Что значит множество значений функции. Область значений функции (множество значений функции)

y = x 3

y = | x |

y =

E(y ) = [- 1, 1]

E(y ) = (– ∞, + ∞)

E(y ) = (– ∞, + ∞)

E(y ) = (– ∞, + ∞)

E(y ) = (0, + ∞)

Введение алгоритма решения задач на нахождение множества значений тригонометрических функций.

Давайте посмотрим, как мы можем применить имеющийся опыт для решения различных заданий, включаемых в варианты единого экзамена.

1. Нахождение значений функций при заданном значении аргумента.

Пример. Найти значение функции у = 2 cos (π/2+ π/4) – 1, если х = - π/2.

Решение.

= –
– 1.

2.Нахождение области значений тригонометрических функций


Решение.

1≤ sin х ≤ 1

2 ≤ 2 sin х ≤ 2

9 ≤ 11+2sin х ≤ 13

3 ≤
+2∙ sin х ≤
, т.е. Е (у)= .

Выпишем целые значения функции на промежутке . Это число 3.

Ответ: 3.

• 
  Найдите множество значений функции у = sin 2 х + 6sin х + 10.

• 
  Найдите множество значений функции: у = sin 2 х - 6 sin х + 8 . (самостоятельно)

у = sin 2 х- 2 3 sin х + 3 2 - 3 2 + 8,

у = (sin х- 3) 2 -1.

Е (sin х ) = [-1;1];

Е (sin х -3) = [-4;-2];

Е (sin х -3) 2 = ;

Е (у ) = .

Ответ: .

• 
  Найдите наименьшее значение функции у = соs 2 x + 2sin x – 2.

Можем ли мы найти множество значений этой функции? (Нет.)

Что нужно сделать? (Свести к одной функции.)

Как это сделать? (Использовать формулу cos 2 x = 1-sin 2 x .)

Итак, у = 1-sin 2 x + 2sin x –2,

y = -sin 2 x + 2sin x –1,

у = -(sin x –1) 2 .

Ну, а теперь мы можем найти множество значений и выбрать из них наименьшее.

1 ≤ sin x ≤ 1,

2 ≤ sin x – 1 ≤ 0,

0 ≤ (sin x – 1) 2 ≤ 4,

4 ≤ -(sin x -1) 2 ≤ 0.

Значит, наименьшее значение функции у наим = –4. Ответ: -4.

• 
  Найдите произведение наибольшего и наименьшего значений функции

Решение.

у = 1-cos 2 x + cos x + 1,5,

у = -cos 2 x + 2∙0,5∙cos x - 0,25 + 2,75,

у = -(cos x - 0,5) 2 + 2,75.

Е(cos x ) = [-1;1],

Е(cos x – 0,5) = [-1,5;0,5],

Е(cos x – 0,5) 2 = ,

Е(-(cos x -0,5) 2) = [-2,25;0],

Е(у ) = .

Наибольшее значение функции у наиб = 2,75; наименьшее значение у наим = 0,5. Найдём произведение наибольшего и наименьшего значения функции:

у наиб ∙ у наим = 0,5∙2,75 = 1,375.

Ответ: 1,375.

Перепишем функцию в виде у =,

у =
,

Найдем теперь множество значений функции.

E(sin x ) = [-1, 1],

E(6sin x ) = [-6, 6],

E(6sin x + 1) = [-5, 7],

E((6sin x + 1) 2) = ,

E(– (6sin x + 1) 2) = [-49, 0],

E(– (6sin x + 1) 2 + 64) = ,

E(y ) = [
, 8].

Найдем сумму целых значений функции: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30.

Ответ: 30.

1)
то есть х принадлежит I четверти.

2)

Следовательно, 2х принадлежат II четверти.

3) Во II четверти функция синус убывает и непрерывна. Значит, данная функция
принимает все значения от
до

4) Вычислим эти значения:

Ответ:
.

1) Так как а синус принимает значения от -1 до 1, то множество значений разности
. При умножении на
этот отрезок перейдет в отрезок
.

2) Арккосинус – монотонно убывающая и непрерывная функция. Значит, множество значений выражения - это отрезок
.

