Atrisināt 2. vienādojumu 4. Lineāro vienādojumu risināšana ar piemēriem
7. klases matemātikas kursā viņi vispirms tiekas ar vienādojumi ar diviem mainīgajiem, bet tie tiek pētīti tikai vienādojumu sistēmu kontekstā ar diviem nezināmajiem. Tāpēc no redzesloka izkrīt vairākas problēmas, kurās tiek ieviesti noteikti nosacījumi vienādojuma koeficientiem, kas tos ierobežo. Turklāt tiek ignorētas arī tādas uzdevumu risināšanas metodes kā “Atrisināt vienādojumu naturālos vai veselos skaitļos”, lai gan ar šāda veida problēmām arvien biežāk saskaras USE materiālos un iestājeksāmenos.
Kuru vienādojumu sauks par vienādojumu ar diviem mainīgajiem?
Tātad, piemēram, vienādojumi 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 vai xy = 12 ir divu mainīgo vienādojumi.
Apsveriet vienādojumu 2x - y = 1. Tas pārvēršas par patiesu vienādību pie x = 2 un y = 3, tāpēc šis mainīgo vērtību pāris ir izskatāmā vienādojuma risinājums.
Tādējādi jebkura vienādojuma risinājums ar diviem mainīgajiem ir sakārtotu pāru kopa (x; y), mainīgo vērtības, kuras šis vienādojums pārvērš patiesā skaitliskā vienādībā.
Vienādojums ar diviem nezināmiem var:
A) ir viens risinājums. Piemēram, vienādojumam x 2 + 5y 2 = 0 ir unikāls risinājums (0; 0);
b) ir vairāki risinājumi. Piemēram, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ir 4 risinājumi: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) nav risinājumu. Piemēram, vienādojumam x 2 + y 2 + 1 = 0 nav atrisinājumu;
G) ir bezgala daudz risinājumu. Piemēram, x + y = 3. Šī vienādojuma risinājumi būs skaitļi, kuru summa ir 3. Šī vienādojuma atrisinājumu kopu var uzrakstīt kā (k; 3 - k), kur k ir jebkurš reāls skaitlis.
Galvenās metodes vienādojumu risināšanai ar diviem mainīgajiem ir metodes, kuru pamatā ir faktoringa izteiksmes, izceļot pilnu kvadrātu, izmantojot kvadrātvienādojuma īpašības, ierobežotās izteiksmes un novērtēšanas metodes. Vienādojums, kā likums, tiek pārveidots par formu, no kuras var iegūt sistēmu nezināmo atrašanai.
Faktorizācija
1. piemērs
Atrisiniet vienādojumu: xy - 2 = 2x - y.
Risinājums.
Faktoringa nolūkos mēs sagrupējam noteikumus:
(xy + y) - (2x + 2) = 0. No katras iekavas izņemiet kopējo koeficientu:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1) (y - 2) = 0. Mums ir:
y = 2, x ir jebkurš reāls skaitlis vai x = -1, y ir jebkurš reāls skaitlis.
Tādējādi atbilde ir visi formas pāri (x; 2), x € R un (-1; y), y € R.
Nenegatīvu skaitļu vienādība ar nulli
2. piemērs
Atrisiniet vienādojumu: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Risinājums.
Grupēšana:
(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Tagad katru iekava var sakļaut, izmantojot kvadrātveida starpības formulu.
(3x - 2) 2 + (2g - 3) 2 = 0.
Divu nenegatīvu izteiksmju summa ir nulle tikai tad, ja 3x - 2 = 0 un 2y - 3 = 0.
Tātad x = 2/3 un y = 3/2.
Atbilde: (2/3; 3/2).
Novērtēšanas metode
3. piemērs
Atrisiniet vienādojumu: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.
Risinājums.
Katrā iekavā atlasiet pilnu kvadrātu:
((x + 1) 2 + 1) ((y – 2) 2 + 2) = 2. Aprēķins 
iekavās esošo izteicienu nozīme.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 un (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, tad vienādojuma kreisā puse vienmēr ir vismaz 2. Vienādība ir iespējama, ja:
(x + 1) 2 + 1 = 1 un (y - 2) 2 + 2 = 2, tātad x = -1, y = 2.
Atbilde: (-1; 2).
