كيفية جمع الكسور المشتركة ذات القواسم المتشابهة. جمع الكسور ذات الأعداد الصحيحة والمقامات المختلفة

الإجراءات مع الكسور.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

إذن، ما هي الكسور، وأنواع الكسور، والتحولات - تذكرنا. دعونا نصل إلى القضية الرئيسية.

ماذا يمكنك أن تفعل مع الكسور؟نعم، كل شيء هو نفسه كما هو الحال مع الأرقام العادية. إضافة، طرح، ضرب، قسمة.

كل هذه التصرفات مع عدد عشريالعمل مع الكسور لا يختلف عن العمل مع الأعداد الصحيحة. في الواقع، هذا هو الشيء الجيد فيها، الأعداد العشرية. الشيء الوحيد هو أنك تحتاج إلى وضع الفاصلة بشكل صحيح.

أرقام مختلطةكما قلت من قبل، ليست ذات فائدة تذكر في معظم الإجراءات. لا تزال بحاجة إلى تحويلها إلى كسور عادية.

لكن الأفعال مع الكسور العاديةسيكونون أكثر دهاءً. والأهم من ذلك بكثير! دعني أذكرك: جميع الأفعال ذات العبارات الكسرية بالأحرف والجيوب والمجهولات وما إلى ذلك لا تختلف عن الأفعال ذات الكسور العادية! العمليات على الكسور العادية هي أساس كل الجبر. ولهذا السبب سنقوم بتحليل كل هذه الحسابات بتفصيل كبير هنا.

جمع وطرح الكسور.

يمكن للجميع إضافة (طرح) الكسور بنفس القواسم (آمل حقًا!). حسنا، اسمحوا لي أن أذكر أولئك الذين ينسون تماما: عند الجمع (الطرح)، لا يتغير المقام. تتم إضافة (طرح) البسط لإعطاء بسط النتيجة. يكتب:

باختصار وبشكل عام:

ماذا لو كانت القواسم مختلفة؟ بعد ذلك، باستخدام الخاصية الأساسية للكسر (وهنا تصبح مفيدة مرة أخرى!) نجعل المقامات متساوية! على سبيل المثال:

هنا كان علينا أن نجعل الكسر 4/10 من الكسر 2/5. لغرض وحيد هو جعل القواسم متماثلة. اسمحوا لي أن أشير، في حالة حدوث ذلك، إلى أن 2/5 و4/10 كذلك نفس الكسر! فقط 2/5 غير مريح بالنسبة لنا، و4/10 لا بأس بها حقًا.

بالمناسبة، هذا هو جوهر حل أي مشاكل في الرياضيات. عندما نكون من غير مريحنحن نفعل التعبيرات نفس الشيء، ولكن أكثر ملاءمة للحل.

مثال آخر:

الوضع مشابه. هنا نستنتج 48 من 16. عن طريق الضرب البسيط في 3. كل هذا واضح. لكننا صادفنا شيئًا مثل:

كيف تكون؟! من الصعب الحصول على تسعة من سبعة! لكننا أذكياء، ونعرف القواعد! دعونا نتحول كلكسر بحيث تكون المقامات متساوية. وهذا ما يسمى "الاختزال إلى قاسم مشترك":

رائع! كيف عرفت عن 63؟ بسيط جدا! 63 هو رقم يقبل القسمة على 7 و 9 في نفس الوقت. يمكن دائمًا الحصول على هذا الرقم عن طريق ضرب المقامات. فإذا ضربنا رقماً في 7 مثلاً، فإن النتيجة ستكون بالتأكيد قابلة للقسمة على 7!

إذا كنت بحاجة إلى إضافة (طرح) عدة كسور، ليست هناك حاجة للقيام بذلك في أزواج، خطوة بخطوة. كل ما عليك فعله هو العثور على المقام المشترك لجميع الكسور واختزال كل كسر إلى نفس المقام. على سبيل المثال:

وماذا سيكون القاسم المشترك؟ يمكنك بالطبع ضرب 2 و4 و8 و16. نحصل على 1024. كابوس. من الأسهل تقدير أن الرقم 16 قابل للقسمة تمامًا على 2 و4 و8. لذلك، من السهل الحصول على 16 من هذه الأرقام. وسيكون هذا الرقم هو القاسم المشترك. دعونا نحول 1/2 إلى 8/16، و3/4 إلى 12/16، وهكذا.

بالمناسبة، إذا كنت تأخذ 1024 كقاسم مشترك، فسوف ينجح كل شيء، وفي النهاية سيتم تقليل كل شيء. لكن لن يصل الجميع إلى هذه الغاية، بسبب الحسابات...

أكمل المثال بنفسك ليس نوعًا من اللوغاريتم... يجب أن يكون 29/16.

إذن جمع (طرح) الكسور واضح أتمنى؟ بالطبع، من الأسهل العمل في نسخة مختصرة، مع مضاعفات إضافية. لكن هذه المتعة متاحة لمن عمل بأمانة في الصفوف الدنيا... ولم ينس شيئاً.

والآن سنفعل نفس الإجراءات، ولكن ليس بالكسور، ولكن مع التعبيرات الكسرية. سيتم الكشف عن أشعل النار الجديد هنا، نعم...

