방정식 2 풀기 4. 예제로 선형 방정식 풀기

7학년 수학 과목에서 그들은 처음 만난다. 두 개의 변수가 있는 방정식, 그러나 그들은 두 개의 미지수가 있는 연립방정식의 맥락에서만 연구됩니다. 그렇기 때문에 문제를 제한하는 방정식의 계수에 특정 조건이 도입되는 많은 문제가 눈에 띄지 않습니다. 또한 이러한 종류의 문제는 USE 자료와 입학 시험에서 점점 더 자주 접하지만 "자연 또는 정수로 방정식 풀기"와 같은 문제를 해결하는 방법도 무시됩니다.

어떤 방정식을 두 개의 변수가 있는 방정식이라고 부를까요?

예를 들어 방정식 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 또는 xy = 12는 변수가 2인 방정식입니다.

방정식 2x - y = 1을 고려하십시오. x = 2 및 y = 3에서 진정한 평등으로 바뀌므로 이 변수 ​​값 쌍은 고려 중인 방정식의 해입니다.

따라서 두 개의 변수가 있는 방정식의 해는 순서쌍(x; y)의 집합이며, 이 방정식이 진정한 수치 평등으로 바뀌는 변수의 값입니다.

미지수가 두 개인 방정식은 다음을 수행할 수 있습니다.

ㅏ) 하나의 솔루션이 있습니다.예를 들어, 방정식 x 2 + 5y 2 = 0은 고유한 솔루션(0, 0)을 갖습니다.

비) 여러 솔루션이 있습니다.예를 들어, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0에는 (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

안에) 솔루션이 없습니다.예를 들어, 방정식 x 2 + y 2 + 1 = 0에는 해가 없습니다.

G) 무한히 많은 솔루션을 가지고 있습니다.예를 들어, x + y = 3입니다. 이 방정식의 해는 합이 3인 숫자가 됩니다. 이 방정식의 해 세트는 (k; 3 - k)로 작성할 수 있습니다. 여기서 k는 임의의 실수입니다.

두 개의 변수로 방정식을 푸는 주요 방법은 인수분해 표현식을 기반으로 하는 방법, 전체 정사각형 강조 표시, 이차 방정식의 속성을 사용하는 방법, 유계 표현식 및 평가 방법입니다. 일반적으로 방정식은 미지수를 찾는 시스템을 얻을 수있는 형식으로 변환됩니다.

채권 차압 통고

실시예 1

방정식을 풉니다: xy - 2 = 2x - y.

해결책.

인수분해를 위해 용어를 그룹화합니다.

(xy + y) - (2x + 2) = 0. 각 괄호에서 공약수를 빼세요.

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. 다음이 있습니다.

y = 2, x는 임의의 실수 또는 x = -1, y는 임의의 실수입니다.

이런 식으로, 답은 (x; 2), x € R 및 (-1; y), y € R 형식의 모든 쌍입니다.

음수가 아닌 숫자의 0과 같음

실시예 2

방정식을 풉니다: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

해결책.

그룹화:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. 이제 제곱 차이 공식을 사용하여 각 괄호를 접을 수 있습니다.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

음이 아닌 두 표현식의 합은 3x - 2 = 0 및 2y - 3 = 0인 경우에만 0입니다.

따라서 x = 2/3 및 y = 3/2입니다.

답: (2/3; 3/2).

평가방법

실시예 3

방정식을 풉니다: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

해결책.

각 괄호에서 전체 정사각형을 선택합니다.

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. 추정 괄호 안의 표현의 의미.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 및 (y - 2) 2 + 2 ≥ 2이면 방정식의 좌변은 항상 최소 2입니다. 평등은 다음과 같은 경우 가능합니다.

(x + 1) 2 + 1 = 1 및 (y - 2) 2 + 2 = 2이므로 x = -1, y = 2입니다.

답: (-1; 2).

두 번째 차수의 두 변수로 방정식을 푸는 또 다른 방법에 대해 알아 보겠습니다. 이 방법은 방정식이 다음과 같이 간주된다는 것입니다. 일부 변수에 대한 제곱.

