Inverzne trigonometrične funkcije in njihovi grafi. Kaj je arcsin, arckosin? Kaj je ločna tangenta, ločna tangenta? Članek inverzne trigonometrične funkcije

V številnih matematičnih problemih in njenih aplikacijah je treba iz znane vrednosti trigonometrične funkcije najti ustrezno vrednost kota, izraženo v stopinjah ali radianih. Znano je, da enaka vrednost sinusa ustreza neskončnemu številu kotov, na primer, če je $\sin α=1/2,$ potem je lahko kot $α$ enak tako $30°$ kot $150°, $ ali v radianski meri $π /6$ in $5π/6,$ in kateri koli od kotov, pridobljenih iz teh z dodajanjem izraza v obliki $360°⋅k,$ oziroma $2πk,$, kjer je $k$ kateri koli celo število. To postane jasno, če upoštevamo graf funkcije $y=\sin x$ na celotni številski premici (glej sliko $1$): če na osi $Oy$ narišemo odsek dolžine $1/2$ in narišemo črta, vzporedna z osjo $Ox, $, potem bo sekala sinusoido v neskončnem številu točk. Da bi se izognili možni raznolikosti odgovorov, so uvedene inverzne trigonometrične funkcije, sicer imenovane krožne ali ločne funkcije (iz latinske besede arcus - "lok").

Štiri osnovne trigonometrične funkcije $\sin x,$ $\cos x,$ $\mathrm(tg)\,x$ in $\mathrm(ctg)\,x$ ustrezajo štirim ločnim funkcijam $\arcsin x,$ $\arccos x ,$ $\mathrm(arctg)\,x$ in $\mathrm(arcctg)\,x$ (beri: arksinus, arkkosinus, arktangent, arkkotangens). Razmislite o funkciji \arcsin x in \mathrm(arctg)\,x, saj sta drugi dve izraženi z njimi s formulami:

$\arccos x = \frac(π)(2) − \arcsin x,$ $\mathrm(arcctg)\,x = \frac(π)(2) − \mathrm(arctg)\,x.$

Enakost $y = \arcsin x$ po definiciji pomeni takšen kot $y,$, izražen v radianski meri in vključen v območje od $−\frac(π)(2)$ do $\frac(π)(2) ,$ sinus, ki je enak $x,$ t.j. $\sin y = x.$ Funkcija $\arcsin x$ je inverzna funkcija funkcije $\sin x,$, ki se obravnava na odseku $\left[−\ frac(π)(2),+\frac(π)(2)\right],$ kjer se ta funkcija monotono povečuje in prevzame vse vrednosti od $−1$ do $+1.$ Očitno je argument $y$ funkcije $\arcsin x$ lahko prevzame vrednosti samo iz segmenta $\left[−1,+1\right].$ Tako je funkcija $y=\arcsin x$ definirana na segmentu $\left[−1,+1\right],$ se monotono povečuje, njegove vrednosti pa zapolnjujejo segment $\left[−\frac(π)(2),+\frac(π)(2)\ desno].$ Izris funkcije je prikazan na sl. 2 $

Pod pogojem $−1 ≤ a ≤ 1$ predstavimo vse rešitve enačbe $\sin x = a$ kot $x=(−1)^n \arcsin a + πn,$ $n=0,±1 ,± 2, … .$ Na primer, če

$\sin x = \frac(\sqrt(2))(2)$, potem je $x = (−1)^n \frac(π)(4)+πn,$ $n = 0, ±1, ±2 , … .$

Relacija $y=\mathrm(arcctg)\,x$ je definirana za vse vrednosti $x$ in po definiciji pomeni, da je kot $y,$, izražen v radianski meri, znotraj

$−\frac(π)(2)

in tangenta tega kota je x, t.j. $\mathrm(tg)\,y = x.$ Funkcija $\mathrm(arctg)\,x$ je definirana na celotni realni premici, je inverzna funkcija funkcije $\mathrm(tg)\,x$, ki se upošteva samo na intervalu

$−\frac(π)(2)

Funkcija $y = \mathrm(arctg)\,x$ je monotono naraščajoča, njen graf je podan na sl. 3 $

Vse rešitve enačbe $\mathrm(tg)\,x = a$ lahko zapišemo kot $x=\mathrm(arctg)\,a+πn,$ $n=0,±1,±2,… .$

