Spletni kalkulator za reševanje kvadratne neenakosti. Reševanje eksponentnih neenačb

Reševanje neenačb na spletu

Preden rešimo neenačbe, je treba dobro razumeti, kako se enačbe rešujejo.

Ni pomembno, ali je neenakost stroga () ali nestroga (≤, ≥), prvi korak je rešitev enačbe z zamenjavo znaka neenakosti z enakostjo (=).

Pojasnite, kaj pomeni rešiti neenačbo?

Po študiju enačb ima študent v glavi naslednjo sliko: najti morate takšne vrednosti spremenljivke, za katere imata oba dela enačbe enake vrednosti. Z drugimi besedami, poiščite vse točke, kjer velja enakost. Vse je pravilno!

Ko govorimo o neenakosti, mislimo na iskanje intervalov (odsekov), na katerih neenakost velja. Če sta v neenačbi dve spremenljivki, potem rešitev ne bodo več intervali, temveč nekatera področja na ravnini. Uganete, kakšna bo rešitev neenačbe v treh spremenljivkah?

Kako rešiti neenačbe?

Metoda intervalov (imenovana tudi metoda intervalov) velja za univerzalni način reševanja neenakosti, ki je sestavljen iz določanja vseh intervalov, znotraj katerih bo dana neenakost izpolnjena.

Ne da bi se spuščali v vrsto neenakosti, v tem primeru ni bistvo, potrebno je rešiti ustrezno enačbo in določiti njene korenine, čemur sledi oznaka teh rešitev na numerični osi.

Kako pravilno zapišemo rešitev neenačbe?

Ko določite intervale za reševanje neenačbe, morate pravilno zapisati samo rešitev. Obstaja pomemben odtenek - ali so meje intervalov vključene v rešitev?

Tukaj je vse preprosto. Če rešitev enačbe zadosti ODZ in neenačba ni stroga, potem je meja intervala vključena v rešitev neenačbe. Sicer pa ne.

Ob upoštevanju vsakega intervala je rešitev neenačbe lahko sam interval ali polovični interval (ko ena od njegovih meja zadošča neenačbi) ali segment - interval skupaj s svojimi mejami.

Pomembna točka

Ne mislite, da so samo intervali, polintervali in segmenti lahko rešitev neenakosti. Ne, v rešitev so lahko vključene tudi posamezne točke.

Na primer, neenačba |x|≤0 ima samo eno rešitev - točko 0.

In neenakost |x|

Čemu je namenjen kalkulator neenakosti?

Kalkulator neenakosti daje pravilen končni odgovor. V tem primeru je v večini primerov podana ilustracija numerične osi ali ravnine. Vidite lahko, ali so meje intervalov vključene v rešitev ali ne - točke so prikazane zapolnjene ali preluknjane.

Zahvale gredo spletni kalkulator pri neenačbah lahko preverite, ali ste pravilno našli korenine enačbe, jih označili na številski osi in preverili izpolnjevanje pogoja neenakosti na intervalih (in mejah)?

Če se vaš odgovor razlikuje od odgovora kalkulatorja, morate vsekakor še enkrat preveriti svojo rešitev in ugotoviti storjeno napako.

Kaj morate vedeti o ikonah neenakosti? Neenakosti ikon več (> ), oz manj (< ) se imenujejo stroga. Z ikonami več ali enako (≥ ), manj ali enako (≤ ) se imenujejo nestrog. Ikona ni enako (≠ ) stoji samostojno, vendar morate ves čas reševati tudi primere s takšno ikono. In bomo.)

Sama ikona nima velikega vpliva na postopek rešitve. Toda na koncu rešitve, pri izbiri končnega odgovora, se pomen ikone pokaže v polni moči! Kot bomo videli spodaj, v primerih. Obstaja nekaj šal ...

Neenakosti, tako kot enakosti, so zvesti in nezvesti. Tukaj je vse preprosto, brez trikov. Recimo 5 > 2 je pravilna neenakost. 5 < 2 ni pravilna.

Takšna priprava deluje pri neenakosti vse vrste in preprosto do groze.) Samo pravilno morate izvesti dve (samo dve!) osnovni dejanji. Ta dejanja so znana vsem. Ampak, kar je značilno, so zastoji v teh dejanjih glavna napaka pri reševanju neenakosti, ja ... Zato je treba ta dejanja ponoviti. Ta dejanja se imenujejo takole:

Identitetne transformacije neenakosti.

Identitetne transformacije neenačb so zelo podobne identitetnim transformacijam enačb. Pravzaprav je to glavni problem. Razlike so zdrsnile mimo glave in ... prišle.) Zato bom te razlike še posebej izpostavil. Torej, prva identična transformacija neenakosti:

1. Obema deloma neenačbe lahko prištejemo (odštejemo) isto število ali izraz. Kaj. Predznak neenakosti se ne bo spremenil.

