Online kalkulator za rješavanje kvadratne nejednakosti. Rješavanje eksponencijalnih nejednakosti
Rješavanje nejednakosti online
Prije rješavanja nejednadžbi potrebno je dobro razumjeti kako se jednadžbe rješavaju.
Nije važno je li nejednakost stroga () ili nestroga (≤, ≥), prvi je korak riješiti jednadžbu zamjenom znaka nejednakosti s jednakošću (=).
Objasni što znači riješiti nejednakost?
Nakon proučavanja jednadžbi, učenik ima sljedeću sliku u glavi: trebate pronaći takve vrijednosti varijable za koje oba dijela jednadžbe imaju iste vrijednosti. Drugim riječima, pronađite sve točke u kojima vrijedi jednakost. Sve je točno!
Kada se govori o nejednakostima, misli se na pronalaženje intervala (segmenata) na kojima nejednakost vrijedi. Ako u nejednadžbi postoje dvije varijable, tada rješenje više neće biti intervali, već neka područja na ravnini. Pogodite što će biti rješenje nejednakosti u tri varijable?
Kako riješiti nejednakosti?
Metoda intervala (poznata i kao metoda intervala) smatra se univerzalnim načinom rješavanja nejednakosti, koji se sastoji u određivanju svih intervala unutar kojih će zadana nejednakost biti ispunjena.
Ne ulazeći u vrstu nejednakosti, u ovom slučaju to nije bit, potrebno je riješiti odgovarajuću jednadžbu i odrediti njezine korijene, nakon čega slijedi označavanje tih rješenja na brojčanoj osi.
Koji je ispravan način da se zapiše rješenje nejednadžbe?
Kada ste odredili intervale za rješavanje nejednadžbe, potrebno je ispravno napisati samo rješenje. Postoji važna nijansa - jesu li granice intervala uključene u rješenje?
Ovdje je sve jednostavno. Ako rješenje jednadžbe zadovoljava ODZ, a nejednadžba nije stroga, tada je granica intervala uključena u rješenje nejednadžbe. Inače, ne.
Uzimajući u obzir svaki interval, rješenje nejednakosti može biti sam interval, ili poluinterval (kada jedna od njegovih granica zadovoljava nejednakost), ili segment - interval zajedno sa svojim granicama.
Važna točka
Nemojte misliti da samo intervali, polu-intervali i segmenti mogu biti rješenje za nejednakost. Ne, u rješenje se mogu uključiti i pojedinačne točke.
Na primjer, nejednadžba |x|≤0 ima samo jedno rješenje - točku 0.
I nejednakost |x|
Čemu služi kalkulator nejednakosti?
Kalkulator nejednakosti daje točan konačni odgovor. U ovom slučaju, u većini slučajeva, daje se ilustracija numeričke osi ili ravnine. Možete vidjeti jesu li granice intervala uključene u rješenje ili ne - točke se prikazuju ispunjene ili probušene.
Zahvaljujući online kalkulator za nejednadžbe možete provjeriti jeste li ispravno pronašli korijene jednadžbe, označili ih na realnoj osi i provjerili ispunjenje uvjeta nejednakosti na intervalima (i granicama)?
Ako se vaš odgovor razlikuje od odgovora kalkulatora, onda svakako trebate još jednom provjeriti svoje rješenje i identificirati učinjenu pogrešku.
Što trebate znati o ikonama nejednakosti? Nejednakosti ikona više (> ), ili manje (< ) se zovu strog. Sa ikonama više ili jednako (≥ ), manje ili jednako (≤ ) se zovu nestrogi. Ikona nejednak (≠ ) stoji samostalno, ali morate cijelo vrijeme rješavati primjere s takvom ikonom. I hoćemo.)
Sama ikona nema puno utjecaja na proces rješenja. Ali na kraju rješenja, pri odabiru konačnog odgovora, značenje ikone pojavljuje se u punoj snazi! Kao što ćemo vidjeti u nastavku, u primjerima. Ima nekih šala...
Nejednakosti, kao i jednakosti, jesu vjerni i nevjerni. Ovdje je sve jednostavno, bez trikova. Recimo 5 > 2 je točna nejednakost. 5 < 2 je netočna.
Takva priprema radi za nejednakosti bilo koje vrste i jednostavno do užasa.) Samo trebate ispravno izvesti dvije (samo dvije!) elementarne radnje. Ove radnje su svima poznate. Ali, što je tipično, dovratnici u tim radnjama su glavna pogreška u rješavanju nejednakosti, da... Stoga se ove radnje moraju ponoviti. Ove radnje nazivaju se ovako:
Identitetske transformacije nejednakosti.
Identitetske transformacije nejednakosti vrlo su slične transformacijama identiteta jednadžbi. Zapravo, to je glavni problem. Razlike su klizile mimo glave i ... stigle.) Stoga ću te razlike posebno istaknuti. Dakle, prva identična transformacija nejednakosti:
1. Isti broj ili izraz može se dodati (oduzeti) oba dijela nejednadžbe. Bilo koji. Znak nejednakosti se neće promijeniti.