Upoštevajte, da se inverzne trigonometrične funkcije pogosto uporabljajo v matematični analizi. Na primer, ena prvih funkcij, za katere je bila pridobljena predstavitev neskončnega potenskega niza, je bila funkcija $\mathrm(arctg)\,x.$ poleg

Naloge, povezane z inverznimi trigonometričnimi funkcijami, se pogosto ponujajo na šolskih zaključnih izpitih in na sprejemnih izpitih na nekaterih univerzah. Natančen študij te tematike je mogoče doseči le pri obšolskem pouku ali pri izbirnih predmetih. Predlagani tečaj je zasnovan tako, da čim bolj razvije sposobnosti vsakega študenta, izboljša njegovo matematično usposobljenost.

Tečaj je zasnovan za 10 ur:

1. Funkcije arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 ure).

2. Operacije z inverznimi trigonometričnimi funkcijami (4 ure).

3. Inverzne trigonometrične operacije na trigonometričnih funkcijah (2 uri).

Lekcija 1 (2 uri) Tema: Funkcije y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Namen: popolna pokritost tega vprašanja.

1. Funkcija y \u003d arcsin x.

a) Za funkcijo y \u003d sin x na segmentu obstaja inverzna (enovrednostna) funkcija, za katero smo se dogovorili, da jo imenujemo arcsin in jo označimo na naslednji način: y = arcsin x. Graf inverzne funkcije je simetričen z grafom glavne funkcije glede na simetralo I - III koordinatnih kotov.

Lastnosti funkcije y = arcsin x .

1) Obseg definicije: segment [-1; ena];

2) Območje spremembe: rez;

3) Funkcija y = arcsin x liho: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Funkcija y = arcsin x se monotono povečuje;

5) Graf prečka osi Ox, Oy v izhodišču.

Primer 1. Poiščite a = arcsin . Ta primer je mogoče podrobno formulirati na naslednji način: poiščite tak argument a , ki leži v območju od do , katerega sinus je enak .

Rešitev. Obstaja nešteto argumentov, katerih sinus je, na primer: itd. Zanima pa nas le argument, ki je na intervalu. Ta argument bo. Torej, .

Primer 2. Najdi .Rešitev.Če argumentiramo na enak način kot v primeru 1, dobimo .

b) ustne vaje. Poiščite: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0 Primer odgovora: , Ker . Ali imajo izrazi smisel: ; arcsin 1,5; ?

c) Razporedi v naraščajočem vrstnem redu: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Funkcije y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (podobno).

Lekcija 2 (2 uri) Tema: Inverzne trigonometrične funkcije, njihovi grafi.

Namen: v tej lekciji je treba razviti veščine pri določanju vrednosti trigonometričnih funkcij, pri risanju inverznih trigonometričnih funkcij z uporabo D (y), E (y) in potrebnih transformacij.

V tej lekciji izvajajte vaje, ki vključujejo iskanje domene definicije, obsega funkcij tipa: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .

Treba je zgraditi grafe funkcij: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y \u003d arcsin;

d) y \u003d arcsin; e) y = arcsin; f) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Primer. Narišemo y = arccos

V domačo nalogo lahko vključite naslednje vaje: zgradite grafe funkcij: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Grafi inverznih funkcij

Lekcija #3 (2 uri) Tema:

Operacije nad inverznimi trigonometričnimi funkcijami.

Namen: razširiti matematično znanje (to je pomembno za kandidate na specialnostih s povečanimi zahtevami za matematično pripravo) z uvedbo osnovnih razmerij za inverzne trigonometrične funkcije.

Učno gradivo.

Nekaj ​​preprostih trigonometričnih operacij na inverznih trigonometričnih funkcijah: sin (arcsin x) \u003d x, i xi? ena; cos (arcos x) = x, i xi? ena; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

vaje.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctgx) = ; tg (arctgx) = .

b) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Naj bo arcsin 0,6 \u003d a, sin a \u003d 0,6;

cos(arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

Opomba: pred korenom vzamemo znak "+", ker a = arcsin x izpolnjuje .

c) sin (1,5 + arcsin) Odgovor:;

d) ctg ( + arctg 3). Odgovor: ;

e) tg (- arcctg 4). Odgovor: .

f) cos (0,5 + arccos) . Odgovor: .

Izračunaj:

a) greh (2 arktan 5) .

