Kvadratna funkcija oblike ax2 bx c. Predstavitev "Funkcija y=ax2, njen graf in lastnosti
Razmislite o izrazu v obliki ax 2 + in + c, kjer so a, b, c realna števila in se razlikujejo od nič. Ta matematični izraz je znan kot kvadratni trinom.
Spomnimo se, da je os 2 vodilni člen tega kvadratnega trinoma in je njegov vodilni koeficient.
Toda kvadratni trinom nima vedno vseh treh členov. Vzemimo za primer izraz 3x 2 + 2x, kjer je a=3, b=2, c=0.
Preidimo na kvadratno funkcijo y \u003d ax 2 + in + c, kjer so a, b, c poljubna števila. Ta funkcija je kvadratna, ker vsebuje člen druge stopnje, to je x na kvadrat.
Kvadratno funkcijo je precej enostavno narisati, lahko na primer uporabite metodo polnega kvadrata.
Razmislite o primeru risanja funkcije y, ki je enaka -3x 2 - 6x + 1.
Če želite to narediti, si morate najprej zapomniti shemo za poudarjanje polnega kvadrata v trinomu -3x 2 - 6x + 1.
Prvima dvema členoma v oklepajih izvzamemo -3. Imamo -3-kratnik vsote x na kvadrat plus 2x in dodamo 1. Če dodamo in odštejemo enoto v oklepajih, dobimo formulo za kvadrat vsote, ki jo lahko strnemo. Dobimo -3-kratnik vsote (x + 1) na kvadrat minus 1, dodamo 1. Če razširimo oklepaje in dodamo podobne člene, dobimo izraz: -3-kratnik kvadrata vsote (x + 1) prištejemo 4.
Zgradimo graf nastale funkcije tako, da gremo v pomožni koordinatni sistem z izhodiščem v točki s koordinatami (-1; 4).
Na sliki iz videa je ta sistem označen s pikčastimi črtami. Na konstruirani koordinatni sistem vežemo funkcijo y = -3x 2. Za udobje vzamemo kontrolne točke. Na primer (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). Hkrati jih v zgrajenem koordinatnem sistemu odložimo. Parabola, pridobljena med gradnjo, je graf, ki ga potrebujemo. Na sliki je to rdeča parabola.
Če uporabimo metodo izbire polnega kvadrata, dobimo kvadratno funkcijo oblike: y = a * (x + 1) 2 + m.
Graf parabole y \u003d ax 2 + bx + c je enostavno dobiti iz parabole y \u003d ax 2 z vzporednim prevajanjem. To potrjuje izrek, ki ga je mogoče dokazati tako, da vzamemo polni kvadrat binoma. Izraz ax 2 + bx + c se po zaporednih transformacijah spremeni v izraz oblike: a * (x + l) 2 + m. Narišimo graf. Izvedimo vzporedno gibanje parabole y \u003d os 2, ki združuje vrh s točko s koordinatami (-l; m). Pomembno je, da je x = -l, kar pomeni -b / 2a. Torej je ta premica os parabole ax 2 + bx + c, njeno vrh je v točki z absciso x, nič je enaka minus b deljeno z 2a, ordinata pa se izračuna z okorno formulo 4ac - b 2 /. Vendar te formule ni treba zapomniti. Ker z nadomestitvijo vrednosti abscise v funkcijo dobimo ordinato.
Za določitev enačbe osi, smeri njenih vej in koordinat vrha parabole upoštevajte naslednji primer.
Vzemimo funkcijo y \u003d -3x 2 - 6x + 1. Ko sestavimo enačbo za os parabole, imamo to x \u003d -1. In ta vrednost je x-koordinata vrha parabole. Ostaja najti samo ordinato. Če v funkcijo zamenjamo vrednost -1, dobimo 4. Vrh parabole je v točki (-1; 4).
Graf funkcije y \u003d -3x 2 - 6x + 1 smo dobili z vzporednim prenosom grafa funkcije y \u003d -3x 2, kar pomeni, da se obnaša podobno. Vodilni koeficient je negativen, zato so veje usmerjene navzdol.
Vidimo, da je za vsako funkcijo oblike y = ax 2 + bx + c najlažje vprašanje zadnje vprašanje, to je smer vej parabole. Če je koeficient a pozitiven, so veje navzgor, če je negativen, pa navzdol.
Naslednje najtežje vprašanje je prvo vprašanje, saj zahteva dodatne izračune.
In najtežji je drugi, saj je poleg izračunov potrebno tudi poznavanje formul, po katerih je x nič in y nič.