V praksi se to pravilo uporablja kot prenos členov z leve strani neenakosti na desno stran (in obratno) s spremembo predznaka. S spremembo predznaka pojma, ne z neenakostjo! Pravilo ena na ena je enako pravilu za enačbe. Toda naslednje identične transformacije v neenačbah se bistveno razlikujejo od tistih v enačbah. Zato jih označujem z rdečo:

2. Oba dela neenačbe lahko pomnožimo (delimo) z enakimpozitivnoštevilo. Za katero kolipozitivno Ne bo spremenilo.

3. Oba dela neenačbe lahko pomnožimo (delimo) z enakimnegativnoštevilo. Za katero kolinegativnoštevilo. Znak neenakosti iz tegase bo spremenilo v nasprotno.

Spomnite se (upate ...), da je enačbo mogoče pomnožiti/deliti s čimer koli. In za poljubno število in za izraz z x. Dokler ni nič. Njemu, enačbi, od tega ni ne vroče ne hladno.) Ne spremeni se. Toda neenakosti so bolj občutljive na množenje/deljenje.

Lep primer za dolg spomin. Zapišemo neenakost, ki ne povzroča dvomov:

5 > 2

Pomnožite obe strani s +3, dobimo:

15 > 6

Ali obstajajo ugovori? Ni ugovorov.) In če pomnožimo oba dela prvotne neenakosti z -3, dobimo:

15 > -6

In to je čista laž.) Popolna laž! Zavajanje ljudi! Toda takoj, ko se znak neenakosti obrne, se vse postavi na svoje mesto:

15 < -6

O lažeh in prevarah - ne prisegam samo.) "Pozabil sem spremeniti znak neenakosti ..."- to je domov napaka pri reševanju neenačb. To nepomembno in nezapleteno pravilo je prizadelo toliko ljudi! Kdo je pozabil ...) Torej prisežem. Mogoče se spomniš ...)

Tisti, ki so še posebej pozorni, bodo opazili, da neenakosti ni mogoče pomnožiti z izrazom z x. Spoštovanje pozoren!) In zakaj ne? Odgovor je preprost. Predznaka tega izraza z x ne poznamo. Lahko je pozitiven, negativen ... Zato ne vemo, kakšen znak neenačbe postaviti za množenjem. Spremeniti ali ne? Neznano. Seveda je to omejitev (prepoved množenja/deljenja neenakosti z izrazom z x) mogoče zaobiti. Če ga res potrebujete. Toda to je tema za druge lekcije.

To so vse identične transformacije neenakosti. Naj vas še enkrat spomnim, da delajo za kaj neenakosti. In zdaj lahko preidete na določene vrste.

Linearne neenakosti. Rešitev, primeri.

Linearne neenačbe imenujemo neenačbe, pri katerih je x na prvi stopnji in ni deljenja z x. Tip:

x+3 > 5x-5

Kako so te neenakosti rešene? Zelo enostavno jih je rešiti! Namreč: s pomočjo zmanjšamo najbolj zmedeno linearno neenakost naravnost do odgovora. To je vsa rešitev. Izpostavil bom glavne točke rešitve. Da bi se izognili neumnim napakam.)

Rešimo to neenakost:

x+3 > 5x-5

Rešujemo na enak način kot linearno enačbo. Z edino razliko:

Bodite pozorni na znak neenakosti!

Prvi korak je najpogostejši. Z x - v levo, brez x - v desno ... To je prva enaka transformacija, preprosta in brez težav.) Samo ne pozabite spremeniti znakov prenesenih članov.

Znak neenakosti se ohrani:

x-5x > -5-3

Predstavljamo podobne.

Znak neenakosti se ohrani:

4x > -8

Ostaja še uporaba zadnje enake transformacije: oba dela delimo z -4.

Razdeli po negativnoštevilo.

Znak neenakosti bo obrnjen:

X < 2

To je odgovor.

Tako se rešujejo vse linearne neenačbe.

Pozor! Točka 2 je narisana belo, tj. nepobarvan. Notri prazno. To pomeni, da ni vključena v odgovor! Namenoma sem jo narisal tako zdravo. Takšna točka (prazna, ni zdrava!)) se v matematiki imenuje izrezana točka.

Preostale številke na osi lahko označimo, ni pa nujno. Tuja števila, ki niso povezana z našo neenakostjo, so lahko zmedena, ja ... Zapomniti si morate le, da gre povečanje števil v smeri puščice, tj. številke 3, 4, 5 itd. so na desno dvojke in številke 1, 0, -1 itd. - levo.