실시예 4

방정식을 풉니다: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

해결책.

x에 대한 2차 방정식으로 방정식을 풀자. 판별식을 구해 봅시다.

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . 방정식은 D = 0, 즉 y = 4일 때만 해를 갖게 됩니다. y 값을 원래 방정식에 대입하고 x = 3임을 찾습니다.

답: (3; 4).

종종 두 개의 미지수가 있는 방정식에서 다음을 나타냅니다. 변수에 대한 제한.

실시예 5

방정식을 정수로 풉니다: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

해결책.

방정식을 x 2 = -5y 2 + 20x + 2 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. 결과 방정식의 우변은 5로 나눌 때 나머지가 2가 됩니다. 따라서 x 2는 5로 나눌 수 없습니다. 그러나 제곱 5로 나눌 수 없는 숫자의 나머지는 1 또는 4입니다. 따라서 평등은 불가능하고 솔루션도 없습니다.

답: 뿌리가 없습니다.

실시예 6

방정식을 풉니다. (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

해결책.

각 괄호에서 완전한 사각형을 선택합시다.

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. 방정식의 좌변은 항상 3보다 크거나 같습니다. 평등은 |x| – 2 = 0 및 y + 3 = 0. 따라서 x = ± 2, y = -3입니다.

답: (2, -3) 및 (-2, -3).

실시예 7

방정식을 만족하는 음의 정수(x; y)의 각 쌍에 대해
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, 합계(x + y)를 계산합니다. 가장 적은 금액을 응답하십시오.

해결책.

전체 정사각형 선택:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x와 y는 정수이므로 제곱도 정수입니다. 37과 같은 두 정수의 제곱의 합은 1 + 36을 더하면 얻습니다. 따라서:

(x - y) 2 = 36 및 (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 및 (y + 2) 2 = 36.

이러한 시스템을 풀고 x와 y가 음수임을 고려하면 솔루션을 찾습니다: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

답: -17.

미지수가 두 개인 방정식을 풀 때 어려움이 있더라도 절망하지 마십시오. 조금만 연습하면 모든 방정식을 마스터할 수 있습니다.

질문있으세요? 두 개의 변수로 방정식을 푸는 방법을 모르십니까?
튜터의 도움을 받으려면 - 등록하십시오.
첫 수업은 무료입니다!

사이트에서 자료의 전체 또는 일부를 복사하려면 소스에 대한 링크가 필요합니다.

대괄호를 열고 같은 항을 줄인 후 다음 형식을 취하는 미지수가 있는 방정식

도끼 + b = 0, 여기서 a와 b는 임의의 숫자입니다. 일차 방정식 하나는 알 수 없습니다. 오늘 우리는 이러한 선형 방정식을 푸는 방법을 알아낼 것입니다.

예를 들어 모든 방정식은 다음과 같습니다.

2x + 3 \u003d 7 - 0.5x; 0.3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - 선형.

방정식을 진정한 평등으로 바꾸는 미지수의 값을 결정 또는 방정식의 근 .

예를 들어, 방정식 3x + 7 \u003d 13에서 알 수 없는 x 대신 숫자 2를 대입하면 올바른 평등 3 2 + 7 \u003d 13을 얻습니다. 따라서 값 x \u003d 2는 솔루션 또는 방정식의 근.

그리고 값 x \u003d 3은 3x + 7 \u003d 13을 진정한 평등으로 바꾸지 않습니다. 왜냐하면 3 2 + 7 ≠ 13이기 때문입니다. 따라서 값 x \u003d 3은 방정식의 해나 근이 아닙니다.

모든 선형 방정식의 해는 다음 형식의 방정식의 해로 축소됩니다.

도끼 + b = 0.

자유 항을 방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로 옮기고 b 앞의 부호를 반대로 바꾸면 다음을 얻습니다.

a ≠ 0이면 x = – b/a .

실시예 1 방정식 3x + 2 =11을 풉니다.

방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로 2를 옮기고 2 앞의 부호를 반대로 바꾸면 다음을 얻습니다.
3x \u003d 11 - 2.