لذلك، نحن بحاجة إلى إضافة تعبيرين كسريين:

علينا أن نجعل المقامين متساويين. وفقط بمساعدة عمليه الضرب! هذا ما تمليه الخاصية الرئيسية للكسر. لذلك، لا يمكنني إضافة واحد إلى X في الكسر الأول في المقام. (سيكون هذا لطيفا!). ولكن إذا قمت بمضاعفة القواسم، كما ترى، كل شيء ينمو معًا! لذلك نكتب خط الكسر، ونترك مساحة فارغة في الأعلى، ثم نضيفه، ونكتب حاصل ضرب المقامات أدناه، حتى لا ننسى:

وبالطبع، نحن لا نضرب أي شيء على الجانب الأيمن، ولا نفتح القوسين! والآن، بالنظر إلى المقام المشترك على الجانب الأيمن، ندرك: للحصول على المقام x(x+1) في الكسر الأول، تحتاج إلى ضرب بسط هذا الكسر ومقامه في (x+1) . وفي الكسر الثاني - إلى x. هذا هو ما تحصل عليه:

ملحوظة! هنا الأقواس! هذا هو أشعل النار الذي يخطو عليه كثير من الناس. ليس بين قوسين، بطبيعة الحال، ولكن غيابهم. تظهر الأقواس لأننا نقوم بالضرب الجميعالبسط و الجميعالمقام - صفة مشتركة - حالة! وليس قطعهم الفردية..

في بسط الجانب الأيمن نكتب مجموع البسطين، كل شيء كما في الكسور العددية، ثم نفتح الأقواس في بسط الجانب الأيمن، أي. نضرب كل شيء ونعطي أشياء مماثلة. ليست هناك حاجة لفتح الأقواس في المقامات أو ضرب أي شيء! بشكل عام، في القواسم (أي) يكون المنتج دائمًا أكثر متعة! نحن نحصل:

لذلك حصلنا على الجواب. تبدو العملية طويلة وصعبة، ولكنها تعتمد على الممارسة. بمجرد حل الأمثلة، تعتاد عليها، سيصبح كل شيء بسيطًا. أولئك الذين أتقنوا الكسور في الوقت المناسب يقومون بكل هذه العمليات بيد يسرى واحدة تلقائيًا!

وملاحظة أخرى. يتعامل الكثير من الناس بذكاء مع الكسور، لكنهم يتعثرون في الأمثلة جميعأعداد. مثل: 2 + 1/2 + 3/4= ؟ أين يمكن ربط القطعتين؟ لا تحتاج إلى ربطه في أي مكان، بل تحتاج إلى عمل جزء من اثنين. انها ليست سهلة، ولكنها بسيطة جدا! 2=2/1. مثله. يمكن كتابة أي عدد صحيح في صورة كسر. البسط هو الرقم نفسه، والمقام هو واحد. 7 يساوي 7/1، 3 يساوي 3/1 وهكذا. إنه نفس الشيء مع الحروف. (أ+ب) = (أ+ب)/1، x=x/1، إلخ. ثم نتعامل مع هذه الكسور وفقًا لجميع القواعد.

حسنًا، تم تحديث معرفة جمع وطرح الكسور. تم تكرار تحويل الكسور من نوع إلى آخر. يمكنك أيضًا التحقق. هل نسوي الأمر قليلاً؟)

احسب:

الإجابات (في حالة من الفوضى):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

ضرب وقسمة الكسور - في الدرس القادم. هناك أيضًا مهام لجميع العمليات مع الكسور.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

يمكنك إجراء عمليات مختلفة مع الكسور، على سبيل المثال، إضافة الكسور. يمكن تقسيم إضافة الكسور إلى عدة أنواع. كل نوع من إضافة الكسور له قواعده الخاصة وخوارزمية الإجراءات. دعونا ننظر إلى كل نوع من الإضافة بالتفصيل.

جمع الكسور ذات المقامات المتشابهة.

دعونا نلقي نظرة على مثال لكيفية جمع الكسور ذات المقام المشترك.

ذهب السائحون في نزهة من النقطة أ إلى النقطة هـ. في اليوم الأول ساروا من النقطة أ إلى النقطة ب أو $\frac(1)(5)$ من المسار بأكمله. وفي اليوم الثاني، ساروا من النقطة B إلى D أو $\frac(2)(5)$ طوال الطريق. ما المسافة التي قطعوها منذ بداية الرحلة إلى النقطة د؟

للعثور على المسافة من النقطة أ إلى النقطة د، عليك جمع الكسور $\frac(1)(5) + \frac(2)(5)$.

جمع الكسور ذات المقامات المتشابهة يعني أنك بحاجة إلى إضافة بسط هذه الكسور، لكن المقام سيظل كما هو.

$\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)$

في الشكل الحرفي، سيبدو مجموع الكسور التي لها نفس المقامات كما يلي:

$\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)$

الإجابة: سار السائحون $\frac(3)(5)$ طوال الطريق.

جمع الكسور ذات المقامات المختلفة.

لنلقي نظرة على مثال:

تحتاج إلى إضافة كسرين $\frac(3)(4)$ و$\frac(2)(7)$.

لجمع كسور ذات مقامات مختلفة، يجب عليك أولا العثور عليها، ثم استخدم القاعدة لإضافة الكسور ذات المقامات المتشابهة.

بالنسبة للمقامين 4 و7، سيكون المقام المشترك هو الرقم 28. يجب ضرب الكسر الأول $\frac(3)(4)$ في 7. الكسر الثاني \(\frac(2)(7)\ ) يجب ضربها بـ 4.

