Zgradite 4 čudovite trikotne točke. Raziskovalno delo "Izjemne točke trikotnika

Prva dva izreka sta vam dobro znana, druga dva bomo dokazali.

Izrek 1

Tri simetrale trikotnika sekajo v eni točki, kar je središče vpisanega kroga.

Dokaz

temelji na dejstvu, da je simetrala kota lokus točk, ki so enako oddaljene od stranic kota.

2. izrek

Tri pravokotne simetrale na stranice trikotnika se sekajo v eni točki, ki je središče opisanega kroga.

Dokaz

temelji na dejstvu, da je pravokotna simetrala odseka geografsko mesto točk, enako oddaljenih od koncev tega segmenta.

3. izrek

Tri višine ali tri ravne, na katerem ležijo višine trikotnika, sekajo v eni točki. Ta točka se imenuje ortocenter trikotnik.

Dokaz

Skozi oglišča trikotnika `ABC` potegnemo ravne črte, vzporedne z nasprotnimi stranicami.

Na križišču nastane trikotnik `A_1 B_1 C_1`.

Po konstrukciji je `ABA_1C` paralelogram, torej `BA_1 = AC`. Podobno je ugotovljeno, da je "C_1B = AC", torej "C_1B = AC", točka "B" je sredina segmenta "C_1A_1".
Na popolnoma enak način je "C" sredina "B_1A_1" in "A" sredina "B_1 C_1".
Naj bo `BN` višina trikotnika `ABC`, potem je za odsek `A_1 C_1` premica `BN` pravokotna simetrala. Iz tega sledi, da so tri premice, na katerih ležijo višine trikotnika `ABC`, pravokotne simetrale treh stranic trikotnika `A_1B_1C_1`; in take pravokotnice sekajo v eni točki (izrek 2).
Če je trikotnik ostrokoten, potem je vsaka od višin segment, ki povezuje oglišče in neko točko na nasprotni strani. V tem primeru točki `B` in `N` ležita v različnih polravninah, ki jih tvori premica `AM`, kar pomeni, da segment `BN` seka premico `AM`, točka presečišča leži na višini `BN`, torej leži znotraj trikotnika.
V pravokotnem trikotniku je točka presečišča višin oglišče pravega kota.

4. izrek

Tri mediane trikotnika sekajo na eni točki in delijo presečišče v razmerju "2:1", štetje od vrha. Ta točka se imenuje težišče (ali središče mase) trikotnika.
Obstajajo različni dokazi tega izreka. Tukaj je ena, ki temelji na Thalesovem izreku.

Dokaz

Naj bodo `E`, `D` in `F` središča stranic `AB`, `BC` in `AC` trikotnika `ABC`.

Nariši mediano `AD` in skozi točki `E` in `F` vzporedno njena neposredna `EK` in `FL`. Po Thalesovem izreku sta `BK = KD` `(/_ABC`, E K ‖ A D) EK\|AD) in `DL = LC` `(/_ACB`, A D ‖ F L) AD\| FL). Toda "BD = DC = a//2", torej "BK = KD = DL = LC = a//4". Po istem izreku `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| MD\| FL), torej "BM = 2MF".

To pomeni, da se mediana 'BF' na točki 'M' presečišča z mediano 'AD' razdeli v razmerju '2:1', šteto od vrha.

Dokažimo, da je mediana `AD` v točki `M` deljena v enakem razmerju. Utemeljitev je podobna.

Če upoštevamo mediani `BF` in `CE`, potem lahko pokažemo tudi, da se sekata na točki, kjer se mediana `BF` deli v razmerju `2:1`, torej na isti točki `M`. Do te točke bo tudi mediana 'CE' razdeljena v razmerju '2:1', štetje od vrha.