Naj bo arctg 5 = a, nato sin 2 a = ali sin(2 arktan 5) = ;

b) cos (+ 2 arcsin 0,8) Odgovor: 0,28.

c) arctg + arctg.

Naj bo a = arctg , b = arctg ,

potem tan(a + b) = .

d) greh (arcsin + arcsin).

e) Dokaži, da za vse x I [-1; 1] pravi arcsin x + arccos x = .

Dokaz:

arcsin x = - arccos x

greh (arcsin x) = sin (- arccos x)

x = cos (arccos x)

Za samostojno rešitev: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Za domačo rešitev: 1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg ( - arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 - arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 - arctg 3.

Lekcija št. 4 (2 uri) Tema: Operacije nad inverznimi trigonometričnimi funkcijami.

Namen: v tej lekciji prikazati uporabo razmerij pri preoblikovanju bolj zapletenih izrazov.

Učno gradivo.

USTNO:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arctg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arctg ());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

NAPISANO:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5 - arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg (- arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Neodvisno delo bo pomagalo določiti stopnjo asimilacije materiala

1) tg ( arctg 2 - arctg ) 2) cos( - arctg2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) greh (1,5 - arctg 3) 3) arcctg3 - arctg 2

Za domačo nalogo lahko ponudite:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) greh 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tg (arcsin)); 4) greh (2 arktan); 5) tg ( (arcsin))

Lekcija št. 5 (2h) Tema: Inverzne trigonometrične operacije na trigonometrične funkcije.

Namen: oblikovati razumevanje učencev o inverznih trigonometričnih operacijah nad trigonometričnimi funkcijami, osredotočiti se na povečanje smiselnosti teorije, ki se preučuje.

Pri preučevanju te teme se domneva, da je količina teoretičnega gradiva, ki si ga je treba zapomniti, omejena.

Material za lekcijo:

Učenje nove snovi lahko začnete tako, da preučite funkcijo y = arcsin (sin x) in jo narišete.

3. Vsak x I R je povezan z y I , t.j.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Funkcija je liha: sin (-x) \u003d - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Graf y = arcsin (sin x) na:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( - x) = sinx, 0<= - x <= .

torej

Ko zgradimo y = arcsin (sin x) na , nadaljujemo simetrično glede izvora na [-; 0], ob upoštevanju nenavadnosti te funkcije. Z uporabo periodičnosti nadaljujemo na celotno številčno os.

Nato zapišite nekaj razmerij: arcsin (sin a) = a če<= a <= ; arccos (cos a ) = a, če je 0<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

In naredite naslednje vaje: a) arccos (sin 2) Odgovor: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6) Odgovor: - 0,1; c) arctg (tg 2) Odgovor: 2 -;

d) arcctg (tg 0,6) Odgovor: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)). Odgovor: 2 -; f) arcsin (sin (- 0,6)). Odgovor: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Odgovor: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Odgovor: - 0,6; - arktanks; e) arccos + arccos

Kaj je arcsin, arckosin? Kaj je ločna tangenta, ločna tangenta?

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v Posebni oddelek 555.
Za tiste, ki močno "ni zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Do konceptov arksinus, arkkosinus, arktangens, arkkotangens študentska populacija je previdna. Teh izrazov ne razume in zato tej slavni družini ne zaupa.) Toda zaman. To so zelo preprosti koncepti. Kar, mimogrede, razgledanemu človeku pri odločanju precej olajša življenje trigonometrične enačbe!

Ste zmedeni glede preprostosti? Zaman.) Prav tukaj in zdaj se boste o tem prepričali.

Seveda bi bilo za razumevanje lepo vedeti kaj je sinus, kosinus, tangent in kotangens. ja njih vrednosti tabele za nekatere kote... Vsaj v najbolj splošnem smislu. Potem tudi tukaj ne bo težav.

Torej smo presenečeni, a ne pozabite: arksinus, arkkosinus, arktangent in arktangent so le nekateri koti. Nič več, nič manj. Obstaja kot, recimo 30°. In obstaja kot arcsin0.4. ali arctg(-1,3). Obstajajo vse vrste kotov.) Kote lahko preprosto zapišete na različne načine. Kot lahko zapišete v smislu stopinj ali radianov. Lahko pa - skozi sinus, kosinus, tangento in kotangens ...