Narišimo funkcijo y \u003d 2x 2 - x + 1.
Takoj določimo - graf je parabola, veje so usmerjene navzgor, saj je vodilni koeficient 2 in to je pozitivno število. Po formuli ugotovimo, da je abscisa x enaka nič, enaka je 1,5. Če želite najti ordinato, se spomnite, da je nič enaka funkciji 1,5, pri izračunu dobimo -3,5.
Vrh - (1,5; -3,5). Os - x=1,5. Vzemite točki x=0 in x=3. y=1. Upoštevajte te točke. Na podlagi treh znanih točk zgradimo zahtevani graf.
Za risanje funkcije ax 2 + bx + c potrebujete:
Poiščite koordinate vrha parabole in jih označite na sliki, nato narišite os parabole;
Na os x vzemite dve točki, ki sta simetrični glede na os parabole, v teh točkah poiščite vrednost funkcije in ju označite na koordinatni ravnini;
Skozi tri točke sestavite parabolo, po potrebi lahko vzamete še nekaj točk in na njihovi podlagi zgradite graf.
V naslednjem primeru se bomo naučili poiskati največjo in najmanjšo vrednost funkcije -2x 2 + 8x - 5 na segmentu.
Po algoritmu: a \u003d -2, b \u003d 8, potem je x nič 2, nič y pa 3, (2; 3) je vrh parabole in x \u003d 2 je os.
Vzemimo vrednosti x=0 in x=4 in poiščemo ordinate teh točk. To je -5. Zgradimo parabolo in ugotovimo, da je najmanjša vrednost funkcije -5 pri x=0, največja pa 3 pri x=2.
Naloge o lastnostih in grafih kvadratne funkcije, kot kaže praksa, povzročajo resne težave. To je precej nenavadno, saj se kvadratna funkcija opravi v 8. razredu, nato pa celotno prvo četrtletje 9. razreda "mučijo" z lastnostmi parabole in gradijo njene grafe za različne parametre.
To je posledica dejstva, da prisili študente, da gradijo parabole, praktično ne posvečajo časa "branju" grafov, torej ne vadijo razumevanja informacij, prejetih s slike. Očitno se domneva, da bo pameten študent, ko je zgradil dva ducata grafov, sam odkril in oblikoval razmerje med koeficienti v formuli in videzom grafa. V praksi to ne deluje. Za takšno posploševanje so potrebne resne izkušnje z matematičnimi mini raziskavami, ki jih večina devetošolcev seveda nima. Medtem v GIA predlagajo določitev predznakov koeficientov natančno po urniku.
Od šolarjev ne bomo zahtevali nemogočega in preprosto ponudili enega od algoritmov za reševanje takšnih problemov.
Torej funkcija oblike y=ax2+bx+c imenujemo kvadratna, njen graf je parabola. Kot že ime pove, je glavna komponenta sekira 2. To je a ne sme biti enak nič, preostali koeficienti ( b in z) je lahko enako nič.
Poglejmo, kako predznaki njenih koeficientov vplivajo na videz parabole.
Najenostavnejša odvisnost za koeficient a. Večina šolarjev samozavestno odgovori: "če a> 0, potem so veje parabole usmerjene navzgor in če a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.
y = 0,5x2 - 3x + 1
V tem primeru a = 0,5
In zdaj za a < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
V tem primeru a = - 0,5
Vpliv koeficienta z tudi dovolj enostavno slediti. Predstavljajte si, da želimo najti vrednost funkcije v točki X= 0. Nadomestite ničlo v formulo:
l = a 0 2 + b 0 + c = c. Izkazalo se je, da y = c. To je z je ordinata presečišča parabole z osjo y. Praviloma je to točko enostavno najti na grafu. In ugotovite, ali leži nad ničlo ali pod. To je z> 0 oz z < 0.
z > 0:
y=x2+4x+3
z < 0
y = x 2 + 4x - 3
V skladu s tem, če z= 0, potem bo parabola nujno potekala skozi izvor:
y=x2+4x
Težje s parametrom b. Točka, po kateri jo bomo našli, ni odvisna samo od b ampak tudi iz a. To je vrh parabole. Njegova abscisa (koordinata osi X) najdemo s formulo x v \u003d - b / (2a). V to smer, b = - 2 ax in. To pomeni, da delujemo na naslednji način: na grafu najdemo vrh parabole, določimo znak njene abscise, torej pogledamo desno od ničle ( x v> 0) ali v levo ( x v < 0) она лежит.