U praksi se ovo pravilo primjenjuje kao prijenos pojmova s lijeve strane nejednadžbe na desnu stranu (i obrnuto) s promjenom predznaka. Promjenom predznaka pojma, a ne nejednakosti! Pravilo jedan na jedan isto je kao i pravilo za jednadžbe. Ali sljedeće identične transformacije u nejednačinama značajno se razlikuju od onih u jednadžbama. Stoga ih ističem crvenom bojom:
2. Oba dijela nejednakosti mogu se pomnožiti (podijeliti) istimpozitivanbroj. Za bilo kojepozitivan Neće se promijeniti.
3. Oba dijela nejednakosti mogu se pomnožiti (podijeliti) istimnegativan broj. Za bilo kojenegativanbroj. Znak nejednakosti iz ovogapromijenit će se u suprotno.
Sjećate se (nadate se...) da se jednadžba može pomnožiti/podijeliti s bilo čim. I za bilo koji broj, i za izraz s x. Sve dok nije nula. On, jednadžba, od ovoga nije ni vruć ni hladan.) Ne mijenja se. Ali nejednakosti su osjetljivije na množenje/dijeljenje.
Dobar primjer za dugo pamćenje. Zapisujemo nejednakost koja ne izaziva sumnje:
5 > 2
Pomnožite obje strane sa +3, dobivamo:
15 > 6
Ima li prigovora? Nema prigovora.) A ako oba dijela izvorne nejednakosti pomnožimo sa -3, dobivamo:
15 > -6
A ovo je čista laž.) Potpuna laž! Zavaravanje naroda! Ali čim se znak nejednakosti obrne, sve dolazi na svoje mjesto:
15 < -6
O lažima i prijevari - ne kunem se samo.) "Zaboravio sam promijeniti znak nejednakosti..."- ovo je Dom greška u rješavanju nejednačina. Ovo beznačajno i nekomplicirano pravilo povrijedilo je tolike ljude! Koji su zaboravili ...) Pa kunem se. Možda se sjetite...)
Oni koji su posebno pažljivi primijetit će da se nejednakost ne može pomnožiti izrazom s x. Poštovanje pažljivo!) A zašto ne? Odgovor je jednostavan. Ne znamo predznak ovog izraza s x. Može biti pozitivan, negativan... Dakle, ne znamo koji znak nejednakosti staviti nakon množenja. Promijeniti ili ne? nepoznato. Naravno, ovo ograničenje (zabrana množenja / dijeljenja nejednakosti izrazom s x) može se zaobići. Ako ti stvarno treba. Ali ovo je tema za druge lekcije.
To su sve identične transformacije nejednakosti. Da vas još jednom podsjetim da rade za bilo koji nejednakosti. A sada možete prijeći na određene vrste.
Linearne nejednakosti. Rješenje, primjeri.
Linearne nejednadžbe nazivaju se nejednadžbama u kojima je x u prvom stupnju i nema dijeljenja s x. Tip:
x+3 > 5x-5
Kako se rješavaju te nejednakosti? Vrlo ih je lako riješiti! Naime: uz pomoć smanjujemo najzbunjeniju linearnu nejednakost ravno na odgovor. To je cijelo rješenje. Istaknut ću glavne točke rješenja. Da biste izbjegli glupe pogreške.)
Rješavamo ovu nejednakost:
x+3 > 5x-5
Rješavamo na isti način kao i linearnu jednadžbu. s jedinom razlikom:
Obratite pozornost na znak nejednakosti!
Prvi korak je najčešći. S x - lijevo, bez x - desno ... Ovo je prva identična transformacija, jednostavna i bez problema.) Samo ne zaboravite promijeniti znakove prenesenih članova.
Znak nejednakosti je sačuvan:
x-5x > -5-3
Predstavljamo slične.
Znak nejednakosti je sačuvan:
4x > -8
Ostaje primijeniti posljednju identičnu transformaciju: podijeliti oba dijela s -4.
Podijelite po negativan broj.
Predznak nejednakosti bit će obrnut:
x < 2
Ovo je odgovor.
Tako se rješavaju sve linearne nejednakosti.
Pažnja! Točka 2 je nacrtana bijelom bojom, t.j. neobojen. Prazno iznutra. To znači da ona nije uključena u odgovor! Namjerno sam je nacrtao tako zdravu. Takva točka (prazna, nije zdrava!)) u matematici se zove izbijena točka.
Preostali brojevi na osi mogu se označiti, ali nisu potrebni. Izvanredni brojevi koji nisu povezani s našom nejednakošću mogu biti zbunjujući, da ... Samo trebate zapamtiti da povećanje brojeva ide u smjeru strelice, t.j. brojevi 3, 4, 5 itd. su nadesno dvojke i brojevi 1, 0, -1 itd. - nalijevo.