Neenakost x < 2 - stroga. X je strogo manjši od dveh. Če ste v dvomih, je preverjanje preprosto. V neenačbo nadomestimo dvomljivo število in pomislimo: "Dva je manj kot dva? Seveda ne!" Točno tako. Neenakost 2 < 2 narobe. Dvojka ni dobra za odgovor.

Je en sam dovolj dober? Seveda. Manj ... In nič je dobro, in -17 in 0,34 ... Da, vse številke, ki so manjše od dveh, so dobre! In celo 1,9999 .... Vsaj malo, a manj!

Torej vsa ta števila označimo na številski osi. kako Tukaj so možnosti. Prva možnost je valjenje. Z miško se pomaknemo nad sliko (ali se dotaknemo slike na tablici) in vidimo, da je območje vseh x-jev, ki se ujemajo s pogojem x, zasenčeno < 2 . To je vse.

Razmislimo o drugi možnosti v drugem primeru:

X ≥ -0,5

Narišemo os, označimo številko -0,5. Všečkaj to:

Ste opazili razliko?) No, ja, težko je ne opaziti ... Ta pika je črna! Prebarvano. To pomeni, da je -0,5 vključeno v odgovor. Tukaj, mimogrede, preverjanje in zmede nekoga. Zamenjamo:

-0,5 ≥ -0,5

Kako to? -0,5 ni nič več kot -0,5! Obstaja več ikon ...

V redu je. V nestrogi neenakosti je primerno vse, kar ustreza ikoni. in enako fit in več dobro. Zato je v odgovor vključeno -0,5.

Torej, na osi smo označili -0,5, ostane še, da označimo vse številke, ki so večje od -0,5. Tokrat označujem območje primernih vrednosti x okov(iz besede lok) namesto valjenja. Premaknite miškin kazalec nad sliko in poglejte ta lok.

Med šrafurami in loki ni posebne razlike. Naredi, kot pravi učitelj. Če učitelja ni, narišite roke. Pri zahtevnejših nalogah je šrafura manj očitna. Lahko se zmedeš.

Tako se na osi narišejo linearne neenačbe. Preidemo na naslednjo singularnost neenakosti.

Napišite odgovor za neenačbe.

V enačbah je bilo dobro.) Našli smo x in zapisali odgovor, na primer: x \u003d 3. Pri neenačbah obstajata dve obliki zapisa odgovorov. Ena - v obliki končne neenakosti. Dobro za preproste primere. Na primer:

X< 2.

To je popoln odgovor.

Včasih je treba napisati isto stvar, vendar v drugačni obliki, skozi številske vrzeli. Nato začne vnos izgledati zelo znanstveno):

x ∈ (-∞; 2)

Pod ikono ∈ skrivanje besede "pripada".

Vpis se glasi takole: x pripada intervalu od minus neskončnosti do dva ne vključuje. Čisto logično. X je lahko katero koli število od vseh možnih števil od minus neskončnosti do dva. Dvojni X ne more biti, kar nam pove beseda "brez".

Kje je v odgovoru, da "brez"? To dejstvo je navedeno v odgovoru. krog oklepaj takoj za dvojko. Če bi bila vključena dvojka, bi bil oklepaj kvadrat. Tukaj je: ]. Naslednji primer uporablja takšen oklepaj.

Zapišimo odgovor: x ≥ -0,5 skozi intervale:

x ∈ [-0,5; +∞)

bere: x pripada intervalu od minus 0,5, vključno z do plus neskončnosti.

Infinity se nikoli ne more vklopiti. To ni številka, je simbol. Zato v takšnih vnosih neskončnost vedno obstaja skupaj z oklepajem.

Ta oblika zapisa je primerna za zapletene odgovore, sestavljene iz več vrzeli. Ampak – samo za končne odgovore. Pri vmesnih rezultatih, kjer se pričakuje nadaljnja rešitev, je bolje uporabiti običajno obliko, v obliki preproste neenačbe. To bomo obravnavali v ustreznih temah.

Priljubljene naloge z neenačbami.

Same linearne neenakosti so preproste. Zato naloge pogosto postanejo težje. Torej, misliti je bilo potrebno. To, če je iz navade, ni zelo prijetno.) Je pa koristno. Pokazal bom primere takih nalog. Ni za vas, da se jih učite, to je odveč. In da vas ne bo strah ob srečanju s podobnimi primeri. Malo razmišljanja - in vse je preprosto!)

1. Poiščite kateri koli dve rešitvi neenačbe 3x - 3< 0

Če ni povsem jasno, kaj storiti, se spomnite glavnega pravila matematike:

Če ne veste, kaj storiti, naredite, kar lahko!