3) При умножении этого отрезка на получим
.

Ответ:
.

Так как арктангенс является возрастающей функцией, то
.

2) При возрастании х от
до аргумент 2х возрастает от
до . Так как синус на таком промежутке возрастает, то функция
принимает значения от
до 1.

3) При возрастании от до
аргумент 2х возрастает от до
. Так как синус на таком промежутке убывает, то функция
принимает значения от
до 1.

4) Используя формулу, выражающую синус через тангенс половинного угла, находим, что

.

Значит, искомое множество значений – это объединение отрезков
и
, то есть отрезок
.

Ответ:
.
Данный прием (Введение вспомогательного угла) применяется для нахождения множества значений функций вида

у = a sin x + b cos x или у = a sin (р x) + b cos (р x).

• 
  Найдите множество значений функции

Решение.

Найдем значение
=
= 25.

Преобразуем выражение

15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 (
) = 25 () =

25 sin (2x +), где cos= , sin=.

Множество значений функций у = sin (2x +): -1 sin (2x +) 1.

Тогда множество значений исходной функции -25 25 sin (2x +) 25.

Ответ : [-25; 25].
3. Задания на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке.

• 
  Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у = сtg х на отрезке [π/4; π/2].

Функция у = сtg х является убывающей на отрезке [π/4; π/2], следовательно, наименьшее значение функция будет принимать при х = π/2, то есть у (π/2) = сtg π/2 = 0; а наибольшее значение – при х= π/4, то есть у (π/4) = сtg π/4 = 1.

Ответ: 1, 0.

Выделим в равенстве
целую часть: .

Отсюда следует, что графиком функции f(x) явля­ется либо гипербола (а≠ 0), либо прямая без точки.

При этом если а; 2а) и (2а;
) и, если а > 0, монотонно возрастает на этих лучах.

Если а = 0, то f(x) = -2 на всей области определе­ния х ≠ 0. Поэтому очевидно, что искомые значения параметра не равняются нулю.

Поскольку нас интересуют значения функции толь­ко на отрезке [-1; 1], то классификация ситуаций определяется тем, что асимптота х = 2а гиперболы (а≠0) располагается относительно этого отрезка.

Случай 1. Все точки промежутка [-1; 1] находят­ся справа от вертикальной асимптоты х = 2а, то есть когда 2а

Случай 2. Вертикальная асимптота пересекает про­межуток [-1; 1], и функция убывает (как и в случае 1), то есть когда

Случай 3. Вертикальная асимптота пересекает про­межуток [-1; 1] и функция возрастает, то есть -1

.

Случай 4. Все точки промежутка [-1; 1] находят­ся слева от вертикальной асимптоты, то есть 1 а > . и второго
Прием 4 . Выражение х через у. (Поиск области определения обратной функции)

Прием 5. Упрощение формулы, задающей дробно-рациональную функцию

Прием 6. Нахождение множества значений квадратичных функций (с помощью нахождения вершины параболы и установления характера поведения её ветвей).

Прием 7. Введение вспомогательного угла для нахождения множества значений некоторых тригонометрических функций.

страница 1

Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью. Зависимость переменной y от переменной x называется функцией , если каждому значению x соответствует единственное значение y .

Обозначение:

Переменную x называют независимой переменной или аргументом , а переменную y - зависимой. Говорят, что y является функцией от x . Значение y , соответствующее заданному значению x , называют значением функции .

Все значения, которые принимает x , образуют область определения функции ; все значения, которые принимает y , образуют множество значений функции .

Обозначения:

D(f) - значения аргумента. E(f) - значения функции. Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Графиком функции называется множество всех точек на координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции. Если некоторому значению x=x 0 соответствуют несколько значений (а не одно) y , то такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая параллельная оси Оу, пересекалась с графиком не более чем в одной точке.

Способы задания функции

1) Функция может быть задана аналитически в виде формулы. Например,

2) Функция может быть задана таблицей из множества пар (x; y) .

3) Функция может быть задана графически. Пары значений (x; y) изображаются на координатной плоскости.

Монотонность функции

Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы "взбираться" вверх по графику.

Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы "скатываться" вниз по графику.

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Значения х , при которых y=0 , называется нулями функции . Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.

Такие промежутки значений x , на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.

Четные и нечетные функции

Четная функция
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения.
2) Для любого значения x f(-x)=f(x)
3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Нечетная функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2) для любого значения x , принадлежащего области определения, выполняется равенство f(-x)=-f(x)
3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.

Периодические функции

Функция f называется периодической, если существует такое число , что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T) . T - это период функции.

Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.

D(f) - те значения, которые может принимать аргумент, т.е. область определения функции .

E(f) - те значения, которые может принимать функция, т.е. множество значений функции .

Способы нахождения областей значений функций.

последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;

метод оценок/границ;

использование свойств непрерывности и монотонности функции;

использование производной;

использование наибольшего и наименьшего значений функции;

графический метод;

метод введения параметра;

метод обратной функции.

Рассмотрим некоторые из них.

Используя производную

Общий подход к нахождению множества значений непрерывной функции f(x) заключается в нахождении наибольшего и наименьшего значения функции f(x) в области ее определения (или в доказательстве того, что одно из них или оба не существуют).

В случае, если нужно найти множества значений функции на отрезке :

найти производную данной функции f "(x);

найти критические точки функции f(x) и выбрать те из них, которые принадлежат данному отрезку;

вычислить значения функции на концах отрезка и в выбранных критических точках;

среди найденных значений выбрать наименьшее и наибольшее значения;

Множество значений функции заключить между этими значениями.

Если областью определения функции является интервал , то используется та же схема, но вместо значений на концах используются пределы функции при стремлении аргумента к концам интервала. Значения пределов из не входят в множество значений.

Метод границ/оценок

Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, а затем отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции. Используя неравенства - определяют границы.

Суть состоит в оценке непрерывной функции снизу и сверху и в доказательстве достижения функцией нижней и верхней границы оценок. При этом совпадение множества значений функции с промежутком от нижней границы оценки до верхней обуславливается непрерывностью функции и отсутствием у неё других значений.

Свойства непрерывной функции

Другой вариант заключается в преобразовании функции в непрерывную монотонную, тогда используя свойства неравенств оценивают множество значений вновь полученной функции.

Последовательное нахождение значений сложных аргументов функции

Основан на последовательном отыскании множества значений промежуточных функций, из которых составлена функция

Области значений основных элементарных функций

Примеры

Найдите множество значений функции:

Используя производную

Находим область определения: D(f)=[-3;3], т.к. $9-x^{2}\geq 0$

Находим производную: $f"(x)=-\frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}}$

f"(x) = 0, если x = 0. f"(x) не существует, если $\sqrt{9-x^{2}}=0$ то есть при x = ±3. Получаем три критические точки: x 1 = –3, x 2 = 0, x 3 = 3, две из которых совпадают с концами отрезка. Вычислим: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Таким образом, наименьшее значение f(x) равно 0, наибольшее значение равно 3.

Ответ: E(f) = .

НЕ используя производную

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

Так как $
f(x) = 1-\cos^{2}{x}+\cos{x}-\frac{1}{2} =
= 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-(\cos^{2}{x}-2\cdot\cos{x}\cdot\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2) =
= \frac{3}{4}-(\cos{x}-\frac{1}{2})^{2} $ , то:

$f(x)\leq \frac{3}{4}$ при всех x;

$f(x)\geq \frac{3}{4}-(\frac{3}{2})^{2}=-\frac{3}{2}$ при всех x(ибо $|\cos{x}|\leq 1$);

$f(\frac{\pi}{3})= \frac{3}{4}-(\cos{\frac{\pi}{3}}-\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{4}$;

$f(\pi)= \frac{3}{4}-(\cos{\pi}-\frac{1}{2})^{2}=-\frac{3}{2}$;

Ответ: $\frac{3}{4}$ и $-\frac{3}{2}$

Если решать эту задачу с помощью производных, то потребуется преодолевать препятствия, связанные с тем, что функция f(x) определена не на отрезке, а на всей числовой прямой.