Nejednakost x < 2 - strog. X je striktno manji od dva. Kada ste u nedoumici, provjera je jednostavna. Zamjenjujemo sumnjiv broj u nejednakosti i mislimo: "Dva je manje od dva? Naravno da nije!" Točno. Nejednakost 2 < 2 krivo. Dvojka nije dobra za odgovor.
Je li samac dovoljno dobar? Naravno. Manje ... I nula je dobra, i -17, i 0,34 ... Da, svi brojevi koji su manji od dva su dobri! Pa čak 1,9999 .... Barem malo, ali manje!
Tako sve te brojeve označavamo na brojevnoj osi. Kako? Ovdje postoje opcije. Prva opcija je valjenje. Prelazimo mišem preko slike (ili dodirujemo sliku na tabletu) i vidimo da je područje kuglica x koje odgovaraju x uvjetu zasjenjeno < 2 . To je sve.
Razmotrimo drugu opciju u drugom primjeru:
x ≥ -0,5
Nacrtajte os, označite broj -0,5. Kao ovo:
Jeste li primijetili razliku?) Pa da, teško je ne primijetiti... Ova točka je crna! Prefarbano. To znači da je -0,5 uključeno u odgovor. Evo, usput, provjeravanje i zbuniti nekoga. Zamjenjujemo:
-0,5 ≥ -0,5
Kako to? -0,5 nije ništa više od -0,5! Ima još ikona...
U redu je. U ne-strogo nejednakosti, sve što odgovara ikoni je prikladno. I jednaki stane i više dobro. Stoga je -0,5 uključeno u odgovor.
Dakle, na osi smo označili -0,5, ostaje označiti sve brojeve koji su veći od -0,5. Ovaj put označavam raspon prikladnih x vrijednosti okova(od riječi luk) umjesto izlijeganja. Zadržite pokazivač miša iznad slike i pogledajte ovaj luk.
Nema posebne razlike između šrafure i lukova. Učinite kako učitelj kaže. Ako nema učitelja, nacrtajte ruke. U složenijim zadacima šrafiranje je manje očito. Možete se zbuniti.
Ovako se crtaju linearne nejednakosti na osi. Prelazimo na sljedeću singularnost nejednakosti.
Napiši odgovor za nejednakosti.
Bilo je dobro u jednadžbama.) Pronašli smo x i zapisali odgovor, na primjer: x \u003d 3. U nejednakostima postoje dva oblika pisanja odgovora. Jedan - u obliku konačne nejednakosti. Dobro za jednostavne slučajeve. Na primjer:
x< 2.
Ovo je potpuni odgovor.
Ponekad je potrebno napisati istu stvar, ali u drugom obliku, kroz numeričke praznine. Tada unos počinje izgledati vrlo znanstveno):
x ∈ (-∞; 2)
Ispod ikone ∈ skrivajući riječ "pripada".
Unos glasi ovako: x pripada intervalu od minus beskonačnosti do dva ne uključujući. Sasvim logično. X može biti bilo koji broj od svih mogućih brojeva od minus beskonačnost do dva. Dvostruki X ne može biti, što nam govori riječ "ne uključujući".
Gdje je u odgovoru to "ne uključujući"? Ova činjenica je navedena u odgovoru. krug zagrada odmah iza dvojke. Kada bi se uključila dvojka, zagrada bi bila kvadrat. Evo ga: ]. Sljedeći primjer koristi takvu zagradu.
Zapišimo odgovor: x ≥ -0,5 kroz intervale:
x ∈ [-0,5; +∞)
Čita: x pripada intervalu od minus 0,5, uključujući, do plus beskonačnost.
Infinity se nikada ne može uključiti. To nije broj, to je simbol. Stoga, u takvim unosima, beskonačnost uvijek koegzistira sa zagradama.
Ovaj oblik snimanja prikladan je za složene odgovore koji se sastoje od nekoliko praznina. Ali – samo za konačne odgovore. U srednjim rezultatima, gdje se očekuje daljnje rješenje, bolje je koristiti uobičajeni oblik, u obliku jednostavne nejednakosti. O tome ćemo se pozabaviti u relevantnim temama.
Popularni zadaci s nejednakostima.
Same linearne nejednakosti su jednostavne. Stoga zadaci često postaju teži. Dakle, misliti da je bilo potrebno. Ovo, ako iz navike, nije baš ugodno.) Ali je korisno. Pokazat ću primjere takvih zadataka. Ne da ih ti učiš, to je suvišno. I kako se ne bi bojali pri susretu sa sličnim primjerima. Malo razmišljanja - i sve je jednostavno!)
1. Pronađite bilo koja dva rješenja nejednakosti 3x - 3< 0
Ako nije baš jasno što učiniti, zapamtite glavno pravilo matematike:
Ako ne znate što učiniti, učinite što možete!
x < 1
Pa što? Ništa posebno. Što nas pitaju? Od nas se traži da pronađemo dva specifična broja koja su rješenje nejednakosti. Oni. odgovara odgovoru. Dva bilo koji brojevima. Zapravo, ovo je neugodno.) Par 0 i 0,5 je prikladan. Par -3 i -8. Da, ovih parova je beskonačan broj! Koji je točan odgovor?!
