkasti objekt s masom jednakom masi tog fizičkog tijela, ako se postavi na tu točku, ima isti moment tromosti u odnosu na proizvoljni...... Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije
Središte tromosti, točka C, karakterizira raspodjelu masa u mehaničkom. sustav. Radijus vektor središnje mase sustava koji se sastoji od materijalnih točaka, gdje su mi i ri masa i radijus vektor i-te točke, a M masa cijelog sustava. Kad se sustav pomiče, pomiče se središnji dio... Veliki enciklopedijski politehnički rječnik
- (centar tromosti) tijela (sustav materijalnih točaka), točka, položaj roja karakterizira raspored masa u tijelu ili mehanički. sustav. Kada se tijelo kreće, njegova središnja masa se kreće poput materijalne točke s masom jednakom masi cijelog tijela, prema roju... ... Prirodna znanost. enciklopedijski rječnik
Centar mase- (centar tromosti) geometrijska točka čiji položaj karakterizira raspored masa u tijelu ili mehaničkom sustavu... Fizička antropologija. Ilustrirani rječnik s objašnjenjima.
Točka koja karakterizira raspodjelu masa u tijelu ili mehaničkom sustavu. Kada se tijelo (sustav) giba, njegova središnja masa se giba kao materijalna točka s masom jednakom masi cijelog tijela, na koju djeluju sve sile koje na to tijelo djeluju... Astronomski rječnik
knjige
- , Weber Alfred. Alfred Weber njemački je sociolog, kulturolog, povjesničar, vrlo svjestan prirode i smjera društvene povijesti i političkih trendova. Šokirani svjedok dviju europskih katastrofa...
- Favoriti. Kriza europske kulture, Weber A.. Alfred Weber (1868.-1958.) - njemački sociolog, kulturolog, povjesničar, oštro svjestan prirode i smjera društvene povijesti i političkih trendova. Šokirani svjedok dviju katastrofa...
Centar gravitacije(ili centar mase) određenog tijela je točka koja ima svojstvo da će tijelo, ako se okači o tu točku, zadržati svoj položaj.
U nastavku razmatramo dvodimenzionalne i trodimenzionalne probleme povezane s traženjem različitih centara mase - uglavnom sa stajališta računalne geometrije.
U rješenjima koja se razmatraju u nastavku, mogu se razlikovati dva glavna: činjenica. Prvi je da je središte mase sustava materijalnih točaka jednako prosjeku njihovih koordinata, uzeto s koeficijentima proporcionalnim njihovim masama. Druga činjenica je da ako znamo središta mase dvaju figura koje se ne sijeku, tada će središte mase njihovog spoja ležati na segmentu koji povezuje ta dva središta i dijelit će ga u istom omjeru kao masa druga brojka odnosi se na masu prve.
Dvodimenzionalni slučaj: poligoni
Zapravo, kada govorimo o centru mase dvodimenzionalne figure, možemo misliti na jedno od sljedeća tri zadaci:
- Središte mase sustava točaka – t.j. sva je masa koncentrirana samo na vrhovima poligona.
- Središte mase okvira - tj. Masa poligona je koncentrirana na njegovom obodu.
- Središte mase čvrste figure - tj. Masa poligona raspoređena je po cijeloj njegovoj površini.
Svaki od ovih problema ima neovisno rješenje i o njima ćemo zasebno raspravljati u nastavku.
Središte mase točkastog sustava
Ovo je najjednostavniji od tri problema, a njegovo rješenje je dobro poznata fizikalna formula za središte mase sustava materijalnih točaka:
gdje su mase točaka, su njihovi radijus vektori (specificirajući njihov položaj u odnosu na ishodište), a je željeni radijus vektor centra mase.
Konkretno, ako sve točke imaju istu masu, tada su koordinate središta mase prosjek koordinate točaka. Za trokut ova točka se zove težište i poklapa se sa sjecištem medijana:
Za dokaz Ove formule su dovoljne za zapamtiti da se ravnoteža postiže u točki u kojoj je zbroj momenata svih sila jednak nuli. U ovom slučaju to se pretvara u uvjet da je zbroj radijus vektora svih točaka u odnosu na točku, pomnožen s masama odgovarajućih točaka, jednak nuli:
i, izražavajući odavde, dobivamo traženu formulu.
