Razmislite, na katere oblike je razdeljen mnogokotnik. pravilni mnogokotnik

Kaj je poligon? Vrste mnogokotnikov. MNOGOKOTNIK, ploščati geometrijski lik s tremi ali več stranicami, ki se sekajo v treh ali več točkah (ogliščih). Opredelitev. Mnogokotnik je geometrijska figura, ki jo na vseh straneh omejuje zaprta lomljena črta, sestavljena iz treh ali več segmentov (povezav). Trikotnik je vsekakor mnogokotnik. Poligon je figura, ki ima pet ali več vogalov.

Opredelitev. Štirikotnik je ploska geometrijska figura, sestavljena iz štirih točk (oglišča štirikotnika) in štirih segmentov, ki jih zaporedno povezujejo (stranice štirikotnika).

Pravokotnik je štirikotnik z vsemi pravimi koti. Imenujemo jih glede na število stranic oziroma oglišč: TRIKOTNIK (trostrani); ŠTIRIKOTNIK (štiristran); PENTAGON (peterostranski) itd. V osnovni geometriji je M. lik, omejen z ravnimi črtami, imenovanimi stranicami. Točki, kjer se stranice sekata, imenujemo oglišča. Poligon ima več kot tri vogale. Tako sprejeto oziroma dogovorjeno.

Trikotnik je trikotnik. In štirikotnik tudi ni mnogokotnik in se tudi ne imenuje štirikotnik - je bodisi kvadrat, bodisi romb ali trapez. Dejstvo, da ima mnogokotnik s tremi stranicami in tremi vogali svoje ime "trikotnik", mu ne odvzame statusa mnogokotnika.

Oglejte si, kaj je "POLYGON" v drugih slovarjih:

Izvemo, da je ta lik omejen s sklenjeno lomljeno črto, ta pa je lahko preprosta, sklenjena. Pogovorimo se o tem, da so poligoni ravni, pravilni, konveksni. Kdo še ni slišal za skrivnostni Bermudski trikotnik, kjer brez sledu izginjajo ladje in letala? Toda trikotnik, ki ga poznamo iz otroštva, je poln veliko zanimivih in skrivnostnih stvari.

Čeprav seveda lahko figuro, sestavljeno iz treh kotov, štejemo tudi za mnogokotnik

Toda to ni dovolj za karakterizacijo figure. Zlomljena črta A1A2…An je figura, ki je sestavljena iz točk A1,A2,…An in odsekov A1A2, A2A3,…, ki ju povezujejo. Enostavno zaprto lomljeno črto imenujemo mnogokotnik, če njeni sosednji členi ne ležijo na isti ravni črti (slika 5). V besedo "poligon" namesto dela "mnogo" nadomestite določeno številko, na primer 3. Dobili boste trikotnik. Upoštevajte, da je toliko kotov, kolikor je stranic, zato bi te figure lahko imenovali večstranice.

Naj bo A1А2…А n dani konveksni mnogokotnik in n>3. Nariši vanjo (iz enega vrha) diagonale

Vsota kotov vsakega trikotnika je 1800, število teh trikotnikov pa je n - 2. Zato je vsota kotov konveksnega n - kota A1A2 ... A n 1800 * (n - 2). Izrek je dokazan. Zunanji kot konveksnega mnogokotnika pri danem oglišču je kot, ki meji na notranji kot mnogokotnika pri tem oglišču.

V štirikotnik nariši črto tako, da ga deli na tri trikotnike

Štirikotnik nikoli nima treh oglišč na isti premici. Beseda "poligon" pomeni, da imajo vse figure te družine "veliko vogalov". Zlomljena črta se imenuje preprosta, če nima samopresečišč (sl. 2,3).

Dolžina lomljene črte je vsota dolžin njenih členov (slika 4). V primeru n=3 je izrek resničen. Torej kvadrat lahko imenujemo drugače - navaden štirikotnik. Takšne figure so že dolgo zanimale mojstre, ki so okrasili stavbe.

Število oglišč je enako številu stranic. Zlomljena črta se imenuje zaprta, če njeni konci sovpadajo. Od njih so bili pridobljeni lepi vzorci na primer na parketu. Naša peterokraka zvezda je navadna peterokotna zvezda.