Odgovaram: sve! Bilo koji par brojeva, od kojih je svaki manji od jedan, bio bi točan odgovor. Napišite što želite. Idemo dalje.
2. Riješite nejednakost:
4x - 3 ≠ 0
Ovakvi poslovi su rijetki. Ali, kao pomoćne nejednakosti, kod pronalaženja ODZ-a, na primjer, ili kod pronalaženja domene funkcije, nailaze se cijelo vrijeme. Takva linearna nejednadžba može se riješiti kao obična linearna jednadžba. Samo svugdje, osim znaka "=" ( jednaki) stavi znak " ≠ " (nejednak). Dakle, doći ćete do odgovora, sa znakom nejednakosti:
x ≠ 0,75
U više teški primjeri bolje je to učiniti na drugi način. Učinite nejednakost jednakom. Kao ovo:
4x - 3 = 0
Mirno riješite to kako vas uči i dobijte odgovor:
x = 0,75
Glavna stvar, na samom kraju, kada zapisujemo konačni odgovor, nije zaboraviti da smo pronašli x, što daje jednakost. I trebamo - nejednakost. Stoga nam jednostavno ne treba ovaj X.) I moramo ga zapisati ispravnom ikonom:
x ≠ 0,75
Ovaj pristup rezultira manjim brojem pogrešaka. Oni koji rješavaju jednadžbe na stroju. A za one koji ne rješavaju jednadžbe, nejednakosti su zapravo beskorisne ...) Još jedan primjer popularnog zadatka:
3. Nađite najmanje cjelobrojno rješenje nejednadžbe:
3(x - 1) < 5x + 9
Prvo, jednostavno rješavamo nejednakost. Otvaramo zagrade, prenosimo, dajemo slične ... Dobivamo:
x > - 6
Nije li se dogodilo!? Jeste li slijedili znakove? I iza znakova članova, i iza znaka nejednakosti...
Zamislimo se opet. Moramo pronaći određeni broj koji odgovara i odgovoru i uvjetu "najmanji cijeli broj". Ako vam odmah ne sinu, možete jednostavno uzeti bilo koji broj i shvatiti ga. Dva je veća od minus šest? Naravno! Postoji li odgovarajući manji broj? Naravno. Na primjer, nula je veća od -6. A još manje? Trebamo najmanji mogući! Minus tri je više od minus šest! Već možete uhvatiti uzorak i prestati glupo slagati brojeve, zar ne?)
Uzimamo broj bliži -6. Na primjer, -5. Odgovor izvršen, -5 > - 6. Možete li pronaći drugi broj manji od -5, ali veći od -6? Možete, na primjer, -5,5 ... Stanite! Rečeno nam je cijeli riješenje! Ne kotrlja -5,5! Što je s minus šest? Eee! Nejednakost je stroga, minus 6 nije manje od minus 6!
Dakle, točan odgovor je -5.
Nadam se da je sve jasno s izborom vrijednosti iz općeg rješenja. Još jedan primjer:
4. Riješite nejednakost:
7 < 3x+1 < 13
Kako! Takav izraz se zove trostruka nejednakost. Strogo govoreći, ovo je skraćeni zapis sustava nejednakosti. Ali još uvijek morate riješiti takve trostruke nejednakosti u nekim zadacima ... To se rješava bez ikakvih sustava. Po istim identičnim transformacijama.
Potrebno je pojednostaviti, dovesti ovu nejednakost na čisti X. Ali... Što prenijeti kamo!? Ovdje je vrijeme da zapamtite da je pomicanje lijevo-desno skraćeni oblik prva identična transformacija.
A puni obrazac izgleda ovako: Možete dodati/oduzeti bilo koji broj ili izraz u oba dijela jednadžbe (nejednakost).
Ovdje postoje tri dijela. Stoga ćemo primijeniti identične transformacije na sva tri dijela!
Dakle, riješimo se onoga u srednjem dijelu nejednakosti. Od cijelog središnjeg dijela oduzmite jednu. Kako se nejednakost ne bi promijenila, od preostala dva dijela oduzimamo jedan. Kao ovo:
7 -1< 3x+1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
Već bolje, zar ne?) Ostaje podijeliti sva tri dijela na tri:
2 < x < 4
To je sve. Ovo je odgovor. X može biti bilo koji broj od dva (ne uključujući) do četiri (ne uključujući). Ovaj odgovor se također piše u intervalima, takvi će unosi biti u kvadratnim nejednadžbama. Tu su najčešća stvar.
Na kraju lekcije ponovit ću ono najvažnije. Uspjeh u rješavanju linearnih nejednadžbi ovisi o sposobnosti transformacije i pojednostavljenja linearnih jednadžbi. Ako u isto vrijeme slijedi znak nejednakosti, neće biti problema. Što ti želim. nema problema.)
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)
možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.
