الأشكال الهندسية التي ليست مضلعات. مضلع منتظم

في سياق الهندسة الهندسية، ندرس خصائص الأشكال الهندسية وقد نظرنا بالفعل إلى أبسطها: المثلثات والمناطق المحيطة بها. وفي الوقت نفسه، ناقشنا أيضًا حالات خاصة محددة لهذه الأشكال، مثل ثلاثي الفحم-ني-كي المستطيل والمتساوي واليمني. والآن حان الوقت للحديث عن شخصيات أكثر عمومية وتعقيدًا - الكثير من الفحم.

مع قضية خاصة الكثير من الفحمنحن نعلم بالفعل أن هذا مثلث (انظر الشكل 1).

أرز. 1. المثلث

يشير الاسم بالفعل إلى أن هذا هو fi-gu-ra، الذي يحتوي على ثلاث زوايا. التالي، في الكثير من الفحميمكن أن يكون هناك الكثير منهم، أي. أكثر من ثلاثة. على سبيل المثال، ارسم شكلًا خماسيًا (انظر الشكل 2)، أي. fi-gu-ru بخمس زوايا-la-mi.

أرز. 2. الزاوية الخماسية. أنت-مضلع ضخم

تعريف.مضلع- شكل يتكون من عدة نقاط (أكثر من نقطتين) ويتوافق مع عدد النقاط من كوف التي تتبعها معًا. تسمى هذه النقاط أعلى شي على ميالكثير من الفحم، ولكن من القطع - مائة رو نا مي. في هذه الحالة، لا يوجد ضلعان متجاوران يقعان على نفس الخط المستقيم، ولا يتقاطع ضلعان غير متجاورين.

تعريف.المضلع الأيمن- هذا مضلع محدب، جميع أضلاعه وزواياه متساوية.

أي مضلعيقسم الطائرة إلى منطقتين: داخلية وخارجية. المنطقة الداخلية هي أيضا من الكثير من الفحم.

بمعنى آخر، على سبيل المثال، عندما يتحدثون عن البنتاغون، فإنهم يقصدون منطقته الداخلية بأكملها وحدوده. وجميع النقاط التي تقع داخل الكثير من الفحم تتعلق بالمنطقة الداخلية أي. النقطة أيضًا هي من no-sit-xia إلى Five-coal-ni-ku (انظر الشكل 2).

يُطلق على الكثير من الفحم أحيانًا اسم n-coal للتأكيد على أنه من الشائع وجود عدد غير معروف من الزوايا (n قطع).

تعريف. محيط متر من العديد من الفحم لا كا- مجموع أطوال جوانب كمية كبيرة من الفحم .

الآن نحن بحاجة للتعرف على مشاهد الكثير من الفحم. وهي مقسمة إلى أنت ضرطةو فرتس. على سبيل المثال، المضلع الموضح في الشكل. 2، يبدو أنك تطلق الريح، وفي الشكل 2. 3 لا ضرطة.

أرز. 3. مضلع نيفي وعر

2. المضلعات المحدبة وغير المحدبة

التعريف 1. مضلعنا زا فا إت سيا أنت ضرطة، إذا، عند المرور مباشرة من أي جانب من جوانبه، كله مضلعتقع على جانب واحد فقط من هذا الخط المستقيم. نيفا-بوك-لي-مييظهر الجميع الكثير من الفحم.

من السهل أن نتخيل أنه عند تمديد أي جانب من الزوايا الخمس في الشكل. 2 ـ أن يكون كله على بعد جانب واحد من هذا الخط المستقيم، أي. انه ضرطي. ولكن عند المرور مباشرة عبر الفحم الأربعة في الشكل. 3 سبق أن رأينا أنها تقسمه إلى قسمين، أي: انه ليس ضرطة كبيرة.

ولكن هناك تعريف آخر لكمية الفحم لديك.

