Материал по математике "теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими". Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми

§ 1 Обратная теорема

В этом уроке выясним, какие теоремы называются обратными, приведем примеры обратных теорем, сформулируем теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, и познакомимся с методом доказательства от противного.

При изучении различных геометрических фигур обычно формулируются определения, доказываются теоремы, рассматриваются следствия из теорем. Во всякой теореме различают две части: условие и заключение.

Условие теоремы - это то, что дано, а заключение - это то, что требуется доказать. Очень часто условие теоремы начинается со слова «если», а заключение начинается со слова «то». Например, теорему о свойствах равнобедренного треугольника можно сформулировать так: «Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны». Первая часть теоремы «Если треугольник равнобедренный» - это условие теоремы, вторая часть теоремы «то углы при его основании равны» - это заключение теоремы.

Теорема, где меняются местами условие с заключением, называется обратной теоремой. Обратная теорема к теореме о свойствах равнобедренного треугольника будет звучать так: «Если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный».

Запишем коротко каждую из них:

Мы видим, что условие и заключение поменялись местами.

Каждое из этих утверждений справедливо.

Возникает вопрос: всегда ли является верным утверждение, где условие меняется с заключением местами?

Рассмотрим пример.

Если углы вертикальные, то они равны. Это верное утверждение, у него есть доказательство. Сформулируем обратное утверждение: если углы равны, то они вертикальные. Данное утверждение неверное, в этом легко убедиться, приведя опровергающий пример: возьмем два прямых угла (см. рисунок), они равны, но при этом не являются вертикальными.

Таким образом, обратные утверждения (теоремы) по отношению к уже доказанным утверждениям (теоремам) всегда требуют доказательства.

§ 2 Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Давайте теперь вспомним доказанные утверждения - теоремы, выражающие признаки параллельности двух прямых, сформулируем обратные им теоремы и убедимся в их справедливости, приведя доказательства.

Первый признак параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Обратная теорема:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Докажем это утверждение.

Дано: параллельные прямые а и b пересечены секущей АВ.

Доказать: накрест лежащие углы 1 и 2 равны. (см. рис.)

Доказательство:

Допустим, что углы 1 и 2 не равны.

Отложим от луча АВ угол САВ, равный углу 2, так, чтобы угол САВ и угол 2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых СА и b секущей АВ.

По построению эти накрест лежащие углы равны, значит, прямая СА параллельна прямой b.

Мы получили, что через точку А проходят две прямые а и СА, параллельные прямой b. Это противоречит аксиоме параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Значит, наше допущение неверно, углы 1 и 2 равны.

Теорема доказана.

§ 3 Метод доказательства от противного

При доказательстве этой теоремы мы использовали способ рассуждений, который называется методом доказательства от противного. Начиная доказательство, мы предположили противоположное тому, что требовалось доказать. Считая это предположение верным, путем рассуждений пришли к противоречию с аксиомой параллельных прямых. Из этого сделали вывод, что наше предположение не верно, а верно утверждение теоремы. Такой способ доказательства часто используется в математике.

Рассмотрим следствие доказанной теоремы.

Следствие:

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Пусть прямая а параллельна прямой b, прямая с перпендикулярна прямой а, т.е. угол 1 = 90º.

Прямая с пересекает прямую а, значит, прямая с пересекает также прямую b.

При пересечении параллельных прямых секущей, накрест лежащие углы равны, значит, угол 1 = углу 2.

Так как угол 1 = 90º, то и угол 2 = 90º, значит, прямая с перпендикулярна прямой b.

Следствие доказано.

Обратная теорема для второго признака параллельности прямых:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Обратная теорема для третьего признака параллельности прямых:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180º.

Итак, в этом уроке мы выяснили, какие теоремы называются обратными, сформулировали и рассмотрели теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, а также познакомились с методом доказательства от противного.

Список использованной литературы:

Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013. – 383 с.: ил.
Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 7 класс. - М.: «ВАКО», 2004, 288с. – (В помощь школьному учителю).
Белицкая О.В. Геометрия. 7 класс. Ч.1. Тесты. – Саратов: Лицей, 2014. – 64 с.

