2. egyenlet megoldása 4. Lineáris egyenletek megoldása példákkal
A 7. osztályos matematika szakon találkoznak először a két változós egyenletek, de csak két ismeretlennel rendelkező egyenletrendszerrel összefüggésben tanulmányozzák őket. Ez az oka annak, hogy számos probléma kiesik a szemünk elől, amelyekben bizonyos feltételeket vezetnek be az egyenlet együtthatóira, amelyek korlátozzák azokat. Emellett figyelmen kívül hagyják az olyan problémák megoldási módszereit is, mint az „Egyenlet megoldása természetes vagy egész számokban”, bár az ilyen jellegű problémákkal egyre gyakrabban találkozunk a USE anyagokban és a felvételi vizsgákon.
Melyik egyenletet nevezzük kétváltozós egyenletnek?
Így például az 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 vagy xy = 12 egyenletek kétváltozós egyenletek.
Tekintsük a 2x - y = 1 egyenletet. Igaz egyenlőséggé alakul x = 2 és y = 3 esetén, tehát ez a változó értékpár a megoldása a vizsgált egyenletre.
Így bármely két változós egyenlet megoldása a rendezett párok halmaza (x; y), azoknak a változóknak az értékei, amelyeket ez az egyenlet valódi numerikus egyenlőséggé alakít.
Két ismeretlent tartalmazó egyenlet:
A) van egy megoldás. Például az x 2 + 5y 2 = 0 egyenletnek egyedi megoldása van (0; 0);
b) több megoldás is van. Például (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0-nak 4 megoldása van: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) nincsenek megoldásai. Például az x 2 + y 2 + 1 = 0 egyenletnek nincs megoldása;
G) végtelenül sok megoldása van. Például x + y = 3. Ennek az egyenletnek a megoldásai olyan számok lesznek, amelyek összege 3. Ennek az egyenletnek a megoldási halmaza felírható így (k; 3 - k), ahol k bármely valós szám.
A kétváltozós egyenletek megoldásának fő módszerei a faktorálási kifejezéseken alapuló, a teljes négyzetet kiemelő, másodfokú egyenlet tulajdonságait, korlátos kifejezéseket és kiértékelési módszereket használó módszerek. Az egyenlet általában olyan formává alakul, amelyből az ismeretlenek megtalálására szolgáló rendszer nyerhető.
Faktorizáció
1. példa
Oldja meg az egyenletet: xy - 2 = 2x - y.
Megoldás.
A faktorálási feltételeket csoportosítjuk:
(xy + y) - (2x + 2) = 0. Vegye ki a közös tényezőt minden zárójelből:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y - 2) = 0. Van:
y = 2, x bármely valós szám vagy x = -1, y bármely valós szám.
És így, a válasz az összes (x; 2), x € R és (-1; y), y € R alakú pár.
Nemnegatív számok nullával való egyenlősége
2. példa
Oldja meg az egyenletet: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Megoldás.
Csoportosítás:
(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Most minden zárójel összecsukható a négyzetes különbség képletével.
(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.
Két nemnegatív kifejezés összege csak akkor nulla, ha 3x - 2 = 0 és 2y - 3 = 0.
Tehát x = 2/3 és y = 3/2.
Válasz: (2/3; 3/2).
Értékelési módszer
3. példa
Oldja meg az egyenletet: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.
Megoldás.
Mindegyik zárójelben válassza ki a teljes négyzetet:
((x + 1) 2 + 1) ((y – 2) 2 + 2) = 2. Becslés 
a zárójelben lévő kifejezések jelentését.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 és (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, akkor az egyenlet bal oldala mindig legalább 2. Az egyenlőség akkor lehetséges, ha:
(x + 1) 2 + 1 = 1 és (y - 2) 2 + 2 = 2, tehát x = -1, y = 2.
Válasz: (-1; 2).
Ismerkedjünk meg egy másik módszerrel két másodfokú változójú egyenletek megoldására. Ez a módszer az, hogy az egyenletet úgy tekintjük négyzet valamilyen változóhoz képest.
