Funcții trigonometrice inverse și graficele acestora. Ce este arcsinus, arccosinus? Ce este arc tangentă, arc tangentă? Articolul funcții trigonometrice inverse

Într-o serie de probleme de matematică și aplicațiile ei, se cere, din valoarea cunoscută a funcției trigonometrice, să se afle valoarea corespunzătoare a unghiului, exprimată în grade sau radiani. Se știe că aceeași valoare a sinusului corespunde unui număr infinit de unghiuri, de exemplu, dacă $\sin α=1/2,$ atunci unghiul $α$ poate fi egal atât cu $30°$ cât și cu $150°, $ sau în radiani măsura $π /6$ și $5π/6,$ și oricare dintre unghiurile obținute din acestea prin adăugarea unui termen de forma $360°⋅k,$ sau respectiv $2πk,$ unde $k$ este oricare întreg. Acest lucru devine clar din luarea în considerare a graficului funcției $y=\sin x$ pe întreaga dreaptă numerică (vezi Fig. $1$): dacă trasăm un segment de lungime $1/2$ pe axa $Oy$ și desenăm un linie paralelă cu axa $Ox, $ atunci va intersecta sinusoida într-un număr infinit de puncte. Pentru a evita o posibilă varietate de răspunsuri, sunt introduse funcții trigonometrice inverse, numite altfel circulare, sau funcții arc (din latinescul arcus - „arc”).

Cele patru funcții trigonometrice de bază $\sin x,$ $\cos x,$ $\mathrm(tg)\,x$ și $\mathrm(ctg)\,x$ corespund celor patru funcții arc $\arcsin x,$ $\arccos x ,$ $\mathrm(arctg)\,x$ și $\mathrm(arcctg)\,x$ (a se citi: arcsinus, arccosinus, arctangent, arccotangent). Luați în considerare funcțiile \arcsin x și \mathrm(arctg)\,x, deoarece celelalte două sunt exprimate în termenii lor prin formulele:

$\arccos x = \frac(π)(2) − \arcsin x,$ $\mathrm(arcctg)\,x = \frac(π)(2) − \mathrm(arctg)\,x.$

Egalitatea $y = \arcsin x$ înseamnă, prin definiție, un astfel de unghi $y,$ exprimat în radiani și inclus în intervalul de la $−\frac(π)(2)$ la $\frac(π)(2) ,$ sine care este egal cu $x,$ adică $\sin y = x.$ Funcția $\arcsin x$ este funcția inversă a funcției $\sin x,$ considerată pe intervalul $\left[−\ frac(π)(2 ),+\frac(π)(2)\right],$ unde această funcție crește monoton și ia toate valorile de la $−1$ la $+1.$ Evident, argumentul $y$ al funcției $\arcsin x$ poate lua valori doar din segmentul $\left[−1,+1\right].$ Astfel, funcția $y=\arcsin x$ este definită pe segment $\left[−1,+1\right],$ crește monoton, iar valorile sale umplu segmentul $\left[−\frac(π)(2),+\frac(π)(2)\ dreapta].$ Graficul funcţiei este prezentat în fig. $2.$

În condiția $−1 ≤ a ≤ 1$, reprezentăm toate soluțiile ecuației $\sin x = a$ ca $x=(−1)^n \arcsin a + πn,$ $n=0,±1 ,± 2, … .$ De exemplu, dacă

$\sin x = \frac(\sqrt(2))(2)$ apoi $x = (−1)^n \frac(π)(4)+πn,$ $n = 0, ±1, ±2 , … .$

Relația $y=\mathrm(arcctg)\,x$ este definită pentru toate valorile lui $x$ și prin definiție înseamnă că unghiul $y,$ exprimat în măsura în radiani este în

$−\frac(π)(2)

iar tangenta acestui unghi este x, adică $\mathrm(tg)\,y = x.$ Funcția $\mathrm(arctg)\,x$ este definită pe întreaga dreaptă reală, este funcția inversă a funcției $\mathrm(tg)\,x$, care este considerat numai pe interval

$−\frac(π)(2)

Funcția $y = \mathrm(arctg)\,x$ este monoton crescător, graficul ei este dat în fig. $3.$

Toate soluțiile ecuației $\mathrm(tg)\,x = a$ pot fi scrise ca $x=\mathrm(arctg)\,a+πn,$ $n=0,±1,±2,… .$

