Material de matematică „teoreme despre unghiurile formate din coarde, tangente și secante”. Teoreme asupra unghiurilor formate din două drepte paralele

§ 1 Teorema inversă

În această lecție, vom afla care teoreme se numesc inverse, vom da exemple de teoreme inverse, vom formula teoreme despre unghiurile formate din două drepte paralele și o secantă și vom face cunoștință cu metoda demonstrării prin contradicție.

Când studiază diverse forme geometrice de obicei se formulează definițiile, se dovedesc teoremele și se iau în considerare consecințele teoremelor. Fiecare teoremă are două părți: o condiție și o concluzie.

Condiția unei teoreme este ceea ce este dat, iar concluzia este ceea ce trebuie demonstrat. Foarte des condiția unei teoreme începe cu cuvântul „dacă”, iar concluzia începe cu cuvântul „atunci”. De exemplu, teorema asupra proprietăților unui triunghi isoscel poate fi formulată astfel: „Dacă triunghiul este isoscel, atunci unghiurile de la baza lui sunt egale”. Prima parte a teoremei „Dacă triunghiul este isoscel” este condiția teoremei, a doua parte a teoremei „atunci unghiurile de la baza lui sunt egale” este concluzia teoremei.

O teoremă în care condiția și concluzia sunt schimbate se numește teoremă inversă. Teorema inversă cu teorema privind proprietățile unui triunghi isoscel va suna astfel: „Dacă două unghiuri dintr-un triunghi sunt egale, atunci un astfel de triunghi este isoscel”.

Să le scriem pe scurt pe fiecare dintre ele:

Vedem că condiția și concluzia sunt inversate.

Fiecare dintre aceste afirmații este adevărată.

Apare întrebarea: este întotdeauna adevărată afirmația, unde condiția se schimbă odată cu concluzia pe alocuri?

Luați în considerare un exemplu.

Dacă unghiurile sunt verticale, atunci ele sunt egale. Aceasta este o afirmație adevărată, are dovezi. Formulăm afirmația inversă: dacă unghiurile sunt egale, atunci ele sunt verticale. Această afirmație este incorectă, este ușor să verificăm acest lucru dând un exemplu dezmințitor: să luăm două unghiuri drepte (vezi figura), sunt egale, dar nu sunt verticale.

Astfel, aserțiunile (teoremele) inverse față de aserțiunile (teoremele) deja dovedite necesită întotdeauna dovezi.

§ 2 Teoreme asupra unghiurilor formate din două drepte paralele și o secantă

Să ne amintim acum afirmațiile dovedite - teoreme care exprimă semne de paralelism a două drepte, să formulăm teoremele inverse acestora și să ne asigurăm de validitatea lor dând dovezi.

Primul semn al dreptelor paralele.

Dacă la intersecția a două drepte cu o transversală, unghiurile de culcare sunt egale, atunci liniile sunt paralele.

Teorema inversă:

Dacă două drepte paralele sunt intersectate de o secantă, atunci unghiurile aflate peste ele sunt egale.

Să demonstrăm această afirmație.

Dat: dreptele paralele a și b sunt intersectate de secanta AB.

Demonstrați că unghiurile transversale 1 și 2 sunt egale. (vezi poza.)

Dovada:

Să presupunem că unghiurile 1 și 2 nu sunt egale.

Să lăsăm deoparte de grinda AB unghiul CAB egal cu unghiul 2, astfel încât unghiul CAB și unghiul 2 să fie unghiuri transversale situate la intersecția dreptelor CA și b cu secanta AB.

Prin construcție, aceste unghiuri transversale sunt egale, deci linia CA este paralelă cu linia b.

Am obținut că două drepte a și CA trec prin punctul A și sunt paralele cu dreapta b. Acest lucru contrazice axioma dreptelor paralele: printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, există doar o singură dreaptă paralelă cu dreapta dată.

Deci presupunerea noastră este greșită, unghiurile 1 și 2 sunt egale.

Teorema a fost demonstrată.

§ 3 Modalitatea probei prin contradicţie

Pentru a demonstra această teoremă, am folosit o metodă de raționament, care se numește metoda demonstrației prin contradicție. Începând cu demonstrarea, am presupus contrariul a ceea ce trebuia să fie demonstrat. Considerând că această presupunere este adevărată, prin raționament am ajuns la o contradicție cu axioma dreptelor paralele. Din aceasta am ajuns la concluzia că presupunerea noastră nu este adevărată, dar afirmația teoremei este adevărată. Această metodă de demonstrare este adesea folosită în matematică.