Kaj pomeni izraz

arcsin 0,4?

To je kot, katerega sinus je 0,4! Da, da. To je pomen arcsina. Posebej ponavljam: arcsin 0,4 je kot, katerega sinus je 0,4.

In to je to.

Da bi to preprosto misel še dolgo obdržala v glavi, bom celo razčlenila ta grozni izraz - arcsin:

lok greh 0,4
kotiček, čigav sinus enako 0,4

Kakor se piše, tako se sliši.) Skoraj. Konzola lok pomeni lok(beseda arh veš?), ker starodavni ljudje so namesto vogalov uporabljali loke, vendar to ne spremeni bistva zadeve. Zapomnite si to osnovno dekodiranje matematičnega izraza! Poleg tega se za lok kosinus, ločni tangent in arc tangento dekodiranje razlikuje le v imenu funkcije.

Kaj je arccos 0.8?
To je kot, katerega kosinus je 0,8.

Kaj je arktan (-1,3)?
To je kot, katerega tangenta je -1,3.

Kaj je arcctg 12?
To je kot, katerega kotangens je 12.

Tako osnovno dekodiranje mimogrede omogoča, da se izognemo epskim napakam.) Na primer, izraz arccos1,8 je videti precej soliden. Začnimo z dekodiranjem: arccos1,8 je kot, katerega kosinus je enak 1,8... Hop-hop!? 1.8!? Kosinus ne more biti večji od ena!

Prav. Izraz arccos1,8 nima smisla. In pisanje takšnega izraza v nekem odgovoru bo zelo zabavalo preveritelja.)

Elementarno, kot lahko vidite.) Vsak kot ima svoj osebni sinus in kosinus. In skoraj vsak ima svojo tangento in kotangens. Zato, če poznate trigonometrično funkcijo, lahko zapišete sam kot. Za to so namenjeni arksinusi, arkkosinusi, arktangenti in arkkotangenti. Nadalje bom vso to družino imenoval pomanjševalnica - loki. da manj tipkam.)

Pozor! Osnovna besedna in zavestno dešifriranje lokov vam omogoča mirno in samozavestno reševanje različnih nalog. In v nenavadno naloge, ki jih reši samo ona.

Ali je mogoče preklopiti z lokov na navadne stopinje ali radiane?- Slišim previdno vprašanje.)

Zakaj ne!? Z lahkoto. Lahko greste tja in nazaj. Poleg tega je včasih treba to storiti. Loki so preprosta stvar, a brez njih je nekako bolj umirjeno, kajne?)

Na primer: kaj je arcsin 0,5?

Poglejmo si dešifriranje: arcsin 0,5 je kot, katerega sinus je 0,5. Zdaj vklopite glavo (ali Google)) in se spomnite, kateri kot ima sinus 0,5? Sinus je 0,5 y kot 30 stopinj. To je vse, kar je na tem: arcsin 0,5 je kot 30°. Lahko varno napišete:

arcsin 0,5 = 30°

Ali bolj trdno, glede na radiane:

To je to, lahko pozabite na arcsin in delate z običajnimi stopinjami ali radiani.

Če ste spoznali kaj je arksinus, arkosinus ... Kaj je arktangens, arkkotangens ... Potem se lahko zlahka spopadete s takšno pošastjo.)

Nevedna oseba se bo od groze umaknila, ja ...) In poznavalec zapomni si dešifriranje: arcsin je kot, katerega sinus je ... No, in tako naprej. Če vešč tudi ve tabela sinusov ... kosinusna tabela. Tabela tangent in kotangens, potem sploh ni težav!

Dovolj je upoštevati, da:

Bom dešifriral, tj. prevedite formulo v besede: kot, katerega tangenta je 1 (arctg1) je kot 45°. Ali, kar je enako, Pi/4. Podobno:

in to je vse ... Vse loke zamenjamo z vrednostmi v radianih, vse se zmanjša, ostalo je izračunati, koliko bo 1 + 1. To bo 2.) Kar je pravilen odgovor.

Tako se lahko (in bi morali) premikati od arksinusov, arkkosinusov, arktangentov in arktangentov na navadne stopinje in radiane. To močno poenostavi strašljive primere!