© Kugusheva Natalya Lvovna, 2009 Geometrija, 8. razred TRIKOTNIKI ŠTIRI IZJEMNE TOČKE

Presečišče median trikotnika Presečišče simetral trikotnika Presečišče višin trikotnika Presečišče pravokotnih simetral trikotnika

Mediana (BD) trikotnika je odsek, ki povezuje vrh trikotnika s središčem nasprotne strani. A B C D Mediana

Mediane trikotnika se sekajo v eni točki (težišče trikotnika) in so deljene s to točko v razmerju 2: 1, štetje od vrha. AM:MA 1 = VM:MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1

Simetrala (A D) trikotnika je odsek simetrale notranjega kota trikotnika.

Vsaka točka simetrale razgrnjenega kota je enako oddaljena od njegovih stranic. Nasprotno pa vsaka točka, ki leži znotraj kota in je enako oddaljena od stranic kota, leži na njegovi simetrali. A M B C

Vse simetrale trikotnika se sekajo v eni točki - središču kroga, vpisanega v trikotnik. C B 1 M A B A 1 C 1 O Polmer kroga (OM) je pravokotnica, spuščena iz središča (t.O) na stran trikotnika

VIŠINA Višina (C D) trikotnika je odsek navpičnice, spuščen z vrha trikotnika na premico, ki vsebuje nasprotno stran. A B C D

Višine trikotnika (ali njihovih podaljškov) se v eni točki sekajo. A A 1 B B 1 C C 1

SREDNJA PRAVIKA Pravica simetrala (DF) je premica, ki je pravokotna na stranico trikotnika in jo deli na polovico. A D F B C

A M B m O Vsaka točka pravokotne simetrale (m) na odsek je enako oddaljena od koncev tega segmenta. Nasprotno pa vsaka točka, ki je enako oddaljena od koncev segmenta, leži na pravokotni simetrali nanjo.

Vse pravokotne simetrale stranic trikotnika se sekajo v eni točki - središču kroga, opisanega okoli trikotnika. A B C O Polmer opisanega kroga je razdalja od središča kroga do katerega koli oglišča trikotnika (OA). m n str

Naloge učencev S šestilom in ravnilo sestavite krog, vpisan v tupokotnik. Če želite to narediti: S šestilom in ravnilo sestavite simetrale tupokotnega trikotnika. Presečišče simetral je središče kroga. Konstruiraj polmer kroga: pravokotnico iz središča kroga na stran trikotnika. Sestavite krog, vpisan v trikotnik.

2. S šestilom in ravnilo sestavimo krog, ki obkroža tupi trikotnik. Če želite to narediti: Konstruirajte pravokotne simetrale na stranice tupokotnega trikotnika. Točka presečišča teh pravokotnic je središče opisanega kroga. Polmer kroga je razdalja od središča do katerega koli oglišča trikotnika. Sestavite krog, ki opisuje trikotnik.

Ministrstvo za splošno in poklicno izobraževanje regije Sverdlovsk.

MOUO Jekaterinburg.

Izobraževalna ustanova - MOUSOSH št. 212 "Jekaterinburški kulturni licej"

Izobraževalno področje - matematika.

Predmet je geometrija.

Izjemne točke trikotnika

Referenca: učenec 8. razreda

Selitsky Dmitrij Konstantinovič.

znanstveni svetovalec:

Rabkanov Sergej Petrovič.

Jekaterinburg, 2001

Uvod 3

Opisni del:

    Ortocenter 4

    Icenter 5

    Težišče 7

    Središče opisanega kroga 8

    Eulerjeva vrstica 9

Praktični del:

    Ortocentrični trikotnik 10

    Zaključek 11

    Reference 11

Uvod.

Geometrija se začne s trikotnikom. Že dve tisočletji in pol je trikotnik simbol geometrije. Nove funkcije se nenehno odkrivajo. Za pogovor o vseh znanih lastnostih trikotnika bo trajalo veliko časa. Zanimala me je t.i čudovite točke trikotnik." Primer takšnih točk je točka presečišča simetral. Izjemno je, da če vzamemo tri poljubne točke v prostoru, iz njih sestavimo trikotnik in narišemo simetrale, se bodo (simetrale) sekale v eni točki! Zdi se, da to ni mogoče, ker smo vzeli poljubne točke, vendar to pravilo vedno deluje. Druge "čudovite točke" imajo podobne lastnosti.

