Materiál o matematike "vety o uhloch tvorených tetivami, dotyčnicami a sekansami". Vety o uhloch tvorených dvoma rovnobežnými priamkami
§ 1 Inverzná veta
V tejto lekcii zistíme, ktoré vety sa nazývajú inverzné, uvedieme príklady na inverzné vety, sformulujeme vety o uhloch, ktoré zvierajú dve rovnobežné priamky a sekantu, a zoznámime sa s metódou dokazovania kontradikciou.
Pri štúdiu rôznych geometrické tvary zvyčajne sa formulujú definície, dokazujú sa vety a zvažujú sa dôsledky z viet. Každá veta má dve časti: podmienku a záver.
Podmienkou vety je to, čo je dané, a záverom je to, čo treba dokázať. Podmienka vety sa veľmi často začína slovom „ak“ a záver začína slovom „potom“. Napríklad teorém o vlastnostiach rovnoramenného trojuholníka môže byť formulovaný takto: "Ak je trojuholník rovnoramenný, potom sú uhly na jeho základni rovnaké." Prvá časť vety „Ak je trojuholník rovnoramenný“ je podmienkou vety, druhá časť vety „potom sú uhly na jeho základni rovnaké“ je záverom vety.
Veta, kde sa podmienka a záver zamieňajú, sa nazýva inverzná veta. Obrátená veta k vete o vlastnostiach rovnoramenného trojuholníka bude znieť takto: "Ak sú dva uhly v trojuholníku rovnaké, potom je takýto trojuholník rovnoramenný."
Stručne si každú z nich napíšme:
Vidíme, že podmienka a záver sú obrátené.
Každé z týchto tvrdení je pravdivé.
Natíska sa otázka: je vždy pravdivé tvrdenie, kde sa podmienka miestami mení so záverom?
Zvážte príklad.
Ak sú uhly vertikálne, potom sú rovnaké. Toto je pravdivé tvrdenie, má dôkaz. Formulujeme opačné tvrdenie: ak sú uhly rovnaké, potom sú vertikálne. Toto tvrdenie je nesprávne, je ľahké si to overiť uvedením vyvracajúceho príkladu: zoberme dva pravé uhly (pozri obrázok), sú rovnaké, ale nie sú vertikálne.
Inverzné tvrdenia (vety) vzhľadom na už preukázané tvrdenia (vety) teda vždy vyžadujú dôkaz.
§ 2 Vety o uhloch tvorených dvoma rovnobežnými priamkami a sečnicou
Pripomeňme si teraz osvedčené tvrdenia – vety vyjadrujúce znaky rovnobežnosti dvoch priamok, formulujme vety k nim inverzné a presvedčte sa o ich platnosti podávaním dôkazov.
Prvý znak rovnobežných čiar.
Ak sú v priesečníku dvoch priamok priečne uhly rovnaké, potom sú priamky rovnobežné.
Inverzná veta:
Ak dve rovnobežné čiary pretína sečna, uhly ležiace naprieč sú rovnaké.
Dokážme toto tvrdenie.
Dané: rovnobežné priamky a a b pretína sečna AB.
Dokážte, že priečne uhly 1 a 2 sú rovnaké. (pozri obrázok.)
dôkaz:
Predpokladajme, že uhly 1 a 2 nie sú rovnaké.
Odložme od lúča AB uhol CAB rovný uhlu 2 tak, že uhol CAB a uhol 2 sú priečne ležiace uhly v priesečníku priamok CA a b sečnicou AB.
Podľa konštrukcie sú tieto priečne uhly rovnaké, takže priamka CA je rovnobežná s priamkou b.
Zistili sme, že dve priamky a a CA prechádzajú bodom A a sú rovnobežné s priamkou b. To je v rozpore s axiómou rovnobežiek: cez bod, ktorý neleží na danej priamke, vedie len jedna priamka rovnobežná s danou priamkou.
Takže náš predpoklad je nesprávny, uhly 1 a 2 sú rovnaké.
Veta je dokázaná.
§ 3 Spôsob dôkazu rozporom
Pri dokazovaní tejto vety sme použili metódu uvažovania, ktorá sa nazýva metóda dôkazu kontradikciou. Na začiatku dôkazu sme predpokladali opak toho, čo bolo potrebné dokázať. Ak považujeme tento predpoklad za pravdivý, uvažovaním sme sa dostali do rozporu s axiómou rovnobežiek. Z toho sme usúdili, že náš predpoklad nie je pravdivý, ale tvrdenie vety je pravdivé. Tento spôsob dokazovania sa často používa v matematike.