Pogosto so v takšnih primerih znotraj lokov negativno vrednote. Kot, arctg(-1.3), ali, na primer, arccos(-0.8) ... To ni problem. Tukaj je nekaj preprostih formul za prehod iz negativnega v pozitivno:

Morate, recimo, določiti vrednost izraza:

To lahko rešite s trigonometričnim krogom, vendar ga ne želite risati. No, v redu. Izhajajoč iz negativno vrednosti znotraj loka kosinusa do pozitivno po drugi formuli:

Že znotraj arkosinusa na desni pozitivno pomen. Kaj

samo vedeti moraš. Še vedno je treba nadomestiti radiane namesto ločnega kosinusa in izračunati odgovor:

To je vse.

Omejitve za arcsin, arkosinus, arktangens, arkkotangens.

Ali obstaja težava s primeri 7 - 9? No, ja, tam je nekaj trika.)

Vsi ti primerki, od 1. do 9., so skrbno razvrščeni po policah 555. člen. Kaj, kako in zakaj. Z vsemi skrivnimi pastmi in zvijači. Plus načini za dramatično poenostavitev rešitve. Mimogrede, ta razdelek vsebuje veliko koristnih informacij in praktičnih nasvetov o trigonometriji na splošno. Pa ne samo v trigonometriji. Pomaga veliko.

Če vam je to spletno mesto všeč...

Mimogrede, imam za vas še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učenje - z zanimanjem!)

lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Inverzne trigonometrične funkcije(krožne funkcije, ločne funkcije) - matematične funkcije, ki so inverzne trigonometričnim funkcijam.

Ti običajno vključujejo 6 funkcij:

• arcsin(simbol: arcsin x; arcsin x je kot greh kar je enako x),
• arkosinus(simbol: arccos x; arccos x je kot, kateremu je kosinus enak x in tako naprej),
• ločna tangenta(simbol: arctg x oz arktan x),
• ločna tangenta(simbol: arcctg x oz arccot ​​x oz arccotan x),
• arcsecant(simbol: arcsec x),
• arccosecan(simbol: arccosec x oz arccsc x).

Arcsinus (y = arcsin x) je inverzna funkcija za greh (x = sin . Z drugimi besedami, vrne kot po njegovi vrednosti greh.

Ark kosinus (y = arccos x) je inverzna funkcija za cos (x = cos y cos.

Arktangent (y = arktan x) je inverzna funkcija za tg (x = tgy), ki ima domeno definicije in niz vrednosti . Z drugimi besedami, vrne kot po njegovi vrednosti tg.

Arc tangenta (y = arcctg x) je inverzna funkcija za ctg (x = ctg y), ki ima domeno definicije in niz vrednosti. Z drugimi besedami, vrne kot po njegovi vrednosti ctg.

arcsec- arcsecant, vrne kot za vrednost njegovega sekansa.

arccosec- arccosecan, vrne kot za vrednost njegovega kosekansa.

Če inverzna trigonometrična funkcija ni definirana na določeni točki, potem njena vrednost ne bo prikazana v končni tabeli. Funkcije arcsec in arccosec niso definirani na odseku (-1,1), ampak lok greh in arccos so definirane samo na intervalu [-1,1].

Ime inverzne trigonometrične funkcije je sestavljeno iz imena ustrezne trigonometrične funkcije z dodajanjem predpone "ark-" (iz lat. lok nas- lok). To je posledica dejstva, da je geometrijsko vrednost inverzne trigonometrične funkcije povezana z dolžino loka enotnega kroga (ali kota, ki nagiba ta lok), ki ustreza enemu ali drugemu segmentu.

Včasih v tuji literaturi, pa tudi v znanstvenih / inženirskih kalkulatorjih, uporabljajo zapise, kot so greh −1, cos -1 za arcsin, arkosinus in podobno - to velja za ne povsem natančno, ker verjetna zmeda z dvigom funkcije na potenco −1 (« −1 » (minus prva moč) definira funkcijo x=f-1(y), obratno funkciji y=f(x)).

Osnovne relacije inverznih trigonometričnih funkcij.

Pri tem je pomembno biti pozoren na intervale, za katere veljajo formule.

Formule, ki se nanašajo na inverzne trigonometrične funkcije.

Označi katero koli vrednost inverznih trigonometričnih funkcij skozi Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot ​​x in obdrži zapis: arcsin x, arcos x, arktan x, arccot ​​x za njihove glavne vrednote, potem se odnos med njimi izraža s takšnimi odnosi.