Središte mase okvira
Ali tada se svaka strana poligona može zamijeniti jednom točkom - sredinom ovog segmenta (budući da je središte mase homogenog segmenta sredina ovog segmenta), s masom jednakom duljini tog segmenta.
Sada imamo problem o sustavu materijalnih točaka, a primjenjujući na njega rješenje iz prethodnog paragrafa, nalazimo:
gdje je središte i-te stranice mnogokuta, duljina i-te stranice, opseg, tj. zbroj duljina stranica.
Za trokut može se pokazati sljedeća izjava: ova točka je sjecište simetrale trokut formiran središtima stranica izvornog trokuta. (da biste to pokazali, trebate upotrijebiti gornju formulu, a zatim uočite da simetrale dijele stranice dobivenog trokuta u istim omjerima kao i središta mase tih stranica).
Središte mase čvrste figure
Vjerujemo da je masa ravnomjerno raspoređena po liku, tj. gustoća u svakoj točki figure jednaka je istom broju.
Slučaj trokut
Tvrdi se da će za trokut odgovor biti isti težište, tj. točka koju čini aritmetička sredina koordinata vrhova:
Slučaj trokuta: dokaz
Ovdje dajemo elementarni dokaz koji ne koristi teoriju integrala.
Arhimed je prvi dao takav čisto geometrijski dokaz, ali on je bio vrlo složen, s velikim brojem geometrijskih konstrukcija. Ovdje naveden dokaz preuzet je iz članka "Pronalaženje centroida na jednostavan način" autora Apostola, Mnatsakaniana.
Dokaz se svodi na pokazivanje da središte mase trokuta leži na jednoj od središnjica; Ponavljajući ovaj proces još dva puta, pokazat ćemo da središte mase leži u točki presjeka medijana, koja je težište.
Podijelimo ovaj trokut na četiri, povezujući središta strana, kao što je prikazano na slici:
Četiri dobivena trokuta slična su trokutu s koeficijentom .
Trokuti br. 1 i br. 2 zajedno tvore paralelogram čije središte mase leži u sjecištu njegovih dijagonala (budući da se radi o liku koji je simetričan s obzirom na obje dijagonale, pa je stoga njegovo središte masa mora ležati na svakoj od dvije dijagonale). Točka se nalazi na sredini zajedničke stranice trokuta br. 1 i br. 2, a također leži na središnjici trokuta:
Neka sada vektor bude vektor povučen iz vrha u središte mase trokuta br. 1, a vektor neka bude vektor povučen iz točke (koja je, podsjetimo, sredina stranice na kojoj leži) :
Naš cilj je pokazati da su vektori i kolinearni.
Označimo s i točke koje su središta mase trokuta br. 3 i br. 4. Tada će, očito, središte mase skupa ova dva trokuta biti točka koja je sredina segmenta. Štoviše, vektor od točke do točke podudara se s vektorom.
Željeno središte mase trokuta nalazi se u sredini segmenta koji povezuje točke i (budući da smo trokut podijelili na dva dijela jednakih površina: br. 1-br. 2 i br. 3-br. 4):
Dakle, vektor od vrha do težišta je . S druge strane, jer trokut br. 1 sličan je trokutu s koeficijentom, tada je isti vektor jednak . Odavde dobivamo jednadžbu:
gdje nalazimo:
Dakle, dokazali smo da su vektori i kolinearni, što znači da željeno težište leži na središnjici koja izlazi iz vrha.
Štoviše, usput smo dokazali da centroid dijeli svaki medijan u omjeru, računajući od vrha.
Slučaj poligona
Prijeđimo sada na opći slučaj - tj. prigodi poligon. Za njega takvo zaključivanje više nije primjenjivo, pa problem svodimo na trokutasti: naime, mnogokut podijelimo na trokute (tj. trianguliramo ga), svakom trokutu nađemo središte mase, a zatim središte trokuta. masa nastalih centara mase trokuta.
Konačna formula je sljedeća:
gdje je težište th trokuta u triangulaciji danog poligona, je površina th trokuta triangulacije, je površina cijelog poligona.
Triangulacija konveksnog poligona trivijalan je zadatak: za to, na primjer, možete uzeti trokute, gdje .