Rețineți că funcțiile trigonometrice inverse sunt utilizate pe scară largă în analiza matematică. De exemplu, una dintre primele funcții pentru care s-a obținut o reprezentare în serie de puteri infinite a fost funcția $\mathrm(arctg)\,x.$ de lângă

Sarcinile legate de funcțiile trigonometrice inverse sunt adesea oferite la examenele finale de școală și la examenele de admitere în unele universități. Un studiu detaliat al acestei teme se poate realiza numai în clase extracurriculare sau în cursuri opționale. Cursul propus este conceput pentru a dezvolta abilitățile fiecărui student cât mai deplin posibil, pentru a-și îmbunătăți pregătirea matematică.

Cursul este conceput pentru 10 ore:

1. Funcțiile arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 ore).

2. Operatii pe functii trigonometrice inverse (4 ore).

3. Operații trigonometrice inverse pe funcții trigonometrice (2 ore).

Lecția 1 (2 ore) Subiect: Funcții y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Scop: acoperire completă a acestei probleme.

1. Funcția y \u003d arcsin x.

a) Pentru funcția y \u003d sin x pe segment, există o funcție inversă (cu o singură valoare), pe care am convenit să o numim arcsinus și să o notăm după cum urmează: y \u003d arcsin x. Graficul funcției inverse este simetric cu graficul funcției principale în raport cu bisectoarea unghiurilor de coordonate I - III.

Proprietățile funcției y = arcsin x .

1) Domeniul de aplicare: segment [-1; unu];

2) Zona de schimbare: tăiere;

3) Funcția y = arcsin x impar: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Funcția y = arcsin x este monoton crescător;

5) Graficul traversează axele Ox, Oy la origine.

Exemplul 1. Găsiți a = arcsin . Acest exemplu poate fi formulat în detaliu după cum urmează: găsiți un astfel de argument a , situat în intervalul de la până la , al cărui sinus este egal cu .

Soluţie. Există nenumărate argumente al căror sinus este , de exemplu: etc. Dar ne interesează doar argumentul care este pe interval . Acest argument va fi . Asa de, .

Exemplul 2. Găsiți .Soluţie. Argumentând în același mod ca în exemplul 1, obținem .

b) exerciții orale. Găsiți: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0 Exemplu de răspuns: , deoarece . Au sens expresiile: ; arcsin 1,5; ?

c) Aranjați în ordine crescătoare: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Funcții y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (în mod similar).

Lecția 2 (2 ore) Tema: Funcții trigonometrice inverse, graficele lor.

Scop: în această lecție este necesar să se elaboreze abilități în determinarea valorilor funcțiilor trigonometrice, în trasarea funcțiilor trigonometrice inverse folosind D (y), E (y) și transformările necesare.

În această lecție, efectuați exerciții care includ găsirea domeniului de definiție, domeniul de aplicare a funcțiilor de tip: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .

Este necesar să se construiască grafice ale funcţiilor: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y \u003d arcsin;

d) y \u003d arcsin; e) y = arcsin; f) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Exemplu. Să diagramăm y = arccos

Puteți include următoarele exerciții în teme: construiți grafice ale funcțiilor: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Grafice ale funcțiilor inverse

Lecția #3 (2 ore) Subiect:

Operații pe funcții trigonometrice inverse.

Scop: extinderea cunoștințelor matematice (acest lucru este important pentru solicitanții la specialități cu cerințe crescute pentru pregătirea matematică) prin introducerea relațiilor de bază pentru funcțiile trigonometrice inverse.

Material de lecție.

Câteva operații trigonometrice simple pe funcții trigonometrice inverse: sin (arcsin x) \u003d x, i xi? unu; cos (arсcos x) = x, i xi? unu; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Exerciții.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctgx) = ; tg (arctg x) = .

b) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Fie arcsin 0,6 \u003d a, sin a \u003d 0,6;

cos(arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

Notă: luăm semnul „+” în fața rădăcinii deoarece a = arcsin x satisface .

c) sin (1,5 + arcsin).Răspuns:;

d) ctg ( + arctg 3).Raspuns: ;

e) tg (- arcctg 4).Raspuns: .

f) cos (0,5 + arccos) . Răspuns: .

Calculati:

a) sin (2 arctan 5) .