Luați în considerare o consecință a teoremei demonstrate.

Consecinţă:

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă.

Fie linia a paralelă cu dreapta b, dreapta c perpendiculară pe dreapta a, adică. unghi 1 = 90º.

Linia c intersectează linia a, deci linia c intersectează și linia b.

Când liniile paralele sunt intersectate de o secantă, unghiurile situate sunt egale, ceea ce înseamnă că unghiul 1 \u003d unghiul 2.

Deoarece unghiul 1 = 90º, atunci unghiul 2 = 90º, deci linia c este perpendiculară pe dreapta b.

Consecința este dovedită.

Teorema inversă pentru al doilea semn de paralelism al dreptelor:

Dacă două drepte paralele sunt intersectate de o secantă, atunci unghiurile corespunzătoare sunt egale.

Teorema inversă pentru al treilea semn de paralelism al dreptelor:

Dacă două drepte paralele sunt intersectate de o secantă, atunci suma unghiurilor unilaterale este de 180º.

Așadar, în această lecție, am aflat ce teoreme se numesc inverse, am formulat și considerate teoreme despre unghiurile formate din două drepte paralele și o secantă și ne-am familiarizat și cu metoda dovedirii prin contradicție.

Lista literaturii folosite:

Geometrie. Clasele 7-9: manual. pentru învăţământul general organizatii / L.S. Atanasyan, V.F. Butozov, S.B. Kadomtsev și alții - M .: Educație, 2013. - 383 p.: ill.
Gavrilova N.F. Dezvoltarea Pourochnye în geometrie Gradul 7. - M.: „WAKO”, 2004, 288s. - (Pentru a-l ajuta pe profesorul școlii).
Belitskaya O.V. Geometrie. clasa a 7-a. Partea 1. Teste. - Saratov: Liceu, 2014. - 64 p.

Rybalko Pavel

Această prezentare conține: 3 teoreme cu dovezi și 3 sarcini de consolidare a materialului studiat cu solutie detaliata. Prezentarea poate fi utilă profesorului în clasă, deoarece va economisi mult timp. De asemenea, poate fi folosit ca revizuire generalizantă la sfârșitul anului școlar.

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrări slide-uri:

Teoreme asupra unghiurilor formate din două drepte paralele și o secantă. Interpret: elevul 7 clasa "A" Rybalko Pavel Mytishchi, 2012

Teorema: Dacă două drepte paralele sunt intersectate de o secantă, atunci unghiurile încrucișate sunt egale. iar în A B 1 2  1 =  2 c

Demonstrație: A B C D M N 1 2 A B C D M N 1 2 K O Fie dreptele AB și CD paralele și MN secantele lor. Să demonstrăm că unghiurile transversale 1 și 2 sunt egale între ele. Să presupunem că  1 și  2 nu sunt egale. Să trasăm o dreaptă K F prin punctul O. Atunci în punctul O putem construi  KON , situat peste și egal cu  2. Dar dacă  KON =  2, atunci dreapta K F va fi paralelă cu CD. Am obținut că prin punctul O sunt trasate două drepte AB și K F, paralele cu dreapta CD. Dar asta nu poate fi. Am ajuns la o contradicție deoarece am presupus că  1 și  2 nu sunt egale. Prin urmare, presupunerea noastră este incorectă și  1 trebuie să fie egal cu  2, adică unghiurile transversale sunt egale. F

Teoremă: Dacă două drepte paralele sunt intersectate de o secantă, atunci unghiurile corespunzătoare sunt egale. iar în A B 1 2  1 =  2

Demonstrație: 2 a în AB B 3 1 Fie intersectate dreptele paralele a și b de secanta AB, atunci încrucișarea  1 și  3 vor fi egale.  2 și  3 sunt egale cu verticale. Din egalitățile  1 =  3 și  2 =  3 rezultă că  1 =  2. Se demonstrează teorema

Teoremă: Dacă două drepte paralele sunt intersectate de o secantă, atunci suma unghiurilor unilaterale este de 180°. iar în A B 3 1  1 +  3 = 180°

Demonstrație: Fie intersectate dreptele paralele a și b de secanta AB, atunci  1 și  2 corespunzătoare vor fi egale,  2 și  3 sunt adiacente, deci  2 +  3 = 180 °. Din egalitățile  1 =  2 și  2 +  3 = 180 ° rezultă că  1 +  3 = 180 °. Teorema a fost demonstrată. 2 a c A B 3 1