Po branju literature na to temo sem si določil definicije in lastnosti petih čudovitih točk in trikotnika. Toda moje delo se s tem ni končalo, te točke sem želel raziskati sam.

Zato cilj tega dela je preučevanje nekaterih izjemnih lastnosti trikotnika in preučevanje ortocentričnega trikotnika. V procesu doseganja tega cilja lahko ločimo naslednje faze:

    Izbor literature, s pomočjo učitelja

    Spoznavanje osnovnih lastnosti izjemnih točk in črt trikotnika

    Posplošitev teh lastnosti

    Sestavljanje in reševanje problema v zvezi z ortocentričnim trikotnikom

Predstavil sem rezultate, pridobljene v tem raziskovalnem delu. Vse risbe sem naredil z računalniško grafiko (urejevalnik vektorske grafike CorelDRAW).

Ortocenter. (Točka presečišča višin)

Dokažimo, da se višine sekata v eni točki. Gremo skozi vrhove AMPAK, AT in IZ trikotnik ABC ravne črte, vzporedne z nasprotnimi stranmi. Te črte tvorijo trikotnik AMPAK 1 AT 1 IZ 1 . višina trikotnika ABC sta pravokotni simetrali stranic trikotnika AMPAK 1 AT 1 IZ 1 . zato se sekajo v eni točki – središču opisanega kroga trikotnika AMPAK 1 AT 1 IZ 1 . Točka presečišča višin trikotnika se imenuje ortocenter ( H).

Središče je središče vpisanega kroga.

(Točka presečišča simetral)

Dokažimo, da so simetrale kotov trikotnika ABC sekajo na eni točki. Upoštevajte točko O presečišča simetral kota AMPAK in AT. katera koli točka simetrale kota A je enako oddaljena od premic AB in AC, in katero koli točko simetrale kota AT enako oddaljena od ravnih črt AB in sonce, torej bistvo O enako oddaljena od ravnih črt AC in sonce, tj. leži na simetrali kota IZ. pika O enako oddaljena od ravnih črt AB, sonce in SA, torej obstaja krog s središčem O dotika teh premic, stične točke pa ležijo na samih straneh in ne na njihovih podaljških. Pravzaprav so koti na ogliščih AMPAK in AT trikotnik AOB ostra torej točkovna projekcija O neposredno AB leži znotraj segmenta AB.

Za zabave sonce in SA dokaz je podoben.

Center ima tri nepremičnine:

    Če je nadaljevanje simetrale kota IZ seka opisani krog trikotnika ABC na točki M, potem MA=MV=MO.

    Če AB- osnova enakokrakega trikotnika ABC, nato krog, ki se dotika strani kota DIA na točkah AMPAK in AT, gre skozi točko O.

    Če je črta, ki poteka skozi točko O vzporedno s stranjo AB, seka stranice sonce in SA na točkah AMPAK 1 in AT 1 , potem AMPAK 1 AT 1 =AMPAK 1 AT+AB 1 .

Težišče. (Točka presečišča median)

Dokažimo, da se mediane trikotnika sekajo v eni točki. Za to upoštevajte točko M kjer se mediane sekajo AA 1 in BB 1 . naredimo to v trikotniku BB 1 IZ srednja črta AMPAK 1 AMPAK 2 , vzporedno BB 1 . potem AMPAK 1 M: AM=AT 1 AMPAK 2 :AB 1 =AT 1 AMPAK 2 :AT 1 IZ=VA 1 : sonce=1:2, tj. mediana točka BB 1 in AA 1 deli mediano AA 1 v razmerju 1:2. Podobno je presečišče median SS 1 in AA 1 deli mediano AA 1 v razmerju 1:2. Zato je točka presečišča median AA 1 in BB 1 sovpada s presečiščem median AA 1 in SS 1 .