Iepazīsimies ar citu metodi vienādojumu risināšanai ar diviem otrās pakāpes mainīgajiem. Šī metode ir tāda, ka vienādojums tiek uzskatīts par kvadrātā attiecībā pret kādu mainīgo.
4. piemērs
Atrisiniet vienādojumu: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.
Risinājums.
Atrisināsim vienādojumu kā kvadrātisko attiecībā pret x. Atradīsim diskriminantu:
D = 36 - 4 (y - 4√y + 13) = -4y + 16, y - 16 = -4 (√y - 2) 2 . Vienādojumam būs risinājums tikai tad, ja D = 0, t.i., ja y = 4. Mēs aizstājam y vērtību sākotnējā vienādojumā un konstatējam, ka x = 3.
Atbilde: (3; 4).
Bieži vien vienādojumos ar diviem nezināmiem norāda mainīgo lielumu ierobežojumi.
5. piemērs
Atrisiniet vienādojumu ar veseliem skaitļiem: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Risinājums.
Pārrakstīsim vienādojumu formā x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Iegūtā vienādojuma labā puse, dalot ar 5, iegūst atlikumu 2. Tāpēc x 2 nedalās ar 5. Bet kvadrāts skaitļa, kas nedalās ar 5, atlikums ir 1 vai 4. Tādējādi vienlīdzība nav iespējama un atrisinājumu nav.
Atbilde: nav sakņu.
6. piemērs
Atrisiniet vienādojumu: (x 2 - 4 | x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.
Risinājums.
Atlasīsim pilnos kvadrātus katrā iekavā:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Vienādojuma kreisā puse vienmēr ir lielāka vai vienāda ar 3. Vienādība ir iespējama, ja |x| – 2 = 0 un y + 3 = 0. Tādējādi x = ± 2, y = -3.
Atbilde: (2; -3) un (-2; -3).
7. piemērs
Katram negatīvo veselo skaitļu (x; y) pārim, kas apmierina vienādojumu
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, aprēķiniet summu (x + y). Atbildiet uz mazāko summu.
Risinājums.
Atlasiet pilnus kvadrātus:
(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Tā kā x un y ir veseli skaitļi, arī to kvadrāti ir veseli skaitļi. Divu veselu skaitļu kvadrātu summu, kas vienāda ar 37, iegūstam, ja saskaitām 1 + 36. Tāpēc:
(x - y) 2 = 36 un (y + 2) 2 = 1 
(x - y) 2 = 1 un (y + 2) 2 = 36.
Atrisinot šīs sistēmas un ņemot vērā, ka x un y ir negatīvi, atrodam risinājumus: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Atbilde: -17.
Neesiet izmisumā, ja jums ir grūtības, risinot vienādojumus ar diviem nezināmiem. Ar nelielu praksi jūs varēsit apgūt jebkuru vienādojumu.
Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt vienādojumus ar diviem mainīgajiem?
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!
vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.
Vienādojums ar vienu nezināmo, kas pēc iekavas atvēršanas un līdzīgu vārdu samazināšanas iegūst formu
cirvis + b = 0, kur a un b ir patvaļīgi skaitļi, tiek izsaukts lineārais vienādojums ar vienu nezināmo. Šodien mēs izdomāsim, kā atrisināt šos lineāros vienādojumus.
Piemēram, visi vienādojumi:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - lineārs.
Tiek saukta nezināmā vērtība, kas vienādojumu pārvērš patiesā vienādībā lēmumu vai vienādojuma sakne .
Piemēram, ja vienādojumā 3x + 7 \u003d 13 nezināmā x vietā aizvietojam skaitli 2, tad iegūstam pareizo vienādību 3 2 + 7 \u003d 13. Tādējādi vērtība x \u003d 2 ir risinājums vai vienādojuma sakne.
Un vērtība x \u003d 3 nepārvērš vienādojumu 3x + 7 \u003d 13 par patiesu vienādību, jo 3 2 + 7 ≠ 13. Tāpēc vērtība x \u003d 3 nav vienādojuma risinājums vai sakne.
Jebkuru lineāro vienādojumu atrisinājums tiek reducēts līdz formas vienādojumu atrisinājumam
cirvis + b = 0.
Pārnesam brīvo terminu no vienādojuma kreisās puses uz labo, mainot zīmi b priekšā uz pretējo, iegūstam
Ja a ≠ 0, tad x = – b/a .