X < 1

Pa kaj? Nič posebnega. Kaj nas sprašujejo? Prosimo, da poiščemo dve določeni števili, ki sta rešitev neenačbe. Tisti. ustreza odgovoru. Dva kajštevilke. Pravzaprav je to neprijetno.) Primernih je nekaj 0 in 0,5. Par -3 in -8. Ja, teh parov je neskončno veliko! Kakšen je pravilen odgovor?!

Odgovorim: vse! Vsak par števil, od katerih je vsako manjše od ena, bi bil pravilen odgovor. Napišite, kar želite. Gremo dalje.

2. Reši neenačbo:

4x - 3 ≠ 0

Takšna dela so redka. Toda kot pomožne neenakosti se na primer pri iskanju ODZ ali pri iskanju domene funkcije srečujejo ves čas. Tako linearno neenačbo je mogoče rešiti kot navadno linearno enačbo. Samo povsod, razen znaka "=" ( enako) postavite znak " ≠ " (ni enako). Tako boste prišli do odgovora z znakom neenakosti:

X ≠ 0,75

V več težki primeri bolje narediti drugače. Naj bo neenakost enaka. Všečkaj to:

4x - 3 = 0

Mirno rešite, kot je naučeno, in dobite odgovor:

x = 0,75

Glavna stvar je, da čisto na koncu, ko zapisujemo končni odgovor, ne pozabimo, da smo našli x, kar daje enakost. In potrebujemo - neenakost. Zato tega X preprosto ne potrebujemo.) In zapisati ga moramo s pravilno ikono:

X ≠ 0,75

Ta pristop povzroči manj napak. Tisti, ki rešujejo enačbe na stroju. In za tiste, ki ne rešujejo enačb, so neenakosti pravzaprav neuporabne ...) Še en primer priljubljene naloge:

3. Poišči najmanjšo celoštevilsko rešitev neenačbe:

3(x - 1) < 5x + 9

Najprej preprosto rešimo neenakost. Odpremo oklepaje, prenesemo, damo podobne ... Dobimo:

X > - 6

Se ni zgodilo!? Ste sledili znakom? In za znaki članov in za znakom neenakosti ...

Še enkrat si predstavljajmo. Najti moramo točno določeno število, ki ustreza tako odgovoru kot pogoju "najmanjše celo število".Če se vam ne posveti takoj, lahko preprosto vzamete katero koli številko in jo ugotovite. Dva je večje od minus šest? Seveda! Ali obstaja primerna manjša številka? Seveda. Na primer, nič je večja od -6. In še manj? Potrebujemo najmanjšo možno! Minus tri je več kot minus šest! Lahko že ujamete vzorec in nehate neumno razvrščati številke, kajne?)

Vzamemo številko bližje -6. Na primer, -5. Odgovor izveden, -5 > - 6. Ali lahko najdete drugo število, manjše od -5, vendar večje od -6? Lahko na primer -5,5 ... Stop! Povedali so nam cela rešitev! Ne vrti -5,5! Kaj pa minus šest? Eee! Neenakost je stroga, minus 6 ni nič manj kot minus 6!

Pravilen odgovor je torej -5.

Upam, da je z izbiro vrednosti iz splošne rešitve vse jasno. Še en primer:

4. Reši neenačbo:

7 < 3x+1 < 13

Kako! Tak izraz se imenuje trojna neenakost. Strogo gledano je to skrajšan zapis sistema neenačb. Še vedno pa moraš pri nekaterih nalogah reševati takšne trojne neenačbe ... Rešuje se brez sistemov. Z enakimi enakimi transformacijami.

Treba je poenostaviti, to neenakost prenesti na čisti X. Ampak ... Kaj prenesti kam!? Tukaj je čas, da se spomnite, da je premik levo-desno skrajšana oblika prva enaka transformacija.

In celoten obrazec izgleda takole: Obema deloma enačbe (neenačba) lahko dodate/odštejete poljubno število ali izraz.

Tukaj so trije deli. Tako bomo uporabili enake transformacije za vse tri dele!

Torej, znebimo se tistega v srednjem delu neenakosti. Od celotnega srednjega dela odštejte eno. Da se neenačba ne spremeni, od preostalih dveh delov odštejemo enega. Všečkaj to:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Že bolje, kajne?) Vse tri dele je treba razdeliti na tri:

2 < X < 4

To je vse. To je odgovor. X je lahko poljubno število od dve (brez) do štiri (brez). Tudi ta odgovor je zapisan v intervalih, takšni vnosi bodo v kvadratnih neenačbah. Tam so najpogostejša stvar.

Na koncu lekcije bom ponovil najpomembnejše. Uspeh pri reševanju linearnih neenačb je odvisen od sposobnosti transformacije in poenostavitve linearnih enačb. Če hkrati sledi znaku neenakosti, ne bo težav. Kaj ti želim. ni problema.)

