Oldja meg az egyenlőtlenségeket intervallum módszerrel online megoldással. Lineáris egyenlőtlenségek

Az ax 2 + bx + 0 0 forma, ahol (a > jel helyett természetesen bármilyen más egyenlőtlenségjel is lehet). Az ilyen egyenlőtlenségek megoldásához szükséges elméleti tényekkel rendelkezünk, amelyeket most ellenőrizni fogunk.

1. példa. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

a) x 2 - 2x - 3 > 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
Megoldás,

a) Tekintsük az ábrán látható y \u003d x 2 - 2x - 3 parabolát. 117.

Az x 2 - 2x - 3 > 0 egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy meg kell válaszolni azt a kérdést, hogy x mely értékeire pozitívak a parabola pontjainak ordinátái.

Észrevesszük, hogy y > 0, azaz a függvény grafikonja az x tengely felett, az x pontban található< -1 или при х > 3.

Ezért az egyenlőtlenség megoldásai mind a nyitott pontok gerenda(- 00 , - 1), valamint a nyitott sugár összes pontja (3, +00).

Az U jellel (a halmazok uniójának előjele) a következőképpen írható fel a válasz: (-00 , - 1) U (3, +00). A választ azonban így is felírhatjuk:< - 1; х > 3.

b) Egyenlőtlenség x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: menetrend az x tengely alatt található, ha -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Az x 2 - 2x - 3 > 0 egyenlőtlenség abban különbözik az x 2 - 2x - 3 > 0 egyenlőtlenségtől, hogy a válasznak tartalmaznia kell az x 2 - 2x - 3 = 0 egyenlet gyökét is, azaz az x = - pontokat. 1

és x \u003d 3. Így ennek a nem szigorú egyenlőtlenségnek a megoldásai a sugár összes pontja (-00, -1], valamint a nyaláb összes pontja).

A gyakorlati matematikusok általában ezt mondják: miért készítünk az ax 2 + bx + c > 0 egyenlőtlenséget megoldva gondosan egy másodfokú függvény parabola gráfját?

y \u003d ax 2 + bx + c (ahogyan az 1. példában történt)? Elég egy sematikus vázlatot készíteni a grafikonról, amihez csak meg kell találni gyökerei négyzetes trinomiális (a parabola és az x tengellyel való metszéspont), és határozza meg, hogy a parabola ágai hova irányulnak - felfelé vagy lefelé. Ez a vázlatos vázlat vizuálisan értelmezi az egyenlőtlenség megoldását.

2. példa Oldja meg a 2x 2 + 3x + 9 egyenlőtlenséget< 0.
Megoldás.

1) Keresse meg a négyzetes trinom gyökereit - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) A parabola, amely az y \u003d -2x 2 + Zx + 9 függvény grafikonjaként szolgál, metszi az x tengelyt a 3 és -1,5 pontokban, és a parabola ágai lefelé irányulnak, mivel a régebbi együttható- negatív szám - 2. Az ábrán. A 118 egy grafikon vázlata.

3) Az ábra segítségével. 118, arra a következtetésre jutunk:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Válasz: x< -1,5; х > 3.

3. példa Oldja meg a 4x 2 - 4x + 1 egyenlőtlenséget< 0.
Megoldás.

1) A 4x 2 - 4x + 1 = 0 egyenletből azt találjuk.

2) A négyzetes trinomnak egy gyöke van; ez azt jelenti, hogy a négyzetes trinom gráfjaként szolgáló parabola nem metszi az x tengelyt, hanem a pontban érinti. A parabola ágai felfelé irányulnak (119. ábra).

3) Az ábrán látható geometriai modellt használva. A 119. ábra alapján megállapítjuk, hogy a megadott egyenlőtlenség csak a pontban teljesül, mivel x minden más értékére a gráf ordinátái pozitívak.
Válasz: .
Valószínűleg észrevetted, hogy valójában az 1., 2., 3. példákban egy jól meghatározott algoritmus másodfokú egyenlőtlenségeket megoldva formalizáljuk.

Az ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c) másodfokú egyenlőtlenség megoldásának algoritmusa< 0)

Ennek az algoritmusnak az első lépése egy négyzetes trinom gyökeinek megkeresése. De lehet, hogy a gyökerek nem léteznek, akkor mit tegyünk? Ekkor az algoritmus nem alkalmazható, ami azt jelenti, hogy másképp kell érvelni. Ezen érvek kulcsát a következő tételek adják meg.

Más szóval, ha D< 0, а >0, akkor az ax 2 + bx + c > 0 egyenlőtlenség teljesül minden x-re; ellenkezőleg, az ax 2 + bx + c egyenlőtlenség< 0 не имеет решений.
Bizonyíték. menetrend funkciókat y \u003d ax 2 + bx + c egy olyan parabola, amelynek ágai felfelé irányulnak (mivel a > 0), és amely nem metszi az x tengelyt, mivel a négyzetes trinomnak nincs feltétel szerinti gyöke. A grafikon az ábrán látható. 120. Látjuk, hogy minden x esetén a gráf az x tengely felett helyezkedik el, ami azt jelenti, hogy minden x esetén teljesül az ax 2 + bx + c > 0 egyenlőtlenség, amit be kellett bizonyítani.

Más szóval, ha D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0-nak nincs megoldása.

Bizonyíték. Az y \u003d ax 2 + bx + c függvény grafikonja egy parabola, amelynek ágai lefelé irányulnak (mivel a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

4. példa. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

a) 2x2 - x + 4 > 0; b) -x 2 + Zx - 8 > 0.

a) Keresse meg a 2x 2 - x + 4 négyzetháromtag diszkriminánsát. D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
A trinom (2-es) szenior együtthatója pozitív.

Ezért az 1. Tétel szerint minden x esetén teljesül a 2x 2 - x + 4 > 0 egyenlőtlenség, azaz az adott egyenlőtlenség megoldása az egész (-00, + 00).

b) Keresse meg a négyzetes trinom diszkriminánsát - x 2 + Zx - 8. D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Válasz: a) (-00, + 00); b) nincsenek megoldások.

A következő példában egy másik érvelési móddal ismerkedünk meg, amelyet a másodfokú egyenlőtlenségek megoldásában használnak.

5. példa Oldja meg a 3x 2 - 10x + 3 egyenlőtlenséget< 0.
Megoldás. Tényezőzzük a négyzetháromtagot 3x 2 - 10x + 3 értékkel. A trinomiális gyökerei a 3 számok, ezért az ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) használatával Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x -) 3) (x - )
A számegyenesen feljegyezzük a trinomiális gyökeit: 3 és (122. ábra).

Legyen x > 3; akkor x-3>0 és x->0, és ezért a 3(x - 3)(x - ) szorzat pozitív. Következő, hagyjuk< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Ezért a 3(x-3)(x-) szorzat negatív. Végül legyen x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) pozitív.

Összegezve az okfejtést, arra a következtetésre jutunk, hogy a Zx 2 - 10x + 3 négyzetháromtag előjelei az ábrán látható módon változnak. 122. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy a négyzetháromtag milyen x esetén vesz fel negatív értékeket. ábrából. 122 arra a következtetésre jutunk, hogy a 3x 2 - 10x + 3 négyzetháromtag negatív értékeket vesz fel a (, 3) intervallumból származó x bármely értékére.
Válasz (, 3), vagy< х < 3.