Nakon što smo dobili početne informacije o nejednakostima s varijablama, prelazimo na pitanje njihova rješenja. Analizirajmo rješenje linearnih nejednadžbi s jednom varijablom i sve metode za njihovo rješavanje s algoritmima i primjerima. Razmatrat će se samo linearne jednadžbe s jednom varijablom.
Što je linearna nejednakost?
Najprije morate definirati linearnu jednadžbu i saznati njezin standardni oblik i po čemu će se razlikovati od ostalih. Iz školskog predmeta imamo da nejednakosti nemaju temeljnu razliku, pa se mora koristiti nekoliko definicija.
Definicija 1
Linearna nejednakost s jednom varijablom x je nejednakost oblika a x + b > 0 kada se umjesto > koristi bilo koji znak nejednakosti< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .
Definicija 2
Nejednadžbe a x< c или a · x >c , gdje je x varijabla, a a i c neki brojevi, zove se linearne nejednadžbe s jednom varijablom.
Budući da se ništa ne govori o tome može li koeficijent biti jednak 0 , onda je stroga nejednakost oblika 0 x > c i 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.
Njihove razlike su:
- oznaka a · x + b > 0 u prvom, a a · x > c – u drugom;
- dopuštenost nultog koeficijenta a , a ≠ 0 - u prvom i a = 0 - u drugom.
Smatra se da su nejednadžbe a x + b > 0 i a x > c ekvivalentne, jer se dobivaju prijenosom člana iz jednog dijela u drugi. Rješavanje nejednadžbe 0 · x + 5 > 0 dovest će do činjenice da će je trebati riješiti, a slučaj a = 0 neće raditi.
Definicija 3
Smatra se da su linearne nejednadžbe u jednoj varijabli x nejednakosti oblika a x + b< 0 , a · x + b >0 , a x + b ≤ 0 i a x + b ≥ 0, gdje su a i b realni brojevi. Umjesto x može postojati običan broj.
Na temelju pravila imamo da je 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1, 2 nazivaju se linearnim.
Kako riješiti linearnu nejednakost
Glavni način rješavanja takvih nejednakosti je korištenje ekvivalentnih transformacija za pronalaženje elementarnih nejednakosti x< p (≤ , >, ≥) , p je neki broj, za a ≠ 0 i oblika a< p (≤ , >, ≥) za a = 0 .
Za rješavanje nejednakosti s jednom varijablom možete primijeniti intervalnu metodu ili je prikazati grafički. Bilo koji od njih može se koristiti izolirano.
Korištenje ekvivalentnih transformacija
Za rješavanje linearne nejednakosti oblika a x + b< 0 (≤ , >, ≥) , potrebno je primijeniti ekvivalentne transformacije nejednadžbe. Koeficijent može ili ne mora biti nula. Razmotrimo oba slučaja. Da pojasnimo, potrebno je pridržavati se sheme koja se sastoji od 3 točke: bit procesa, algoritam, samo rješenje.
Definicija 4
Algoritam za rješavanje linearne nejednadžbe a x + b< 0 (≤ , >, ≥) za a ≠ 0
- broj b će se prenijeti na desnu stranu nejednadžbe sa suprotnim predznakom, što će nam omogućiti da dođemo do ekvivalenta a x< − b (≤ , > , ≥) ;
- oba dijela nejednakosti podijelit će se brojem koji nije jednak 0. Štoviše, kada je a pozitivan, predznak ostaje, kada je a negativan, mijenja se u suprotan.
Razmotrimo primjenu ovog algoritma na rješavanje primjera.
Primjer 1
Riješite nejednakost oblika 3 · x + 12 ≤ 0 .
Riješenje
Ova linearna nejednakost ima a = 3 i b = 12 . Dakle, koeficijent a od x nije jednak nuli. Primijenimo gornje algoritme i riješimo.
Potrebno je prenijeti član 12 na drugi dio nejednadžbe s promjenom predznaka ispred njega. Tada dobivamo nejednakost oblika 3 · x ≤ − 12 . Potrebno je oba dijela podijeliti sa 3. Predznak se neće promijeniti jer je 3 pozitivan broj. Dobivamo da (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , što će dati rezultat x ≤ − 4 .
Nejednakost oblika x ≤ − 4 je ekvivalentna. Odnosno, rješenje za 3 x + 12 ≤ 0 je svaki realni broj koji je manji ili jednak 4. Odgovor je zapisan kao nejednadžba x ≤ − 4, ili brojčani interval oblika (− ∞, − 4 ] .
Cijeli algoritam opisan gore je napisan na sljedeći način:
3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .
Odgovor: x ≤ − 4 ili (− ∞, − 4 ] .
Primjer 2
Navedite sva dostupna rješenja nejednadžbe − 2 , 7 · z > 0 .
Riješenje
Iz uvjeta vidimo da je koeficijent a na z jednak - 2, 7, a b eksplicitno odsutan ili jednak nuli. Ne možete koristiti prvi korak algoritma, ali odmah prijeđite na drugi.