뺄셈을 해보자.
3x = 9.

x를 찾으려면 제품을 알려진 인수로 나누어야 합니다.
x = 9:3.

따라서 값 x = 3은 방정식의 해 또는 근입니다.

답: x = 3.

a = 0이고 b = 0인 경우, 그러면 우리는 방정식 0x \u003d 0을 얻습니다. 이 방정식에는 무한히 많은 솔루션이 있습니다. 임의의 숫자에 0을 곱할 때 0을 얻지만 b도 0이기 때문입니다. 이 방정식의 솔루션은 임의의 숫자입니다.

실시예 2방정식 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1을 풉니다.

대괄호를 확장해 보겠습니다.
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

다음은 유사한 회원입니다.
0x = 0.

답: x는 임의의 숫자입니다..

a = 0이고 b ≠ 0인 경우, 우리는 방정식 0x = - b를 얻습니다. 이 방정식에는 해가 없습니다. 임의의 숫자에 0을 곱하면 0이지만 b ≠ 0이 되기 때문입니다.

실시예 3방정식 x + 8 = x + 5를 풉니다.

미지수를 포함하는 항을 왼쪽에 그룹화하고 자유 항을 오른쪽에 그룹화하겠습니다.
x - x \u003d 5 - 8.

다음은 유사한 회원입니다.
0x = - 3.

답변: 해결책이 없습니다.

에 그림 1 선형 방정식을 푸는 계획이 표시됩니다.

하나의 변수로 방정식을 푸는 일반적인 계획을 작성해 보겠습니다. 예제 4의 솔루션을 고려하십시오.

실시예 4 방정식을 풀자

1) 방정식의 모든 항에 12와 같은 분모의 최소 공배수를 곱합니다.

2) 감소 후 우리는
4(x - 4) + 3 2(x + 1) - 12 = 6 5(x - 3) + 24x - 2(11x + 43)

3) 알 수 없는 구성원과 사용 가능한 구성원이 포함된 구성원을 구분하려면 대괄호를 엽니다.
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) 우리는 한 부분에 미지수를 포함하는 용어를 그룹화하고 다른 부분에는 자유 용어를 그룹화합니다.
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) 유사한 회원은 다음과 같습니다.
- 22x = - 154.

6) 나누기 - 22 , 우리는
x = 7.

보시다시피, 방정식의 근은 7입니다.

일반적으로 그러한 방정식은 다음과 같이 풀 수 있습니다:

a) 방정식을 정수 형식으로 가져옵니다.

b) 여는 괄호;

c) 방정식의 한 부분에 미지수를 포함하는 항을 그룹화하고 다른 부분에 자유 항을 그룹화합니다.

d) 유사한 회원을 데려옵니다.

e) 같은 항을 가져온 후에 얻은 х = b 형식의 방정식을 풉니다.

그러나 이 계획은 모든 방정식에 필요한 것은 아닙니다. 많은 간단한 방정식을 풀 때 첫 번째 방정식이 아니라 두 번째 방정식( 예시. 2), 세 번째( 예시. 13) 그리고 예 5에서와 같이 다섯 번째 단계에서도 마찬가지입니다.

실시예 5방정식 2x = 1/4를 풉니다.

우리는 알려지지 않은 x \u003d 1/4: 2를 찾습니다.
x = 1/8 .

주 상태 시험에서 만난 일부 선형 방정식의 해를 고려하십시오.

실시예 6방정식 2(x + 3) = 5 - 6x를 풉니다.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

답: - 0.125

실시예 7방정식 - 6(5 - 3x) \u003d 8x - 7을 풉니다.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

답: 2.3

실시예 8 방정식 풀기

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

실시예 9 f(x + 2) = 3 7인 경우 f(6) 찾기

해결책

f(6)을 찾아야 하고 f(x + 2)를 알고 있으므로,
x + 2 = 6입니다.

우리는 선형 방정식 x + 2 = 6을 풀고,
우리는 x \u003d 6-2, x \u003d 4를 얻습니다.

x = 4이면
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

답: 27.