Megjegyzés. Az 5. példában alkalmazott érvelési módszert általában intervallummódszernek (vagy intervallummódszernek) nevezik. Aktívan használják a matematikában a megoldásra racionális egyenlőtlenségek. 9. osztályban az intervallum módszert fogjuk részletesebben tanulmányozni.

6. példa. A p paraméter mely értékeinél az x 2 - 5x + p 2 \u003d 0 másodfokú egyenlet:
a) két különböző gyökere van;

b) egy gyökere van;

c) nincs -gyökere?

Megoldás. A másodfokú egyenlet gyökeinek száma a diszkrimináns D előjelétől függ. Ebben az esetben D \u003d 25 - 4p 2.

a) Egy másodfokú egyenletnek két különböző gyöke van, ha D> 0, akkor a feladat a 25 - 4p 2 > 0 egyenlőtlenség megoldására redukálódik. Ennek az egyenlőtlenségnek mindkét részét megszorozzuk -1-gyel (emlékezve az egyenlőtlenség előjelének megváltoztatására). 4p 2 - 25 ekvivalens egyenlőtlenséget kapunk< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

A 4(p - 2,5) (p + 2,5) kifejezés előjeleit a 3. ábra mutatja. 123.

Arra a következtetésre jutunk, hogy a 4(p - 2,5)(p + 2,5) egyenlőtlenség< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) másodfokú egyenlet egy gyöke van, ha D 0.
Ahogy fentebb megállapítottuk, D = 0 p = 2,5 vagy p = -2,5 esetén.

A p paraméter ezen értékeihez ennek a másodfokú egyenletnek csak egy gyöke van.

c) Egy másodfokú egyenletnek nincs gyöke, ha D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

4p 2 - 25 > 0 kapunk; 4 (p-2,5) (p + 2,5)> 0, ahonnan (lásd 123. ábra) p< -2,5; р >2.5. A p paraméter ezen értékeihez ennek a másodfokú egyenletnek nincs gyökere.

Válasz: a) p-nél (-2,5, 2,5);

b) p = 2,5 vagy p = -2,5;
c) az r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A. G., Algebra. 8. évfolyam: Proc. általános műveltségre intézmények - 3. kiadás, véglegesítve. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: ill.

Segítség a tanulónak online, Matematika 8. osztályos letöltés, naptár-tematikus tervezés

Mit kell tudni az egyenlőtlenségi ikonokról? Ikon egyenlőtlenségek több (> ), vagy Kevésbé (< ) hívják szigorú. Ikonokkal több vagy egyenlő (≥ ), kisebb vagy egyenlő (≤ ) hívják nem szigorú. Ikon nem egyenlő (≠ ) önmagában áll, de állandóan ilyen ikonnal is kell példákat megoldani. És meg is fogjuk.)

Maga az ikon nem sok hatással van a megoldási folyamatra. De a megoldás végén, a végső válasz kiválasztásakor teljes erővel megjelenik az ikon jelentése! Ahogy az alábbiakban látni fogjuk, a példákban. Vannak viccek...

Az egyenlőtlenségek, akárcsak az egyenlőségek hűséges és hűtlen. Itt minden egyszerű, trükkök nélkül. Mondjuk 5 > 2 a helyes egyenlőtlenség. 5 < 2 helytelen.

Az ilyen előkészítés működik az egyenlőtlenségek ellen bármilyen fajtaés egyszerű a horrorig.) Csak két (csak kettő!) elemi cselekvést kell helyesen végrehajtani. Ezek a műveletek mindenki számára ismerősek. De ami tipikus, ezekben a műveletekben a korlátok jelentik a fő hibát az egyenlőtlenségek megoldásában, igen... Ezért ezeket a műveleteket meg kell ismételni. Ezeket a műveleteket így hívják:

Az egyenlőtlenségek identitástranszformációi.

Az egyenlőtlenségek identitástranszformációi nagyon hasonlóak az egyenletek azonosságtranszformációihoz. Valójában ez a fő probléma. A különbségek elsiklanak a feje fölött, és ... megérkezett.) Ezért ezeket a különbségeket külön kiemelem. Tehát az egyenlőtlenségek első azonos transzformációja:

1. Ugyanaz a szám vagy kifejezés hozzáadható (kivonható) az egyenlőtlenség mindkét részéhez. Bármi. Az egyenlőtlenség jele nem fog változni.

A gyakorlatban ezt a szabályt az egyenlőtlenség bal oldaláról a jobb oldalra (és fordítva) történő kifejezések előjelváltással történő átviteleként alkalmazzák. A kifejezés előjelének megváltoztatásával, nem egyenlőtlenséggel! Az egy az egyben szabály ugyanaz, mint az egyenletek szabálya. De a következő azonos transzformációk az egyenlőtlenségekben jelentősen eltérnek az egyenletek transzformációitól. Ezért pirossal kiemelem őket:

2. Az egyenlőtlenség mindkét része szorozható (osztható) ugyanazzalpozitívszám. Bármilyenpozitív Nem fog változni.

3. Az egyenlőtlenség mindkét része szorozható (osztható) ugyanazzalnegatív szám. Bármilyennegatívszám. Az egyenlőtlenség jele ebbőlaz ellenkezőjére fog változni.

Emlékszel (remélem...), hogy egy egyenlet bármivel szorozható/osztható. És tetszőleges számra, és egy x-szel rendelkező kifejezésre. Amíg nem nulla. Ő, az egyenlet, ettől se meleg, se hideg.) Nem változik. De az egyenlőtlenségek érzékenyebbek a szorzásra/osztásra.

Jó példa a hosszú emlékezetre. Írunk egy egyenlőtlenséget, amely nem okoz kétségeket:

5 > 2

Szorozd meg mindkét oldalt +3, kapunk:

15 > 6

Van-e kifogás? Nincs kifogás.) Ha pedig az eredeti egyenlőtlenség mindkét részét megszorozzuk -3, kapunk:

15 > -6

Ez pedig egyenes hazugság.) Teljes hazugság! A nép becsapása! De amint az egyenlőtlenség jele megfordul, minden a helyére kerül:

15 < -6

A hazugságról és a megtévesztésről – nem csak esküszöm.) "Elfelejtettem lecserélni az egyenlőtlenség jelét..."- Ezt itthon hiba az egyenlőtlenségek megoldásában. Ez a csekély és egyszerű szabály nagyon sok embernek fájt! Akik elfelejtették...) Szóval esküszöm. Talán emlékszel...)

Azok, akik különösen figyelmesek, észreveszik, hogy az egyenlőtlenség nem szorozható meg egy x-szel rendelkező kifejezéssel. Tisztelet figyelmes!) És miért ne? A válasz egyszerű. Ennek a kifejezésnek az előjelét nem ismerjük x-szel. Lehet pozitív, negatív... Ezért nem tudjuk, milyen egyenlőtlenségjelet tegyünk a szorzás után. Cserélni vagy sem? Ismeretlen. Természetesen ez a korlátozás (az egyenlőtlenség x-szel való szorzásának/osztásának tilalma) megkerülhető. Ha tényleg szüksége van rá. De ez más leckék témája.

Ez mind az egyenlőtlenségek azonos átalakulása. Hadd emlékeztesselek még egyszer, hogy dolgoznak Bármi egyenlőtlenségek. És most továbbléphet bizonyos típusokra.

Lineáris egyenlőtlenségek. Megoldás, példák.