Рыбалко Павел

В данной презентации содержатся: 3 теоремы с доказательствами и 3 задачи на закрепление изученного материала с подробным решением. Презентация может быть полезна учителю на уроке, т. к. сэкономит много времени. Также её можно использовать в качестве обобщающего повторения в конце учебного года.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Исполнитель: ученик 7 «А» кл асса Рыбалко Павел г. Мытищи, 2012 год

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. а в А В 1 2  1 =  2 c

Доказательство: A B C D M N 1 2 A B C D M N 1 2 K O Пусть прямые АВ и СD параллельны, МN - их секущая. Докажем, что накрест лежащие углы 1 и 2 равны между собой. Допустим, что  1 и  2 не равны. Проведем через точку О прямую К F. Тогда при точке О можно построить  KON , накрест лежащий и равный  2. Но если  KON =  2, то прямая К F будет параллельна СD. Получили, что через точку О проведены две прямые АВ и К F, параллельные прямой СD. Но этого не может быть. Мы пришли к противоречию, потому что допустили, что  1 и  2 не равны. Следовательно, наше допущение является неправильным и  1 должен быть равен  2, т. е. накрест лежащие углы равны. F

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равн ы. а в А В 1 2  1 =  2

Доказательство: 2 а в А В 3 1 Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей АВ, то накрест лежащие  1 и  3 будут равны.  2 и  3 равны как вертикальные. Из равенств  1 =  3 и  2 =  3 следует, что  1 =  2. Теорема доказана

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°. а в А В 3 1  1 +  3 = 180°

Доказательство: Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей АВ, то соответственные  1 и  2 будут равны,  2 и  3 – смежные, поэтому  2 +  3 = 180 °. Из равенств  1 =  2 и  2 +  3 = 180 ° следует, что  1 +  3 = 180 °. Теорема доказана. 2 а в А В 3 1

Решение: 1. Пусть Х – это  2, тогда  1 = (Х+70°), т.к. сумма углов 1 и 2 = 180°, в силу того, что они смежные. Составим уравнение: Х+ (Х+70°) = 180° 2Х = 110 ° Х = 55° (Угол 2) 2. Найдем  1. 55° + 70° = 125° 3.  1 =  3, т.к. они вертикальные.  3 =  5, т.к. они накрест лежащие. 125°  5 =  7, т.к. они вертикальные.  2 =  4, т.к. они вертикальные.  4 =  6, т.к. они накрест лежащие. 55°  6 =  8, т.к. они вертикальные. Задача №1: A B 4 3 5 8 7 2 1 6 Условие: найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных A и B секущей C, если один из углов на 70° больше другого.

Решение: 1. Т.к.  4 = 45°, то  2 = 45°, потому что  2 =  4(как соответственные) 2.  3 смежен с  4, поэтому  3+  4=180°, и из этого следует, что  3= 180° - 45°= 135°. 3.  1 =  3, т.к. они накрест лежащие.  1 = 135°. Ответ:  1=135°;  2=45°;  3=135°. Задача №2: A B 1 Условие: на рисунке прямые А II B и C II D,  4=45°. Найти углы 1, 2, 3. 3 2 4

Решение: 1.  1=  2, т.к. они вертикальные, значит  2= 45°. 2.  3 смежен с  2, поэтому  3+  2=180°, и из этого следует, что  3= 180° - 45°= 135°. 3.  4 +  3=180°, т.к. они односторонние.  4 = 45°. Ответ:  4=45°;  3=135°. Задача №3: A B 2 Условие: две параллельные прямые А и B пересечены секущей С. Найти, чему будут равны  4 и  3, если  1=45°. 3 4 1

Теоремы об углах, образованных

Геометрия, Глава III, 7 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Теорема, обратная данной

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны .

Теорема: Если треугольник – равнобедрен-ный, то в нём углы при основании равны .

Условие теоремы (Дано): треугольник - равнобедренный

Заключение теоремы (Доказать): углы при основании равны

Условие теоремы : углы при основании равны

Заключение теоремы : треугольник - равнобедренный

НОВОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ

Обратная

теорема

Если в треугольнике два угла

равны, то он - равнобедренный .