여전히 질문이 있는 경우 방정식의 해를 더 철저하게 처리하고 싶은 욕구가 있습니다. 일정에서 내 수업에 등록하십시오. 기꺼이 도와드리겠습니다!

TutorOnline은 또한 선형 방정식과 기타 방정식을 모두 이해하는 데 도움이 될 튜터 Olga Alexandrovna의 새 비디오 자습서를 볼 것을 권장합니다.

사이트에서 자료의 전체 또는 일부를 복사하려면 소스에 대한 링크가 필요합니다.

두 가지 유형의 방정식 풀이 시스템을 분석합니다.

1. 대체 방법에 의한 시스템의 솔루션.
2. 시스템 방정식의 항별 덧셈(뺄셈)에 의한 시스템의 솔루션.

연립방정식을 풀기 위해 대체 방법간단한 알고리즘을 따라야 합니다.
1. 표현합니다. 모든 방정식에서 하나의 변수를 표현합니다.
2. 대체. 표현된 변수 대신 다른 방정식으로 결과 값을 대입합니다.
3. 결과 방정식을 하나의 변수로 풉니다. 우리는 시스템에 대한 솔루션을 찾습니다.

해결하다 항별 덧셈(뺄셈)에 의한 시스템필요:
1. 동일한 계수를 만들 변수를 선택합니다.
2. 방정식을 더하거나 빼서 결과적으로 하나의 변수가 있는 방정식을 얻습니다.
3. 결과 선형 방정식을 풉니다. 우리는 시스템에 대한 솔루션을 찾습니다.

시스템의 솔루션은 함수 그래프의 교차점입니다.

예제를 사용하여 시스템의 솔루션을 자세히 고려해 보겠습니다.

예 #1:

대입법으로 풀자

대입법으로 연립방정식 풀기

2x+5y=1(1 방정식)
x-10y=3(2차 방정식)

1. 익스프레스
두 번째 방정식에는 계수가 1인 변수 x가 있으므로 두 번째 방정식에서 변수 x를 표현하는 것이 가장 쉬운 것으로 나타났습니다.
x=3+10y

2. 표현 후 첫 번째 방정식에서 변수 x 대신 3 + 10y를 대입합니다.
2(3+10년)+5년=1

3. 결과 방정식을 하나의 변수로 풉니다.
2(3+10y)+5y=1(열린 대괄호)
6+20년+5년=1
25년=1-6
25년=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

방정식 시스템의 솔루션은 그래프의 교차점이므로 교차점이 x와 y로 구성되어 있기 때문에 x와 y를 찾아야 합니다. x를 찾아보자, 우리가 표현한 첫 번째 단락에서 y를 거기에 대입합니다.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

처음에 점을 쓰는 것이 일반적이고 변수 x를 쓰고 두 번째 위치에 변수 y를 쓰는 것이 일반적입니다.
답: (1; -0.2)

예 #2:

항별 덧셈(뺄셈)으로 풀어봅시다.

덧셈법으로 연립방정식 풀기

3x-2y=1(1 방정식)
2x-3y=-10(2차 방정식)

1. 변수를 선택합니다. x를 선택한다고 가정해 보겠습니다. 첫 번째 방정식에서 변수 x는 두 번째 - 2에서 3의 계수를 갖습니다. 계수를 동일하게 만들어야 합니다. 이를 위해 방정식을 곱하거나 임의의 숫자로 나눌 수 있는 권리가 있습니다. 첫 번째 방정식에 2를 곱하고 두 번째 방정식에 3을 곱하여 총 계수 6을 얻습니다.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 빼서 변수 x를 제거하고 선형 방정식을 풉니다.
__6x-4y=2

5년=32 | :5
y=6.4

3. x를 찾습니다. 첫 번째 방정식을 가정해 봅시다. 모든 방정식에서 찾은 y를 대체합니다.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

교차점은 x=4.6이 됩니다. y=6.4
답: (4.6, 6.4)

무료로 시험을 준비하시겠습니까? 온라인 튜터 무료입니다. 농담이 아니다.