Используя метод границ/оценок

Из определения синуса следует, $-1\leq\sin{x}\leq 1$. Далее воспользуемся свойствами числовых неравенств.

$-4\leq - 4\sin{x}\leq 4$, (умножили все три части двойного неравенства на -4);

$1\leq 5 - 4\sin{x}\leq 9$ (прибавили к трем частям двойного неравенства 5);

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением на всей области определения, если таковые существуют.

В данном случае множество значений функции $y = 5 - 4\sin{x}$ есть множество .

Из неравенств $$ \\ -1\leq\cos{7x}\leq 1 \\ -5\leq 5\cos{x}\leq 5 $$ получим оценку $$\\ -6\leq y\leq 6$$

При x = р и x = 0 функция принимает значения -6 и 6, т.е. достигает нижней и верхней границы оценки. Как линейная комбинация непрерывных функций cos(7x) и cos(x), функция y непрерывна на всей числовой оси, поэтому по свойству непрерывной функции она принимает все значения с -6 до 6 включительно, и только их, так как в силу неравенств $-6\leq y\leq 6$ другие значения у неё невозможны.

Следовательно, E(y) = [-6;6].

$$ \\ -1\leq\sin{x}\leq 1 \\ 0\leq\sin^{2}{x}\leq 1 \\ 0\leq2\sin^{2}{x}\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^{2}{x}\leq 3 $$ Ответ: E(f) = .

$$ \\ -\infty < {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty < \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Преобразуем выражение $$ \\ \sin{x} + \cos{x} = \sin{x} + \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \\ 2\sin\left ({\frac{x + \frac{\pi}{2} - x}{2}} \right)\cos\left ({\frac{x + \frac{\pi}{2} + x}{2}} \right) \\ = 2\sin(\frac{\pi}{4})cos(x +\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}cos(x +\frac{\pi}{4}) $$.

Из определения косинуса следует $$ \\ -1\leq\cos{x}\leq 1; \\ -1\leq \cos{(x + \frac{\pi}{4})}\leq 1; \\ -\sqrt{2}\leq \sqrt{2}\cos{(x +\frac{\pi}{4})}\leq\sqrt{2}; $$

Так какданная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением, если таковые существуют, множество значений функции $y =\sqrt{2}\cos({x +\frac{\pi}{4}})$ есть множество $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$.

$$\\ E(3^{x}) = (0;+∞), \\ E(3^{x}+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^{x}+ 1)^{2} = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^{x}+1)^{2}) = (-∞;4) $$

Обозначим $t = 5 – (3^{x}+1)^{2}$, где -∞≤t≤4. Тем самым задача сводится к нахождению множества значений функции $y = \log_{0,5}{t}$ на луче (-∞;4). Так как функция $y = \log_{0,5}{t}$ определена лишь при t > 0 , то её множество значений на луче (-∞;4) совпадает со множеством значений функции на интервале (0;4), представляющем собой пересечение луча (-∞;4) с областью определения (0;+∞) логарифмической функции. На интервале (0;4) эта функция непрерывна и убывает. При t > 0 она стремится к +∞, а при t = 4 принимает значение -2, поэтому E(y) = (-2, +∞).

Используем прием, основанный на графическом изображении функции.

После преобразований функции, имеем: y 2 + x 2 = 25, причем y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Следует напомнить, что $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ - уравнение окружности радиуса r.

При этих ограничениях графиком данного уравнения является верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5. Очевидно, что E(y) = .

Ответ: E(y) = .

Использованная литература

Область значения функций в задачах ЕГЭ, Минюк Ирина Борисовна

Советы по нахождению множества значений функции, Беляева И., Федорова С.

Нахождение множества значений функции

Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах, И.И.Мельников, И.Н.Сергеев

Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.

Функция это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.

Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).

НАПРИМЕР у=5+х

1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3

2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)

Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).

НАПРИМЕР.

1.у=1/х. (наз.гипербола)

2. у=х^2. (наз. парабола)

3.у=3х+7. (наз. прямая)

4. у= √ х. (наз. ветвь параболы)

Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции.

Область определения функции

Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y).

Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.

1. D (у)= (∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

3. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

4. D (у)= }