Oba dijela jednadžbe dijelimo brojem - 2, 7. Budući da je broj negativan, potrebno je promijeniti predznak nejednakosti u suprotan. Odnosno, dobivamo da (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .
Zapisujemo cijeli algoritam kratki oblik:
− 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .
Odgovor: z< 0 или (− ∞ , 0) .
Primjer 3
Riješite nejednadžbu - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .
Riješenje
Prema uvjetu vidimo da je potrebno riješiti nejednakost s koeficijentom a za varijablu x, koji je jednak - 5, s koeficijentom b koji odgovara razlomku - 15 22 . Nejednakost je potrebno riješiti prema algoritmu, odnosno: premjestiti - 15 22 na drugi dio suprotnog predznaka, oba dijela podijeliti sa - 5, promijeniti predznak nejednakosti:
5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22
Na zadnjem prijelazu za desnu stranu, pravilo za dijeljenje broja s različiti znakovi 15 22: - 5 = - 15 22: 5 , nakon čega vršimo dijeljenje obični razlomak na prirodni broj - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 \u003d - 3 22.
Odgovor: x ≥ - 3 22 i [ - 3 22 + ∞) .
Razmotrimo slučaj kada je a = 0. Linearni izraz oblika a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.
Sve se temelji na definiciji rješenja nejednakosti. Za bilo koju vrijednost x dobivamo brojčanu nejednakost oblika b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.
Sve prosudbe razmatramo u obliku algoritma za rješavanje linearnih nejednadžbi 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :
Definicija 5
Brojčana nejednakost oblika b< 0 (≤ , >, ≥) je istina, tada izvorna nejednadžba ima rješenje za bilo koju vrijednost, a netočna kada izvorna nejednadžba nema rješenja.
Primjer 4
Riješite nejednakost 0 · x + 7 > 0 .
Riješenje
Ova linearna nejednakost 0 · x + 7 > 0 može poprimiti bilo koju vrijednost x . Tada dobivamo nejednakost oblika 7 > 0 . Posljednja se nejednakost smatra istinitom, pa bilo koji broj može biti njeno rješenje.
Odgovor: interval (− ∞ , + ∞) .
Primjer 5
Pronađite rješenje nejednadžbe 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .
Riješenje
Zamjenom varijable x za bilo koji broj, dobivamo da će nejednakost poprimiti oblik − 12 , 7 ≥ 0 . To je netočno. Odnosno, 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 nema rješenja.
Odgovor: nema rješenja.
Razmotrimo rješenje linearnih nejednakosti, gdje su oba koeficijenta jednaka nuli.
Primjer 6
Odredite nerješivu nejednadžbu iz 0 · x + 0 > 0 i 0 · x + 0 ≥ 0 .
Riješenje
Prilikom zamjene bilo kojeg broja umjesto x, dobivamo dvije nejednakosti oblika 0 > 0 i 0 ≥ 0 . Prvi je netočan. To znači da 0 x + 0 > 0 nema rješenja, a 0 x + 0 ≥ 0 ima beskonačan broj rješenja, odnosno bilo koji broj.
Odgovor: nejednadžba 0 x + 0 > 0 nema rješenja, a 0 x + 0 ≥ 0 ima rješenja.
Ova metoda se razmatra u školskom kolegiju matematike. Intervalna metoda je sposobna za razrješenje različite vrste nejednakosti su također linearne.
Intervalna metoda se koristi za linearne nejednakosti kada vrijednost koeficijenta x nije jednaka 0 . Inače ćete morati izračunati drugom metodom.
Definicija 6
Metoda razmaka je:
- uvođenje funkcije y = a x + b ;
- traženje nula za podjelu domene definicije na intervale;
- određivanje znakova za pojam njih na intervalima.
Sastavimo algoritam za rješavanje linearnih jednadžbi a x + b< 0 (≤ , >, ≥) za a ≠ 0 koristeći intervalnu metodu:
- pronalaženje nula funkcije y = a · x + b za rješavanje jednadžbe oblika a · x + b = 0 . Ako je a ≠ 0, tada će rješenje biti jedini korijen koji će dobiti oznaku x 0;
- konstrukcija koordinatnog pravca sa slikom točke s koordinatom x 0, sa strogom nejednakošću, točka je označena probušenom, s nestrogom nejednakošću je zasjenjena;
- određivanje predznaka funkcije y = a x + b na intervalima, za to je potrebno pronaći vrijednosti funkcije u točkama na intervalu;
- rješenje nejednadžbe sa predznacima > ili ≥ na koordinatnoj liniji, šrafiranje se dodaje iznad pozitivnog razmaka,< или ≤ над отрицательным промежутком.
Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja linearne nejednadžbe metodom intervala.
Primjer 6
Riješite nejednakost − 3 · x + 12 > 0 .