$\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \مرات \اللون(أحمر) (7) + 2 \مرات \اللون(أحمر) (4))(4 \ مرات \color(red) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)$

وبالصيغة الحرفية نحصل على الصيغة التالية:

$\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)$

إضافة أرقام مختلطة أو كسور مختلطة.

تتم عملية الإضافة وفقًا لقانون الإضافة.

بالنسبة للكسور المختلطة، نجمع الأجزاء الكاملة مع الأجزاء الكاملة والأجزاء الكسرية مع الكسور.

إذا كانت الأجزاء الكسرية من الأعداد الكسرية لها نفس المقامات، فإننا نجمع البسطين، لكن المقام يظل كما هو.

فلنجمع الأعداد الكسرية $3\frac(6)(11)$ و $1\frac(3)(11)$.

$3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(أحمر) (3) + \color(أزرق) (\frac(6)(11))) + ( \color(أحمر) (1) + \color(أزرق) (\frac(3)(11))) = (\color(أحمر) (3) + \color(أحمر) (1)) + (\color( أزرق) (\frac(6)(11)) + \color(أزرق) (\frac(3)(11))) = \color(أحمر)(4) + (\color(أزرق) (\frac(6) + 3)(11))) = \color(أحمر)(4) + \color(أزرق) (\frac(9)(11)) = \color(red)(4) \color(أزرق) (\frac (9)(11))$

إذا كانت الأجزاء الكسرية من الأعداد الكسرية لها مقامات مختلفة، فإننا نجد المقام المشترك.

لنجري عملية جمع الأعداد الكسرية $7\frac(1)(8)$ و$2\frac(1)(6)$.

المقام مختلف، لذلك نحتاج إلى إيجاد المقام المشترك، وهو يساوي 24. اضرب الكسر الأول $7\frac(1)(8)$ في عامل إضافي قدره 3، والكسر الثاني $ 2\فارك(1)(6)$ × 4.

$7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \مرات \اللون(أحمر) (3))(8 \مرات \اللون(أحمر) (3) ) = 2\فارك(1\مرات \اللون(أحمر) (4))(6\مرات \اللون(أحمر) (4)) =7\فارك(3)(24) + 2\فارك(4)(24) ) = 9\فارك(7)(24)$

أسئلة ذات صلة:
كيفية إضافة الكسور؟
الإجابة: عليك أولاً أن تحدد نوع التعبير: الكسور لها نفس المقامات، أو لها مقامات مختلفة، أو كسور مختلطة. اعتمادا على نوع التعبير، ننتقل إلى خوارزمية الحل.

كيفية حل الكسور ذات القواسم المختلفة؟
الإجابة: عليك إيجاد القاسم المشترك، ثم اتباع قاعدة إضافة الكسور التي لها نفس المقامات.

كيفية حل الكسور المختلطة؟
الإجابة: نجمع الأجزاء الصحيحة مع الأعداد الصحيحة والأجزاء الكسرية مع الكسور.

مثال 1:
هل يمكن أن يؤدي مجموع اثنين إلى كسر مناسب؟ جزء غير لائق؟ أعط أمثلة.

$\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)$

الكسر $\frac(5)(7)$ هو كسر حقيقي، وهو ناتج عن مجموع كسرين حقيقيين $\frac(2)(7)$ و $\frac(3) (7)$.

$\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \مرات 9 + 8 \مرات 5)(5 \مرات 9) =\frac(18 + 40)(45) = \فارك(58)(45)$

الكسر $\frac(58)(45)$ هو كسر غير فعلي، وهو ناتج عن مجموع الكسرين المناسبين $\frac(2)(5)$ و $\frac(8) (9)$.

الجواب: الجواب على كلا السؤالين هو نعم.

المثال رقم 2:
أضف الكسور: a) $\frac(3)(11) + \frac(5)(11)$ ب) $\frac(1)(3) + \frac(2)(9)$ .

أ) $\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)$

ب) $\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)$

المثال رقم 3:
اكتب الكسر المختلط في صورة مجموع عدد طبيعي وكسر حقيقي: a) $1\frac(9)(47)$ b) $5\frac(1)(3)$

أ) $1\فارك(9)(47) = 1 + \فارك(9)(47)$

ب) $5\فارك(1)(3) = 5 + \فارك(1)(3)$

المثال رقم 4:
احسب المجموع: a) $8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)$ ب) $2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) ) $ ج) $7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)$

أ) $8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \فارك(6)(7) = 10\فارك(6)(7)$

ب) $2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13)$

ج) $7\فارك(2)(5) + 3\فارك(4)(15) = 7\فارك(2\مرات 3)(5\مرات 3) + 3\فارك(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\فارك(10)(15) = 10\فارك(2)(3)$

مهمة 1:
في الغداء تناولنا $\frac(8)(11)$ من الكعكة، وفي المساء على العشاء تناولنا $\frac(3)(11)$. هل تعتقدين أن الكعكة قد أكلت بالكامل أم لا؟

حل:
مقام الكسر هو 11، وهو يشير إلى عدد الأجزاء التي تم تقسيم الكعكة إليها. في الغداء تناولنا 8 قطع من الكعك من 11. وفي العشاء تناولنا 3 قطع من الكعك من 11. لنجمع 8 + 3 = 11، أكلنا قطعًا من الكعك من 11، أي الكعكة بأكملها.

$\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1$

الجواب: أكلت الكعكة كاملة.