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učenje - z zanimanjem!)

se lahko seznanite s funkcijami in odpeljankami.

Po prejemu začetnih informacij o neenačbah s spremenljivkami se obrnemo na vprašanje njihove rešitve. Analizirajmo reševanje linearnih neenačb z eno spremenljivko in vse metode za njihovo reševanje z algoritmi in primeri. Upoštevane bodo samo linearne enačbe z eno spremenljivko.

Kaj je linearna neenakost?

Najprej morate definirati linearno enačbo in ugotoviti njeno standardno obliko ter kako se bo razlikovala od drugih. Iz šolskega tečaja vemo, da neenakosti nimajo bistvene razlike, zato je treba uporabiti več definicij.

Definicija 1

Linearna neenakost z eno spremenljivko x je neenačba oblike a x + b > 0, če je namesto > uporabljen katerikoli znak za neenakost< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definicija 2

Neenakosti a x< c или a · x >c, pri čemer je x spremenljivka, a in c pa nekaj števil linearne neenačbe z eno spremenljivko.

Ker ni nič rečeno o tem, ali je koeficient lahko enak 0, potem velja stroga neenakost oblike 0 x > c in 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Njihove razlike so:

• zapis a · x + b > 0 v prvem in a · x > c – v drugem;
• dopustnost ničelnega koeficienta a , a ≠ 0 - v prvem in a = 0 - v drugem.

Menijo, da sta neenačbi a x + b > 0 in a x > c enakovredni, ker ju dobimo s prenosom člena iz enega dela v drugega. Reševanje neenačbe 0 · x + 5 > 0 bo vodilo do dejstva, da jo bo treba rešiti, primer a = 0 pa ne bo deloval.

Definicija 3

Velja, da so linearne neenakosti v eni spremenljivki x neenakosti oblike a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 in a x + b ≥ 0, kjer sta a in b realni števili. Namesto x je lahko navadno število.

Na podlagi pravila imamo, da je 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 imenujemo linearne.

Kako rešiti linearno neenakost

Glavni način reševanja takih neenakosti je uporaba ekvivalentnih transformacij za iskanje elementarnih neenakosti x< p (≤ , >, ≥), pri čemer je p neko število, za a ≠ 0 in ima obliko a< p (≤ , >, ≥) za a = 0 .

Če želite rešiti neenačbo z eno spremenljivko, lahko uporabite intervalno metodo ali jo predstavite grafično. Vsak od njih se lahko uporablja ločeno.

Uporaba ekvivalentnih transformacij

Rešiti linearno neenačbo oblike a x + b< 0 (≤ , >, ≥) , je treba uporabiti ekvivalentne transformacije neenačbe. Koeficient je lahko nič ali ne. Upoštevajmo oba primera. Če želite pojasniti, se je treba držati sheme, sestavljene iz 3 točk: bistvo postopka, algoritem, sama rešitev.

Definicija 4

Algoritem za reševanje linearne neenačbe a x + b< 0 (≤ , >, ≥) za a ≠ 0

• število b se bo preneslo na desno stran neenačbe z nasprotnim predznakom, kar nam bo omogočilo, da pridemo do ekvivalenta a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• oba dela neenakosti bosta deljena s številom, ki ni enako 0. Poleg tega, ko je a pozitiven, predznak ostane, ko je a negativen, se spremeni v nasprotno.

Razmislite o uporabi tega algoritma pri reševanju primerov.

Primer 1

Rešite neenačbo oblike 3 · x + 12 ≤ 0 .

rešitev

Ta linearna neenakost ima a = 3 in b = 12 . Zato koeficient a pri x ni enak nič. Uporabimo zgornje algoritme in rešimo.

Izraz 12 je potrebno prenesti na drug del neenakosti s spremembo predznaka pred njim. Nato dobimo neenačbo oblike 3 · x ≤ − 12 . Oba dela je treba deliti s 3. Predznak se ne bo spremenil, ker je 3 pozitivno število. Dobimo, da je (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , kar bo dalo rezultat x ≤ − 4 .

Neenačba oblike x ≤ − 4 je enakovredna. To pomeni, da je rešitev za 3 x + 12 ≤ 0 katero koli realno število, ki je manjše ali enako 4 . Odgovor je zapisan kot neenačba x ≤ − 4 , ali številski interval oblike (− ∞ , − 4 ] .

Celoten zgoraj opisani algoritem je zapisan takole:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

odgovor: x ≤ − 4 ali (− ∞ , − 4 ] .