Riješenje
Iz algoritma slijedi da prvo trebate pronaći korijen jednadžbe − 3 · x + 12 = 0 . Dobivamo da je − 3 · x = − 12 , x = 4 . Potrebno je prikazati koordinatnu liniju, gdje označavamo točku 4. Bit će probijen jer je nejednakost stroga. Razmotrite crtež u nastavku.
Potrebno je odrediti znakove na intervalima. Da bismo ga odredili na intervalu (− ∞ , 4) , potrebno je izračunati funkciju y = − 3 · x + 12 za x = 3 . Odavde dobivamo da je − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Znak na razmaku je pozitivan.
Određujemo znak iz intervala (4, + ∞), zatim zamjenjujemo vrijednost x \u003d 5. Imamo − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.
Rješenje nejednadžbe izvodimo sa predznakom > , a šrafiranje se izvodi preko pozitivnog razmaka. Razmotrite crtež u nastavku.
Iz crteža se vidi da željeno rješenje ima oblik (− ∞ , 4) ili x< 4 .
Odgovor: (− ∞ , 4) ili x< 4 .
Da bismo razumjeli grafički prikaz, potrebno je kao primjer razmotriti 4 linearne nejednadžbe: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 i 0 , 5 x − 1 ≥ 0 . Njihova rješenja bit će x< 2 , x ≤ 2 , x >2 i x ≥ 2 . Da biste to učinili, nacrtajte graf linearne funkcije y = 0 , 5 · x − 1 ispod.
To je jasno
Definicija 7
- rješenje nejednadžbe 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
- rješenje 0 , 5 x − 1 ≤ 0 je interval u kojem je funkcija y = 0 , 5 x − 1 ispod 0 x ili se podudara;
- rješenjem 0 , 5 x − 1 > 0 smatra se interval, gdje se funkcija nalazi iznad O x;
- rješenje 0 , 5 x − 1 ≥ 0 je interval u kojem je graf viši od O x ili se podudara.
Smisao grafičkog rješenja nejednakosti je pronaći praznine, koje moraju biti prikazane na grafikonu. U ovom slučaju dobivamo da lijeva strana ima y = a x + b, a desna ima y = 0, i podudara se s oko x.
Definicija 8Izvodi se crtanje funkcije y = a x + b:
- dok se rješava nejednadžba a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
- pri rješavanju nejednadžbe a x + b ≤ 0 određuje se interval gdje se graf prikazuje ispod osi O x ili se podudara;
- pri rješavanju nejednadžbe a x + b > 0 određuje se interval gdje je graf prikazan iznad O x;
- pri rješavanju nejednadžbe a x + b ≥ 0 određuje se interval gdje je graf iznad O x ili se poklapa.
Primjer 7
Riješite nejednadžbu - 5 · x - 3 > 0 pomoću grafa.
Riješenje
Potrebno je izgraditi graf linearne funkcije - 5 · x - 3 > 0 . Ova linija se smanjuje jer je koeficijent od x negativan. Da bismo odredili koordinate točke njezina sjecišta s O x - 5 · x - 3 > 0, dobivamo vrijednost - 3 5 . Nacrtajmo ga grafikonom.
Rješenje nejednadžbe sa predznakom >, tada trebate obratiti pažnju na interval iznad O x. Potreban dio aviona označimo crvenom bojom i dobijemo to
Potreban razmak je O x dio crvene boje. Dakle, otvorena brojevna zraka - ∞ , - 3 5 bit će rješenje nejednadžbe. Ako bi po uvjetu imali nestrogu nejednakost, tada bi vrijednost boda - 3 5 također bila rješenje nejednakosti. I poklopilo bi se s O x.
Odgovor: - ∞ , - 3 5 ili x< - 3 5 .
Grafičko rješenje se koristi kada će lijeva strana odgovarati funkciji y = 0 x + b , odnosno y = b . Tada će pravac biti paralelan s O x ili se podudarati na b \u003d 0. Ovi slučajevi pokazuju da nejednakost možda nema rješenja, ili bilo koji broj može biti rješenje.
Primjer 8
Odredi iz nejednadžbi 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.
Riješenje
Prikaz y = 0 x + 7 je y = 7 , tada će se dati koordinatna ravnina s ravnom linijom koja je paralelna s O x i iznad O x. Dakle 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.
Graf funkcije y \u003d 0 x + 0 smatra se y = 0, odnosno linija se podudara s O x. Dakle, nejednadžba 0 · x + 0 ≥ 0 ima mnogo rješenja.
Odgovor: druga nejednadžba ima rješenje za bilo koju vrijednost x .
Linearne nejednakosti
Rješenje nejednadžbi može se svesti na rješenje linearne jednadžbe, koje se nazivaju linearne nejednadžbe.
Te su nejednakosti razmatrane u školskom kolegiju, jer su bile poseban slučaj rješavanja nejednakosti, što je dovelo do otvaranja zagrada i svođenja sličnih pojmova. Na primjer, uzmimo da je 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .
Gore navedene nejednakosti uvijek se svode na oblik linearne jednadžbe. Nakon toga se otvaraju zagrade i daju se slični pojmovi, prenose iz različitim dijelovima, mijenjajući predznak u suprotan.