سيتناول هذا الدرس جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة. نحن نعرف بالفعل كيفية جمع وطرح الكسور المشتركة ذات المقامات المختلفة. للقيام بذلك، يجب تخفيض الكسور إلى قاسم مشترك. اتضح أن الكسور الجبرية تتبع نفس القواعد. وفي الوقت نفسه، نحن نعرف بالفعل كيفية اختزال الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك. يعد جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة من أهم وأصعب المواضيع في مقرر الصف الثامن. علاوة على ذلك، سيظهر هذا الموضوع في العديد من المواضيع في مقرر الجبر الذي ستدرسه مستقبلا. كجزء من الدرس، سوف ندرس قواعد جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة، وسنقوم أيضًا بتحليل عدد من الأمثلة النموذجية.

دعونا نلقي نظرة على أبسط مثال للكسور العادية.

مثال 1.إضافة الكسور: .

حل:

دعونا نتذكر قاعدة إضافة الكسور. للبدء، يجب تقليل الكسور إلى قاسم مشترك. القاسم المشترك للكسور العادية هو أقل مضاعف مشترك(LCM) من المقامات الأصلية.

تعريف

الأقل عدد طبيعي، وهو قابل للقسمة في نفس الوقت على الأرقام و .

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، تحتاج إلى تحليل المقامات إلى عوامل أولية، ثم تحديد جميع العوامل الأولية المضمنة في مفكوك كلا المقامين.

; . ثم يجب أن يتضمن المضاعف المشترك الأصغر للأرقام رقمين اثنين وثلاثتين: .

بعد العثور على القاسم المشترك، تحتاج إلى العثور على عامل إضافي لكل كسر (في الواقع، قسمة القاسم المشترك على مقام الكسر المقابل).

ثم يتم ضرب كل جزء بالعامل الإضافي الناتج. نحصل على كسور لها نفس المقامات، والتي تعلمنا جمعها وطرحها في الدروس السابقة.

نحن نحصل: .

إجابة:.

دعونا الآن نفكر في جمع الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة. أولاً، دعونا ننظر إلى الكسور التي مقاماتها أرقام.

مثال 2.إضافة الكسور: .

حل:

خوارزمية الحل مشابهة تمامًا للمثال السابق. ومن السهل العثور على القاسم المشترك لهذه الكسور: والعوامل الإضافية لكل منها.

إجابة:.

لذلك، دعونا صياغة خوارزمية لجمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة:

1. ابحث عن القاسم المشترك الأصغر للكسور.

2. ابحث عن عوامل إضافية لكل كسر (بقسمة المقام المشترك على مقام الكسر المعطى).

3. اضرب البسطين في العوامل الإضافية المقابلة.

4. جمع أو طرح الكسور باستخدام قواعد جمع وطرح الكسور ذات المقامات المتشابهة.

دعونا الآن نفكر في مثال للكسور التي يحتوي مقامها على تعبيرات حرفية.

مثال 3.إضافة الكسور: .

حل:

نظرًا لأن تعبيرات الحروف في كلا المقامين هي نفسها، فيجب أن تجد مقامًا مشتركًا للأرقام. سيكون القاسم المشترك النهائي كالتالي: . وهكذا يبدو حل هذا المثال كما يلي:.

إجابة:.

مثال 4.طرح الكسور: .

حل:

إذا لم تتمكن من "الغش" عند اختيار مقام مشترك (لا يمكنك تحليله أو استخدام صيغ الضرب المختصرة)، فعليك أن تأخذ حاصل ضرب مقامات كلا الكسرين باعتباره المقام المشترك.

إجابة:.

بشكل عام، عند حل مثل هذه الأمثلة، فإن المهمة الأكثر صعوبة هي العثور على قاسم مشترك.

دعونا ننظر إلى مثال أكثر تعقيدا.

مثال 5.تبسيط: .

حل:

عند العثور على قاسم مشترك، يجب عليك أولاً محاولة تحليل مقامات الكسور الأصلية (لتبسيط القاسم المشترك).

في هذه الحالة بالذات:

ومن السهل بعد ذلك تحديد القاسم المشترك: .

نحدد عوامل إضافية ونحل هذا المثال:

إجابة:.

الآن دعونا نضع قواعد جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة.

مثال 6.تبسيط: .

حل:

إجابة:.

مثال 7.تبسيط: .

حل:

إجابة:.

دعونا نفكر الآن في مثال لا تتم فيه إضافة كسورين، بل ثلاثة كسور (بعد كل شيء، تظل قواعد الجمع والطرح لعدد أكبر من الكسور كما هي).

مثال 8.تبسيط: .

خذ بعين الاعتبار الكسر $\frac63$. قيمته هي 2، حيث أن $\frac63 =6:3 = 2$. ماذا يحدث إذا ضرب البسط والمقام في 2؟ $\frac63 \مرات 2=\frac(12)(6)$. من الواضح أن قيمة الكسر لم تتغير، لذا $\frac(12)(6)$ مثل y تساوي أيضًا 2. يمكنك ضرب البسط والمقامبمقدار 3 واحصل على $\frac(18)(9)$، أو بمقدار 27 واحصل على $\frac(162)(81)$، أو بمقدار 101 واحصل على $\frac(606)(303)$. في كل حالة من هذه الحالات، قيمة الكسر الذي نحصل عليه بقسمة البسط على المقام هي 2. وهذا يعني أنه لم يتغير.