Fie arctg 5 = a, apoi sin 2 a = sau sin(2 arctan 5) = ;

b) cos (+ 2 arcsin 0,8).Raspuns: 0,28.

c) arctg + arctg.

Fie a = arctg , b = arctg ,

atunci tan(a + b) = .

d) sin (arcsin + arcsin).

e) Demonstrați că pentru toate x I [-1; 1] adevărat arcsin x + arccos x = .

Dovada:

arcsin x = - arccos x

sin (arcsin x) = sin (- arccos x)

x = cos (arccos x)

Pentru o soluție de sine stătătoare: sin (arccos ), cos (arcsin ) , cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos ) , ctg (arccos ).

Pentru o soluție acasă: 1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg ( - arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 - arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 - arctg 3.

Lecția nr. 4 (2 ore) Tema: Operații asupra funcțiilor trigonometrice inverse.

Scop: în această lecție pentru a arăta utilizarea rapoartelor în transformarea expresiilor mai complexe.

Material de lecție.

ORAL:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arctg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arctg ());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

SCRIS:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5 - arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg (- arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Munca independentă va ajuta la determinarea nivelului de asimilare a materialului

1) tg ( arctg 2 - arctg ) 2) cos( - arctg2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) sin (1,5 - arctg 3) 3) arcctg3 - arctg 2

Pentru teme, puteți oferi:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tg ( arcsin )); 4) sin (2 arctan); 5) tg ( ( arcsin ))

Lecția nr. 5 (2h) Tema: Operații trigonometrice inverse pe funcții trigonometrice.

Scop: pentru a forma înțelegerea de către studenți a operațiilor trigonometrice inverse pe funcții trigonometrice, concentrarea pe creșterea semnificației teoriei studiate.

Când studiem acest subiect, se presupune că cantitatea de material teoretic de memorat este limitată.

Material pentru lecție:

Puteți începe să învățați material nou examinând funcția y = arcsin (sin x) și trasând-o.

3. Fiecare x I R este asociat cu y I , i.e.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Funcția este impară: sin (-x) \u003d - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Graficul y = arcsin (sin x) pe:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y \u003d sin ( - x) \u003d sinx, 0<= - x <= .

Asa de,

După ce am construit y = arcsin (sin x) pe , continuăm simetric față de originea pe [- ; 0], ținând cont de ciudatenia acestei funcții. Folosind periodicitatea, continuăm către întreaga axă numerică.

Apoi notează câteva rapoarte: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos A ) = a dacă 0<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

Și faceți următoarele exerciții: a) arccos (sin 2).Răspuns: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6).Raspuns: - 0,1; c) arctg (tg 2).Raspuns: 2 -;

d) arcctg (tg 0,6).Raspuns: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)).Raspuns: 2 -; f) arcsin (sin (- 0,6)). Răspuns: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Raspuns: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Răspuns: - 0,6; - arctanx; e) arccos + arccos

Ce este arcsinus, arccosinus? Ce este arc tangentă, arc tangentă?

Atenţie!
Sunt suplimentare
materiale în Secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

La concepte arcsinus, arccosinus, arctangent, arccotangent populația studențească este precaută. El nu înțelege acești termeni și, prin urmare, nu are încredere în această familie glorioasă.) Dar în zadar. Acestea sunt concepte foarte simple. Care, apropo, fac viața mult mai ușoară pentru o persoană informată atunci când se decide ecuații trigonometrice!

Sunteți confuz în privința simplității? Degeaba.) Chiar aici și acum te vei convinge de asta.

Desigur, pentru înțelegere, ar fi bine de știut ce este sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. da ei valorile tabelului pentru unele unghiuri... Cel puţin în termenii cei mai generali. Atunci nici aici nu vor fi probleme.

Deci, suntem surprinși, dar amintiți-vă: arcsinus, arccosinus, arctangent și arctangent sunt doar câteva unghiuri. Nici mai mult nici mai puțin. Există un unghi, să zicem 30°. Și există un unghi arcsin0.4. Sau arctg(-1,3). Există tot felul de unghiuri.) Puteți scrie pur și simplu unghiuri în moduri diferite. Puteți scrie unghiul în termeni de grade sau radiani. Sau puteți - prin sinus, cosinus, tangentă și cotangentă...

Ce înseamnă expresia

arcsin 0,4?