Primer 2

Označite vse razpoložljive rešitve neenačbe − 2 , 7 · z > 0 .

rešitev

Iz pogoja vidimo, da je koeficient a pri z enak - 2, 7, b pa eksplicitno ni ali je enak nič. Ne morete uporabiti prvega koraka algoritma, ampak takoj pojdite na drugega.

Oba dela enačbe delimo s številom - 2, 7. Ker je število negativno, je treba znak neenakosti spremeniti v nasprotno. To pomeni, da dobimo (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Zapišemo celoten algoritem kratka oblika:

− 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

odgovor: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Primer 3

Rešite neenačbo - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

rešitev

Glede na pogoj vidimo, da je treba rešiti neenačbo s koeficientom a za spremenljivko x, ki je enak - 5, s koeficientom b, ki ustreza ulomku - 15 22 . Neenačbo je treba rešiti po algoritmu, to je: prenesti - 15 22 na drug del z nasprotnim predznakom, oba dela deliti z - 5, spremeniti predznak neenakosti:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Pri zadnjem prehodu za desno stran pravilo za deljenje števila z različna znamenja 15 22: - 5 = - 15 22: 5 , nakar izvedemo deljenje navadni ulomek na naravno število - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 \u003d - 3 22.

odgovor: x ≥ - 3 22 in [ - 3 22 + ∞) .

Razmislite o primeru, ko je a = 0. Linearni izraz oblike a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Vse temelji na definiciji rešitve neenačbe. Za poljubno vrednost x dobimo numerično neenakost oblike b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Vse sodbe obravnavamo v obliki algoritma za reševanje linearnih neenačb 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definicija 5

Številska neenakost oblike b< 0 (≤ , >, ≥) velja, potem ima izvirna neenakost rešitev za poljubno vrednost, in napačno, če izvirna neenačba nima rešitev.

Primer 4

Rešite neenačbo 0 · x + 7 > 0 .

rešitev

Ta linearna neenakost 0 · x + 7 > 0 ima lahko poljubno vrednost x. Potem dobimo neenačbo oblike 7 > 0 . Zadnja neenakost velja za resnično, zato je lahko njena rešitev poljubno število.

Odgovori: interval (− ∞ , + ∞) .

Primer 5

Poišči rešitev neenačbe 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

rešitev

Če poljubno število nadomestimo s spremenljivko x, dobimo, da bo neenakost v obliki − 12 , 7 ≥ 0 . Nepravilno je. To pomeni, da 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 nima rešitev.

odgovor: ni rešitev.

Razmislite o rešitvi linearne neenačbe, kjer sta oba koeficienta enaka nič.

Primer 6

Določite nerešljivo neenačbo iz 0 · x + 0 > 0 in 0 · x + 0 ≥ 0 .

rešitev

Pri zamenjavi poljubnega števila namesto x dobimo dve neenačbi oblike 0 > 0 in 0 ≥ 0 . Prvo je napačno. To pomeni, da 0 x + 0 > 0 nima rešitev, 0 x + 0 ≥ 0 pa ima neskončno število rešitev, torej poljubno število.

Odgovori: neenačba 0 x + 0 > 0 nima rešitev, 0 x + 0 ≥ 0 pa ima rešitve.

Ta metoda se obravnava v šolskem tečaju matematike. Intervalna metoda je sposobna razrešiti različne vrste neenakosti so tudi linearne.

Intervalna metoda se uporablja za linearne neenakosti, ko vrednost koeficienta x ni enaka 0. V nasprotnem primeru boste morali izračunati z drugo metodo.

Opredelitev 6

Metoda razmika je:

• uvedba funkcije y = a x + b ;
• iskanje ničel za razdelitev domene definicije na intervale;
• določitev znakov za pojem le-teh na intervalih.

Sestavimo algoritem za reševanje linearnih enačb a x + b< 0 (≤ , >, ≥) za a ≠ 0 z uporabo intervalne metode:

• iskanje ničel funkcije y = a · x + b za rešitev enačbe oblike a · x + b = 0 . Če je a ≠ 0, bo rešitev edini koren, ki bo dobil oznako x 0;
• konstrukcija koordinatne premice s podobo točke s koordinato x 0, pri strogi neenakosti je točka označena z izsekano, pri nestrogi neenakosti je osenčena;
• določitev znakov funkcije y = a x + b na intervalih, za to je potrebno najti vrednosti funkcije v točkah na intervalu;
• rešitev neenačbe z znakoma > ali ≥ na koordinatni premici, nad pozitivno vrzeljo dodamo šrafuro,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Razmislite o več primerih reševanja linearne neenačbe z intervalno metodo.