Če je presečišče median trikotnika povezana z oglišči, bodo trikotniki razdeljeni na tri trikotnike enake površine. Dejansko je dovolj dokazati, da če R- katera koli točka mediane AA 1 v trikotniku ABC, nato površine trikotnikov AVR in ASR so enakovredni. Navsezadnje mediane AA 1 in RA 1 v trikotnike ABC in RVS narežite jih na trikotnike enake površine.

Velja tudi obratna trditev: če za neko točko R, ki leži znotraj trikotnika ABC, območja trikotnikov AVR, V SREDO in SAR so torej enaki R je točka presečišča median.

Točka presečišča ima še eno lastnost: če iz katerega koli materiala izrežete trikotnik, nanj narišete mediane, pritrdite dvig na presečišču median in pritrdite obešanje na stojalo, potem bo model (trikotnik) v stanje ravnotežja, torej presečišče ni nič drugega kot težišče trikotnika.

Središče opisanega kroga.

Dokažimo, da obstaja točka, ki je enako oddaljena od oglišč trikotnika, ali, z drugimi besedami, da obstaja krog, ki poteka skozi tri oglišča trikotnika. Geslo točk, enako oddaljenih od točk AMPAK in AT, je pravokotna na segment AB ki poteka skozi njegovo središče (pravokotna simetrala na segment AB). Upoštevajte točko O kjer se pravokotne simetrale segmentov sekata AB in sonce. Dot O enako oddaljena od točk AMPAK in AT, kot tudi iz točk AT in IZ. torej je enako oddaljena od točk AMPAK in IZ, tj. prav tako leži na pravokotni simetrali segmenta AC.

Center O opisani krog leži znotraj trikotnika le, če je trikotnik oster. Če je trikotnik pravokoten trikotnik, potem točka O sovpada s središčno točko hipotenuze, in če je kot na oglišče IZ topo nato naravnost AB ločuje točke O in IZ.

V matematiki se pogosto zgodi, da se predmeti, definirani na zelo različne načine, izkažejo za enake. Pokažimo to s primerom.

Pustiti AMPAK 1 , AT 1 ,IZ 1 - sredine stranic sonce,SA in AV. Lahko se dokaže, da so krogi, opisani okoli trikotnikov AB 1 IZ, AMPAK 1 sonce 1 in AMPAK 1 AT 1 IZ 1 sekajo v eni točki in ta točka je središče opisanega kroga trikotnika ABC. Torej imamo dve na videz popolnoma različni točki: točko presečišča srednjih pravokotnic na stranice trikotnika ABC in presečišče opisanih krogov trikotnikov AB 1 IZ 1 , AMPAK 1 sonce in AMPAK 1 AT 1 IZ 1 . vendar se izkaže, da ti dve točki sovpadata.

Eulerjeva ravna črta.

Najbolj neverjetna lastnost čudovitih točk trikotnika je, da so nekatere med seboj povezane z določenimi odnosi. Na primer, težišče M, ortocenter H in središče opisanega kroga O ležijo na eni ravni črti, točka M pa deli odsek OH tako, da je relacija OM: MN=1:2. Ta izrek je leta 1765 dokazal švicarski znanstvenik Leonardo Euler.

ortocentrični trikotnik.

ortocentrični trikotnik(ortotrikotnik) je trikotnik ( MNZa), katerih oglišča so osnove višin danega trikotnika ( ABC). Ta trikotnik ima veliko zanimivih lastnosti. Vzemimo enega od njih.

Lastnina.

Dokaži:

trikotniki AKM, CMN in BKN podobna trikotniku ABC;

Koti pravokotnega trikotnika MNK so: L KNM = π - 2 L A,LKMN = π-2 L B, L MNK = π - - 2 L C.

Dokaz:

Imamo AB cos A, AK cos A. posledično AM/AB = AK/AC.