4. példa
Oldja meg az egyenletet: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.
Megoldás.
Oldjuk meg az egyenletet másodfokúként x-hez képest. Keressük a diszkriminánst:
D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16 y - 16 = -4 (√y - 2) 2 . Az egyenletnek csak akkor lesz megoldása, ha D = 0, azaz ha y = 4. Az y értékét behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, és azt találjuk, hogy x = 3.
Válasz: (3; 4).
Gyakran az egyenletekben két ismeretlen jelzi változókra vonatkozó korlátozások.
5. példa
Oldja meg az egyenletet egész számokkal: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Megoldás.
Írjuk át az egyenletet x 2 = -5y 2 + 20x + 2 alakba. A kapott egyenlet jobb oldala, ha elosztjuk 5-tel, 2 maradékot ad. Ezért x 2 nem osztható 5-tel. De a négyzet egy 5-tel nem osztható szám 1 vagy 4 maradékát adja. Így az egyenlőség lehetetlen, és nincsenek megoldások.
Válasz: nincs gyökere.
6. példa
Oldja meg az egyenletet: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.
Megoldás.
Jelöljük ki a teljes négyzeteket minden zárójelben:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Az egyenlet bal oldala mindig nagyobb vagy egyenlő, mint 3. Az egyenlőség akkor lehetséges, ha |x| – 2 = 0 és y + 3 = 0. Így x = ± 2, y = -3.
Válasz: (2; -3) és (-2; -3).
7. példa
Minden negatív egész (x; y) párra, amelyek kielégítik az egyenletet
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, számítsa ki az összeget (x + y). Válaszoljon a legkisebb összegre.
Megoldás.
Válassza ki a teljes négyzeteket:
(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Mivel x és y egész számok, négyzeteik is egész számok. Két egész szám négyzetösszegét, amely 37, akkor kapjuk, ha 1 + 36-ot összeadunk.
(x - y) 2 = 36 és (y + 2) 2 = 1 
(x - y) 2 = 1 és (y + 2) 2 = 36.
Ezeket a rendszereket megoldva, és figyelembe véve, hogy x és y negatív, a következő megoldásokat találjuk: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Válasz: -17.
Ne essen kétségbe, ha nehézségei vannak a két ismeretlennel rendelkező egyenletek megoldása során. Egy kis gyakorlással bármilyen egyenletet elsajátíthatsz.
Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell két változós egyenleteket megoldani?
Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.
Az első óra ingyenes!
oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
Egy egyenlet egy ismeretlennel, amely a zárójelek kinyitása és a hasonló tagok redukálása után felveszi a formát
ax + b = 0, ahol a és b tetszőleges számok, hívjuk lineáris egyenlet egy ismeretlennel. Ma kitaláljuk, hogyan oldjuk meg ezeket a lineáris egyenleteket.
Például az összes egyenlet:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - lineáris.
Az ismeretlen értékét, amely az egyenletet valódi egyenlőséggé alakítja, nevezzük döntés vagy az egyenlet gyöke .
Például, ha a 3x + 7 \u003d 13 egyenletben az ismeretlen x helyett a 2-es számmal helyettesítjük, akkor a helyes egyenlőséget kapjuk: 3 2 + 7 \u003d 13. Így az x \u003d 2 érték a megoldás, ill. az egyenlet gyöke.
És az x \u003d 3 érték nem változtatja meg a 3x + 7 \u003d 13 egyenletet valódi egyenlőséggé, mivel 3 2 + 7 ≠ 13. Ezért az x \u003d 3 érték nem az egyenlet megoldása vagy gyöke.
Bármely lineáris egyenlet megoldása az alábbi alakú egyenletek megoldására redukálódik
ax + b = 0.
A szabad tagot az egyenlet bal oldaláról átvisszük jobbra, miközben a b előtti jelet az ellenkezőjére változtatjuk, így kapjuk
Ha a ≠ 0, akkor x = – b/a .