Zvážte dôsledok dokázanej vety.
Dôsledok:
Ak je čiara kolmá na jednu z dvoch rovnobežných čiar, potom je tiež kolmá na druhú.
Nech je priamka a rovnobežná s priamkou b, priamka c je kolmá na priamku a, t.j. uhol 1 = 90°.
Priamka c pretína priamku a, teda priamka c pretína aj priamku b.
Keď rovnobežné čiary pretína sečna, ležiace uhly sú rovnaké, čo znamená, že uhol 1 \u003d uhol 2.
Pretože uhol 1 = 90º, potom uhol 2 = 90º, čiara c je kolmá na čiaru b.
Dôsledok je dokázaný.
Inverzná veta pre druhé znamienko rovnobežnosti priamok:
Ak dve rovnobežné čiary pretína sečna, potom sú príslušné uhly rovnaké.
Inverzná veta pre tretie znamienko rovnobežnosti priamok:
Ak dve rovnobežné čiary pretína sečna, súčet jednostranných uhlov je 180º.
V tejto lekcii sme teda zistili, ktoré vety sa nazývajú inverzné, sformulovali a zvážili sme vety o uhloch tvorených dvoma rovnobežnými priamkami a sečnicou a tiež sme sa zoznámili s metódou dokazovania kontradikciou.
Zoznam použitej literatúry:
- Geometria. 7. – 9. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie organizácie / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev a ďalší - M .: Vzdelávanie, 2013. - 383 s.: chor.
- Gavrilová N.F. Pourochnye vývoj v geometrii 7. stupeň. - M.: "VAKO", 2004, 288s. - (Na pomoc učiteľovi školy).
- Belitskaya O.V. Geometria. 7. trieda. Časť 1. Testy. - Saratov: Lyceum, 2014. - 64 s.
Rybalko Pavel
Táto prezentácia obsahuje: 3 vety s dôkazmi a 3 úlohy na upevnenie naštudovaného materiálu podrobné riešenie. Prezentácia môže byť užitočná pre učiteľa v triede, pretože ušetrí veľa času. Môže sa použiť aj ako zovšeobecňujúce hodnotenie na konci školského roka.
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Vety o uhloch tvorených dvoma rovnobežnými priamkami a sečnicou. Účinkuje: študent 7. triedy „A“ Rybalko Pavel Mytishchi, 2012
Veta: Ak sú dve rovnobežné priamky pretínané sečnicou, potom sú uhly priečne ležiace rovnaké. a v A B 1 2 1 = 2 c
Dôkaz: A B C D M N 1 2 A B C D M N 1 2 K O Nech sú priamky AB a CD rovnobežné a MN je ich sečna. Dokážme, že priečne uhly 1 a 2 sú rovnaké. Predpokladajme, že 1 a 2 nie sú rovnaké. Nakreslite priamku K F cez bod O. Potom v bode O zostrojíme KON , ležiaci naprieč a rovný 2. Ak však KON = 2, potom bude priamka K F rovnobežná s CD. Dosiahli sme, že dve priamky AB a K F vedú cez bod O rovnobežne s priamkou CD. Ale to nemôže byť. Dospeli sme k rozporu, pretože sme predpokladali, že 1 a 2 nie sú rovnaké. Preto je náš predpoklad nesprávny a 1 sa musí rovnať 2, t.j. priečne uhly sú rovnaké. F
Veta: Ak dve rovnobežné priamky pretína sečna, potom sú príslušné uhly rovnaké. a v A B 1 2 1 = 2
Dôkaz: 2 a v AB B 3 1 Nech rovnobežky a a b pretína sečna AB, potom budú priečne ležiace 1 a 3 rovnaké. 2 a 3 sú rovnaké ako vertikálne. Z rovnosti 1 = 3 a 2 = 3 vyplýva, že 1 = 2. Veta je dokázaná
Veta: Ak dve rovnobežné priamky pretína sečna, potom súčet jednostranných uhlov je 180°. a v A B 3 1 1 + 3 = 180°
Dôkaz: Nech rovnobežky a a b pretína sečna AB, potom sa zodpovedajúce 1 a 2 budú rovnať, 2 a 3 susedia, teda 2 + 3 = 180 °. Z rovnosti 1 = 2 a 2 + 3 = 180 ° vyplýva, že 1 + 3 = 180 °. Veta je dokázaná. 2 a c A B 3 1
Riešenie: 1. Nech Х je 2, potom 1 = (Х+70°), pretože súčet uhlov 1 a 2 = 180°, vzhľadom k tomu, že spolu susedia. Zostavme rovnicu: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (uhol 2) k. sú vertikálne. 3 = 5, pretože ležia naprieč. 125° 5 = 7, pretože sú vertikálne. 2 = 4, pretože sú vertikálne. 4 = 6, pretože ležia naprieč. 55° 6 = 8, pretože sú vertikálne. Úloha č. 1: A B 4 3 5 8 7 2 1 6 Podmienka: nájdite všetky uhly, ktoré zviera priesečník dvoch rovnobežiek A a B sečna C, ak je jeden z uhlov o 70° väčší ako druhý.