Slučaj poligona: alternativni način
S druge strane, uporaba gornje formule nije baš prikladna za nekonveksni poligoni, budući da njihova triangulacija sama po sebi nije lak zadatak. Ali za takve poligone možete smisliti jednostavniji pristup. Naime, povucimo analogiju s time kako se može tražiti površina proizvoljnog poligona: odabire se proizvoljna točka, a zatim se zbrajaju predznačne površine trokuta koje čine ta točka i točke poligona: . Slična se tehnika može upotrijebiti za pronalaženje središta mase: samo sada ćemo zbrojiti središta mase trokuta uzeta s koeficijentima proporcionalnima njihovim površinama, tj. Konačna formula za centar mase je:
gdje je proizvoljna točka, su točke poligona, je težište trokuta, je označeno područje ovog trokuta, je označeno područje cijelog poligona (tj.
Trodimenzionalni slučaj: poliedri
Slično dvodimenzionalnom slučaju, u 3D možemo odmah govoriti o četiri moguće formulacije problema:
- Središte mase sustava točaka – vrhova poliedra.
- Središte mase okvira su rubovi poliedra.
- Središte mase površine – tj. masa se raspoređuje po površini poliedra.
- Središte mase čvrstog poliedra – tj. masa je raspoređena po poliedru.
Središte mase točkastog sustava
Kao u dvodimenzionalnom slučaju, možemo primijeniti fizičku formulu i dobiti isti rezultat:
koja se u slučaju jednakih masa pretvara u aritmetičku sredinu koordinata svih točaka.
Središte mase okvira poliedra
Slično dvodimenzionalnom slučaju, svaki brid poliedra jednostavno zamijenimo materijalnom točkom koja se nalazi u sredini tog brida i masom jednakom duljini tog brida. Dobivši problem materijalnih točaka, lako nalazimo njegovo rješenje kao težinski zbroj koordinata tih točaka.
Središte mase plohe poliedra
Svaka strana plohe poliedra je dvodimenzionalni lik čije središte mase možemo tražiti. Pronalaženjem tih središta mase i zamjenom svake plohe s njezinim središtem mase dobivamo problem s materijalnim točkama koji je već lako riješiti.
Središte mase čvrstog poliedra
Slučaj tetraedra
Kao i u dvodimenzionalnom slučaju, prvo riješimo najjednostavniji problem - problem za tetraedar.
Tvrdi se da se središte mase tetraedra poklapa s točkom presjeka njegovih medijana (središte tetraedra je segment povučen od njegova vrha do središta mase suprotne strane; dakle, središte tetraedra prolazi kroz vrh i kroz točku presjeka središnjica trokutaste plohe).
Zašto je to tako? Ovdje je rezoniranje slično dvodimenzionalnom slučaju ispravno: ako tetraedar presiječemo na dva tetraedra pomoću ravnine koja prolazi kroz vrh tetraedra i neku sredinu suprotne strane, tada će oba rezultirajuća tetraedra imati isti volumen (jer trokutasta ploha bit će podijeljena središnjicom na dva trokuta jednake površine, a visina dva tetraedra se neće promijeniti). Ponavljajući ove argumente nekoliko puta, nalazimo da središte mase leži u točki presjeka medijana tetraedra.
Ova točka - točka presjeka medijana tetraedra - naziva se njegova težište. Može se pokazati da zapravo ima koordinate jednake aritmetičkoj sredini koordinata vrhova tetraedra:
(ovo se može zaključiti iz činjenice da centroid dijeli medijane u omjeru)
Dakle, nema temeljne razlike između slučajeva tetraedra i trokuta: točka jednaka aritmetičkoj sredini vrhova je središte mase u dvije formulacije problema: obje kada su mase smještene samo na vrhovima, a kada su mase raspoređene po cijeloj površini/volumenu. Zapravo, ovaj se rezultat generalizira na proizvoljnu dimenziju: središte mase proizvoljne jednostavan(simpleks) je aritmetička sredina koordinata njegovih vrhova.
Slučaj proizvoljnog poliedra
Prijeđimo sada na opći slučaj - slučaj proizvoljnog poliedra.
Opet, kao u dvodimenzionalnom slučaju, ovaj problem reduciramo na već riješen: poliedar podijelimo na tetraedre (tj. tetraedroniziramo), pronađemo središte mase svakog od njih i dobijemo konačni odgovor na problem u obliku ponderirane sume pronađenih središta težinski.