1. példa Oldja meg a 3x + 2 =11 egyenletet.
Az egyenlet bal oldaláról átvisszük a 2-t jobbra, miközben a 2 előtti jelet az ellenkezőjére változtatjuk, így kapjuk
3x \u003d 11-2.
Akkor végezzük a kivonást
3x = 9.
Az x megtalálásához el kell osztani a szorzatot egy ismert tényezővel, azaz
x = 9:3.
Tehát az x = 3 érték az egyenlet megoldása vagy gyöke.
Válasz: x = 3.
Ha a = 0 és b = 0, akkor a 0x \u003d 0 egyenletet kapjuk. Ennek az egyenletnek végtelen sok megoldása van, hiszen ha tetszőleges számot megszorozunk 0-val, akkor 0-t kapunk, de b is 0. Ennek az egyenletnek a megoldása tetszőleges szám.
2. példa Oldja meg az 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1 egyenletet.
Bővítsük ki a zárójeleket:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Íme a hasonló tagok:
0x = 0.
Válasz: x tetszőleges szám.
Ha a = 0 és b ≠ 0, akkor a 0x = - b egyenletet kapjuk. Ennek az egyenletnek nincs megoldása, hiszen ha tetszőleges számot megszorozunk 0-val, akkor 0-t kapunk, de b ≠ 0.
3. példa Oldja meg az x + 8 = x + 5 egyenletet!
Csoportosítsuk a bal oldalon az ismeretleneket tartalmazó, a jobb oldalon a szabad kifejezéseket:
x - x \u003d 5 - 8.
Íme a hasonló tagok:
0x = -3.
Válasz: nincs megoldás.
Tovább 1.ábra a lineáris egyenlet megoldásának sémája látható
Készítsünk egy általános sémát egy változós egyenletek megoldására. Tekintsük a 4. példa megoldását.
4. példa Oldjuk meg az egyenletet
1) Szorozzuk meg az egyenlet összes tagját a nevezők legkisebb közös többszörösével, ami egyenlő 12-vel.
2) Redukció után kapjuk
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Az ismeretlen és szabad tagokat tartalmazó tagok szétválasztásához nyissa ki a zárójeleket:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Az egyik részbe az ismeretleneket, a másikba a szabad kifejezéseket csoportosítjuk:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Íme a hasonló tagok:
- 22x = - 154.
6) Oszd el - 22-vel, megkapjuk
x = 7.
Amint látja, az egyenlet gyökere hét.
Általában ilyen egyenletek a következőképpen oldhatók meg:
a) hozza az egyenletet egész alakra;
b) nyitott zárójelek;
c) csoportosítsa az egyenlet egyik részében az ismeretlent, a másikban a szabad tagokat tartalmazó tagokat;
d) hasonló tagokat hozni;
e) oldjunk meg egy aх = b alakú egyenletet, amelyet hasonló tagok hozásával kaptunk.
Ez a séma azonban nem minden egyenlethez szükséges. Sok egyszerűbb egyenlet megoldásánál nem az elsőből kell kiindulni, hanem a másodikból ( Példa. 2), harmadik ( Példa. 13) és még az ötödik szakasztól is, mint az 5. példában.
5. példa Oldja meg a 2x = 1/4 egyenletet!
Megtaláljuk az ismeretlen x \u003d 1/4:2,
x = 1/8 .
Tekintsük néhány lineáris egyenlet megoldását a fő államvizsgán.
6. példa Oldja meg a 2. egyenletet (x + 3) = 5 - 6x.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5-6
Válasz: - 0,125
7. példa Oldja meg a - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7 egyenletet.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Válasz: 2.3
8. példa Oldja meg az egyenletet
3 (3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
9. példa Határozzuk meg az f(6)-ot, ha f(x + 2) = 3 7-es
Megoldás
Mivel meg kell találnunk f(6), és tudjuk, hogy f (x + 2),
akkor x + 2 = 6.