1. piemērs Atrisiniet vienādojumu 3x + 2 =11.
Mēs pārnesam 2 no vienādojuma kreisās puses uz labo, mainot zīmi 2 priekšā uz pretējo, mēs iegūstam
3x \u003d 11 - 2.
Tad veiksim atņemšanu
3x = 9.
Lai atrastu x, reizinājums ir jāsadala ar zināmu koeficientu, tas ir,
x = 9:3.
Tātad vērtība x = 3 ir vienādojuma risinājums vai sakne.
Atbilde: x = 3.
Ja a = 0 un b = 0, tad iegūstam vienādojumu 0x \u003d 0. Šim vienādojumam ir bezgala daudz atrisinājumu, jo, reizinot jebkuru skaitli ar 0, mēs iegūstam 0, bet arī b ir 0. Šī vienādojuma risinājums ir jebkurš skaitlis.
2. piemērs Atrisiniet vienādojumu 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.
Izvērsīsim iekavas:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Šeit ir līdzīgi dalībnieki:
0x = 0.
Atbilde: x ir jebkurš skaitlis.
Ja a = 0 un b ≠ 0, tad iegūstam vienādojumu 0x = - b. Šim vienādojumam nav atrisinājumu, jo, reizinot jebkuru skaitli ar 0, mēs iegūstam 0, bet b ≠ 0.
3. piemērs Atrisiniet vienādojumu x + 8 = x + 5.
Sagrupēsim terminus, kas satur nezināmus kreisajā pusē, un brīvos terminus labajā pusē:
x - x \u003d 5 - 8.
Šeit ir līdzīgi dalībnieki:
0x = - 3.
Atbilde: nav risinājumu.
Ieslēgts 1. attēls parādīta lineārā vienādojuma risināšanas shēma
Sastādām vispārīgu shēmu vienādojumu atrisināšanai ar vienu mainīgo. Apsveriet 4. piemēra risinājumu.
4. piemērs Atrisināsim vienādojumu
1) Reiziniet visus vienādojuma nosacījumus ar saucēju mazāko kopīgo daudzkārtni, kas vienāds ar 12.
2) Pēc samazināšanas mēs iegūstam
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Lai atdalītu dalībniekus, kas satur nezināmus un brīvus dalībniekus, atveriet iekavas:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Mēs sagrupējam vienā daļā terminus, kas satur nezināmos, bet otrā - brīvos terminus:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Šeit ir līdzīgi dalībnieki:
- 22x = - 154.
6) Sadaliet ar - 22, mēs iegūstam
x = 7.
Kā redzat, vienādojuma sakne ir septiņi.
Vispār tādi vienādojumus var atrisināt šādi:
a) izveido vienādojumu vesela skaitļa formā;
b) atvērtas iekavas;
c) grupē vienādojuma daļā vārdus, kas satur nezināmo, bet otrā – brīvos terminus;
d) atvest līdzīgus biedrus;
e) atrisiniet vienādojumu formā aх = b, kas iegūts pēc līdzīgu terminu ienesšanas.
Tomēr šī shēma nav nepieciešama katram vienādojumam. Risinot daudzus vienkāršākus vienādojumus, jāsāk nevis no pirmā, bet gan no otrā ( Piemērs. 2), trešais ( Piemērs. 13) un pat no piektā posma, kā 5. piemērā.
5. piemērs Atrisiniet vienādojumu 2x = 1/4.
Mēs atrodam nezināmo x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .
Apsveriet dažu lineāro vienādojumu risinājumu galvenajā valsts eksāmenā.
6. piemērs Atrisiniet vienādojumu 2 (x + 3) = 5 - 6x.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 - 6
Atbilde: - 0,125
7. piemērs Atrisiniet vienādojumu - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Atbilde: 2.3
8. piemērs Atrisiniet vienādojumu
3 (3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
9. piemērs Atrodiet f(6), ja f (x + 2) = 3 7
Risinājums
Tā kā mums ir jāatrod f (6), un mēs zinām f (x + 2),
tad x + 2 = 6.
Mēs atrisinām lineāro vienādojumu x + 2 = 6,
mēs iegūstam x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.
Ja x = 4, tad
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Atbilde: 27.