A lineáris egyenlőtlenségeket olyan egyenlőtlenségeknek nevezzük, amelyekben x elsőfokú, és nincs x-szel való osztás. Típus:

x+3 > 5x-5

Hogyan oldódnak fel ezek az egyenlőtlenségek? Nagyon könnyen megoldhatók! Mégpedig: a segítségével csökkentjük a legzavarosabb lineáris egyenlőtlenséget egyenesen a válaszra. Ez az egész megoldás. Kiemelem a megoldás főbb pontjait. A hülye hibák elkerülése érdekében.)

Megoldjuk ezt az egyenlőtlenséget:

x+3 > 5x-5

Ugyanúgy oldjuk meg, mint a lineáris egyenletet. Az egyetlen különbséggel:

Nagyon figyelj az egyenlőtlenség jelére!

Az első lépés a leggyakoribb. x-szel - balra, x nélkül - jobbra... Ez az első azonos átalakítás, egyszerű és problémamentes.) Csak ne felejtse el megváltoztatni az átvitt tagok előjeleit.

Az egyenlőtlenség jele megmarad:

x-5x > -5-3

Hasonlókat mutatunk be.

Az egyenlőtlenség jele megmarad:

4x > -8

Marad az utolsó azonos transzformáció alkalmazása: ossza el mindkét részt -4-gyel.

Oszd el negatív szám.

Az egyenlőtlenség jele megfordul:

x < 2

Ez a válasz.

Így oldódik meg minden lineáris egyenlőtlenség.

Figyelem! A 2. pontot fehérre húzzuk, azaz. festetlen. Üres belül. Ez azt jelenti, hogy ő nem szerepel a válaszban! Szándékosan rajzoltam olyan egészségesnek. Az ilyen pontot (üres, nem egészséges!)) a matematikában ún kilyukasztott pont.

A tengelyen lévő többi szám megjelölhető, de nem szükséges. Azok a külső számok, amelyek nem kapcsolódnak az egyenlőtlenségünkhöz, zavaróak lehetnek, igen... Csak emlékezni kell arra, hogy a számok növekedése a nyíl irányába megy, pl. számok 3, 4, 5 stb. vannak jobbra kettesek, és az 1, 0, -1 stb. - balra.

egyenlőtlenség x < 2 - szigorú. X szigorúan kevesebb, mint kettő. Ha kétségei vannak, az ellenőrzés egyszerű. Behelyettesítünk egy kétes számot az egyenlőtlenségbe, és azt gondoljuk: "Kettő kevesebb, mint kettő? Persze hogy nem!" Pontosan. Egyenlőtlenség 2 < 2 rossz. A kettes nem jó válasznak.

Egyetlen is elég jó? Biztosan. Kevesebb ... És a nulla jó, és -17 és 0,34 ... Igen, minden kettőnél kisebb szám jó! És még 1,9999 .... Legalább egy kicsit, de kevesebb!

Tehát mindezeket a számokat jelöljük a számtengelyen. Hogyan? Itt vannak lehetőségek. Az első lehetőség a keltetés. Mutassuk az egeret a képre (vagy érintsük meg a képet a táblagépen), és látjuk, hogy az x feltételnek megfelelő x-ek területe árnyékolt < 2 . Ez minden.

Tekintsük a második lehetőséget a második példában:

x ≥ -0,5

Rajzoljon egy tengelyt, jelölje be a számot -0,5. Mint ez:

Észrevetted a különbséget?) Hát igen, nehéz nem észrevenni... Ez a pont fekete! Átfestve. Ez azt jelenti, hogy -0,5 szerepel a válaszban. Itt egyébként valakit ellenőriz és összezavar. Cseréljük:

-0,5 ≥ -0,5

Hogy hogy? -0,5 nem több, mint -0,5! Van még több ikon...

Ez rendben van. Egy nem szigorú egyenlőtlenségben minden megfelelő, ami az ikonhoz illik. ÉS egyenlő illeszkedik és több jó. Ezért -0,5 szerepel a válaszban.

Tehát a -0,5-öt jelöltük a tengelyen, marad az összes -0,5-nél nagyobb szám megjelölése. Ezúttal a megfelelő x értékek tartományát jelölöm bilincs(a szóból ív) kikelés helyett. Vigye az egérmutatót a kép fölé, és nézze meg ezt az íjat.

Nincs különösebb különbség a keltetés és az ívek között. Tedd úgy, ahogy a tanár mondja. Ha nincs tanár, húzd meg a karokat. Bonyolultabb feladatoknál a keltetés kevésbé nyilvánvaló. Meg lehet zavarodni.

Így rajzolódnak ki a lineáris egyenlőtlenségek a tengelyen. Áttérünk az egyenlőtlenségek következő szingularitására.

Írj választ az egyenlőtlenségekre!

Jó volt az egyenletekben.) Megtaláltuk x-et, és felírtuk a választ, például: x \u003d 3. Az egyenlőtlenségekben a válaszírásnak két formája van. Egy - végső egyenlőtlenség formájában. Egyszerű esetekre jó. Például:

x< 2.

Ez egy teljes válasz.

Néha meg kell írni ugyanazt, de más formában, számhézagokon keresztül. Aztán a bejegyzés kezd nagyon tudományosnak tűnni):

x ∈ (-∞; 2)

Az ikon alatt ∈ elrejteni a szót "tartozik".

A bejegyzés így hangzik: x a mínusz végtelentől kettőig terjedő intervallumhoz tartozik kivéve. Egészen logikus. X tetszőleges szám lehet az összes lehetséges szám közül mínusz végtelentől kettőig. Dupla X nem lehet, amit a szó mond nekünk "kivéve".

Hol van a válaszban, hogy "kivéve"? Ezt a tényt a válasz megjegyzi. kerek zárójel közvetlenül a kettes után. Ha a kettes szerepelne, a zárójel az lenne négyzet. Itt van: ]. A következő példa egy ilyen zárójelet használ.

Írjuk fel a választ: x ≥ -0,5 intervallumon keresztül:

x ∈ [-0,5; +∞)

Olvas: x a mínusz 0,5 intervallumhoz tartozik, beleértve, a plusz végtelenig.

A végtelen soha nem tud bekapcsolni. Ez nem szám, hanem szimbólum. Ezért az ilyen bejegyzésekben a végtelen mindig együtt létezik egy zárójellel.

Ez a rögzítési forma alkalmas összetett válaszok esetén, amelyek több hézagból állnak. De - csak a végső válaszokért. A köztes eredményeknél, ahol további megoldás várható, célszerűbb a szokásos formát használni, egyszerű egyenlőtlenség formájában. Ezzel a vonatkozó témákban fogunk foglalkozni.

Népszerű feladatok egyenlőtlenségekkel.

Maguk a lineáris egyenlőtlenségek egyszerűek. Ezért a feladatok gyakran nehezebbé válnak. Tehát azt gondolni, hogy szükséges volt. Ez, ha megszokásból, nem túl kellemes.) De hasznos. Példákat mutatok az ilyen feladatokra. Nem neked kell megtanulnod őket, ez felesleges. És azért, hogy ne féljen, amikor hasonló példákkal találkozik. Egy kis gondolkodás - és minden egyszerű!)