Теорема, обратная данной

Всегда ли обратное утверждение верно?

Теорема

Обратная теорема

Если сумма двух углов равна 180 0 , то углы - смежные

Сумма смежных углов

равна 180 0 .

Если углы равны,

то они - вертикальные

Вертикальные углы равны

Если в треугольнике биссектриса, проведенная к одной из его сторон, является и медианой, проведенной к этой стороне, то этот треугольник -равнобедренный

В равнобедренном треугольнике, биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

Если в треугольнике биссектриса, проведенная к одной из его сторон, является и высотой, проведенной к этой стороне, то этот треугольник -равнобедренный

Е сли треугольник - равнобедренный, то биссектриса, проведенная к основанию , является и медианой и высотой

Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей

Всегда ли обратное утверждение верно?

Теорема

Обратная теорема

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны

накрест лежащие углы равны то прямые параллельны .

Но это противоречит аксиоме параллельных , значит наше допущение неверно

МЕТОД ОТ

ПРОТИВНОГО

Выдвигаем предположение, противоположное тому, что надо доказать

Путем рассуждений приходим к противоречию с известной аксиомой или теоремой

Делаем вывод о неверности нашего предположения и верности утверждения теоремы

Но это противоречит аксиоме параллельных

Следовательно, наше допущение неверно

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны

СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой

Углы, образованные

двумя параллельными прямыми и секущей

Теорема

Обратная теорема

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны , то прямые параллельны .

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны

Углы, образованные

двумя параллельными прямыми и секущей

Теорема

Обратная теорема

Если при пересечении двух прямых секущей 0 , то прямые параллельны .

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 0

Прямые а и b параллельны.

Найдите угол 2.

Прямые а и b параллельны.

Найдите неизвестные углы

Прямые а и b параллельны.

Найдите неизвестные углы

Прямые а и b параллельны. Найдите неизвестные углы, если сумма двух накрест лежащих углов равна 100 0 .

Прямые а и b параллельны. Найдите неизвестные углы, если сумма двух соответст-венных углов равна 260 0 .

Прямые а и b параллельны. Найдите неизвестные углы, если разность двух одно-сторонних углов равна 50 0 .

Видеоурок о теоремах об углах между двумя параллельными прямыми и их секущей содержит материал, представляющий особенности строения теоремы, примеры формирования и доказательства обратных теорем, следствий из них. Задача данного видеоурока - углубить понятие теоремы, разложив ее на составляющие, рассмотрев понятие обратной теоремы, формировать умение строить теорему, обратную данной, следствий из теоремы, формировать умение доказывать утверждения.

Форма видеоурока позволяет удачно расставить акценты при демонстрации материала, облегчая понимание и запоминание материала. Тема данного видеоурока сложная и важная, поэтому использование наглядного пособия не только целесообразно, но и желательно. Он дает возможность повысить качество обучения. Анимированные эффекты улучшают представление учебного материала, приближают процесс обучения к традиционному, а использование видео освобождает учителя для углубления индивидуальной работы.

Видеоурок начинается с объявления его темы. В начале урока рассматривается разложение теоремы на составляющие для лучшего понимания ее строения и возможностей для дальнейшего исследования. На экране демонстрируется схема, демонстрирующая, что теорема состоит их условия и заключения. Понятие условия и заключения описывается на примере признака параллельности прямых, отметив, что часть утверждения является условием теоремы, а вывод - заключением.

Углубляя полученные знания о строении теоремы, ученикам дается понятие теоремы, обратной данной. Она образуется в результате замены - условие становится заключением, заключение - условием. Чтобы сформировать умение учеников строить теоремы, обратные данным, умение доказывать их, рассматриваются теоремы, обратные тем, которые рассмотрены в уроке 25 о признаках параллельности прямых.