Mehanički sustav
Mehanički sustav je skup materijalnih točaka:- kretanje po zakonima klasične mehanike; i - međusobno djelovanje is tijelima koja nisu uključena u ovaj skup.
Težina
Masa se u prirodi očituje na nekoliko načina.
Pasivna gravitacijska masa pokazuje kojom silom tijelo stupa u interakciju s vanjskim gravitacijskim poljima – zapravo je ta masa osnova za mjerenje mase vaganjem u suvremenom mjeriteljstvu.
Aktivna gravitacijska masa pokazuje kakvo gravitacijsko polje samo ovo tijelo stvara – u zakonu univerzalne gravitacije pojavljuju se gravitacijske mase.
Inertna masa karakterizira tromost tijela i pojavljuje se u jednoj od formulacija drugog Newtonovog zakona. Ako proizvoljna sila u vinercijskom referentnom sustavu jednako ubrzava različita početno nepomična tijela, tim tijelima se pripisuje ista inercijalna masa.
Gravitacijska i inercijalna masa su međusobno jednake (s velikom točnošću - oko 10 −13 - eksperimentalno, au većini fizikalnih teorija, uključujući sve eksperimentalno potvrđene - točno), dakle, u slučaju kada ne govorimo o “ nova fizika” , jednostavno govore o masi, ne precizirajući na koju misle.
U klasičnoj mehanici masa sustava tijela jednaka zbroj masa njegovih sastavnih tijela. U relativističkoj mehanici masa nije aditivna fizikalna veličina, odnosno masa sustava u općem slučaju nije jednaka zbroju masa komponenti, već uključuje energiju vezanja i ovisi o prirodi gibanja čestice jedna u odnosu na drugu
Centar mase - ( u mehanici) geometrijska točka koja karakterizira kretanje tijela ili sustava čestica kao cjeline. Nije identičan pojmu težišta (iako se najčešće poklapa).
Položaj središta mase (centra tromosti) sustava materijalnih točaka u klasičnoj mehanici određuje se na sljedeći način:
gdje je radijus vektor centra mase, je radijus vektor ja th točka sustava, - masa ja th točka.
Za slučaj kontinuirane distribucije mase:
gdje je ukupna masa sustava, je volumen i je gustoća. Centar mase tako karakterizira raspodjelu mase po tijelu ili sustavu čestica.
Može se pokazati da ako se sustav ne sastoji od materijalnih točaka, već od proširenih tijela s masama, tada je radijus vektor centra mase takvog sustava povezan s radijus vektorima središta mase tijela odnos:
Drugim riječima, u slučaju proširenih tijela formula vrijedi, čija se struktura podudara s onom koja se koristi za materijalne točke.
U mehanici!!!
Koncept središta mase široko se koristi u mehanici i fizici.
Gibanje krutog tijela može se promatrati kao superpozicija gibanja centra mase i rotacijskog gibanja tijela oko njegovog centra mase. U tom slučaju se centar mase giba na isti način kao što bi se gibalo tijelo iste mase, ali beskonačno malih dimenzija (materijalna točka). Potonje posebno znači da su svi Newtonovi zakoni primjenjivi za opisivanje ovog kretanja. U mnogim slučajevima možete potpuno zanemariti veličinu i oblik tijela i uzeti u obzir samo kretanje njegova središta mase.
Često je prikladno razmatrati gibanje zatvorenog sustava u referentnom okviru povezanom sa središtem mase. Takav referentni sustav nazivamo sustavom središta mase (C-sustav), ili sustavom središta tromosti. U njemu ukupni moment zatvorenog sustava uvijek ostaje jednak nuli, što omogućuje pojednostavljenje jednadžbi njegova gibanja.
Središta mase homogenih likova
Segment ima sredinu.
Za poligone (i čvrste ravne figure i okvire):
Paralelogram ima sjecište svojih dijagonala.
Trokut ima točku presjeka medijana ( težište).
Pravilni poligon ima centar rotacijske simetrije.
Polukrug ima točku koja dijeli polumjer okomitosti u omjeru 4:3π od središta kruga.
Zamah = impuls
Količina gibanja sustava (impuls sustava).
Količina gibanja (tjelesni impuls)– vektorska fizikalna veličina jednaka umnošku mase tijela i njegove brzine:
Impuls (količina gibanja) jedna je od najosnovnijih karakteristika gibanja tijela ili sustava tijela.