Ker trikotniki ABC in AKM kotiček AMPAK je skupna, potem sta si podobna, od koder sklepamo, da je kot L AKM = L C. Zato L BKM = L C. Potem imamo L MKC= π/2 - L C, L NKC= π/2 – - - L C, tj. SC- simetrala kota MNK. torej L MNK= π - 2 L C. Preostale enakosti se dokazujejo podobno.

Zaključek.

V zaključku tega raziskovalnega dela je mogoče izpeljati naslednje zaključke:

    Izjemne točke in črte trikotnika so:

    ortocenter trikotnik je presečišče njegovih višin;

    center trikotnik je presečišče simetral;

    težišče trikotnik je presečišče njegovih median;

    središče opisanega kroga je presečišče pravokotnih simetral;

    Eulerjeva črta je ravna črta, na kateri ležijo težišče, ortocenter in središče opisanega kroga.

    Ortocentrični trikotnik deli dani trikotnik na tri podobne.

Po končanem to delo, veliko sem se naučil o lastnostih trikotnika. To delo je bilo zame aktualno z vidika razvoja mojega znanja s področja matematike. V prihodnosti nameravam razviti to najbolj zanimivo temo.

Bibliografija.

    Kiselev A.P. Osnovna geometrija. – M.: Razsvetljenje, 1980.

    Kokseter G.S., Greitzer S.L. Nova srečanja z geometrijo. – M.: Nauka, 1978.

    Prasolov V.V. Težave v planimetriji. - M.: Nauka, 1986. - 1. del.

    Sharygin I.F. Problemi iz geometrije: Planimetrija. – M.: Nauka, 1986.

    Scanavi M. I. Matematika. Težave z rešitvami. - Rostov na Donu: Phoenix, 1998.

    Berger M. Geometrija v dveh zvezkih - M: Mir, 1984.

ŠTIRJE ODLIČNE TOČKE

TRIKOTNIK

Geometrija

8. razred

Saharova Natalia Ivanovna

Srednja šola MBOU št. 28 v Simferopolu


  • Točka presečišča median trikotnika
  • Presečišče simetral trikotnika
  • Točka presečišča višin trikotnika
  • Točka presečišča srednjih navpičnic trikotnika

Mediana

Mediana (BD) Trikotnik je odsek, ki povezuje vrh trikotnika s središčem nasprotne strani.


mediane trikotniki sekajo v eni točki (težišče trikotnik) in to točko razdelite v razmerju 2: 1, štetje od vrha.


BISEKTOR

Simetrala (AD) trikotnik se imenuje odsek simetrale notranjega kota trikotnika. ∟ SLABO = ∟CAD.


Vsaka točka simetrale nerazvitega kota je enako oddaljena od njegovih stranic.

nazaj: vsaka točka znotraj kota in enako oddaljena od stranic kota leži na njem simetrala.


Vse simetrale trikotniki se sekajo v eni točki vpisano središče v trikotnik krogi.

Polmer kroga (OM) je pravokotnica, spuščena iz središča (T.O) na stran trikotnika


VIŠINA

višina (CD) trikotnik je odsek pravokotnice, spuščen iz vrha trikotnika na premico, ki vsebuje nasprotno stran.


Višine trikotniki (ali njihovi podaljški) sekajo eno točka.


SREDNJE PPERENDIKULARNO

Pravokotna simetrala (DF) se imenuje premica, ki je pravokotna na stran trikotnika in jo deli na polovico.


Vsaka točka sredinsko pravokotno(m) na segment, ki je enako oddaljen od koncev tega segmenta.

nazaj: vsaka točka, enako oddaljena od koncev segmenta, leži na sredini pravokotno njemu.


Vse pravokotne simetrale stranic trikotnika se sekajo v eni točki - središče opisanega blizu trikotnika krogi .

Polmer opisanega kroga je razdalja od središča kroga do katerega koli oglišča trikotnika (OA).


stran 177 №675 (risba)


Domača naloga

P.173 § 3 definicije in izreki str.177 Št. 675 (dokončaj)

Podobne objave