ويلاحظ نفس النمط في حالة الكسور الأخرى. إذا تم تقسيم بسط ومقام الكسر $\frac(120)(60)$ (يساوي 2) على 2 (النتيجة هي $\frac(60)(30)$)، أو على 3 (النتيجة هي $\frac(40)(20) $)، أو بمقدار 4 (النتيجة $\frac(30)(15)$) وهكذا، ففي كل حالة تظل قيمة الكسر دون تغيير وتساوي 2.

تنطبق هذه القاعدة أيضًا على الكسور غير المتساوية الرقم كاملا.

إذا تم ضرب بسط ومقام الكسر $\frac(1)(3)$ في 2، نحصل على $\frac(2)(6)$، أي أن قيمة الكسر لم تتغير. وفي الواقع، إذا قسمت الفطيرة إلى 3 أجزاء وأخذت جزءًا منها، أو قسمتها إلى 6 أجزاء وأخذت جزأين، فستحصل على نفس كمية الفطيرة في كلتا الحالتين. ولذلك، فإن الأرقام $\frac(1)(3)$ و$\frac(2)(6)$ متطابقة. دعونا صياغة قاعدة عامة.

يمكن ضرب أو قسمة بسط ومقام أي كسر على نفس العدد دون تغيير قيمة الكسر.

تبين أن هذه القاعدة مفيدة للغاية. على سبيل المثال، يسمح في بعض الحالات، ولكن ليس دائمًا، بتجنب العمليات ذات الأعداد الكبيرة.

على سبيل المثال، يمكننا قسمة بسط ومقام الكسر $\frac(126)(189)$ على 63 والحصول على الكسر $\frac(2)(3)$، وهو أسهل بكثير في الحساب. مثال آخر. يمكننا قسمة بسط ومقام الكسر $\frac(155)(31)$ على 31 والحصول على الكسر $\frac(5)(1)$ أو 5، بما أن 5:1=5.

في هذا المثال، واجهنا لأول مرة الكسر الذي مقامه هو 1. تلعب هذه الكسور دورًا مهمًا في العمليات الحسابية. يجب أن نتذكر أنه يمكن قسمة أي رقم على 1 ولن تتغير قيمته. أي أن $\frac(273)(1)$ يساوي 273؛ $\frac(509993)(1)$ يساوي 509993 وهكذا. لذلك، ليس علينا قسمة الأعداد على، حيث يمكن تمثيل كل عدد صحيح ككسر مقامه 1.

مع هذه الكسور التي يكون مقامها 1، يمكنك إجراء نفس العمليات الحسابية كما هو الحال مع جميع الكسور الأخرى: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1) ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

قد تتساءل ما الفائدة من تمثيل عدد صحيح في صورة كسر به وحدة تحت السطر، لأنه أكثر ملاءمة للعمل مع عدد صحيح. لكن النقطة المهمة هي أن تمثيل عدد صحيح في صورة كسر يمنحنا الفرصة لإجراء عمليات مختلفة بشكل أكثر كفاءة عندما نتعامل مع الأعداد الصحيحة والكسور في نفس الوقت. على سبيل المثال، للتعلم إضافة الكسور ذات القواسم المختلفة. لنفترض أننا بحاجة إلى إضافة $\frac(1)(3)$ و$\frac(1)(5)$.

نحن نعلم أنه لا يمكننا سوى جمع الكسور التي مقاماتها متساوية. هذا يعني أننا بحاجة إلى تعلم كيفية تبسيط الكسور إلى صورة تكون مقاماتها متساوية. في هذه الحالة، سنحتاج مرة أخرى إلى حقيقة أنه يمكننا ضرب بسط ومقام الكسر في نفس الرقم دون تغيير قيمته.

أولاً، اضرب بسط ومقام الكسر $\frac(1)(3)$ في 5. نحصل على $\frac(5)(15)$، ولم تتغير قيمة الكسر. ثم نضرب بسط ومقام الكسر $\frac(1)(5)$ في 3. نحصل على $\frac(3)(15)$، ومرة أخرى لم تتغير قيمة الكسر. ولذلك، $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

الآن دعونا نحاول تطبيق هذا النظام على جمع الأرقام التي تحتوي على أجزاء صحيحة وكسرية.

نحتاج إلى إضافة $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. أولاً، دعنا نحول جميع الحدود إلى كسور ونحصل على: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. الآن نحن بحاجة إلى جلب جميع الكسور إلى قاسم مشترك، ولهذا نضرب بسط ومقام الكسر الأول في 12، والثاني في 4، والثالث في 3. ونتيجة لذلك، نحصل على $\frac(36) )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$، وهو ما يساوي $\frac(55)(12)$. إذا كنت تريد التخلص من جزء غير لائق، يمكن تحويله إلى رقم يتكون من عدد صحيح وكسر: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ أو $4\frac(7) )(12)$.

جميع القواعد التي تسمح العمليات مع الكسورالتي درسناها للتو، صالحة أيضًا في حالة الأرقام السالبة. لذا، يمكن كتابة -1: 3 كـ $\frac(-1)(3)$، و1: (-3) كـ $\frac(1)(-3)$.

وبما أن قسمة عدد سالب على عدد موجب وقسمة عدد موجب على عدد سالب ينتج عنه أرقام سالبة، فإن الجواب في كلتا الحالتين سيكون رقمًا سالبًا. إنه

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ أو $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. تشير علامة الطرح عند كتابتها بهذه الطريقة إلى الكسر بأكمله، وليس بشكل منفصل إلى البسط أو المقام.