Vendar to ni vse. Pozorni moramo biti tudi na predznak koeficienta a. To pomeni, da vidimo, kam so usmerjene veje parabole. In šele po tem, po formuli b = - 2 ax in določi znak b.
Razmislite o primeru:
Veje usmerjene navzgor a> 0, parabola prečka os pri pod ničlo pomeni z < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x v> 0. Torej b = - 2 ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: a > 0, b < 0, z < 0.
Predstavitev "Funkcija y=ax 2 , njen graf in lastnosti" je vizualni pripomoček, ki je bil ustvarjen za spremljavo učiteljeve razlage o tej temi. Ta predstavitev podrobno obravnava kvadratno funkcijo, njene lastnosti, značilnosti risanja, praktično uporabo metod, ki se uporabljajo za reševanje problemov v fiziki.
Z visoko stopnjo preglednosti bo to gradivo učitelju pomagalo povečati učinkovitost poučevanja, ponudilo bo priložnost za bolj racionalno razporeditev časa pri pouku. S pomočjo animacijskih učinkov, označevanja pojmov in pomembnih točk z barvo se pozornost učencev usmeri na predmet, ki ga preučujejo, doseže se boljše pomnjenje definicij in potek sklepanja pri reševanju problemov.
Predstavitev začnemo z uvodom v naslov predstavitve in pojem kvadratne funkcije. Poudarjen je pomen te teme. Učence povabimo, da si zapomnijo definicijo kvadratne funkcije kot funkcionalne odvisnosti oblike y=ax 2 +bx+c, v kateri je neodvisna spremenljivka in sta števili, medtem ko je a≠0. Ločeno je na diapozitivu 4 zapomniti, da je domena te funkcije celotna os realnih vrednosti. Običajno je ta izjava označena z D(x)=R.
Primer kvadratne funkcije je njena pomembna uporaba v fiziki – formula za odvisnost poti pri enakomerno pospešenem gibanju od časa. Vzporedno s poukom fizike učenci preučujejo formule za različne vrste gibanja, zato bodo potrebovali sposobnost reševanja takšnih problemov. Na diapozitivu 5 učence spomnimo, da ko se telo giblje pospešeno in na začetku referenčnega časa sta znani prevožena razdalja in hitrost gibanja, bo funkcionalna odvisnost, ki predstavlja takšno gibanje, izražena s formulo S=( pri 2)/2+v 0 t+S 0 . Sledi primer pretvorbe te formule v dano kvadratno funkcijo, če so vrednosti pospeška = 8, začetne hitrosti = 3 in začetne poti = 18. V tem primeru bo funkcija imela obliko S=4t 2 +3t+18.
Na diapozitivu 6 je obravnavana oblika kvadratne funkcije y=ax 2, v kateri je predstavljena na. Če je =1, ima kvadratna funkcija obliko y=x 2 . Opozoriti je treba, da bo graf te funkcije parabola.
Naslednji del predstavitve je namenjen izrisu grafa kvadratne funkcije. Predlaga se obravnava konstrukcije grafa funkcije y=3x 2 . Najprej tabela označuje ujemanje med vrednostmi funkcije in vrednostmi argumenta. Upoštevajte, da je razlika med izdelanim grafom funkcije y=3x 2 in grafom funkcije y=x 2 v tem, da bo vsaka njena vrednost trikrat večja od ustrezne. V tabelarnem pogledu je ta razlika dobro opazna. V bližini na grafičnem prikazu je jasno vidna tudi razlika v zožitvi parabole.
Naslednji diapozitiv prikazuje risanje kvadratne funkcije y=1/3 x 2. Za izgradnjo grafa je treba v tabeli navesti vrednosti funkcije na več njenih točkah. Upoštevajte, da je vsaka vrednost funkcije y=1/3 x 2 3-krat manjša od ustrezne vrednosti funkcije y=x 2 . Ta razlika je poleg tabele dobro vidna tudi na grafu. Njena parabola je bolj razširjena glede na os y kot parabola funkcije y=x 2 .