Toda vseh pravilnih mnogokotnikov ni mogoče uporabiti za oblikovanje parketa. Oglejmo si podrobneje dve vrsti mnogokotnikov: trikotnik in štirikotnik. Mnogokotnik, v katerem so vsi notranji koti enaki, se imenuje pravilni mnogokotnik. Poligoni so poimenovani glede na število svojih stranic ali oglišč.

V tej lekciji bomo začeli novo temo in predstavili nov koncept za nas - "poligon". Ogledali si bomo osnovne pojme, povezane s poligoni: stranice, oglišča, vogali, konveksnost in nekonveksnost. Potem bomo dokazali ključna dejstva kot je izrek o vsoti notranjih kotov mnogokotnika, izrek o vsoti zunanjih kotov mnogokotnika. Posledično se bomo približali študiju posebnih primerov mnogokotnikov, ki jih bomo obravnavali v prihodnjih lekcijah.

Tema: štirikotniki

Lekcija: Mnogokotniki

Pri geometriji preučujemo lastnosti geometrijskih oblik in smo že obravnavali najpreprostejše med njimi: trikotnike in kroge. Hkrati smo obravnavali tudi posebne posebne primere teh likov, kot so pravokotni, enakokraki in pravilni trikotnik. Zdaj je čas za pogovor o bolj splošnih in zapletenih oblikah - poligoni.

S posebnim primerom poligoniže poznamo - to je trikotnik (glej sliko 1).

riž. 1. Trikotnik

Že samo ime poudarja, da gre za figuro, ki ima tri vogale. Zato v mnogokotnik lahko jih je veliko, tj. več kot tri. Na primer, narišimo peterokotnik (glej sliko 2), tj. figura s petimi vogali.

riž. 2. Pentagon. Konveksni poligon

Opredelitev.Poligon- figura, sestavljena iz več točk (več kot dveh) in ustreznega števila segmentov, ki jih zaporedno povezujejo. Te točke se imenujejo vrhovi mnogokotnik in segmenti - stranke. V tem primeru nobeni dve sosednji stranici ne ležita na isti premici in nobeni dve nesosednji stranici se ne sekata.

Opredelitev.pravilni mnogokotnik je konveksen mnogokotnik, v katerem so vse stranice in koti enaki.

Kaj mnogokotnik deli ravnino na dve regiji: notranjo in zunanjo. Notranjost imenujemo tudi mnogokotnik.

Z drugimi besedami, ko na primer govorijo o peterokotniku, mislijo tako na njegovo celotno notranjo regijo kot na njeno mejo. In notranje območje vključuje tudi vse točke, ki ležijo znotraj poligona, tj. točka pripada tudi peterokotniku (glej sliko 2).

Poligone včasih imenujemo tudi n-kotniki, da poudarimo, da je obravnavan splošen primer neznanega števila vogalov (n kosov).

Opredelitev. Obod poligona je vsota dolžin stranic mnogokotnika.

Sedaj se moramo seznaniti z vrstami mnogokotnikov. Razdeljeni so na konveksen in nekonveksna. Na primer, mnogokotnik, prikazan na sl. 2 je konveksna, na sl. 3 nekonveksne.

riž. 3. Nekonveksni mnogokotnik

Definicija 1. Poligon klical konveksen, če pri risanju ravne črte skozi katero koli njegovo stranico celotno mnogokotnik leži le na eni strani te črte. nekonveksna so vsi ostali poligoni.

Zlahka si je predstavljati, da ko razširimo katero koli stran peterokotnika na sl. 2 vse bo na eni strani te ravne črte, tj. on je konveksen. Ko pa narišemo ravno črto skozi štirikotnik na sl. 3 že vidimo, da ga deli na dva dela, tj. on je nekonveksen.

Vendar obstaja še ena definicija konveksnosti mnogokotnika.

Definicija 2. Poligon klical konveksenče so pri izbiri dveh njegovih notranjih točk in povezovanju z odsekom vse točke odseka tudi notranje točke mnogokotnika.

Prikaz uporabe te definicije je prikazan na primeru konstruiranja segmentov na sl. 2 in 3.

Opredelitev. Diagonala Poligon je vsak segment, ki povezuje dve nesosednji točki.