Riešenie: 1. Pretože 4 = 45°, potom 2 = 45°, pretože 2 = 4 (ako zodpovedajúce) 2. 3 susedí s 4, takže 3+ 4=180°, a z toho vyplýva, že 3= 180° - 45°= 135°. 3. 1 = 3, pretože ležia naprieč. 1 = 135°. Odpoveď: 1=135°; 2 = 45°; 3 = 135°. Úloha č.2: A B 1 Podmienka: na obrázku priamky A II B a C II D, 4=45°. Nájdite uhly 1, 2, 3. 3 2 4
Riešenie: 1. 1= 2, pretože sú vertikálne, takže 2= 45°. 2. 3 susedí s 2, teda 3+ 2=180°, z čoho vyplýva, že 3= 180° - 45°= 135°. 3. 4 + 3=180°, pretože sú jednostranné. 4 = 45°. Odpoveď: 4=45°; 3 = 135°. Úloha č. 3: A B 2 Podmienka: dve rovnobežné priamky A a B pretína sečna C. Nájdite, čo sa bude rovnať 4 a 3, ak 1=45°. 3 4 1
Vety o vytvorených uhloch
Geometria, kapitola III, 7. ročník
K učebnici L.S.Atanasjana
učiteľ matematiky najvyššej kategórie
MOU "Základná komplexná škola Upshinsky"
Okres Orsha Republiky Mari El
Veta inverzná k tejto
Veta: V rovnoramennom trojuholníku sú uhly na základni rovnaké .
Veta: Ak je trojuholník rovnoramenný, potom sú v ňom uhly na základni rovnaké .
Podmienka vety (daná): trojuholník - rovnoramenný
Záver vety (dokázať): základné uhly sú rovnaké
Podmienka vety : základné uhly sú rovnaké
Záver vety : trojuholník - rovnoramenný
NOVÉ VYHLÁSENIE
Obrátené
teorém
Ak má trojuholník dva uhly
sú rovnaké, potom je rovnoramenné .
Veta inverzná k tejto
Je opak vždy pravdou?
Veta
Inverzná veta
Ak súčet dvoch uhlov je 180 0 , potom sú uhly priľahlé
Súčet susedných uhlov
rovná sa 180 0 .
Ak sú uhly rovnaké,
potom sú vertikálne
Vertikálne uhly sú rovnaké
Ak v trojuholníku je os nakreslená na jednu z jeho strán zároveň stredom nakresleným na túto stranu, potom je tento trojuholník rovnoramenný
V rovnoramennom trojuholníku je stred pripojená k základni stred a výška
Ak v trojuholníku je stred nakreslená na jednu z jeho strán zároveň výškou nakreslenou na túto stranu, potom je tento trojuholník rovnoramenný
E Ak je trojuholník rovnoramenný, potom je stred nakreslený k základni , je medián aj výška
Uhly tvorené dvoma rovnobežnými čiarami a priečnou
Je opak vždy pravdou?
Veta
Inverzná veta
Ak dva rovnobežné čiary prekrížené sečtom, teda priečne uhly sú rovnaké
prekrížené rohy rovný potom čiary sú rovnobežné .
Ale toto je v rozpore axióma paralelná , takže náš predpoklad je nesprávny.
Z METÓDY
škaredý
Robíme predpoklad opačný k tomu, čo potrebujeme dokázať
Úvahou sa dostávame do rozporu so známou axiómou alebo teorémou
Dospeli sme k záveru, že náš predpoklad je nesprávny a tvrdenie vety je správne
Ale toto je v rozpore axióma paralelná
Preto je náš predpoklad nesprávny.
Ak dve rovnobežné čiary pretína sečna, potom sú uhly pretínania rovnaké
DÔSLEDOK Z VETY
Ak je čiara kolmá na jednu z dvoch rovnobežných čiar, potom je tiež kolmá na druhú.
Vytvorili sa rohy
dve rovnobežné čiary a sečna
Veta
Inverzná veta
Ak je na priesečníku dvoch čiar sečnice zodpovedajúce uhly sú rovnaké , potom čiary sú rovnobežné .