Megoldjuk az x + 2 = 6 lineáris egyenletet,
x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.
Ha x = 4, akkor
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Válasz: 27.
Ha van még kérdésed, van kedved alaposabban foglalkozni az egyenletek megoldásával, jelentkezz az óráimra a MENETRENDBEN. Szívesen segítek!
A TutorOnline azt is javasolja, hogy nézze meg Olga Alexandrovna oktatónk új oktatóvideóját, amely segít megérteni a lineáris egyenleteket és másokat is.
oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
Kétféle egyenletrendszert fogunk elemezni:
1. A rendszer megoldása helyettesítési módszerrel.
2. A rendszer megoldása a rendszer egyenleteinek tagonkénti összeadásával (kivonásával).
Az egyenletrendszer megoldása érdekében helyettesítési módszer egy egyszerű algoritmust kell követnie:
1. Kifejezzük. Bármely egyenletből egy változót fejezünk ki.
2. Helyettesítő. A kifejezett változó helyett egy másik egyenletben helyettesítjük a kapott értéket.
3. A kapott egyenletet egy változóval oldjuk meg. Megoldást találunk a rendszerre.
Megoldani rendszer tagonkénti összeadással (kivonás) kell:
1. Válasszunk ki egy változót, amelyre ugyanazokat az együtthatókat készítjük.
2. Összeadjuk vagy kivonjuk az egyenleteket, ennek eredményeként egy változós egyenletet kapunk.
3. Megoldjuk a kapott lineáris egyenletet. Megoldást találunk a rendszerre.
A rendszer megoldása a függvény grafikonjainak metszéspontjai.
Tekintsük részletesen a rendszerek megoldását példákon keresztül.
1. példa:
Oldjuk meg helyettesítési módszerrel
Az egyenletrendszer megoldása helyettesítési módszerrel2x+5y=1 (1 egyenlet)
x-10y=3 (2. egyenlet)
1. Expressz
Látható, hogy a második egyenletben van egy x változó, amelynek együtthatója 1, így kiderül, hogy a második egyenletből a legkönnyebb az x változót kifejezni.
x=3+10y
2. Kifejezés után az első egyenletben az x változó helyett 3 + 10y-t helyettesítünk.
2(3+10y)+5y=1
3. A kapott egyenletet egy változóval oldjuk meg.
2(3+10y)+5y=1 (nyitott zárójelek)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25 év = -5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Az egyenletrendszer megoldása a gráfok metszéspontjai, ezért meg kell keresnünk x-et és y-t, mert a metszéspont x-ből és y-ból áll Keressük meg x-et, ahol az első bekezdésben ahol kifejeztük, ott y-t helyettesítünk.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Szokásos első helyre pontokat írni, az x változót, a második helyre az y változót írjuk.
Válasz: (1; -0,2)
2. példa:
Oldjuk meg tagonkénti összeadással (kivonással).
Egyenletrendszer megoldása összeadásos módszerrel3x-2y=1 (1 egyenlet)
2x-3y=-10 (2. egyenlet)
1. Válasszunk ki egy változót, tegyük fel, hogy x-et választunk. Az első egyenletben az x változó együtthatója 3, a másodikban - 2. Az együtthatókat azonosnak kell tennünk, ehhez jogunk van az egyenleteket szorozni vagy elosztani tetszőleges számmal. Az első egyenletet megszorozzuk 2-vel, a másodikat pedig 3-mal, és 6-ot kapunk.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Az első egyenletből vonja ki a másodikat, hogy megszabaduljon az x változótól.. Oldja meg a lineáris egyenletet!
__6x-4y=2
5 év = 32 | :5
y=6,4
3. Keresse meg x-et. Bármelyik egyenletben behelyettesítjük a talált y-t, mondjuk az első egyenletben.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
A metszéspont x=4,6 lesz; y=6,4
Válasz: (4,6; 6,4)
Szeretnél ingyenesen felkészülni a vizsgákra? Oktató online ingyen. Nem viccelek.