Primer 6

Rešite neenačbo − 3 · x + 12 > 0 .

rešitev

Iz algoritma sledi, da je treba najprej najti koren enačbe − 3 · x + 12 = 0 . Dobimo, da je − 3 · x = − 12 , x = 4 . Potrebno je prikazati koordinatno črto, kjer označimo točko 4. Preluknjana bo, ker je neenakost stroga. Razmislite o spodnji risbi.

Treba je določiti znake na intervalih. Za določitev na intervalu (− ∞ , 4) je potrebno izračunati funkcijo y = − 3 · x + 12 za x = 3 . Od tod dobimo, da je − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Predznak na vrzeli je pozitiven.

Predznak določimo iz intervala (4, + ∞), nato nadomestimo vrednost x \u003d 5. Imamo − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Rešitev neenačbe izvedemo z znakom > , šrafuro pa izvedemo nad pozitivno vrzeljo. Razmislite o spodnji risbi.

Iz risbe je razvidno, da ima želena rešitev obliko (− ∞ , 4) ali x< 4 .

Odgovori: (− ∞ , 4) ali x< 4 .

Da bi razumeli, kako grafično prikazati, je treba kot primer upoštevati 4 linearne neenakosti: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 in 0 , 5 x − 1 ≥ 0 . Njihove rešitve bodo x< 2 , x ≤ 2 , x >2 in x ≥ 2 . Če želite to narediti, spodaj narišite graf linearne funkcije y = 0 , 5 · x − 1.

Jasno je, da

Opredelitev 7

• rešitev neenačbe 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• rešitev 0 , 5 x − 1 ≤ 0 je interval, kjer je funkcija y = 0 , 5 x − 1 pod 0 x ali sovpada;
• rešitev 0 , 5 x − 1 > 0 štejemo za interval, kjer se funkcija nahaja nad O x;
• rešitev 0 , 5 x − 1 ≥ 0 je interval, kjer je graf višji od O x ali sovpada.

Pomen grafične rešitve neenačb je najti vrzeli, ki morajo biti prikazane na grafu. V tem primeru dobimo, da ima leva stran y \u003d a x + b, desna stran pa y \u003d 0 in sovpada s približno x.

Opredelitev 8

Izvede se risanje funkcije y = a x + b:

• pri reševanju neenačbe a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• pri reševanju neenačbe a x + b ≤ 0 se določi interval, kjer je graf prikazan pod osjo O x ali sovpada;
• pri reševanju neenačbe a x + b > 0 se določi interval, kjer se graf izpiše nad O x;
• pri reševanju neenačbe a x + b ≥ 0 se določi interval, kjer je graf nad O x ali sovpada.

Primer 7

S pomočjo grafa rešite neenačbo - 5 · x - 3 > 0.

rešitev

Zgraditi je treba graf linearne funkcije - 5 · x - 3 > 0 . Ta premica pada, ker je koeficient pri x negativen. Za določitev koordinat točke njegovega presečišča z O x - 5 · x - 3 > 0 dobimo vrednost - 3 5 . Postavimo graf.

Rešitev neenačbe z znakom >, potem morate biti pozorni na interval nad O x. Potreben del letala označimo z rdečo in dobimo to

Zahtevana vrzel je del O x rdeče barve. Zato bo odprt številski žarek - ∞ , - 3 5 rešitev neenačbe. Če bi po pogoju imeli nestrogo neenačbo, bi bila vrednost točke - 3 5 tudi rešitev neenačbe. In bi sovpadal z O x.

Odgovori: - ∞ , - 3 5 ali x< - 3 5 .

Grafična rešitev se uporablja, ko bo leva stran ustrezala funkciji y = 0 x + b , to je y = b . Potem bo črta vzporedna z O x ali sovpadala pri b \u003d 0. Ti primeri kažejo, da neenakost morda nima rešitve ali pa je rešitev lahko katero koli število.

Primer 8

Določite iz neenačb 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

rešitev

Predstavitev y = 0 x + 7 je y = 7 , potem bo podana koordinatna ravnina s premico, vzporedno z O x in nad O x. Torej 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Graf funkcije y \u003d 0 x + 0 velja za y \u003d 0, to pomeni, da črta sovpada z O x. Zato ima neenačba 0 · x + 0 ≥ 0 veliko rešitev.

Odgovori: druga neenačba ima rešitev za poljubno vrednost x.

Linearne neenakosti

Reševanje neenačb lahko zreduciramo na reševanje linearne enačbe, ki jih imenujemo linearne neenačbe.

Te neenakosti so bile obravnavane v šolskem tečaju, saj so bile poseben primer reševanja neenakosti, kar je vodilo do odpiranja oklepajev in zmanjševanja podobnih členov. Na primer, upoštevajte, da je 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Zgoraj podane neenakosti se vedno reducirajo na obliko linearne enačbe. Nato se odprejo oklepaji in podajo podobni izrazi, preneseni iz različne dele, spreminjanje predznaka v nasprotno.