من ناحية أخرى، (-1) : (-3) يمكن كتابتها بالشكل $\frac(-1)(-3)$، وبما أن قسمة رقم سالب على رقم سالب يعطي رقمًا موجبًا، فإن $\frac يمكن كتابة (-1 )(-3)$ بالشكل $+\frac(1)(3)$.

تتم عملية جمع وطرح الكسور السالبة وفقًا لنفس مخطط جمع وطرح الكسور الموجبة. على سبيل المثال، ما هو $1- 1\frac13$؟ لنمثل كلا الرقمين ككسرين ونحصل على $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. دعونا نجمع الكسور إلى قاسم مشترك ونحصل على $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$، أي $\frac(3)(3)-\ فارك(4) (3)$، أو $-\frac(1)(3)$.

في القرن الخامس قبل الميلاد، صاغ الفيلسوف اليوناني القديم زينون الإيلي مفارقاته الشهيرة، وأشهرها مفارقات “أخيل والسلحفاة”. وهنا ما يبدو وكأنه:

لنفترض أن أخيل يجري أسرع بعشر مرات من السلحفاة ويتخلف عنها بألف خطوة. خلال الوقت الذي يستغرقه أخيل في قطع هذه المسافة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. فعندما يركض أخيل مائة خطوة، تزحف السلحفاة عشر خطوات أخرى، وهكذا. ستستمر العملية إلى ما لا نهاية، ولن يتمكن أخيل من اللحاق بالسلحفاة أبدًا.

أصبح هذا المنطق بمثابة صدمة منطقية لجميع الأجيال اللاحقة. أرسطو، ديوجين، كانط، هيجل، هيلبرت... كلهم اعتبروا معضلة زينون بطريقة أو بأخرى. وكانت الصدمة قوية لدرجة " ... تستمر المناقشات حتى يومنا هذا؛ ولم يتمكن المجتمع العلمي بعد من التوصل إلى رأي مشترك حول جوهر المفارقات ... وقد شارك التحليل الرياضي، ونظرية المجموعات، والمناهج الفيزيائية والفلسفية الجديدة في دراسة هذه القضية ; ولم يصبح أي منها حلاً مقبولاً بشكل عام للمشكلة ..."[ويكيبيديا، "أبوريا زينو". الجميع يفهم أنه يتم خداعهم، ولكن لا أحد يفهم ما يتكون الخداع.

من وجهة نظر رياضية، أظهر زينون في كتابه المحرج بوضوح الانتقال من الكمية إلى . يتضمن هذا الانتقال التطبيق بدلاً من التطبيقات الدائمة. بقدر ما أفهم، فإن الجهاز الرياضي لاستخدام وحدات القياس المتغيرة إما لم يتم تطويره بعد، أو لم يتم تطبيقه على مفارقة زينون. إن تطبيق منطقنا المعتاد يقودنا إلى الفخ. نحن، بسبب الجمود في التفكير، نطبق وحدات زمنية ثابتة على القيمة المتبادلة. من الناحية الفيزيائية، يبدو أن الزمن يتباطأ حتى يتوقف تمامًا في اللحظة التي يلحق فيها أخيل بالسلحفاة. إذا توقف الزمن، لن يتمكن أخيل من التفوق على السلحفاة.

إذا قلبنا منطقنا المعتاد، فإن كل شيء يقع في مكانه. يجري أخيل بسرعة ثابتة. كل جزء لاحق من طريقه أقصر بعشر مرات من الجزء السابق. وعليه فإن الوقت المستغرق في التغلب عليها أقل بعشر مرات من الوقت السابق. وإذا طبقنا مفهوم "اللانهاية" في هذه الحالة، فمن الصحيح أن نقول "أخيل سوف يلحق بالسلحفاة بسرعة لا متناهية".

كيفية تجنب هذا الفخ المنطقي؟ ابق في وحدات زمنية ثابتة ولا تتحول إلى وحدات متبادلة. في لغة زينو يبدو الأمر كما يلي:

في الوقت الذي يستغرقه أخيل في الجري ألف خطوة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. خلال الفترة الزمنية التالية المساوية للأولى، سيجري أخيل ألف خطوة أخرى، وستزحف السلحفاة مائة خطوة. الآن يتقدم أخيل على السلحفاة بثمانمائة خطوة.

يصف هذا النهج الواقع بشكل مناسب دون أي مفارقات منطقية. ولكن الأمر ليس كذلك الحل الكاملمشاكل. إن عبارة أينشتاين حول عدم مقاومة سرعة الضوء تشبه إلى حد كبير مقولة زينو "أخيل والسلحفاة". لا يزال يتعين علينا دراسة هذه المشكلة وإعادة التفكير فيها وحلها. ويجب البحث عن الحل ليس بأعداد كبيرة بلا حدود، بل بوحدات القياس.

تحكي aporia أخرى مثيرة للاهتمام لزينو عن سهم طائر:

السهم الطائر لا يتحرك، لأنه في كل لحظة من الزمن يكون ساكنًا، وبما أنه ساكن في كل لحظة من الزمن، فهو ساكن دائمًا.