Ak dva rovnobežné čiary prekrížené sečtom, teda zodpovedajúce uhly sú rovnaké
Vytvorili sa rohy
dve rovnobežné čiary a sečna
Veta
Inverzná veta
Ak je na priesečníku dvoch čiar sečnice 0 , potom čiary sú rovnobežné .
Ak dva rovnobežné čiary prekrížené sečtom, teda súčet jednostranných uhlov je 180 0
Priamky a a b sú rovnobežné.
Nájsť roh 2.
Priamky a a b sú rovnobežné.
Nájdite neznáme kúty
Priamky a a b sú rovnobežné.
Nájdite neznáme kúty
Nájdite neznáme kúty
Nájdite neznáme kúty
Nájdite neznáme kúty
Priamky a a b sú rovnobežné. Nájdite neznáme uhly, ak súčet dvoch diagonálnych uhlov je 100 0 .
Priamky a a b sú rovnobežné. Nájdite neznáme uhly, ak súčet dvoch zodpovedajúcich uhlov je 260 0 .
Priamky a a b sú rovnobežné. Nájdite neznáme uhly, ak rozdiel dvoch jednostranných uhlov je 50 0 .
Video lekcia o vetách o uhloch medzi dvoma rovnobežnými čiarami a ich sekansom obsahuje materiál, ktorý predstavuje vlastnosti štruktúry vety, príklady tvorby a dôkazu inverzných viet a dôsledky z nich. Úlohou tejto video lekcie je prehĺbiť koncepciu vety, rozložiť ju na zložky, zvážiť koncepciu inverznej vety, vytvoriť schopnosť zostaviť vetu, inverznú k tejto vete, dôsledky vety, tvoria schopnosť dokázať tvrdenia.
Forma video lekcie vám umožňuje úspešne umiestniť akcenty pri demonštrácii materiálu, čo uľahčuje pochopenie a zapamätanie materiálu. Téma tejto video lekcie je zložitá a dôležitá, preto je použitie vizuálnej pomôcky nielen vhodné, ale aj žiaduce. Poskytuje príležitosť na zlepšenie kvality vzdelávania. Animované efekty zlepšujú prezentáciu vzdelávacieho materiálu, približujú proces učenia sa tradičnému a použitie videa oslobodzuje učiteľa k prehĺbeniu individuálnej práce.
Videonávod začína oznámením jeho témy. Na začiatku hodiny uvažujeme o rozklade vety na zložky pre lepšie pochopenie jej štruktúry a možnosti ďalšieho výskumu. Na obrazovke sa zobrazí diagram, ktorý demonštruje, že veta pozostáva z ich podmienok a záverov. Koncept podmienky a záveru je opísaný na príklade znamienka rovnobežných priamok s tým, že súčasťou výroku je podmienka vety a záver je záver.
Prehĺbením získaných vedomostí o štruktúre vety sa študentom zadáva pojem veta inverzná k danej vete. Vzniká v dôsledku nahradenia - stav sa stáva záverom, záver - stav. Na formovanie schopnosti študentov vytvárať vety, ktoré sú inverzné k údajom, schopnosť ich dokázať, sa uvažujú vety, ktoré sú inverzné k tým, o ktorých sa hovorí v lekcii 25 o znamienkach rovnobežiek.
Na obrazovke sa zobrazí veta inverzná k prvej vete, ktorá popisuje vlastnosť rovnobežnú s priamkami. Zámenou podmienky a záveru získame tvrdenie, že ak akékoľvek rovnobežné priamky pretína sečna, potom ležiace uhly vytvorené v rovnakom čase budú rovnaké. Dôkaz je znázornený na obrázku, ktorý znázorňuje priamky a, b, ako aj sečnicu prechádzajúcu týmito priamkami v ich bodoch M a N. Na obrázku sú vyznačené uhly kríženia ∠1 a ∠2. Je potrebné preukázať ich rovnosť. Po prvé, v priebehu dôkazu sa predpokladá, že tieto uhly nie sú rovnaké. Za týmto účelom sa bodom M vedie určitá priamka P. Zostrojí sa uhol `∠PMN, ktorý leží priečne s uhlom ∠2 vzhľadom na MN. Uhly `∠PMN a ∠2 sú z hľadiska konštrukcie rovnaké, teda MP║b. Záver - bodom sú nakreslené dve priame čiary rovnobežné s b. To je však nemožné, pretože to nezodpovedá axióme rovnobežných čiar. Uvedený predpoklad sa ukazuje ako chybný, čo dokazuje platnosť pôvodného tvrdenia. Veta je dokázaná.