Pri redukciji neenačbe 5 − 2 x > 0 na linearno jo predstavimo tako, da ima obliko − 2 x + 5 > 0 , za redukcijo druge pa dobimo 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Treba je odpreti oklepaje, prinesti podobne izraze, premakniti vse izraze na levo stran in prinesti podobne izraze. Videti je takole:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

To pripelje do rešitve linearne neenakosti.

Te neenakosti se štejejo za linearne, saj imajo enak princip rešitve, po katerem jih je mogoče zmanjšati na elementarne neenakosti.

Da bi rešili tovrstno neenakost, jo je treba reducirati na linearno. To je treba narediti takole:

Opredelitev 9

• odprti oklepaji;
• zbiranje spremenljivk na levi in ​​števila na desni;
• prinašajo podobne pogoje;
• oba dela delimo s koeficientom x.

Primer 9

Rešite neenačbo 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

rešitev

Oklepaje razširimo, dobimo neenačbo oblike 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Po zmanjšanju podobnih členov imamo, da je 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Ko člene premaknemo z leve na desno, dobimo, da je 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Zato ima neenakost oblike 32 ≤ 0 iz rezultata, dobljenega pri izračunu 0 · x + 32 ≤ 0 . Vidimo, da je neenakost napačna, kar pomeni, da neenakost, podana s pogojem, nima rešitev.

Odgovori: ni rešitev.

Omeniti velja, da obstaja veliko neenakosti druge vrste, ki jih je mogoče zmanjšati na linearno ali neenakost, kot je prikazana zgoraj. Na primer, 5 2 x − 1 ≥ 1 je eksponentna enačba, ki se reducira na linearno rešitev 2 · x − 1 ≥ 0 . Te primere bomo upoštevali pri reševanju tovrstnih neenačb.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Pozor!
Obstajajo dodatni
material v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki močno "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Kaj "kvadratna neenakost"? Ni vprašanje!) Če vzamete kaj kvadratno enačbo in v njej spremeni predznak "=" (enako) kateri koli ikoni neenakosti ( > ≥ < ≤ ≠ ), dobimo kvadratno neenakost. Na primer:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

No, razumete ...)

Tukaj sem zavestno povezal enačbe in neenačbe. Dejstvo je, da je prvi korak pri reševanju kaj kvadratna neenakost - reši enačbo, iz katere je sestavljena ta neenačba. Iz tega razloga - nezmožnost reševanja kvadratnih enačb samodejno vodi v popolno napako pri neenačbah. Je namig jasen?) Če kaj, poglejte, kako rešiti katero koli kvadratno enačbo. Tam je vse podrobno opisano. In v tej lekciji se bomo ukvarjali z neenakostmi.

Za rešitev pripravljena neenačba ima obliko: levo - kvadratni trinom sekira 2 +bx+c, na desni - nič. Znak neenakosti je lahko karkoli. Prva dva primera sta tukaj so pripravljeni na odločitev. Tretji primer je treba še pripraviti.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učenje - z zanimanjem!)

se lahko seznanite s funkcijami in odpeljankami.

V članku bomo razmislili rešitev neenačb. Pogovorimo se odkrito o kako zgraditi rešitev za neenakosti z jasnimi primeri!

Preden obravnavamo rešitev neenačb s primeri, se posvetimo osnovnim pojmom.

Uvod v neenakosti

neenakost se imenuje izraz, v katerem so funkcije povezane z relacijskimi znaki >, . Neenakosti so lahko številske in abecedne.
Neenakosti z dvema relacijskima znakoma se imenujejo dvojne, s tremi - trojne itd. Na primer:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Neenačbe, ki vsebujejo znak > ali ali niso stroge.
Rešitev neenakosti je katera koli vrednost spremenljivke, za katero ta neenakost velja.
"Reši neenačbo" pomeni, da morate najti nabor vseh njegovih rešitev. Obstajajo različne metode za reševanje neenačb. Za rešitve neenakosti uporabite številsko premico, ki je neskončna. na primer reševanje neenačbe x > 3 je interval od 3 do +, število 3 pa ni vključeno v ta interval, zato je točka na premici označena s praznim krogcem, ker neenakost je stroga.
+
Odgovor bo: x (3; +).
Vrednost x=3 ni vključena v množico rešitev, zato je oklepaj okrogel. Znak neskončnosti je vedno v oklepaju. Znak pomeni "pripadnost".
Razmislite, kako rešiti neenakosti z drugim primerom z znakom:
x2
-+
Vrednost x=2 je vključena v množico rešitev, zato sta oglati oklepaj in točka na premici označena s popolnjenim krogcem.
Odgovor bo: x )