في هذه المعضلة، يتم التغلب على المفارقة المنطقية بكل بساطة - يكفي توضيح أنه في كل لحظة من الزمن يكون السهم الطائر في حالة سكون عند نقاط مختلفة في الفضاء، وهو في الواقع حركة. هناك نقطة أخرى يجب الإشارة إليها هنا. من خلال صورة واحدة لسيارة على الطريق، من المستحيل تحديد حقيقة حركتها أو المسافة إليها. لتحديد ما إذا كانت السيارة تتحرك، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نفس النقطة في نقاط زمنية مختلفة، لكن لا يمكنك تحديد المسافة منهما. لتحديد المسافة إلى السيارة، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نقاط مختلفة في الفضاء في وقت واحد، ولكن من المستحيل تحديد حقيقة الحركة (بالطبع، لا تزال بحاجة إلى بيانات إضافية للحسابات، وسوف يساعدك علم المثلثات ). وما أريد أن ألفت انتباهًا خاصًا إليه هو أن النقطتين في الزمن ونقطتين في المكان هما شيئان مختلفان ولا ينبغي الخلط بينهما، لأنهما يوفران فرصًا مختلفة للبحث.

الأربعاء 4 يوليو 2018

تم وصف الاختلافات بين المجموعة والمجموعات المتعددة بشكل جيد للغاية على ويكيبيديا. دعنا نرى.

كما ترون، "لا يمكن أن يكون هناك عنصرين متطابقين في مجموعة"، ولكن إذا كان هناك عناصر متطابقة في مجموعة، فإن هذه المجموعة تسمى "مجموعة متعددة". لن تفهم الكائنات العاقلة مثل هذا المنطق السخيف. وهذا هو مستوى الببغاوات الناطقة والقرود المدربة، التي لا ذكاء لها من كلمة "تماماً". يعمل علماء الرياضيات كمدربين عاديين، ويبشروننا بأفكارهم السخيفة.

في يوم من الأيام، كان المهندسون الذين بنوا الجسر في قارب تحت الجسر أثناء اختبار الجسر. وإذا انهار الجسر مات المهندس المتوسط تحت أنقاض خلقه. وإذا كان الجسر قادرا على تحمل الأحمال، فقد قام المهندس الموهوب ببناء جسور أخرى.

بغض النظر عن مدى إخفاء علماء الرياضيات وراء عبارة "اهتم بي، أنا في المنزل"، أو بالأحرى، "الرياضيات تدرس المفاهيم المجردة"، هناك حبل سري واحد يربطهم بشكل لا ينفصم بالواقع. هذا الحبل السري هو المال. دعونا نطبق نظرية المجموعات الرياضية على علماء الرياضيات أنفسهم.

لقد درسنا الرياضيات جيدًا ونحن الآن نجلس عند ماكينة تسجيل المدفوعات النقدية ونوزع الرواتب. لذلك يأتي إلينا عالم رياضيات من أجل ماله. نحسب له المبلغ بالكامل ونضعه على طاولتنا في أكوام مختلفة، حيث نضع فيها أوراقًا نقدية من نفس الفئة. ثم نأخذ فاتورة واحدة من كل كومة ونعطي عالم الرياضيات "مجموعة الراتب الحسابي". دعونا نوضح لعالم الرياضيات أنه لن يحصل على الأوراق النقدية المتبقية إلا عندما يثبت أن المجموعة التي لا تحتوي على عناصر متطابقة لا تساوي مجموعة ذات عناصر متطابقة. هنا يبدا المرح.

بادئ ذي بدء، سيعمل منطق النواب: "يمكن تطبيق هذا على الآخرين، ولكن ليس علي!" ثم سيبدأون في طمأنتنا بأن الأوراق النقدية من نفس الفئة لها أرقام فواتير مختلفة، مما يعني أنه لا يمكن اعتبارها نفس العناصر. حسنًا، لنحسب الرواتب بالعملات المعدنية - لا توجد أرقام على العملات المعدنية. هنا سيبدأ عالم الرياضيات في تذكر الفيزياء بشكل محموم: العملات المعدنية المختلفة تحتوي على كميات مختلفة من الأوساخ، والتركيب البلوري وترتيب الذرات فريد لكل عملة...

والآن لدي أكثر اسأل الفائدة: أين هو الخط الذي تتحول بعده عناصر المجموعة المتعددة إلى عناصر مجموعة والعكس صحيح؟ مثل هذا الخط غير موجود - كل شيء يقرره الشامان، والعلم ليس قريبًا حتى من الكذب هنا.

انظر هنا. نختار ملاعب كرة القدم بنفس مساحة الملعب. مساحات الحقول هي نفسها - مما يعني أن لدينا مجموعة متعددة. لكن إذا نظرنا إلى أسماء هذه الملاعب نفسها، فسنحصل على الكثير منها، لأن الأسماء مختلفة. كما ترون، نفس مجموعة العناصر هي مجموعة ومتعددة. ايهم صحيح؟ وهنا يقوم عالم الرياضيات الشامان الحاد بسحب الآس من الأوراق الرابحة من جعبته ويبدأ في إخبارنا إما عن مجموعة أو مجموعة متعددة. وفي كل الأحوال سيقنعنا بأنه على حق.

لفهم كيفية عمل الشامان الحديثين مع نظرية المجموعات، وربطها بالواقع، يكفي الإجابة على سؤال واحد: كيف تختلف عناصر مجموعة واحدة عن عناصر مجموعة أخرى؟ سأريكم، دون أي "لا يمكن تصوره كوحدة واحدة" أو "لا يمكن تصوره ككل واحد".

الأحد 18 مارس 2018

مجموع أرقام الرقم هو رقصة الشامان مع الدف، والتي لا علاقة لها بالرياضيات. نعم، في دروس الرياضيات، يتم تعليمنا كيفية العثور على مجموع أرقام الرقم واستخدامها، ولكن هذا هو السبب في أنهم شامان، لتعليم أحفادهم مهاراتهم وحكمتهم، وإلا فإن الشامان سوف يموتون ببساطة.