Ja vēl ir jautājumi, ir vēlme rūpīgāk nodarboties ar vienādojumu risināšanu, pierakstieties uz manām nodarbībām GRAFIKSĀ. Es ar prieku jums palīdzēšu!
TutorOnline arī iesaka noskatīties jaunu mūsu pasniedzējas Olgas Aleksandrovnas video pamācību, kas palīdzēs izprast gan lineāros vienādojumus, gan citus.
vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.
Mēs analizēsim divu veidu vienādojumu sistēmu atrisināšanas veidus:
1. Sistēmas risinājums ar aizstāšanas metodi.
2. Sistēmas atrisināšana, saskaitot (atņemot) sistēmas vienādojumus.
Lai atrisinātu vienādojumu sistēmu aizstāšanas metode jums jāievēro vienkāršs algoritms:
1. Mēs izsakām. No jebkura vienādojuma mēs izsakām vienu mainīgo.
2. Aizstājējs. Izteiktā mainīgā vietā mēs aizstājam iegūto vērtību ar citu vienādojumu.
3. Atrisinām iegūto vienādojumu ar vienu mainīgo. Mēs atrodam sistēmas risinājumu.
Atrisināt sistēma, saskaitot pa vārdam (atņemot) vajag:
1. Izvēlieties mainīgo, kuram veidosim vienādus koeficientus.
2. Saskaitām vai atņemam vienādojumus, kā rezultātā iegūstam vienādojumu ar vienu mainīgo.
3. Atrisinām iegūto lineāro vienādojumu. Mēs atrodam sistēmas risinājumu.
Sistēmas risinājums ir funkcijas grafiku krustošanās punkti.
Ļaujiet mums sīkāk apsvērt sistēmu risinājumu, izmantojot piemērus.
1. piemērs:
Atrisināsim ar aizstāšanas metodi
Vienādojumu sistēmas risināšana ar aizstāšanas metodi2x+5y=1 (1 vienādojums)
x-10y=3 (2. vienādojums)
1. Izteikt
Var redzēt, ka otrajā vienādojumā ir mainīgais x ar koeficientu 1, līdz ar to izrādās, ka visvieglāk ir izteikt mainīgo x no otrā vienādojuma.
x=3+10g
2. Pēc izteikšanas mainīgā x vietā pirmajā vienādojumā aizstājam 3 + 10y.
2(3+10g)+5y=1
3. Atrisinām iegūto vienādojumu ar vienu mainīgo.
2(3+10g)+5y=1 (atvērtās iekavas)
6+20g+5g=1
25 g = 1-6
25 g = -5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Vienādojumu sistēmas atrisinājums ir grafu krustošanās punkti, tāpēc jāatrod x un y, jo krustpunkts sastāv no x un y. Atradīsim x, pirmajā rindkopā, kur izteicām, tur aizvietojam y.
x=3+10g
x=3+10*(-0,2)=1
Ierasts pirmajā vietā rakstīt punktus, mēs rakstām mainīgo x, bet otrajā vietā mainīgo y.
Atbilde: (1; -0,2)
2. piemērs:
Atrisināsim ar terminu saskaitīšanu (atņemšanu).
Vienādojumu sistēmas atrisināšana ar saskaitīšanas metodi3x-2y=1 (1 vienādojums)
2x-3y=-10 (2. vienādojums)
1. Atlasiet mainīgo, pieņemsim, ka mēs atlasām x. Pirmajā vienādojumā mainīgajam x ir koeficients 3, otrajā - 2. Mums ir jāpadara koeficienti vienādi, šim nolūkam mums ir tiesības vienādojumus reizināt vai dalīt ar jebkuru skaitli. Mēs reizinām pirmo vienādojumu ar 2, bet otro ar 3 un iegūstam kopējo koeficientu 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3g=-10 |*3
6x-9g=-30
2. No pirmā vienādojuma atņemiet otro, lai atbrīvotos no mainīgā x. Atrisiniet lineāro vienādojumu.
__6x-4y=2
5g=32 | :5
y=6,4
3. Atrodiet x. Mēs aizvietojam atrasto y jebkurā no vienādojumiem, teiksim, pirmajā vienādojumā.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Krustošanās punkts būs x=4,6; y=6,4
Atbilde: (4.6; 6.4)
Vai vēlaties sagatavoties eksāmeniem bez maksas? Pasniedzējs tiešsaistē par brīvu. Bez jokiem.