التعريف 2. مضلعنا زا فا إت سيا أنت ضرطة، إذا قمت بتحديد أي نقطتين من نقاطها الداخلية وعند توصيلهما من القطع، فإن جميع النقاط من القطع تكون داخلية أيضًا - وليس بالضبط الكثير من الفحم.

يمكن رؤية توضيح لاستخدام هذا التعريف في مثال بناء القطع في الشكل. 2 و 3.

تعريف. ضياء غو نا ليويُطلق على الكثير من الفحم أي قطع يربط بين قمتين غير متجاورتين منه.

3. نظرية مجموع الزوايا الداخلية للمضلع n المحدب

لوصف خصائص المضلعات، هناك نظريتان مهمتان حول زواياها: theo-re-ma حول مجموع الزوايا الداخلية للعديد من الزواياو Theo-re-ma حول مجموع الزوايا الخارجية للعديد من الزوايا. دعونا ننظر إليهم.

نظرية. حول مجموع الزوايا الداخلية لديك الكثير من الزوايا (ن-الفحم نو كا).

أين عدد زواياه (أضلاعه).

الدليل 1. الرسم التوضيحي في الشكل. 4 جاحظ ن غون.

أرز. 4. أنت وعر ن غون

من الأعلى سنقوم بإجراء جميع عمليات dia-go الممكنة. إنهم يقسمون n-gon-nik إلى tri-gon-nik، لأن. يشكل كل جانب كمية كبيرة من الفحم، باستثناء الجوانب الواقعة نحو الأعلى. من السهل أن نرى من الشكل أن مجموع زوايا كل هذه المثلثات سيكون مساويًا تمامًا لمجموع الزوايا الداخلية للزاوية n. بما أن مجموع زوايا أي مثلث هو , فإن مجموع الزوايا الداخلية للزاوية n:

السبب 2. من الممكن أن يكون هناك سبب آخر لهذه النظرية. رسم توضيحي لـ n-gon مماثل في الشكل 1. 5 وتوصيل أي نقطة من نقاطها الداخلية بجميع رؤوسها.

لقد قسمنا الفحم n إلى مثلثات n (كم عدد الجوانب، عدد المثلثات)). ومجموع زواياها كلها يساوي مجموع الزوايا الداخلية للمضلع ومجموع الزوايا عند النقطة الداخلية، وهذه هي الزاوية. لدينا:

Q.E.D.

دو كا زا ولكن.

وبحسب النظرية السابقة فمن الواضح أن مجموع زوايا الفحم n لا يعتمد على عدد أضلاعه (من n). على سبيل المثال، في المثلث، مجموع زواياه هو . في wh-reh-coal-no-ke ومجموع الزوايا - إلخ.

4. نظرية مجموع الزوايا الخارجية لمضلع n محدب

نظرية. حول مجموع الزوايا الخارجية للكثير من الفحم (ن-الفحم نو كا).

أين عدد زواياه (أضلاعه) و... هي الزوايا الخارجية.

دليل. صورة n-gon محدبة في الشكل. 6ـ وتعيين زواياه الداخلية والخارجية.

أرز. 6. شكل n محدب مع زوايا خارجية محددة

لأن ثم ترتبط الزاوية الخارجية بالزاوية الداخلية المجاورة لها ومثله بالنسبة للزوايا الخارجية الأخرى. ثم:

خلال مرحلة ما قبل التطوير، استخدمنا بالفعل النظرية حول مجموع الزوايا الداخلية n-coal-ni-ka.

دو كا زا ولكن.

من النظرية السابقة تتبع حقيقة مثيرة للاهتمام وهي أن مجموع الزوايا الخارجية للفحم n المحدب يساوي على عدد زواياه (جوانبه). بالمناسبة، اعتمادا على مجموع الزوايا الداخلية.

بعد ذلك، سنعمل بمزيد من التفصيل مع الحالة المحددة للكثير من الفحم - لماذا تعيد استخدام الفحم نو مي. في الدرس القادم، سوف نتعرف على شكل مثل par-ral-le-lo-gram، ونناقش خصائصه.