Rezolvare: 1. Fie Х  2, atunci  1 = (Х+70°), deoarece suma unghiurilor 1 si 2 = 180°, datorita faptului ca sunt adiacente. Să facem ecuația: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (Unghiul 2) To. sunt verticale.  3 =  5, deoarece se întind peste. 125°  5 =  7, deoarece sunt verticale.  2 =  4, deoarece sunt verticale.  4 =  6, deoarece se întind peste. 55°  6 =  8, deoarece sunt verticale. Problema #1: A B 4 3 5 8 7 2 1 6 Condiție: găsiți toate unghiurile formate prin intersecția a două paralele A și B cu o secanta C, dacă unul dintre unghiuri este cu 70° mai mare decât celălalt.

Soluție: 1. Pentru că  4 = 45°, apoi  2 = 45°, deoarece  2 =  4 (după cum este corespunzător) 2.  3 este adiacent cu  4, deci  3+  4=180° și rezultă că  3= 180° - 45°= 135°. 3.  1 =  3, deoarece se întind peste.  1 = 135°. Răspuns:  1=135°;  2=45°;  3=135°. Sarcina nr. 2: A B 1 Condiție: în figură, drepte A II B și C II D,  4=45°. Găsiți unghiurile 1, 2, 3. 3 2 4

Rezolvare: 1.  1=  2, deoarece sunt verticale, deci  2= 45°. 2.  3 este adiacent cu  2, deci  3+  2=180°, și rezultă că  3= 180° - 45°= 135°. 3.  4 +  3=180°, deoarece sunt unilaterale.  4 = 45°. Răspuns:  4=45°;  3=135°. Sarcina №3: A B 2 Condiție: două drepte paralele A și B sunt traversate de o secantă C. Aflați ce va fi egal cu  4 și  3, dacă  1=45°. 3 4 1

Teoreme despre unghiurile formate

Geometrie, Capitolul III, Clasa a VII-a

Către manualul de L.S. Atanasyan

profesor de matematică de cea mai înaltă categorie

MOU „Școala generală de bază Upshinsky”

Districtul Orsha din Republica Mari El

Teoremă inversă cu aceasta

Teorema: Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale .

Teorema: Dacă triunghiul este isoscel, atunci în el unghiurile de la bază sunt egale .

Condiția teoremei (dată): triunghi - isoscel

Concluzia teoremei (Demonstrați): unghiurile bazei sunt egale

Condiția teoremei : unghiurile bazei sunt egale

Concluzia teoremei : triunghi - isoscel

DECLARAȚIE NOUĂ

Verso

teorema

Dacă un triunghi are două unghiuri

sunt egale, atunci este isoscel .

Teoremă inversă cu aceasta

Este invers întotdeauna adevărat?

Teorema

Teorema inversă

Dacă suma a două unghiuri este 180 0 , atunci unghiurile sunt adiacente

Suma unghiurilor adiacente

este egal cu 180 0 .

Dacă unghiurile sunt egale,

atunci sunt verticale

Unghiurile verticale sunt egale

Dacă într-un triunghi bisectoarea trasată pe una dintre laturile sale este și mediana trasată pe această latură, atunci acest triunghi este isoscel

Într-un triunghi isoscel, bisectoarea trasată la bază este mediana și înălțimea

Dacă într-un triunghi bisectoarea trasată pe una dintre laturile sale este și înălțimea trasă pe această latură, atunci acest triunghi este isoscel

E Dacă triunghiul este isoscel, atunci bisectoarea este trasă la bază , este atât mediana cât și înălțimea

Unghiuri formate din două drepte paralele și o transversală

Este invers întotdeauna adevărat?

Teorema

Teorema inversă

Dacă Două linii paralele traversat de o secanta, apoi unghiurile transversale sunt egale

colțuri încrucișate egal Acea liniile sunt paralele .

Dar asta contrazice axiomă paralelă , deci presupunerea noastră este greșită.

DIN METODĂ

neplăcut

Facem o presupunere opusă a ceea ce trebuie să dovedim

Prin rationament, ajungem la o contradictie cu binecunoscuta axioma sau teorema

Concluzionăm că presupunerea noastră este greșită și afirmația teoremei este corectă

Dar asta contrazice axiomă paralelă

Prin urmare, presupunerea noastră este greșită.