Za opis lastnosti mnogokotnikov obstajata dva najpomembnejša izreka o njihovih kotih: izrek o vsoti notranjih kotov konveksnega mnogokotnika in izrek o vsoti konveksnega mnogokotnika zunanjega kota. Upoštevajmo jih.

Izrek. O vsoti notranjih kotov konveksnega mnogokotnika (n-gon).

Kje je število njegovih kotov (stranic).

Dokaz 1. Upodobimo na sl. 4 konveksni n-kotnik.

riž. 4. Konveksni n-kotnik

Nariši vse možne diagonale iz oglišča. N-kotnik razdelijo trikotnike, saj vsaka stran mnogokotnika tvori trikotnik, razen stranic, ki mejijo na vrh. Iz slike je enostavno videti, da bo vsota kotov vseh teh trikotnikov enaka vsoti notranjih kotov n-kotnika. Ker je vsota kotov katerega koli trikotnika , je vsota notranjih kotov n-kotnika:

Q.E.D.

Dokaz 2. Možen je tudi drug dokaz tega izreka. Narišimo podoben n-kotnik na sl. 5 in poveži poljubno njeno notranjo točko z vsemi oglišči.

riž. 5.

Dobili smo razdelitev n-kotnika na n trikotnikov (kolikor stranic, toliko trikotnikov). Vsota vseh njunih kotov je enaka vsoti notranjih kotov mnogokotnika in vsoti kotov v notranji točki in to je kot. Imamo:

Q.E.D.

Dokazano.

Po dokazanem izreku je razvidno, da je vsota kotov n-kotnika odvisna od števila njegovih stranic (od n). Na primer v trikotniku, vsota kotov pa je . V štirikotniku in vsoti kotov - itd.

Izrek. O vsoti zunanjih kotov konveksnega mnogokotnika (n-gon).

Kje je število njegovih vogalov (stranic), in , ..., so zunanji vogali.

Dokaz. Narišimo konveksni n-kotnik na sl. 6 in označite njegov notranji in zunanji kot.

riž. 6. Konveksni n-kotnik z označenimi zunanjimi vogali

Ker zunanji kot je povezan z notranjim kot sosednji, nato in podobno za druge zunanje vogale. Nato:

Pri transformacijah smo uporabili že dokazan izrek o vsoti notranjih kotov n-kotnika.

Dokazano.

Iz dokazanega izreka sledi zanimivo dejstvo da je vsota zunanjih kotov konveksnega n-kotnika na število njegovih kotov (stranic). Mimogrede, za razliko od vsote notranjih kotov.

Bibliografija

1. Aleksandrov A.D. itd. Geometrija, 8. razred. - M.: Izobraževanje, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolov V.V. Geometrija, 8. razred. - M.: Izobraževanje, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija, 8. razred. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com().

Domača naloga

§ 1 Pojem trikotnika

V tej lekciji se boste seznanili s oblikami, kot sta trikotnik in mnogokotnik.

Če tri točke, ki ne ležijo na isti ravni črti, povežemo z odseki, dobimo trikotnik. Trikotnik ima tri oglišča in tri stranice.

Pred vami je trikotnik ABC, ki ima tri oglišča (točko A, točko B in točko C) in tri stranice (AB, AC in CB).

Mimogrede, te iste strani lahko imenujemo drugače:

AB=BA, AC=CA, CB=BC.

Stranice trikotnika tvorijo tri kote na ogliščih trikotnika. Na sliki vidite kot A, kot B, kot C.

Tako je trikotnik geometrijska figura, ki jo tvorijo trije segmenti, ki povezujejo tri točke, ki ne ležijo na eni ravni črti.

§ 2 Pojem poligona in njegove vrste

Poleg trikotnikov so še štirikotniki, peterokotniki, šesterokotniki itd. Z eno besedo jih lahko imenujemo poligoni.

Na sliki vidite štirikotnik DMKE.

Točke D, M, K in E so oglišča štirikotnika.

Odseki DM, MK, KE, ED so stranice tega štirikotnika. Tako kot pri trikotniku, stranice štirikotnika tvorijo štiri vogale na ogliščih, uganili ste, od tod tudi ime – štirikotnik. Za ta štirikotnik vidite na sliki kot D, kot M, kot K in kot E.

Katere štirikotnike že poznate?

Kvadrat in pravokotnik! Vsak od njih ima štiri vogale in štiri stranice.