Acesta este unghiul al cărui sinus este 0,4! Da Da. Acesta este sensul arcsinusului. Repet în mod specific: arcsin 0,4 este un unghi al cărui sinus este 0,4.

Si asta e.

Pentru a păstra acest gând simplu în capul meu pentru o lungă perioadă de timp, voi oferi chiar o defalcare a acestui termen teribil - arcsinus:

arc păcat 0,4
colţ, al cărui sinus este egal cu 0,4

Aşa cum este scris, aşa se aude.) Aproape. Consolă arc mijloace arc(cuvânt arcștii?), pentru că oamenii antici foloseau arcuri în loc de colțuri, dar acest lucru nu schimbă esența problemei. Amintiți-vă de această decodare elementară a unui termen matematic! Mai mult, pentru arc cosinus, arc tangentă și arc tangentă, decodificarea diferă doar prin numele funcției.

Ce este arccos 0.8?
Acesta este un unghi al cărui cosinus este 0,8.

Ce este arctan(-1,3)?
Acesta este un unghi a cărui tangentă este -1,3.

Ce este arcctg 12?
Acesta este un unghi a cărui cotangentă este 12.

O astfel de decodare elementară permite, de altfel, evitarea gafelor epice.) De exemplu, expresia arccos1,8 pare destul de solidă. Să începem decodarea: arccos1,8 este un unghi al cărui cosinus este egal cu 1,8... Hop-hop!? 1,8!? Cosinusul nu poate fi mai mare de unu!

Dreapta. Expresia arccos1,8 nu are sens. Și scrierea unei astfel de expresii într-un răspuns îl va amuza foarte mult pe verificator.)

Elementar, după cum puteți vedea.) Fiecare unghi are propriul sinus și cosinus personal. Și aproape fiecare are propria tangentă și cotangentă. Prin urmare, cunoscând funcția trigonometrică, puteți nota unghiul în sine. Pentru aceasta sunt destinate arcsinus, arccosinus, arctangente și arccotangente. În plus, voi numi întreaga familie un diminutiv - arcade. să tastați mai puțin.)

Atenţie! verbale elementare și conştient descifrarea arcadelor vă permite să rezolvați cu calm și încredere o varietate de sarcini. Si in neobișnuit sarcini doar ea le salvează.

Este posibil să treceți de la arcade la grade obișnuite sau radiani?- Aud o întrebare precaută.)

De ce nu!? Uşor. Puteți merge acolo și înapoi. Mai mult, uneori este necesar să faceți acest lucru. Arcurile sunt un lucru simplu, dar fără ele este oarecum mai calm, nu?)

De exemplu: ce este arcsin 0,5?

Să ne uităm la decriptare: arcsin 0,5 este unghiul al cărui sinus este 0,5. Acum porniți-vă capul (sau Google)) și amintiți-vă ce unghi are sinusul de 0,5? Sinusul este 0,5 y unghi de 30 de grade. Cam despre asta e: arcsin 0,5 este un unghi de 30°. Puteți scrie în siguranță:

arcsin 0,5 = 30°

Sau, mai solid, în termeni de radiani:

Gata, poți să uiți de arcsinus și să lucrezi cu grade sau radiani obișnuiți.

Daca ti-ai dat seama ce este arcsinus, arccosinus... Ce este arctangent, arccotangent... Atunci poți face față cu ușurință, de exemplu, unui astfel de monstru.)

O persoană ignorantă se va retrage îngrozită, da ...) Și un cunoscător amintiți-vă decriptarea: arcsinusul este unghiul al cărui sinus este ... Ei bine, și așa mai departe. Dacă știe și o persoană informată masa de sinus... masa de cosinus. Tabelul tangentelor și cotangentelor, atunci nu sunt probleme deloc!

Este suficient să luăm în considerare că:

voi descifra, i.e. traduceți formula în cuvinte: unghi a cărui tangentă este 1 (arctg1) este un unghi de 45°. Sau, ceea ce este același, Pi/4. În mod similar:

și asta-i tot... Înlocuim toate arcadele cu valori în radiani, totul se reduce, rămâne de calculat cât va fi 1 + 1. Va fi 2.) Care este răspunsul corect.

Acesta este modul în care puteți (și ar trebui) să treceți de la arcsinus, arccosinus, arctangente și arctangente la grade și radiani obișnuiți. Acest lucru simplifică foarte mult exemplele înfricoșătoare!