Dacă două drepte paralele sunt intersectate de o secantă, atunci unghiurile care se intersectează sunt egale

CONSECINTA DIN TEOREMA

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă.

Colțurile formate

doua drepte paralele si o secanta

Teorema

Teorema inversă

Dacă la intersecţia a două drepte ale unei secante unghiurile corespunzătoare sunt egale , Acea liniile sunt paralele .

Dacă Două linii paralele traversat de o secanta, apoi unghiurile corespunzătoare sunt egale

Colțurile formate

doua drepte paralele si o secanta

Teorema

Teorema inversă

Dacă la intersecţia a două drepte ale unei secante 0 , Acea liniile sunt paralele .

Dacă Două linii paralele traversat de o secanta, apoi suma unghiurilor unilaterale este 180 0

Dreptele a și b sunt paralele.

Găsiți colțul 2.

Dreptele a și b sunt paralele.

Găsiți colțuri necunoscute

Dreptele a și b sunt paralele.

Găsiți colțuri necunoscute

Dreptele a și b sunt paralele. Găsiți unghiuri necunoscute dacă suma a două unghiuri diagonale este 100 0 .

Dreptele a și b sunt paralele. Găsiți unghiuri necunoscute dacă suma a două unghiuri corespunzătoare este 260 0 .

Dreptele a și b sunt paralele. Găsiți unghiuri necunoscute dacă diferența dintre două unghiuri unilaterale este 50 0 .

Lecția video despre teoreme ale unghiurilor dintre două drepte paralele și secantele acestora conține material care prezintă caracteristicile structurii teoremei, exemple de formare și demonstrare a teoremelor inverse și consecințele acestora. Sarcina acestei lecții video este de a aprofunda conceptul de teoremă, descompunându-l în componente, având în vedere conceptul de teoremă inversă, de a forma capacitatea de a construi o teoremă, inversul acesteia, consecințele teoremei, de a formează capacitatea de a dovedi afirmații.

Forma lecției video vă permite să plasați cu succes accente atunci când demonstrați materialul, facilitând înțelegerea și memorarea materialului. Tema acestei lecții video este complexă și importantă, așa că utilizarea unui ajutor vizual nu este doar recomandabilă, ci și de dorit. Oferă o oportunitate de a îmbunătăți calitatea educației. Efectele animate îmbunătățesc prezentarea materialului educațional, apropie procesul de învățare de cel tradițional, iar utilizarea video eliberează profesorul să aprofundeze munca individuală.

Tutorialul video începe cu anunțarea subiectului său. La începutul lecției, luăm în considerare descompunerea teoremei în componente pentru o mai bună înțelegere a structurii acesteia și oportunități de cercetare ulterioară. O diagramă este afișată pe ecran, care demonstrează că teorema constă din condițiile și concluziile lor. Conceptul de condiție și concluzie este descris prin exemplul semnului dreptelor paralele, observând că o parte a enunțului este condiția teoremei, iar concluzia este concluzia.

Aprofundând cunoștințele dobândite despre structura teoremei, elevilor li se oferă conceptul de teoremă inversă celei date. Se formează ca urmare a înlocuirii - condiția devine concluzia, concluzia - condiția. Pentru formarea capacității elevilor de a construi teoreme care sunt inverse datelor, capacitatea de a le demonstra, se consideră teoreme care sunt inverse celor discutate în lecția 25 despre semnele dreptelor paralele.

Ecranul afișează teorema inversă primei teoreme, care descrie caracteristica paralelă cu liniile. Schimbând condiția și concluzia, obținem afirmația că, dacă orice drepte paralele sunt intersectate de o secantă, atunci unghiurile situate formate în același timp vor fi egale. Dovada este prezentată în figură, care arată dreptele a, b, precum și secantele care trec prin aceste drepte în punctele lor M și N. Unghiurile de încrucișare ∠1 și ∠2 sunt marcate pe imagine. Este necesar să se dovedească egalitatea lor. În primul rând, în cursul demonstrației, se presupune că aceste unghiuri nu sunt egale. Pentru a face acest lucru, se trasează o anumită dreaptă P prin punctul M. Se construiește un unghi `∠PMN, care se află în cruce cu unghiul ∠2 față de MN. Unghiurile `∠PMN și ∠2 sunt egale prin construcție, deci MP║b. Concluzie - prin punct sunt trasate două linii drepte, paralele cu b. Totuși, acest lucru este imposibil, deoarece nu corespunde axiomei dreptelor paralele. Presupunerea făcută se dovedește a fi eronată, dovedind validitatea afirmației inițiale. Teorema a fost demonstrată.