Druga vrsta poligona je pentagon.

Točke O, P, X, Y, T so oglišča peterokotnika, odseki TO, OP, PX, XY, YT pa stranice tega peterokotnika. Pentagon ima pet vogalov oziroma pet stranic.

Kaj mislite, koliko vogalov in koliko strani ima šestkotnik? Tako je, šest! Če trdimo na podoben način, lahko rečemo, koliko stranic, oglišč ali kotov ima določen mnogokotnik. In lahko sklepamo, da je trikotnik tudi mnogokotnik, ki ima natanko tri kote, tri stranice in tri oglišča.

Tako ste se v tej lekciji seznanili s pojmoma, kot sta trikotnik in mnogokotnik. Naučili smo se, da ima trikotnik 3 oglišča, 3 stranice in 3 kote, štirikotnik 4 oglišča, 4 stranice in 4 kote, peterokotnik 5 stranic, 5 oglišč, 5 kotov itd.

Seznam uporabljene literature:

1. Matematika 5. razred. Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I. in drugi 31. izd., ster. - M: 2013.
2. Didaktična gradiva za matematiko 5. razred. Avtor - Popov M.A. - leto 2013
3. Računamo brez napak. Delo s samopreverjanjem pri matematiki 5.-6. Avtor - Minaeva S.S. - leto 2014
4. Didaktična gradiva za matematiko 5. razred. Avtorji: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Kontrolno in samostojno delo pri matematiki 5. razred. Avtorji - Popov M.A. - leto 2012
6. matematika. 5. razred: učbenik. za splošnoizobraževalce. ustanove / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. izd., sr. - M.: Mnemosyne, 2009

Del ravnine, ki ga omejuje sklenjena lomljena črta, imenujemo mnogokotnik.

Segmenti te lomljene črte se imenujejo stranke mnogokotnik. AB, BC, CD, DE, EA (slika 1) - stranice mnogokotnika ABCDE. Vsota vseh strani mnogokotnika se imenuje njegova obseg.

Poligon se imenuje konveksen, če se nahaja na eni strani katere koli njegove stranice, razširjene za nedoločen čas čez obe oglišči.

Mnogokotnik MNPKO (slika 1) ne bo konveksen, saj se nahaja na več kot eni strani premice KP.

Upoštevali bomo samo konveksne poligone.

Koti, ki jih tvorita dve sosednji stranici mnogokotnika, se imenujejo njegovi notranji vogali in njihovi vrhovi - oglišča poligona.

Odsek, ki povezuje dve nesosednji oglišči mnogokotnika, se imenuje diagonala mnogokotnika.

AC, AD - diagonale poligona (slika 2).

Vogali, ki mejijo na notranje vogale mnogokotnika, se imenujejo zunanji vogali mnogokotnika (slika 3).

Glede na število kotov (stranic) imenujemo mnogokotnik trikotnik, štirikotnik, peterokotnik itd.

Za dva poligona pravimo, da sta enaka, če ju je mogoče postaviti.

Včrtani in opisani mnogokotniki

Če vsa oglišča mnogokotnika ležijo na krožnici, se mnogokotnik imenuje vpisana v krog in krog opisano blizu poligona (slika).

Če se vse strani mnogokotnika dotikajo kroga, se imenuje mnogokotnik opisano okoli kroga, krog pa se imenuje vpisana v mnogokotnik (sl.).

Podobnost mnogokotnikov

Dva istoimenska mnogokotnika se imenujeta podobna, če sta kota enega od njiju enaka kotom drugega in sta podobni strani mnogokotnikov sorazmerni.

Mnogokotnike z enakim številom stranic (kotov) imenujemo istoimenski mnogokotniki.

Strani podobnih mnogokotnikov se imenujejo podobne, če povezujejo oglišča ustrezno enakih kotov (slika).

Torej, na primer, da je mnogokotnik ABCDE podoben mnogokotniku A'B'C'D'E', je potrebno, da: E = ∠E' in poleg tega AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'.