Primeri pomagajo razumeti splošno pravilo, po katerem lahko nato preprosteje in hitreje zgradite ustrezne grafe. Na diapozitivu 9 je poudarjeno ločeno pravilo, da je mogoče graf kvadratne funkcije y \u003d ax 2 narisati glede na vrednost koeficienta z raztezanjem ali zoženjem grafa. Če je a>1, je graf raztegnjen od osi x v časih. Če je 0 Ugotovitev o simetriji grafov funkcij y=ax 2 in y=-ax2 (pri ≠0) glede na abscisno os je posebej označena na diapozitivu 12 za pomnjenje in jasno prikazana na pripadajočem grafu. Nadalje se koncept grafa kvadratne funkcije y=x 2 razširi na bolj splošen primer funkcije y=ax 2 , pri čemer se trdi, da se bo tak graf imenoval tudi parabola. Diapozitiv 14 razpravlja o lastnostih kvadratne funkcije y=ax 2 za plus. Upoštevajte, da njen graf poteka skozi izhodišče in vse točke, razen leže v zgornji polravnini. Opažena je simetrija grafa glede na os y, ki določa, da nasprotne vrednosti argumenta ustrezajo enakim vrednostim funkcije. Navedeno je, da je interval padanja te funkcije (-∞;0], povečanje funkcije pa se izvaja na intervalu. Vrednosti te funkcije pokrivajo celoten pozitivni del realne osi, je v točki enaka nič in nima največje vrednosti. Diapozitiv 15 opisuje lastnosti funkcije y=ax 2, če je negativna. Opozoriti je treba, da njegov graf poteka tudi skozi izhodišče, vendar vse njegove točke, razen , ležijo v spodnji polravnini. Opažena je simetrija grafa glede na os, nasprotne vrednosti argumenta pa ustrezajo enakim vrednostim funkcije. Funkcija narašča na intervalu, pada na. Vrednosti te funkcije ležijo v intervalu, v točki je enaka nič in nima najmanjše vrednosti. Če povzamemo obravnavane značilnosti, diapozitiv 16 kaže, da so veje parabole usmerjene navzdol pri in navzgor pri. Parabola je simetrična glede na os, vrh parabole pa se nahaja v točki njenega presečišča z osjo. Parabola y=ax 2 ima oglišče - izhodišče. Tudi pomemben zaključek o transformacijah parabole je prikazan na diapozitivu 17. Predstavlja možnosti za transformacijo grafa kvadratne funkcije. Opozoriti je treba, da se graf funkcije y=ax 2 transformira s simetričnim prikazom grafa glede na os. Možno je tudi stisniti ali razširiti graf glede na os. Na zadnjem diapozitivu so posplošeni sklepi o transformacijah grafa funkcije. Predstavljeni so zaključki, da je graf funkcije dobljen s simetrično transformacijo okoli osi. In graf funkcije dobimo s stiskanjem ali raztezanjem prvotnega grafa z osi. V tem primeru se raztezanje od osi v času opazi v primeru, ko. S skrčenjem na os za 1/a-krat nastane graf v primeru. Predstavitev "Funkcija y=ax 2 , njen graf in lastnosti" lahko učitelj uporabi kot vizualni pripomoček pri pouku algebre. Poleg tega ta priročnik dobro pokriva temo in daje poglobljeno razumevanje predmeta, zato ga lahko študentje ponudijo v samostojno študijo. Tudi to gradivo bo pomagalo učitelju pri razlagi med poukom na daljavo. Povzetek učne ure algebre za 8. razred srednje šole Tema lekcije: Funkcija Namen lekcije: · Izobraževalni: opredeliti pojem kvadratne funkcije oblike (primerjati grafe funkcij in ), pokazati formulo za iskanje koordinat vrha parabole (naučiti se uporabiti to formulo v praksi); oblikovati sposobnost določanja lastnosti kvadratne funkcije iz grafa (iskanje simetrijske osi, koordinate vrha parabole, koordinate presečišča grafa s koordinatnimi osmi). · Poučna: razvoj matematičnega govora, sposobnost pravilnega, doslednega in racionalnega izražanja svojih misli; razvoj spretnosti pravilnega pisanja matematičnega besedila z uporabo simbolov in zapisov; razvoj analitičnega mišljenja; razvoj kognitivne dejavnosti študentov s sposobnostjo analize, sistematizacije in posploševanja gradiva. · Poučna: vzgoja neodvisnosti, sposobnost poslušanja drugih, oblikovanje natančnosti in pozornosti v pisnem matematičnem govoru. Vrsta lekcije: učenje nove snovi. Učne metode: generalizirano-reproduktivno, induktivno-hevristično. Zahteve za znanja in spretnosti študentov vedeti, kaj je kvadratna funkcija oblike, formulo za iskanje koordinat oglišča parabole; znati poiskati koordinate vrha parabole, koordinate presečišč grafa funkcije s koordinatnimi osemi, po grafu funkcije določiti lastnosti kvadratne funkcije. Oprema: Učni načrt I. Organizacijski trenutek (1-2 minuti) II. Posodobitev znanja (10 min) III. Predstavitev novega gradiva (15 min) IV. Utrjevanje nove snovi (12 min) V. Povzetek (3 min) VI. Domača naloga (2 min) Med poukom I. Organizacijski trenutek Pozdravljanje, preverjanje odsotnih, zbiranje zvezkov. II. Posodobitev znanja učiteljica: V današnji lekciji se bomo naučili nove teme: "Funkcija". Najprej pa poglejmo, kaj smo se do zdaj naučili. Prednja anketa: 1) Kaj imenujemo kvadratna funkcija? (Funkcija, kjer so dana realna števila, realna spremenljivka, se imenuje kvadratna funkcija.) 2) Kaj je graf kvadratne funkcije? (Graf kvadratne funkcije je parabola.) 3) Kaj so ničle kvadratne funkcije? (Ničle kvadratne funkcije so vrednosti, pri katerih izgine.) 4) Naštej lastnosti funkcije. (Vrednosti funkcije so pozitivne pri in enake nič pri ; graf funkcije je simetričen glede na ordinatne osi; pri funkcija se poveča, pri - zmanjša.) 5) Naštej lastnosti funkcije. (Če , potem funkcija zavzame pozitivne vrednosti za , če , potem funkcija zavzame negativne vrednosti za , vrednost funkcije je le 0; parabola je simetrična glede na ordinatno os; če , potem funkcija narašča za in pada za , če , potem funkcija narašča za , pada - pri .) III. Predstavitev novega gradiva učiteljica: Začnimo z učenjem nove snovi. Odprite zvezke, zapišite datum in temo lekcije. Bodite pozorni na tablo. pisanje na tablo: Številka. Funkcija . učiteljica: Na tabli vidite dva grafa funkcij. Prvi graf in drugi. Poskusimo jih primerjati. Poznaš lastnosti funkcije. Na njihovi podlagi in s primerjavo naših grafov lahko izpostavimo lastnosti funkcije. Torej, kaj mislite, kaj bo določilo smer vej parabole? Študenti: Smer vej obeh parabol bo odvisna od koeficienta . Učiteljica:Čisto prav. Opazite lahko tudi, da imata obe paraboli simetrijsko os. Kakšna je simetrijska os za prvi graf funkcije? Študenti: Za parabolo oblike je simetrijska os y-os. Učiteljica: Prav. Kakšna je simetrijska os parabole? Študenti: Simetrijska os parabole je premica, ki poteka skozi oglišče parabole, vzporedno z osjo y. učiteljica: Pravilno. Torej bomo simetrijsko os funkcijskega grafa imenovali premica, ki poteka skozi oglišče parabole, vzporedno z osjo y. In vrh parabole je točka s koordinatami. Določeni so po formuli: Formulo zapiši v zvezek in jo obkroži v kvadratku. Pisanje na tablo in v zvezke Koordinate vrha parabole. učiteljica: Zdaj, da bo bolj jasno, poglejmo primer. Primer 1: Poiščite koordinate vrha parabole Rešitev: Po formuli učiteljica: Kot smo že ugotovili, poteka simetrijska os skozi vrh parabole. Poglej mizo. Nariši to sliko v zvezek. Pisanje na tablo in v zvezke: Učiteljica: Na risbi: - enačba simetrijske osi parabole z vrhom v točki, kjer je abscisa vrha parabole. Razmislite o primeru. Primer 2: Iz grafa funkcije določi enačbo za simetrijsko os parabole. Enačba simetrijske osi ima obliko: , torej enačba simetrijske osi dane parabole. Odgovor: - enačba simetrijske osi. IV.Utrjevanje nove snovi učiteljica: Na tabli so naloge, ki jih je treba rešiti pri pouku. pisanje na tablo: № 609(3), 612(1), 613(3) Učiteljica: A najprej rešimo neučbeniški primer. Odločali se bomo na tabli. Primer 1: Poiščite koordinate vrha parabole Rešitev: Po formuli Odgovor: koordinate vrha parabole. Primer 2: Poiščite koordinate presečišč parabole Rešitev: 1) Z osjo: Tisti. Po Vietovem izreku: Presečišča z abscisno osjo (1;0) in (2;0). 2) Z osjo: Točka presečišča z osjo y (0;2). Odgovor: (1;0), (2;0), (0;2) so koordinate presečišč s koordinatnimi osemi.
.
s koordinatnimi osemi.