هل تحتاج إلى دليل؟ افتح ويكيبيديا وحاول العثور على صفحة "مجموع أرقام الرقم". هي غير موجودة. لا توجد صيغة في الرياضيات يمكن استخدامها لإيجاد مجموع أرقام أي رقم. بعد كل شيء، الأرقام هي رموز رسومية نكتب بها الأرقام، وفي لغة الرياضيات تبدو المهمة كما يلي: "ابحث عن مجموع الرموز الرسومية التي تمثل أي رقم". لا يستطيع علماء الرياضيات حل هذه المشكلة، لكن الشامان يمكنهم حلها بسهولة.

دعونا نتعرف على ماذا وكيف نفعل للعثور على مجموع أرقام رقم معين. إذن، دعونا نحصل على الرقم 12345. ما الذي يجب فعله لإيجاد مجموع أرقام هذا الرقم؟ دعونا نفكر في جميع الخطوات بالترتيب.

1. اكتب الرقم على قطعة من الورق. ماذا فعلنا؟ لقد قمنا بتحويل الرقم إلى رمز رقم رسومي. هذه ليست عملية رياضية.

2. نقوم بقص الصورة الناتجة إلى عدة صور تحتوي على أرقام فردية. إن قطع الصورة ليس عملية رياضية.

3. تحويل الرموز الرسومية الفردية إلى أرقام. هذه ليست عملية رياضية.

4. أضف الأرقام الناتجة. الآن هذه هي الرياضيات.

مجموع أرقام الرقم 12345 هو 15. هذه هي "دورات القطع والخياطة" التي يدرسها الشامان والتي يستخدمها علماء الرياضيات. ولكن هذا ليس كل شيء.

من وجهة نظر رياضية، لا يهم في أي نظام أرقام نكتب رقمًا. لذا، في أنظمة الأعداد المختلفة، سيكون مجموع أرقام نفس الرقم مختلفًا. في الرياضيات، يُشار إلى نظام الأرقام كحرف منخفض على يمين الرقم. مع الرقم الكبير 12345، لا أريد أن أخدع رأسي، فلنفكر في الرقم 26 من المقال الذي عنه. لنكتب هذا الرقم في أنظمة الأرقام الثنائية والثمانية والعشرية والست عشرية. لن ننظر إلى كل خطوة تحت المجهر؛ لقد فعلنا ذلك بالفعل. دعونا ننظر إلى النتيجة.

كما ترون، في أنظمة الأرقام المختلفة، يختلف مجموع أرقام نفس الرقم. هذه النتيجة لا علاقة لها بالرياضيات. الأمر نفسه كما لو حددت مساحة المستطيل بالمتر والسنتيمتر، فستحصل على نتائج مختلفة تمامًا.

يبدو الصفر متماثلًا في جميع أنظمة الأعداد ولا يحتوي على مجموع أرقام. وهذه حجة أخرى لصالح حقيقة ذلك. سؤال لعلماء الرياضيات: كيف يكون الشيء الذي ليس رقما محددا في الرياضيات؟ ماذا، بالنسبة لعلماء الرياضيات لا يوجد شيء سوى الأرقام؟ أستطيع أن أسمح بهذا للشامان، ولكن ليس للعلماء. الواقع لا يتعلق بالأرقام فقط.

يجب اعتبار النتيجة التي تم الحصول عليها دليلاً على أن أنظمة الأرقام هي وحدات قياس للأرقام. ففي نهاية المطاف، لا يمكننا مقارنة الأرقام بوحدات قياس مختلفة. فإذا كانت نفس الأفعال مع وحدات قياس مختلفة لنفس الكمية تؤدي إلى نتائج مختلفة بعد مقارنتها، فهذا لا علاقة له بالرياضيات.

ما هي الرياضيات الحقيقية؟ يحدث هذا عندما لا تعتمد نتيجة العملية الرياضية على حجم الرقم ووحدة القياس المستخدمة وعلى من يقوم بهذا الإجراء.

التوقيع على الباب يفتح الباب ويقول:

أوه! أليس هذا هو مرحاض النساء؟
- شابة! هذا مختبر لدراسة قداسة النفوس غير المحبة أثناء صعودها إلى السماء! هالة في الأعلى والسهم لأعلى. ما المرحاض الآخر؟

أنثى... الهالة الموجودة في الأعلى والسهم لأسفل هما ذكران.

إذا كان هذا العمل الفني التصميمي يومض أمام عينيك عدة مرات في اليوم،

إذن ليس من المستغرب أن تجد فجأة رمزًا غريبًا في سيارتك:

أنا شخصياً أبذل جهداً لرؤية سالب أربع درجات في شخص يتغوط (صورة واحدة) (تركيبة من عدة صور: علامة الطرح، الرقم أربعة، تسمية الدرجات). ولا أعتقد أن هذه الفتاة حمقاء ولا تعرف الفيزياء. لديها فقط صورة نمطية قوية لإدراك الصور الرسومية. وعلماء الرياضيات يعلموننا هذا طوال الوقت. هنا مثال.

1A ليس "ناقص أربع درجات" أو "واحد أ". هذا هو "رجل التغوط" أو الرقم "ستة وعشرون" بالنظام الست عشري. هؤلاء الأشخاص الذين يعملون باستمرار في نظام الأرقام هذا يدركون تلقائيًا الرقم والحرف كرمز رسومي واحد.