Obodno razmerje podobnih mnogokotnikov

Najprej razmislite o lastnosti niza enakih razmerij. Vzemimo na primer relacije: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Poiščemo vsoto prejšnjih članov teh odnosov, nato - vsoto njihovih naslednjih članov in poiščemo razmerje prejetih vsot, dobimo:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Enako bomo dobili, če vzamemo številne druge relacije, na primer: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 in nato poiščemo razmerje teh vsot , dobimo:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

V obeh primerih je vsota predhodnih členov niza enakih relacij povezana z vsoto naslednjih členov iste vrste, kot je prejšnji člen katerega koli od teh relacij povezan s svojim naslednjim.

To lastnost smo izpeljali z upoštevanjem številnih numeričnih primerov. Izvedemo ga lahko strogo in v splošni obliki.

Zdaj razmislite o razmerju obsegov podobnih mnogokotnikov.

Naj bo mnogokotnik ABCDE podoben mnogokotniku A'B'C'D'E' (sl.).

Iz podobnosti teh mnogokotnikov izhaja, da

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Na podlagi lastnosti niza enakih relacij, ki smo jih izpeljali, lahko zapišemo:

Vsota prejšnjih členov relacij, ki smo jih vzeli, je obseg prvega poligona (P), vsota naslednjih členov teh relacij pa je obseg drugega mnogokotnika (P '), torej P / P ' = AB / A'B '.

Posledično obodi podobnih mnogokotnikov so povezani kot njihove ustrezne stranice.

Razmerje ploščin podobnih mnogokotnikov

Naj sta ABCDE in A'B'C'D'E' podobna mnogokotnika (sl.).

Znano je, da ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' in ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Poleg tega

;

Ker sta druga razmerja teh razmerij enaka, kar izhaja iz podobnosti mnogokotnikov, torej

Z uporabo lastnosti serije enakih razmerij dobimo:

oz

kjer sta S in S' ploščini teh podobnih mnogokotnikov.

Posledično površine podobnih mnogokotnikov so povezane kot kvadrati podobnih stranic.

Nastalo formulo je mogoče pretvoriti v to obliko: S / S '= (AB / A'B ') 2

Območje poljubnega poligona

Naj bo potrebno izračunati površino poljubnega štirikotnika ABDC (sl.).

Vanj narišimo diagonalo, na primer AD. Dobimo dva trikotnika ABD in ACD, katerih ploščini lahko izračunamo. Nato poiščemo vsoto ploščin teh trikotnikov. Dobljena vsota bo izrazila površino danega štirikotnika.

Če morate izračunati površino peterokotnika, potem nadaljujemo na enak način: narišemo diagonale iz ene od oglišč. Dobimo tri trikotnike, katerih ploščine lahko izračunamo. Tako lahko najdemo območje tega peterokotnika. Enako storimo pri izračunu površine katerega koli poligona.

Območje projekcije poligona

Spomnimo se, da je kot med premico in ravnino kot med dano premico in njeno projekcijo na ravnino (slika).

Izrek. Območje pravokotne projekcije poligona na ravnino je enako površini projiciranega mnogokotnika, pomnoženemu s kosinusom kota, ki ga tvorita ravnina poligona in projekcijska ravnina.

Vsak mnogokotnik lahko razdelimo na trikotnike, katerih vsota površin je enaka površini mnogokotnika. Zato zadostuje dokazati izrek za trikotnik.

Naj se ΔABC projicira na ravnino R. Razmislite o dveh primerih:

a) ena od stranic ΔABS je vzporedna z ravnino R;

b) nobena od stranic ΔABC ni vzporedna R.

Razmislite prvi primer: naj [AB] || R.

Nariši skozi (AB) ravnino R 1 || R in pravokotno projiciramo ΔABC na R 1 in naprej R(riž); dobimo ΔABC 1 in ΔA’B’C’.

Po lastnosti projekcije imamo ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’ in torej

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

Narišimo ⊥ in odsek D 1 C 1 . Potem je ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ kot med ravnino ΔABC in ravnino R ena. Zato

S ∆ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

in zato S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Preidimo na obravnavo drugi primer. Nariši ravnino R 1 || R skozi tisto oglišče ΔАВС, razdalja od katerega do ravnine R najmanjši (naj bo to oglišče A).

Načrtujmo ΔABC na ravnini R 1 in R(riž); naj bosta njegovi projekciji ΔAB 1 C 1 oziroma ΔA’B’C’.

Naj bo (BC) ∩ str 1 = D. Potem

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Drugi materiali