1. Keressen két megoldást a 3x - 3 egyenlőtlenségre!< 0

Ha nem nagyon világos, hogy mit kell tenni, emlékezzen a matematika fő szabályára:

Ha nem tudod, mit csinálj, tedd meg, amit tudsz!

x < 1

És akkor? Semmi különös. Mit kérdezünk? Megkérünk, hogy találjunk két olyan számot, amelyek egy egyenlőtlenség megoldása. Azok. megfelel a válasznak. Kettő Bármi számok. Valójában ez kínos.) A 0 és a 0,5 pár megfelelő. Egy pár -3 és -8. Igen, végtelen számú ilyen pár van! Mi a helyes válasz?!

Válaszolok: mindent! Bármely számpár, amelyek mindegyike kisebb egynél, lenne a helyes válasz.Írj, amit akarsz. Menjünk tovább.

2. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

4x-3 ≠ 0

Az ehhez hasonló munkák ritkák. De segédegyenlőtlenségekként például az ODZ megtalálásakor vagy egy függvény tartományának megtalálásakor mindig találkozunk velük. Egy ilyen lineáris egyenlőtlenség megoldható közönséges lineáris egyenletként. Csak mindenhol, kivéve a "=" jelet ( egyenlő) tedd a jelet " ≠ " (nem egyenlő). Tehát a válaszhoz egy egyenlőtlenség jellel érkezik:

x ≠ 0,75

Többben nehéz példák jobb, ha másképp csinálod. Tegye egyenlővé az egyenlőtlenséget. Mint ez:

4x-3 = 0

Nyugodtan oldja meg a tanítás szerint, és megkapja a választ:

x = 0,75

A legfontosabb dolog a legvégén, a végső válasz leírásakor, hogy ne felejtsük el, hogy megtaláltuk x-et, ami egyenlőség.És szükségünk van - egyenlőtlenség. Ezért egyszerűen nincs szükségünk erre az X-re.) És le kell írnunk a megfelelő ikonnal:

x ≠ 0,75

Ez a megközelítés kevesebb hibát eredményez. Akik egyenleteket oldanak meg a gépen. És azok számára, akik nem oldanak meg egyenleteket, az egyenlőtlenségek valójában haszontalanok ...) Egy másik példa egy népszerű feladatra:

3. Keresse meg az egyenlőtlenség legkisebb egész számú megoldását:

3 (x - 1) < 5x + 9

Először egyszerűen megoldjuk az egyenlőtlenséget. Kinyitjuk a zárójeleket, áthelyezzük, hasonlókat adunk... Kapunk:

x > - 6

Hát nem így történt!? Követted a jelzéseket? És a tagok jelei mögött, és az egyenlőtlenség jele mögött ...

Képzeljük el újra. Meg kell találnunk egy konkrét számot, amely megfelel a válasznak és a feltételnek is "legkisebb egész szám". Ha nem derül ki azonnal, egyszerűen elővehet bármilyen számot, és kitalálhatja. A kettő nagyobb, mint a mínusz hat? Biztosan! Van megfelelő kisebb szám? Természetesen. Például a nulla nagyobb, mint -6. És még kevésbé? A lehető legkisebbre van szükségünk! A mínusz három több, mint a mínusz hat! Már elkaphatod a mintát, és abbahagyhatod a számok hülye válogatását, igaz?)

A -6-hoz közelebb eső számot veszünk. Például -5. Válasz végrehajtva, -5 > - 6. Találsz egy másik számot, amely -5-nél kisebb, de -6-nál nagyobb? Lehet például -5,5 ... Állj! Nekünk mondták egész megoldás! Nem gurul -5,5! Mit szólnál mínusz hathoz? Eee! Az egyenlőtlenség szigorú, mínusz 6 nem kevesebb, mint mínusz 6!

Tehát a helyes válasz -5.

Remélhetőleg értékválasztással közös megoldás minden tiszta. Egy másik példa:

4. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

7 < 3x+1 < 13

Hogyan! Az ilyen kifejezést ún hármas egyenlőtlenség. Szigorúan véve ez az egyenlőtlenségek rendszerének rövidített jelölése. De még mindig meg kell oldani az ilyen hármas egyenlőtlenségeket bizonyos feladatokban... Ez minden rendszer nélkül megoldható. Ugyanazokkal az azonos átalakításokkal.

Le kell egyszerűsíteni, tiszta X-re hozni ezt az egyenlőtlenséget. De... Mit hova kell átvinni!? Itt az ideje, hogy ne feledje, hogy a balra-jobbra váltás az rövidített forma az első azonos átalakítás.

A teljes alakígy hangzik: Bármilyen számot vagy kifejezést hozzáadhat/kivonhat az egyenlet mindkét részéhez (egyenlőtlenség).

Itt három rész van. Tehát mindhárom részre azonos transzformációkat alkalmazunk!

Tehát megszabaduljunk az egyenlőtlenség középső részében lévőtől. Vonjunk ki egyet a teljes középső részből. Hogy az egyenlőtlenség ne változzon, a maradék két részből kivonunk egyet. Mint ez:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Már jobb, igaz?) Marad a három rész három részre osztása:

2 < x < 4

Ez minden. Ez a válasz. X tetszőleges szám lehet kettőtől (nem beleértve) négyig (nem beleértve). Ezt a választ is időközönként írjuk, az ilyen bejegyzések négyzetegyenlőtlenségekben lesznek. Ott ezek a leggyakoribbak.

A lecke végén megismétlem a legfontosabbat. A lineáris egyenlőtlenségek megoldásának sikere a lineáris egyenletek átalakításának és egyszerűsítésének képességétől függ. Ha ugyanakkor kövesse az egyenlőtlenség jelét, nem lesz gond. Amit kívánok neked. Nincs mit.)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.

Ma, barátaim, nem lesz takony és érzelem. Ehelyett a 8-9. osztályos algebratanfolyam egyik legfélelmetesebb ellenfelével küldöm harcba további kérdések nélkül.

Igen, mindent jól értettél: modulusos egyenlőtlenségekről beszélünk. Négy alapvető technikát fogunk megvizsgálni, amelyek segítségével megtanulhatja a problémák körülbelül 90%-ának megoldását. Mi van a többi 10%-kal? Nos, róluk egy külön leckében lesz szó. :)

Mielőtt azonban bármilyen trükköt elemeznék, szeretnék felidézni két tényt, amelyeket már tudnod kell. Ellenkező esetben azt kockáztatja, hogy egyáltalán nem érti a mai óra anyagát.

Amit már tudnod kell

A Captain Evidence mintegy arra utal, hogy az egyenlőtlenségek modulussal történő megoldásához két dolgot kell tudnia:

1. Hogyan oldják meg az egyenlőtlenségeket?
2. Mi az a modul.

Kezdjük a második ponttal.

Modul meghatározása

Itt minden egyszerű. Két definíció létezik: algebrai és grafikus. Kezdjük az algebrával:

Meghatározás. A $x$ szám modulja vagy maga a szám, ha nem negatív, vagy a vele ellentétes szám, ha az eredeti $x$ továbbra is negatív.

Így van írva:

\[\left| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(igazítás) \jobbra.\]

beszél egyszerű nyelv, a modulus "egy mínusz nélküli szám". És ez a kettősség (valahol nem kell semmit csinálni az eredeti számmal, de valahol el kell távolítani a mínuszokat), és a kezdő hallgatók számára minden nehézség rejlik.

Van egy geometriai meghatározás is. Ezt is hasznos tudni, de csak összetett és néhány speciális esetben hivatkozunk rá, ahol a geometriai megközelítés kényelmesebb, mint az algebrai (spoiler: ma nem).

Meghatározás. A valós egyenesen legyen jelölve az $a$ pont. Ezután a $\left| modul x-a \right|$ az $x$ pont és a $a$ pont távolsága ezen az egyenesen.