Adesea, în astfel de exemple, în interiorul arcadelor sunt negativ valorile. Ca, arctg(-1.3), sau, de exemplu, arccos(-0.8)... Asta nu este o problemă. Iată câteva formule simple pentru a trece de la negativ la pozitiv:

Trebuie, să zicem, să determinați valoarea unei expresii:

Puteți rezolva acest lucru folosind un cerc trigonometric, dar nu doriți să îl desenați. Ei bine, bine. Mergând de la negativ valorile din interiorul arcului cosinus la pozitiv conform celei de-a doua formule:

În interiorul arccosinusului din dreapta deja pozitiv sens. Ce

trebuie doar să știi. Rămâne să înlocuiți radianii în locul arcului cosinus și să calculați răspunsul:

Asta e tot.

Restricții privind arcsinus, arccosinus, arctangent, arccotangent.

Există o problemă cu exemplele 7 - 9? Ei bine, da, există un truc acolo.)

Toate aceste exemple, de la 1 la 9, sunt sortate cu grijă în rafturile din Secțiunea 555. Ce, cum și de ce. Cu toate capcanele și trucurile secrete. Plus modalități de a simplifica dramatic soluția. Apropo, această secțiune conține o mulțime de informații utile și sfaturi practice despre trigonometrie în general. Și nu numai în trigonometrie. Ajută mult.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Funcții trigonometrice inverse(funcții circulare, funcții arc) - funcții matematice care sunt inverse funcțiilor trigonometrice.

Acestea includ de obicei 6 funcții:

• arcsinus(simbol: arcsin x; arcsin x este unghiul păcat care este egal cu X),
• arccozină(simbol: arccos x; arccos x este unghiul al cărui cosinus este egal cu X si asa mai departe),
• arc tangentă(simbol: arctg x sau arctan x),
• arc tangentă(simbol: arcctg x sau arccot ​​​​x sau arccotan x),
• arcsecant(simbol: arcsec x),
• arccosecant(simbol: arccosec x sau arccsc x).

Arcsin (y = arcsin x) este funcția inversă păcat (x = siny . Cu alte cuvinte, returnează unghiul după valoarea sa păcat.

Arc cosinus (y = arccos x) este funcția inversă cos (x = cos y cos.

Arctangent (y = arctan x) este funcția inversă tg (x = tgy), care are un domeniu de definiție și un set de valori . Cu alte cuvinte, returnează unghiul după valoarea sa tg.

Arc tangentă (y = arcctg x) este funcția inversă ctg (x = ctg y), care are un domeniu de definiție și un set de valori. Cu alte cuvinte, returnează unghiul după valoarea sa ctg.

arcsec- arcsecant, returnează unghiul după valoarea secantei sale.

arccosec- arccosecant, returnează unghiul după valoarea cosecantei sale.

Când funcția trigonometrică inversă nu este definită în punctul specificat, atunci valoarea acesteia nu va apărea în tabelul rezultat. Funcții arcsecși arccosec nu sunt definite pe segmentul (-1,1), dar arc sinși arccos sunt definite numai pe intervalul [-1,1].

Numele funcției trigonometrice inverse se formează din numele funcției trigonometrice corespunzătoare prin adăugarea prefixului „ark-” (din lat. arc ne- arc). Acest lucru se datorează faptului că, din punct de vedere geometric, valoarea funcției trigonometrice inverse este asociată cu lungimea arcului unui cerc unitar (sau unghiului care subtinde acest arc), care corespunde unuia sau altuia segment.

Uneori, în literatura străină, precum și în calculatoarele științifice / de inginerie, folosesc notații precum păcat −1, cos -1 pentru arcsinus, arccosin și altele asemenea - acest lucru nu este considerat complet exact, deoarece probabil confuzie cu ridicarea unei funcții la o putere −1 (« −1 » (minus prima putere) definește funcția x=f-1(y), inversul funcției y=f(x)).

Relații de bază ale funcțiilor trigonometrice inverse.

Aici este important să fiți atenți la intervalele pentru care formulele sunt valabile.

Formule care raportează funcții trigonometrice inverse.

Notați oricare dintre valorile funcțiilor trigonometrice inverse prin Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot ​​​​xși păstrați notația: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot ​​​​x pentru valorile lor principale, atunci relația dintre ele este exprimată prin astfel de relații.