Kada se nejednadžba 5 − 2 x > 0 reducira na linearnu, predstavljamo je na način da ima oblik − 2 x + 5 > 0 , a da bismo drugu reducirali, dobivamo 7 (x − 1 ) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Potrebno je otvoriti zagrade, donijeti slične pojmove, sve pojmove pomaknuti na lijevu stranu i donijeti slične pojmove. izgleda ovako:
7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ 5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0
Time se rješenje dovodi do linearne nejednakosti.
Ove se nejednadžbe smatraju linearnim, budući da imaju isti princip rješenja, nakon čega ih je moguće svesti na elementarne nejednadžbe.
Za rješavanje ove vrste nejednakosti ove vrste potrebno ju je svesti na linearnu. To bi trebalo učiniti ovako:
Definicija 9
- otvorene zagrade;
- prikupiti varijable s lijeve strane, a brojeve s desne strane;
- donijeti slične uvjete;
- podijeliti oba dijela koeficijentom x .
Primjer 9
Riješite nejednadžbu 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .
Riješenje
Proširujemo zagrade, tada dobivamo nejednakost oblika 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Nakon smanjenja sličnih članova, imamo da je 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Nakon pomicanja članova s lijeva na desno, dobivamo da je 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Dakle, ima nejednakost oblika 32 ≤ 0 iz rezultata dobivenog u proračunu 0 · x + 32 ≤ 0 . Vidi se da je nejednakost netočna, što znači da nejednakost dana uvjetom nema rješenja.
Odgovor: nema rješenja.
Vrijedi napomenuti da postoje mnoge nejednakosti druge vrste, koje se mogu svesti na linearnu ili na nejednakost gore prikazane. Na primjer, 5 2 x − 1 ≥ 1 je eksponencijalna jednadžba koja se svodi na linearno rješenje 2 · x − 1 ≥ 0 . Ovi slučajevi će se uzeti u obzir pri rješavanju nejednakosti ovog tipa.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Što "kvadratna nejednakost"? Nije pitanje!) Ako uzmete bilo koji kvadratna jednadžba i promijeni predznak u njoj "=" (jednako) bilo kojoj ikoni nejednakosti ( > ≥ < ≤ ≠ ), dobivamo kvadratnu nejednakost. Na primjer:
1. x2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x2 ≤ 4
Pa, shvatili ste...)
Ovdje sam svjesno povezao jednadžbe i nejednakosti. Činjenica je da je prvi korak u rješavanju bilo koji kvadratna nejednakost - riješiti jednadžbu iz koje je ta nejednakost napravljena. Iz tog razloga – nemogućnost rješavanja kvadratnih jednadžbi automatski dovodi do potpunog neuspjeha u nejednačinama. Je li nagovještaj jasan?) Ako ništa drugo, pogledajte kako riješiti sve kvadratne jednadžbe. Tamo je sve detaljno opisano. I u ovoj lekciji bavit ćemo se nejednakostima.
Nejednadžba spremna za rješenje ima oblik: lijevo - kvadratni trinom sjekira 2 +bx+c, desno - nula. Znak nejednakosti može biti apsolutno bilo što. Prva dva primjera su ovdje spremni su za odluku. Treći primjer još treba pripremiti.
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)
možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.
U članku ćemo razmotriti rješenje nejednačina. Razgovarajmo otvoreno o tome kako izgraditi rješenje za nejednakosti sa jasnim primjerima!
Prije razmatranja rješenja nejednadžbi s primjerima, pozabavimo se osnovnim pojmovima.
Uvod u nejednakosti
nejednakost naziva se izraz u kojem su funkcije povezane znakovima relacija >, . Nejednakosti mogu biti i numeričke i abecedne.
Nejednakosti s dva znaka odnosa nazivaju se dvostrukim, s tri - trostrukim itd. Na primjer:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nejednadžbe koje sadrže znak > ili ili nisu stroge.
Rješenje nejednakosti je bilo koja vrijednost varijable za koju je ta nejednakost istinita.
"Riješite nejednakost" znači da trebate pronaći skup svih njegovih rješenja. Ima ih raznih metode rješavanja nejednačina. Za rješenja nejednakosti koristiti brojevni pravac koji je beskonačan. Na primjer, rješavanje nejednakosti x > 3 je interval od 3 do +, a broj 3 nije uključen u taj interval, pa je točka na pravoj označena praznim krugom, jer nejednakost je stroga. 
+
Odgovor će biti: x (3; +).
Vrijednost x=3 nije uključena u skup rješenja, pa je zagrada okrugla. Znak beskonačnosti je uvijek u zagradi. Znak znači "pripadanje".
Razmislite kako riješiti nejednakosti koristeći drugi primjer sa predznakom:
x2
-
+
Vrijednost x=2 uključena je u skup rješenja, pa se uglata zagrada i točka na liniji označavaju ispunjenim krugom.
Odgovor će biti: x)