Ha rajzolsz egy képet, valami ilyesmit kapsz:

Grafikus modul definíció

Így vagy úgy, kulcstulajdonsága azonnal következik a modul definíciójából: egy szám modulusa mindig nem negatív érték. Ez a tény egy vörös szál lesz, amely végigfut az egész mai történetünkön.

Az egyenlőtlenségek megoldása. Térközök módszere

Most foglalkozzunk az egyenlőtlenségekkel. Nagyon sok van belőlük, de most az a feladatunk, hogy legalább a legegyszerűbbet meg tudjuk oldani. Azokat, amelyeket lineáris egyenlőtlenségekre redukálunk, valamint az intervallumok módszerére.

Két nagy oktatóanyagom van ebben a témában (mellesleg, nagyon-nagyon hasznos - javaslom a tanulmányozást):

1. Az egyenlőtlenségek intervallummódszere (különösen nézze meg a videót);
2. A töredék-racionális egyenlőtlenségek nagyon terjedelmes lecke, de utána már egyáltalán nem marad kérdésed.

Ha mindezt tudod, ha az „egyenlőtlenségből térjünk át az egyenletre” kifejezés nem késztet arra, hogy a falhoz öld magad, akkor készen állsz: üdv a pokolban az óra fő témájában. :)

1. "A modul kisebb, mint a függvény" alakú egyenlőtlenségek

Ez az egyik leggyakrabban előforduló feladat a modulokkal kapcsolatban. Meg kell oldani a forma egyenlőtlenségét:

\[\bal| f\right| \ltg\]

Bármi működhet $f$ és $g$ függvényként, de általában polinomok. Példák az ilyen egyenlőtlenségekre:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\jobbra| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \jobbra|+3\left(x+1 \jobbra) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\bal| x \jobbra|-3 \jobbra| \lt 2. \\\end(igazítás)\]

Mindegyik szó szerint egy sorban van megoldva a séma szerint:

\[\bal| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(igazítás) \jó jó)\]

Könnyen belátható, hogy megszabadulunk a modultól, de helyette kettős egyenlőtlenséget (vagy ami ugyanaz, két egyenlőtlenség rendszerét) kapunk. De ez az átmenet abszolút minden lehetséges problémát figyelembe vesz: ha a modul alatti szám pozitív, a módszer működik; ha negatív, akkor is működik; és még akkor is működni fog a módszer, ha a $f$ vagy $g$ helyett a legelégtelenebb függvény van.

Természetesen felmerül a kérdés: nem könnyebb? Sajnos nem lehet. Ez a modul lényege.

De elég a filozofálásból. Oldjunk meg pár problémát:

Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\bal| 2x+3\jobbra| \ltx+7\]

Megoldás. Tehát van egy klasszikus „a modul kisebb, mint” formájú egyenlőtlenségünk – még nincs is mit átalakítani. A következő algoritmus szerint dolgozunk:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Jobbra -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\jobbra| \lt x+7\Jobbra -\balra(x+7 \jobbra) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\vége(igazítás)\]

Ne rohanjon kinyitni azokat a zárójeleket, amelyeket egy „mínusz” előz meg: nagyon valószínű, hogy a sietség miatt támadó hibát követ el.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(igazítás) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

A probléma két elemi egyenlőtlenségre redukálódott. Megoldásaikat párhuzamos valós egyeneseken jegyezzük meg:

Sokak kereszteződése

Ezeknek a halmazoknak a metszéspontja lesz a válasz.

Válasz: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\bal| ((x)^(2))+2x-3 \jobbra|+3\left(x+1 \jobbra) \lt 0\]

Megoldás. Ez a feladat egy kicsit nehezebb. Először is elkülönítjük a modult a második tag jobbra mozgatásával:

\[\bal| ((x)^(2))+2x-3 \jobbra| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Nyilvánvalóan ismét van egy „a modul kevesebb” alakú egyenlőtlenségünk, így a már ismert algoritmus szerint megszabadulunk a modultól:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Most figyelem: valaki azt fogja mondani, hogy egy kicsit perverz vagyok ezekkel a zárójelekkel. De még egyszer emlékeztetem önöket, hogy a legfontosabb célunk az helyesen oldja meg az egyenlőtlenséget, és kapja meg a választ. Később, amikor tökéletesen elsajátítottad az ebben a leckében leírtakat, tetszés szerint elferdítheti magát: zárójeleket nyithat, mínuszokat adhat hozzá stb.

Kezdetnek pedig csak megszabadulunk a bal oldali dupla mínusztól:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1\right)\]

Most nyissuk meg a kettős egyenlőtlenség összes zárójelét:

Térjünk át a kettős egyenlőtlenségre. Ezúttal a számítások komolyabbak lesznek:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( igazítás)\jobbra.\]

Mindkét egyenlőtlenség négyzet alakú, és az intervallum módszerrel oldjuk meg (ezért mondom: ha nem tudod, mi az, jobb, ha még nem veszel modulokat). Áttérünk az első egyenlőtlenség egyenletére:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\vége(igazítás)\]

Amint látható, a kimenet egy hiányos másodfokú egyenlet, amelyet elemileg megoldottak. Most foglalkozzunk a rendszer második egyenlőtlenségével. Itt alkalmazni kell a Vieta-tételt:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\vége(igazítás)\]

A kapott számokat két párhuzamos egyenesre jelöljük (külön az első egyenlőtlenséghez és külön a másodikhoz):

Ismételten, mivel egyenlőtlenségi rendszert oldunk meg, az árnyékolt halmazok metszéspontja érdekel minket: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ez a válasz.

Válasz: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Azt hiszem, ezek után a példák után a megoldási séma nagyon világos:

1. Izolálja le a modult úgy, hogy az összes többi tagot az egyenlőtlenség ellenkező oldalára helyezi. Így egy $\left| alakú egyenlőtlenséget kapunk f\right| \ltg$.
2. Oldja meg ezt az egyenlőtlenséget úgy, hogy a fent leírt módon megszabadul a modultól. Valamikor a kettős egyenlőtlenségről át kell térni egy két független kifejezésből álló rendszerre, amelyek mindegyike már külön-külön is megoldható.
3. Végül már csak e két független kifejezés megoldását kell keresztezni – és ennyi, megkapjuk a végső választ.

Hasonló algoritmus létezik a következő típusú egyenlőtlenségekre, amikor a modulus nagyobb, mint a függvény. Van azonban egy-két komoly "de". Most ezekről a „de”-ekről fogunk beszélni.

2. "A modul nagyobb, mint a függvény" alakú egyenlőtlenségek

Így néznek ki:

\[\bal| f\right| \gt g\]

Hasonló az előzőhöz? Úgy tűnik. Ennek ellenére az ilyen feladatokat teljesen más módon oldják meg. Formálisan a séma a következő:

\[\bal| f\right| \gt g\Jobbra \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Más szóval, két esetet vizsgálunk:

1. Először egyszerűen figyelmen kívül hagyjuk a modult - megoldjuk a szokásos egyenlőtlenséget;
2. Ekkor tulajdonképpen megnyitjuk a mínuszjelű modult, majd az egyenlőtlenség mindkét részét megszorozzuk -1-gyel, előjellel.

Ebben az esetben a lehetőségeket szögletes zárójellel kombinálják, pl. Két követelmény kombinációja áll rendelkezésünkre.