Napišimo Newtonov II zakon u drugačijem obliku, uzimajući u obzir to ubrzanje Onda dakle
Umnožak sile i vremena njezina djelovanja jednak je prirastu količine gibanja tijela (slika 1):
Gdje je impuls sile, koji pokazuje da rezultat sile ne ovisi samo o njezinoj vrijednosti, već i o trajanju njezina djelovanja.
Sl. 1
Količina gibanja sustava (impulsa) nazvat ćemo vektorskom veličinom koja je jednaka geometrijskom zbroju (glavnom vektoru) količina gibanja (impulsa) svih točaka sustava.(Slika 2):
Iz crteža je jasno da, bez obzira na vrijednosti brzina točaka sustava (osim ako su te brzine paralelne), vektor može poprimiti bilo koje vrijednosti, pa čak i biti jednak nuli kada poligon konstruiran od vektora se zatvara. Posljedično, priroda gibanja sustava ne može se u potpunosti procijeniti prema njegovoj veličini.
sl.2
Pronađimo formulu koja olakšava izračunavanje vrijednosti i razumijevanje njenog značenja.
Iz ravnopravnosti
slijedi to
Uzimajući vremensku derivaciju obje strane, dobivamo
Odavde to nalazimo
količina gibanja (količina gibanja) sustava jednaka je umnošku mase cijelog sustava i brzine njegovog središta mase . Ovaj rezultat je posebno pogodan za korištenje pri proračunu količina gibanja krutih tijela.
Iz formule je jasno da ako se tijelo (ili sustav) giba tako da centar mase ostane nepomičan, tada je količina gibanja tijela jednaka nuli. Na primjer, količina gibanja tijela koje rotira oko fiksne osi koja prolazi kroz njegovo središte mase bit će nula.
Ako je kretanje tijela složeno, tada vrijednost neće karakterizirati rotacijski dio kretanja oko središta mase. Na primjer, za kotačić koji se kotrlja, bez obzira kako se kotač okreće oko svog središta mase S.
Tako, zamah karakterizira samo translatorno gibanje sustava. U složenom gibanju veličina karakterizira samo translacijski dio gibanja sustava zajedno sa središtem mase.
Glavna stvar je količina stv dv emisija (impuls) sustava.
Glavni moment količine gibanja (ili kinetički moment) sustava u odnosu na dano središte OKO naziva se veličina jednaka geometrijskom zbroju momenata količina gibanja svih točaka sustava u odnosu na ovo središte.
Slično se određuju momenti količina gibanja sustava u odnosu na koordinatne osi:
U ovom slučaju oni istovremeno predstavljaju projekcije vektora na koordinatne osi.
Baš kao što je zamah sustava karakteristika njegovog translatornog gibanja, glavni moment količine gibanja sustava je karakteristika rotacijskog gibanja sustava.
sl.6
Za razumijevanje mehaničkog značenja količine L 0 i imamo potrebne formule za rješavanje problema, izračunavamo kutni moment tijela koje rotira oko fiksne osi (slika 6). Štoviše, kao i obično, definicija vektora svodi se na određivanje njegovih projekcija.
Pronađimo prvo najvažniju formulu za aplikacije, koja određuje količinu L z, tj. kinetički moment rotacijskog tijela oko osi rotacije.
Za bilo koju točku na tijelu koja se nalazi na udaljenosti od osi rotacije, brzina je . Stoga, za ovu točku. Tada za cijelo tijelo, uzimajući zajednički faktor ω iz zagrade, dobivamo
Vrijednost u zagradama predstavlja moment tromosti tijela u odnosu na os z. Napokon nalazimo
Tako, kinetički moment rotacijskog tijela u odnosu na os rotacije jednak je umnošku momenta tromosti tijela u odnosu na ovu os i kutne brzine tijela.
Ako se sustav sastoji od nekoliko tijela koja rotiraju oko iste osi, onda će ih očito biti
Lako je uočiti analogiju između formula i: količina gibanja jednaka je umnošku mase (veličine koja karakterizira tromost tijela tijekom translatornog gibanja) i brzine; kinetički moment jednak je umnošku momenta tromosti (vrijednost koja karakterizira tromost tijela tijekom rotacijskog gibanja) i kutne brzine.