În continuare, se atrage atenția studenților asupra metodei de probă care a fost folosită în cursul raționamentului. O demonstrație în care afirmația care se dovedește este considerată falsă se numește o demonstrație prin contradicție în geometrie. Această metodă este adesea folosită pentru a demonstra diferite afirmații geometrice. În acest caz, presupunând inegalitatea unghiurilor încrucișate, s-a dezvăluit în cursul raționamentului o contradicție, care neagă validitatea unei astfel de contradicții.

Studenților li se reamintește că o metodă similară a fost folosită anterior în dovezi. Un exemplu în acest sens este demonstrația teoremei din lecția 12 că două drepte care sunt perpendiculare pe o treime nu se intersectează, precum și dovezile consecințelor din lecția 28 a axiomei dreptelor paralele.

Un alt corolar demonstrabil afirmă că o dreaptă este perpendiculară pe ambele drepte paralele dacă este perpendiculară pe una dintre ele. Figura prezintă liniile a și b și o dreaptă c perpendiculară pe acestea. Perpendicularitatea dreptei c la a înseamnă că unghiul format cu aceasta este de 90 °. Paralelismul lui a și b, intersecția lor cu dreapta c înseamnă că linia c intersectează b. Unghiul ∠2, format cu dreapta b, se află peste unghiul ∠1. Deoarece dreptele sunt paralele, unghiurile date sunt egale. În consecință, valoarea unghiului ∠2 va fi, de asemenea, egală cu 90°. Aceasta înseamnă că linia c este perpendiculară pe dreapta b. Se demonstrează teorema considerată.

În continuare, demonstrăm teorema inversă celui de-al doilea criteriu pentru drepte paralele. Teorema inversă spune că dacă două drepte sunt paralele, unghiurile corespunzătoare formate vor fi egale. Dovada începe cu construcția unei secante c, drepte a și b paralele între ele. Colțurile create în acest fel sunt marcate în figură. Există o pereche de unghiuri corespunzătoare, numite ∠1 și ∠2, de asemenea etichetate este unghiul ∠3, care se află peste unghiul ∠1. Paralelismul lui a și b înseamnă egalitatea ∠3=∠1 ca fiind situată peste tot. Având în vedere că ∠3, ∠2 sunt verticale, ele sunt de asemenea egale. O consecință a unor astfel de egalități este afirmația că ∠1=∠2. Se demonstrează teorema considerată.

Ultima teoremă care trebuie demonstrată în această lecție este inversul ultimului criteriu pentru drepte paralele. Textul său spune că în cazul unei secante care trece prin drepte paralele, suma unghiurilor unilaterale formate în acest caz este egală cu 180 °. Progresul demonstrației este prezentat în figură, care arată dreptele a și b care se intersectează cu secanta c. Este necesar să se demonstreze că valoarea sumei unghiurilor unilaterale va fi egală cu 180°, adică ∠4+∠1 = 180°. Paralelismul dreptelor a și b implică egalitatea unghiurilor corespunzătoare ∠1 și ∠2. Adiacența unghiurilor ∠4, ∠2 înseamnă că ele însumează 180°. În acest caz, unghiurile ∠1= ∠2, ceea ce înseamnă că ∠1 în total cu unghiul ∠4 va fi de 180°. Teorema a fost demonstrată.

Pentru o înțelegere mai profundă a modului în care se formează și se demonstrează teoremele inverse, se remarcă separat că, dacă o teoremă este dovedită și adevărată, aceasta nu înseamnă că teorema inversă va fi și adevărată. Pentru a înțelege acest lucru, este dat un exemplu simplu. Există o teoremă conform căreia toate unghiurile verticale sunt egale. Teorema inversă sună ca și cum toate unghiurile egale sunt verticale, ceea ce nu este adevărat. La urma urmei, puteți construi două unghiuri egale care nu vor fi verticale. Acest lucru poate fi văzut în figura prezentată.

Lecția video „Teoreme despre unghiuri formate din două drepte paralele și o secantă” este un ajutor vizual care poate fi folosit de un profesor într-o lecție de geometrie, precum și pentru a forma cu succes o idee despre teoremele și consecințele inverse. , precum și dovada lor în autostudiul materialului, să fie utile în învățarea la distanță.