Figyeld még egyszer: nem rendszer áll előttünk, hanem aggregátum, tehát a válaszban a halmazokat kombinálják, nem metszik. Ez alapvető különbség az előző bekezdéshez képest!

Általánosságban elmondható, hogy sok diák nagyon zavart a szakszervezetekkel és a kereszteződésekkel, ezért nézzük meg egyszer és mindenkorra ezt a kérdést:

• A "∪" egy összefűzési jel. Valójában ez egy stilizált "U" betű, amelyből érkezett hozzánk angolulés az "Union" rövidítése, azaz "Egyesületek".
• A "∩" a kereszteződés jele. Ez a baromság nem jött sehonnan, hanem csak a "∪" ellenzékeként jelent meg.

Hogy még könnyebb legyen az emlékezet, csak adjon hozzá lábakat ezekhez a jelekhez, hogy szemüveget készítsen (csak most ne vádoljon a kábítószer-függőség és az alkoholizmus népszerűsítésével: ha komolyan tanulja ezt a leckét, akkor már kábítószer-függő):

Különbség a halmazok metszéspontja és uniója között

Oroszra fordítva ez a következőket jelenti: az unió (gyűjtemény) mindkét halmazból tartalmaz elemeket, tehát nem kevesebbet mindegyiknél; de a metszéspont (rendszer) csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek az első halmazban és a másodikban is szerepelnek. Ezért a halmazok metszéspontja soha nem nagyobb, mint a forráshalmazok metszéspontja.

Szóval világosabb lett? Az nagyszerű. Térjünk át a gyakorlásra.

Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\bal| 3x+1 \jobbra| \gt 5-4x\]

Megoldás. A séma szerint járunk el:

\[\bal| 3x+1 \jobbra| \gt 5-4x\Jobbra \balra[ \begin(igazítás) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \jobbra) \\\vége(igazítás) \ jobb.\]

Megoldjuk az egyes népesedési egyenlőtlenségeket:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left[ \begin(igazítás) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

Minden kapott halmazt megjelölünk a számegyenesen, majd egyesítjük őket:

A halmazok egyesülése

Nyilvánvalóan a válasz $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Válasz: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\bal| ((x)^(2))+2x-3 \jobbra| \gtx\]

Megoldás. Jól? Nem, mindegy. Egy modulusos egyenlőtlenségből két egyenlőtlenség halmazába megyünk át:

\[\bal| ((x)^(2))+2x-3 \jobbra| \gt x\Jobbra \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Minden egyenlőtlenséget megoldunk. Sajnos ott nem lesznek túl jók a gyökerek:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\vége(igazítás)\]

A második egyenlőtlenségben van egy kis játék is:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\vége(igazítás)\]

Most meg kell jelölnünk ezeket a számokat két tengelyen - egy tengelyen minden egyenlőtlenséghez. A pontokat azonban a megfelelő sorrendben kell megjelölnie: minél nagyobb a szám, annál jobban eltolódik a pont jobbra.

És itt várunk a beállításra. Ha minden világos a $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ számokkal (az első szám számlálójában szereplő kifejezések tört kisebb, mint a második számlálójában szereplő tagok, így az összeg is kisebb), a $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) számokkal (21))(2)$ szintén nem lesz nehézség (pozitív szám nyilván inkább negatív), de az utolsó párral nem minden olyan egyszerű. Melyik a nagyobb: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ vagy $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? A kérdésre adott választól függ a pontok elrendezése a számegyeneseken, sőt, a válasz is.

Tehát hasonlítsuk össze:

\[\begin(mátrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(mátrix)\]

Elszigeteltük a gyökeret, nem negatív számokat kaptunk az egyenlőtlenség mindkét oldalán, így jogunk van mindkét oldalt négyzetre emelni:

\[\begin(mátrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(mátrix)\]

Szerintem nem ötlet, hogy $4\sqrt(13) \gt 3$, tehát $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, végül a pontok a tengelyeken a következőképpen lesznek elrendezve:

Csúnya gyökerek esete

Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy halmazt oldunk meg, így a válasz az egyesülés lesz, nem pedig az árnyékolt halmazok metszéspontja.

Válasz: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Amint látja, sémánk kiválóan működik egyszerű és nagyon nehéz feladatok esetén is. Az egyetlen „gyenge pont” ebben a megközelítésben az, hogy helyesen kell összehasonlítani az irracionális számokat (és hidd el: ezek nem csak gyökök). De külön (és nagyon komoly) leckét szentelünk az összehasonlítás kérdéseinek. És továbbmegyünk.

3. Egyenlőtlenségek a nem negatív "farokkal"

Elérkeztünk tehát a legérdekesebbhez. Ezek a formai egyenlőtlenségek:

\[\bal| f\right| \gt\left| g\right|\]

Általánosságban elmondható, hogy az algoritmus, amelyről most beszélni fogunk, csak a modulra igaz. Minden olyan egyenlőtlenségben működik, ahol garantáltan nem negatív kifejezések vannak a bal és a jobb oldalon:

Mi a teendő ezekkel a feladatokkal? Csak ne feledd:

A nem negatív farkú egyenlőtlenségekben mindkét oldal bármely természetes hatalomra emelhető. További korlátozások nem lesznek.

Először is érdekelni fogunk a négyzetesítésben - modulokat és gyökereket éget:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\vége(igazítás)\]

Csak ne keverje össze ezt a négyzet gyökerének felvételével:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Számtalan hibát követtek el, amikor egy diák elfelejtett modult telepíteni! De ez egy teljesen más történet (ezek mintha irracionális egyenletek volna), ezért most nem megyünk bele. Inkább oldjunk meg néhány problémát:

Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\bal| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Megoldás. Két dolgot azonnal észreveszünk:

1. Ez egy nem szigorú egyenlőtlenség. A számegyenes pontjai ki lesznek lyukasztva.
2. Az egyenlőtlenség mindkét oldala nyilvánvalóan nem negatív (ez a modul tulajdonsága: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Ezért az egyenlőtlenség mindkét oldalát négyzetre emelhetjük, hogy megszabaduljunk a modulustól és megoldjuk a problémát a szokásos intervallum módszerrel:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\vége(igazítás)\]

Utolsó lépésnél csaltam egy kicsit: a modulus paritását felhasználva megváltoztattam a tagok sorrendjét (valójában a $1-2x$ kifejezést -1-gyel szoroztam).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ jobb)\jobb)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Intervallum módszerrel oldjuk meg. Térjünk át az egyenlőtlenségről az egyenletre:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\vége(igazítás)\]

A talált gyökereket a számegyenesen jelöljük. Még egyszer: minden pont árnyékolt, mert az eredeti egyenlőtlenség nem szigorú!

Megszabadulni a modul jelétől

Hadd emlékeztesselek a különösen makacsokra: az előjeleket az utolsó egyenlőtlenségből vesszük, amelyet az egyenletre való rátérés előtt írtunk le. És ugyanabban az egyenlőtlenségben átfestjük a szükséges területeket. Esetünkben ez $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Rendben, most mindennek vége. Probléma megoldódott.

Válasz: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\bal| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \jobbra|\]

Megoldás. Mindent ugyanúgy csinálunk. Nem kommentálok – nézd csak meg a műveletek sorrendjét.