Ďalej je pozornosť študentov upriamená na metódu dokazovania, ktorá bola použitá v priebehu uvažovania. Dôkaz, v ktorom sa dokazované tvrdenie považuje za nepravdivé, sa v geometrii nazýva dôkaz rozporu. Táto metóda sa často používa na dokazovanie rôznych geometrických tvrdení. V tomto prípade, za predpokladu nerovnosti priečne ležiacich uhlov, sa v priebehu uvažovania odhalil rozpor, ktorý popiera platnosť takéhoto rozporu.
Študentom pripomíname, že podobná metóda sa už predtým používala pri dôkazoch. Príkladom toho je dôkaz vety v lekcii 12, že dve priamky, ktoré sú kolmé na tretiu, sa nepretínajú, ako aj dôkazy dôsledkov v lekcii 28 axiómy rovnobežiek.
Ďalší dokázateľný dôsledok hovorí, že priamka je kolmá na obe rovnobežné priamky, ak je kolmá na jednu z nich. Na obrázku sú znázornené priamky a a b a na ne kolmé priamky c. Kolmosť priamky c na a znamená, že uhol, ktorý s ňou zviera, je 90°. Rovnobežnosť a a b, ich priesečník s priamkou c znamená, že priamka c pretína b. Uhol ∠2, ktorý zviera priamka b, leží naprieč uhlom ∠1. Keďže čiary sú rovnobežné, dané uhly sú rovnaké. V súlade s tým bude hodnota uhla ∠2 tiež rovná 90°. To znamená, že priamka c je kolmá na priamku b. Uvažovaná veta je dokázaná.
Ďalej dokážeme vetu inverznú k druhému kritériu pre rovnobežky. Inverzná veta hovorí, že ak sú dve priamky rovnobežné, zodpovedajúce vytvorené uhly budú rovnaké. Dôkaz začína konštrukciou sečny c, priamky a a b navzájom rovnobežné. Takto vytvorené rohy sú vyznačené na obrázku. Existuje pár zodpovedajúcich uhlov s názvom ∠1 a ∠2, označený je aj uhol ∠3, ktorý leží naprieč uhlom ∠1. Rovnobežnosť aab znamená rovnosť ∠3=∠1 ležiacu naprieč. Vzhľadom na to, že ∠3, ∠2 sú vertikálne, sú tiež rovnaké. Dôsledkom takejto rovnosti je tvrdenie, že ∠1=∠2. Uvažovaná veta je dokázaná.
Posledná veta, ktorú treba v tejto lekcii dokázať, je inverzná hodnota posledného kritéria pre rovnobežky. Jeho text hovorí, že v prípade sečnice prechádzajúcej rovnobežnými čiarami sa súčet jednostranných uhlov vytvorených v tomto prípade rovná 180 °. Priebeh dôkazu je znázornený na obrázku, ktorý znázorňuje priamky a a b pretínajúce sa sečnicou c. Je potrebné dokázať, že hodnota súčtu jednostranných uhlov bude rovná 180°, teda ∠4+∠1 = 180°. Z rovnobežnosti priamok a a b vyplýva rovnosť zodpovedajúcich uhlov ∠1 a ∠2. Priľahlosť uhlov ∠4, ∠2 znamená, že ich súčet je 180°. V tomto prípade sú uhly ∠1= ∠2, čo znamená, že ∠1 spolu s uhlom ∠4 bude 180°. Veta je dokázaná.
Pre hlbšie pochopenie toho, ako sa tvoria a dokazujú konverzné vety, je osobitne potrebné poznamenať, že ak je veta dokázaná a pravdivá, neznamená to, že bude pravdivá aj konverzná veta. Aby sme to pochopili, uvádzame jednoduchý príklad. Existuje teorém, že všetky vertikálne uhly sú rovnaké. Inverzná veta znie, že všetky rovnaké uhly sú vertikálne, čo nie je pravda. Koniec koncov, môžete postaviť dva rovnaké uhly, ktoré nebudú vertikálne. To je možné vidieť na zobrazenom obrázku.
Video lekcia „Vety o uhloch tvorených dvoma rovnobežnými čiarami a sečtom“ je vizuálna pomôcka, ktorú môže učiteľ použiť na hodine geometrie, ako aj úspešne vytvoriť predstavu o inverzných vetách a dôsledkoch. , ako aj ich preukázanie pri samoštúdiu látky, byť užitočné pri diaľkovom vzdelávaní.