На экране отображается теорема, обратная первой теореме, описывающей признак параллельный прямых. Поменяв местами условие и заключение, получаем утверждение, что если пересечены секущей какие-либо параллельные прямые, то образованные при этом накрест лежащие углы будут равными. Доказательство демонстрируется на рисунке, где изображены прямые а, b, а также секущая, проходящая через эти прямые в их точках M и N. На изображении отмечаются накрест лежащие углы ∠1 и ∠2. Необходимо доказать их равенство. Сначала в ходе доказательства делается предположение, что данные углы не являются равными. Для этого через точку М проводится некоторая прямая Р. Строится угол `∠PMN, являющийся накрест лежащим с углом ∠2 по отношению к MN. Углы `∠PMN и ∠2 по построению равны, следовательно МР║b. Вывод - через точку проведены две прямые, параллельные b. Однако это невозможно, потому что не соответствует аксиоме параллельных прямых. Сделанное предположение оказывается ошибочным, доказывая справедливость изначального утверждения. Теорема доказана.

Далее обращается внимание учеников на способ доказательства, который был использован в ходе рассуждений. Доказательство, в котором предполагается ошибочность доказываемого утверждения, называется в геометрии доказательством от противного. Данный способ часто используется для доказательства различных геометрических утверждений. В данном случае, предположив, неравенство накрест лежащих углов, в ходе рассуждений выявилось противоречие, что отрицает справедливость такого противоречия.

Ученикам напоминается, что подобный способ уже был использован ранее в доказательствах. Примером этому служит доказательство теоремы в уроке 12 о том, что две прямые, которые перпендикулярны третьей, не пересекаются, а также доказательства следствий в уроке 28 из аксиомы параллельности прямых.

Еще одно доказываемое следствие утверждает, что прямая перпендикулярна к обеим параллельным прямым, если она перпендикулярна к одной из них. На рисунке изображаются прямые а и b и перпендикулярная им прямая с. Перпендикулярность прямой c к а означает, что образуемый с ней угол равен 90°. Параллельность а и b, пересечение их прямой с означает, что прямая с пересекает b. Угол ∠2, образованный с прямой b, является накрест лежащим к углу ∠1. А так как по условию прямые параллельны, то данные углы равны. Соответственно, величина угла ∠2 также будет равна 90°. Это означает, прямая с оказалась перпендикулярной прямой b. Рассматриваемая теорема доказана.

Следующей доказывается теорема, обратная ко второму признаку параллельных прямых. Обратная теорема утверждает, при условии параллельности двух прямых образованные соответственные углы будут равными. Доказательство начинается с построения секущей с, параллельных между собой прямых а и b. Созданные при этом углы отмечаются на рисунке. Имеется пара соответственных углов, названные ∠1 и ∠2, также отмечен угол ∠3, который накрест лежащий углу ∠1. Параллельность а и b означает равенство ∠3=∠1 как накрест лежащих. Учитывая, что ∠3, ∠2 - вертикальные, они также равны. Следствием таких равенств является утверждение, что ∠1=∠2. Рассматриваемая теорема доказана.

Последняя доказываемая на данном уроке теорема - обратная последнему признаку параллельных прямых. Ее текст гласит, что в случае прохождения через параллельные прямые некоторой секущей, сумма образованных при этом односторонних углов равна величине в 180°. Ход доказательства демонстрируется на рисунке, где изображены прямые а и b, пересекающиеся с секущей с. Необходимо доказать, что величина суммы односторонних углов будет равняться 180°, то есть ∠4+∠1 = 180°. Из параллельности прямых а и b следует равенство соответственных углов ∠1 и ∠2. Смежность углов ∠4, ∠2 означает, что в сумме они составляют 180°. При этом углы ∠1= ∠2 - значит, ∠1 в сумме с углом ∠4 будет составлять 180°. Теорема доказана.

Для более глубокого понимания, как формируются и доказываются обратные теоремы, отдельно отмечается, что если теорема доказана и верна, то это не значит, что также верна будет обратная теорема. Чтобы это понять, приводится простой пример. Есть теорема о том, что все вертикальные углы равны. Обратная теорема звучит так, что все равные углы вертикальны, что не соответствует действительности. Ведь можно построить два равных угла, которые не будут вертикальны. Это можно увидеть на продемонстрированном рисунке.

Видеоурок «Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей» является наглядным пособием, которое может быть использовано учителем на уроке геометрии, а также успешно сформировать представление об обратных теоремах и следствиях, а также их доказательстве при самостоятельном изучении материала, быть полезным в дистанционном обучении.