Nézzük négyzetre:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \jobbra| \jobbra))^(2))\le ((\left(\left) ((x)^(2))+3x+4 \jobbra| \jobbra))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \jobbra))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ jobb))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \jobbra)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(igazítás)\]

Távolsági módszer:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Jobbra nyíl x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Jobbra D=16-40 \lt 0\Jobbra \varnothing . \\\vége(igazítás)\]

Csak egy gyök van a számegyenesen:

A válasz egy egész sor

Válasz: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Egy kis megjegyzés az utolsó feladathoz. Ahogy egyik tanítványom pontosan megjegyezte, ebben az egyenlőtlenségben mindkét részmodul kifejezés nyilvánvalóan pozitív, így a modulus jel elhagyható egészségkárosodás nélkül.

De ez már egy teljesen más gondolkodási szint és más megközelítés - feltételesen nevezhetjük a következmények módszerének. Róla - külön leckében. És most térjünk át a mai lecke utolsó részére, és vegyünk egy univerzális algoritmust, amely mindig működik. Még akkor is, ha minden korábbi megközelítés tehetetlen volt. :)

4. Az opciók számbavételének módja

Mi van, ha ezek a trükkök nem működnek? Ha az egyenlőtlenség nem redukálódik nem-negatív farokká, ha lehetetlen elkülöníteni a modult, ha egyáltalán fájdalom-szomorúság-vágy?

Ezután az összes matematika „nehéztüzérsége” lép színre - a számlálási módszer. Ami a modulussal való egyenlőtlenségeket illeti, ez így néz ki:

1. Írja ki az összes részmodul kifejezést, és egyenlővé tegye őket nullával;
2. Oldja meg a kapott egyenleteket, és jelölje meg a talált gyököket egy számegyenesen;
3. Az egyenes több szakaszra lesz felosztva, amelyeken belül minden modul fix előjellel rendelkezik, és ezért egyértelműen bővül;
4. Oldja meg az egyenlőtlenséget minden ilyen szakaszon (a megbízhatóság érdekében külön is figyelembe veheti a 2. bekezdésben kapott határgyököket). Kombinálja az eredményeket - ez lesz a válasz. :)

Nos, hogyan? Gyenge? Könnyen! Csak sokáig. Lássuk a gyakorlatban:

Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\bal| x+2 \jobbra| \lt\left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Megoldás. Ez a baromság nem olyan egyenlőtlenségekre vezethető vissza, mint a $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ vagy $\left| f\right| \lt\left| g \right|$, úgyhogy folytassuk.

Kiírjuk az almodul kifejezéseket, egyenlővé tesszük őket nullával, és megkeressük a gyökereket:

\[\begin(align) & x+2=0\Jobbra x=-2; \\ & x-1=0\Jobbra x=1. \\\vége(igazítás)\]

Összességében két gyökünk van, amelyek három részre osztják a számsort, amelyeken belül minden modul egyedileg jelenik meg:

A számegyenes felosztása szubmoduláris függvények nullákkal

Tekintsük az egyes szakaszokat külön-külön.

1. Legyen $x \lt -2$. Ekkor mindkét részmodul kifejezés negatív, és az eredeti egyenlőtlenséget a következőképpen írjuk át:

\[\begin(igazítás) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(igazítás)\]

Meglehetősen egyszerű korlátot kaptunk. Vegyük keresztbe azzal az eredeti feltevéssel, hogy $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Nyilvánvaló, hogy a $x$ változó egyszerre nem lehet kisebb, mint −2, de nem lehet nagyobb, mint 1,5. Ezen a téren nincsenek megoldások.

1.1. Nézzük külön a határesetet: $x=-2$. Helyettesítsük be ezt a számot az eredeti egyenlőtlenségbe, és ellenőrizzük: érvényes-e?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \jobbra|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Jobbra \varnothing . \\\vége(igazítás)\]

Nyilvánvaló, hogy a számítások láncolata rossz egyenlőtlenséghez vezetett. Ezért az eredeti egyenlőtlenség is hamis, és $x=-2$ nem szerepel a válaszban.

2. Most legyen $-2 \lt x \lt 1 $. A bal oldali modul már "plusszal" fog megnyílni, de a jobb oldali még mindig "mínuszos". Nekünk van:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(igazítás)\]

Ismét keresztezzük az eredeti követelményt:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

És ismét a megoldások üres halmaza, mivel nincs olyan szám, amely egyszerre kisebb, mint -2,5 és nagyobb, mint -2.

2.1. És ismét egy speciális eset: $x=1$. Az eredeti egyenlőtlenségbe behelyettesítjük:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\jobbra| \lt\left| 0 \jobbra|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Jobbra \varnothing . \\\vége(igazítás)\]

Az előző „speciális esethez” hasonlóan a $x=1$ szám egyértelműen nem szerepel a válaszban.

3. A sor utolsó darabja: $x \gt 1$. Itt minden modul pluszjellel bővül:

\[\begin(igazítás) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(igazítás)\ ]

És ismét metszi a talált halmazt az eredeti megszorítással:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \jobb)\]

Végül! Megtaláltuk az intervallumot, ez lesz a válasz.

Válasz: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Végül egy megjegyzés, amely megóvhatja Önt a hülye hibáktól a valódi problémák megoldása során:

Az egyenlőtlenségek modulos megoldásai általában folytonos halmazok a számegyenesen - intervallumok és szegmensek. Az elszigetelt pontok sokkal ritkábbak. És még ritkábban fordul elő, hogy a megoldás határai (a szakasz vége) egybeesnek a vizsgált tartomány határával.

Ezért, ha a határok (azok a nagyon „speciális esetek”) nem szerepelnek a válaszban, akkor ezektől a határoktól balra-jobbra eső területek szinte biztosan nem fognak szerepelni a válaszban. És fordítva: a határ válaszként lépett be, ami azt jelenti, hogy körülötte néhány terület válasz is lesz.

Ezt tartsa szem előtt, amikor ellenőrzi a megoldásait.

Helló! Kedves hallgatóim, ebben a cikkben az exponenciális egyenlőtlenségek megoldását tanuljuk meg .

Bármennyire is bonyolultnak tűnik számodra az exponenciális egyenlőtlenség, néhány átalakítás után (ezekről kicsit később beszélünk) minden egyenlőtlenség a legegyszerűbb exponenciális egyenlőtlenségek megoldására redukálódnak:

a x > b, egy x< b És a x ≥ b, a x ≤ b.

Próbáljuk meg kitalálni, hogyan oldják meg az ilyen egyenlőtlenségeket.

Megfontoljuk a megoldást szigorú egyenlőtlenségek. A nem szigorú egyenlőtlenségek megoldásában az egyetlen különbség az, hogy a kapott megfelelő gyököket a válasz tartalmazza.

Legyen szükség egy formai egyenlőtlenség megoldására és f(x) > b, Ahol a>1És b>0.

Tekintse meg az ilyen egyenlőtlenségek megoldásának sémáját (1. ábra):

Most nézzünk egy konkrét példát. Oldja meg az egyenlőtlenséget: 5 x - 1 > 125.

Mivel 5 > 1 és 125 > 0, akkor
x - 1 > log 5 125, azaz
x - 1 > 3,
x > 4.

Válasz: (4; +∞) .

Mi a megoldás erre az egyenlőtlenségre? és f(x) >b, Ha 0És b>0?

Tehát a 2. ábra diagramja

Példa: Oldja meg az egyenlőtlenséget (1/2) 2x - 2 ≥ 4

A szabályt alkalmazva (2. ábra) azt kapjuk
2x - 2 ≤ log 1/2 4,
2x - 2 ≤ -2,
2x ≤ 0,
x ≤ 0.

Válasz: (–∞; 0] .

Tekintsük újra ugyanazt az egyenlőtlenséget és f(x) > b, Ha a>0És b<0 .

Tehát a 3. ábra diagramja:

Példa egy egyenlőtlenség megoldására (1/3) x + 2 > -9. Ahogy észrevesszük, függetlenül attól, hogy milyen számmal helyettesítjük x-et, (1/3) x + 2 mindig nagyobb, mint nulla.

Válasz: (–∞; +∞) .

Hogyan oldják meg a formai egyenlőtlenségeket? a f(x)< b , Ahol a>1És b>0?

Diagram a 4. ábrán:

És a következő példa: 3 3 – x ≥ 8.
Mivel 3 > 1 és 8 > 0, akkor
3 - x\u003e log 3 8, azaz
-x > log 3 8 - 3,
x< 3 – log 3 8.

Válasz: (0; 3 – log 3 8) .

Hogyan változtassuk meg az egyenlőtlenség megoldását a f(x)< b , nál nél 0És b>0?

Az 5. ábrán látható diagram:

És a következő példa: Oldja meg az egyenlőtlenséget 0,6 2x - 3< 0,36 .

Az 5. ábra diagramját követve azt kapjuk
2x - 3 > log 0,6 0,36,
2x - 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

Válasz: (2,5; +∞) .

Tekintsük az utolsó sémát az űrlap egyenlőtlenségének megoldására a f(x)< b , nál nél a>0És b<0 a 6. ábrán látható:

Például oldjuk meg az egyenlőtlenséget:

Észrevesszük, hogy mindegy, hogy milyen számmal helyettesítjük x-et, az egyenlőtlenség bal oldala mindig nagyobb, mint nulla, és esetünkben ez a kifejezés kisebb, mint -8, azaz. a nulla pedig azt jelenti, hogy nincsenek megoldások.

Válasz: nincsenek megoldások.

Tudva, hogyan oldják meg a legegyszerűbb exponenciális egyenlőtlenségeket, továbbléphetünk exponenciális egyenlőtlenségek megoldása.

1. példa

Keresse meg az x legnagyobb egész értékét, amely kielégíti az egyenlőtlenséget!

Mivel 6 x nagyobb nullánál (ha nincs x, akkor a nevező nullára megy), az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk 6-szorosával, így kapjuk:

440 - 2 6 2x > 8, akkor
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2x > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Válasz: 1.

2. példa.

Oldja meg az egyenlőtlenséget 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Jelölje 2 x y-t, megkapjuk az y 2 - 3y + 2 ≤ 0 egyenlőtlenséget, ezt a másodfokú egyenlőtlenséget megoldjuk.

y 2 - 3y +2 = 0,
y 1 = 1 és y 2 = 2.

A parabola ágai felfelé irányulnak, rajzoljunk grafikont:

Ekkor az egyenlőtlenség megoldása az 1. egyenlőtlenség lesz< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Válasz: (0; 1) .

3. példa. Oldja meg az egyenlőtlenséget 5x+1 – 3x+2< 2·5 x – 2·3 x –1
Gyűjtsünk azonos bázisú kifejezéseket az egyenlőtlenség egyik részébe!

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Vegyük ki az egyenlőtlenséget a zárójelek bal oldalán 5 x , és az egyenlőtlenség jobb oldalán 3 x és kapjuk meg az egyenlőtlenséget

5 x (5-2)< 3 х (9 – 2/3),
35x< (25/3)·3 х

Az egyenlőtlenség mindkét részét elosztjuk a 3 3 x kifejezéssel, az egyenlőtlenség előjele nem változik, mivel 3 3 x pozitív szám, így megkapjuk az egyenlőtlenséget:

x< 2 (так как 5/3 > 1).

Válasz: (–∞; 2) .

Ha kérdése van az exponenciális egyenlőtlenségek megoldásával kapcsolatban, vagy szeretné gyakorolni a hasonló példák megoldását, jelentkezzen óráimra. Oktató Valentina Galinevskaya.

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

egyenlőtlenségi megoldás módban online megoldás szinte minden adott egyenlőtlenség online. Matematikai egyenlőtlenségek online matematikát megoldani. Keresse meg gyorsan egyenlőtlenségi megoldás módban online. A www.site webhely lehetővé teszi, hogy megtalálja megoldás szinte minden adott algebrai, trigonometrikus vagy transzcendens egyenlőtlenség online. Amikor a matematika szinte bármely szakaszát különböző szakaszokban tanulja, döntenie kell egyenlőtlenségek online. Ahhoz, hogy azonnal választ kapjon, és ami a legfontosabb, hogy pontos választ kapjon, olyan erőforrásra van szüksége, amely lehetővé teszi ezt. Köszönet a www.site-nek oldja meg az egyenlőtlenséget online eltart néhány percig. A www.site fő előnye matematikai megoldások során egyenlőtlenségek online- a kiadott válasz gyorsasága és pontossága. Az oldal bármelyiket képes megoldani algebrai egyenlőtlenségek online, trigonometrikus egyenlőtlenségek online, transzcendentális egyenlőtlenségek online, és egyenlőtlenségek ismeretlen paraméterekkel módban online. egyenlőtlenségek erős matematikai berendezésként szolgálnak megoldásokat gyakorlati feladatokat. Segítséggel matematikai egyenlőtlenségek lehetséges olyan tényeket és összefüggéseket kifejezni, amelyek első pillantásra zavarosnak és összetettnek tűnhetnek. ismeretlen mennyiségek egyenlőtlenségek a probléma megfogalmazásával lehet megtalálni matematikai nyelv a formában egyenlőtlenségekÉs döntsd el módban a kapott feladatot online a www.site weboldalon. Bármi algebrai egyenlőtlenség, trigonometrikus egyenlőtlenség vagy egyenlőtlenségek tartalmazó transzcendentális funkciókat könnyedén döntsd el online, és megkapja a megfelelő választ. A természettudományok tanulmányozása során az ember elkerülhetetlenül találkozik a szükséglettel egyenlőtlenségek megoldása. Ebben az esetben a válasznak pontosnak kell lennie, és azonnal meg kell kapnia a módban online. Ezért a matematikai egyenlőtlenségeket online megoldani ajánljuk a www.site oldalt, amely nélkülözhetetlen számológépe lesz Oldja meg az algebrai egyenlőtlenségeket online, trigonometrikus egyenlőtlenségek online, és transzcendentális egyenlőtlenségek online vagy egyenlőtlenségek ismeretlen paraméterekkel. Különféle intravol megoldások gyakorlati problémáira matematikai egyenlőtlenségek forrás www.. Megoldás egyenlőtlenségek online saját magának, célszerű a kapott választ a segítségével ellenőrizni egyenlőtlenségek online megoldása a www.site weboldalon. Az egyenlőtlenséget helyesen kell felírni, és azonnal meg kell kapnia online megoldás, ami után már csak össze kell hasonlítani a választ az egyenlőtlenség megoldásával. A válasz ellenőrzése nem tart tovább egy percnél, elég oldja meg az egyenlőtlenséget onlineés hasonlítsa össze a válaszokat. Ez segít elkerülni a hibákat döntésés időben javítsa ki a választ egyenlőtlenségek online megoldása bármelyik algebrai, trigonometrikus, transzcendens vagy egyenlőtlenség ismeretlen paraméterekkel.