مصدر

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-klasse

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144

الموضوع عمر الطالب: الهندسة، الصف التاسع

الغرض من الدرس: دراسة أنواع المضلعات.

المهمة التعليمية: تحديث وتوسيع وتعميم معرفة الطلاب حول المضلعات؛ تكوين فكرة عن "الأجزاء المكونة" للمضلع؛ إجراء دراسة لعدد العناصر المكونة للمضلعات المنتظمة (من المثلث إلى n-gon)؛

المهمة التنموية: تطوير القدرة على التحليل والمقارنة واستخلاص النتائج وتطوير المهارات الحسابية والكلام الرياضي الشفهي والمكتوب والذاكرة وكذلك الاستقلال في أنشطة التفكير والتعلم والقدرة على العمل في أزواج ومجموعات. تطوير الأنشطة البحثية والتعليمية ؛

المهمة التعليمية: تنمية الاستقلال والنشاط والمسؤولية عن العمل والمثابرة في تحقيق الهدف.

خلال الفصول الدراسية:اقتباس مكتوب على السبورة

"الطبيعة تتحدث لغة الرياضيات، وحروف هذه اللغة... أرقام رياضية."جي جاليلي

في بداية الدرس، يتم تقسيم الفصل إلى مجموعات عمل (في حالتنا، مقسم إلى مجموعات مكونة من 4 أشخاص لكل منها - عدد أعضاء المجموعة يساوي عدد مجموعات الأسئلة).

1. مرحلة الاتصال-

الأهداف:

أ) تحديث معرفة الطلاب حول الموضوع؛

ب) إيقاظ الاهتمام بالموضوع قيد الدراسة، وتحفيز كل طالب على الأنشطة التعليمية.

التقنية: لعبة "هل تصدق أن..."، تنظيم العمل بالنص.

أشكال العمل: أمامي، جماعي.

"هل تصدق ذلك..."

1. ... كلمة "مضلع" تشير إلى أن جميع الشخصيات في هذه العائلة لها "زوايا متعددة"؟

2. ... هل ينتمي المثلث إلى عائلة كبيرة من المضلعات، التي تتميز بين العديد من الأشكال الهندسية المختلفة على المستوى؟

3. ... هل المربع مثمن منتظم (أربعة جوانب + أربع زوايا)؟

اليوم في الدرس سنتحدث عن المضلعات. نتعلم أن هذا الرقم محدود بخط مغلق ومكسور، والذي بدوره يمكن أن يكون بسيطًا ومغلقًا. دعونا نتحدث عن حقيقة أن المضلعات يمكن أن تكون مسطحة أو منتظمة أو محدبة. أحد المضلعات المسطحة هو مثلث كنت على دراية به منذ فترة طويلة (يمكنك عرض ملصقات للطلاب تصور المضلعات، خطًا متقطعًا، وإظهارهم أنواع مختلفة، يمكنك أيضًا استخدام TSO).

2. مرحلة الحمل

الهدف : الحصول معلومات جديدةوفهمها واختيارها.

تقنية: متعرج.

أشكال العمل: فردي->زوجي->جماعي.

يتم إعطاء كل عضو في المجموعة نصًا حول موضوع الدرس، ويتم تجميع النص بطريقة تتضمن المعلومات المعروفة بالفعل للطلاب والمعلومات الجديدة تمامًا. جنبا إلى جنب مع النص، يتلقى الطلاب الأسئلة، والإجابات التي يجب العثور عليها في هذا النص.

المضلعات. أنواع المضلعات.

من منا لم يسمع عن مثلث برمودا الغامض الذي تختفي فيه السفن والطائرات دون أثر؟ لكن المثلث المألوف لنا منذ الطفولة محفوف بالكثير من الأشياء المثيرة للاهتمام والغامضة.

بالإضافة إلى أنواع المثلثات المعروفة لدينا بالفعل، والمقسمة حسب الأضلاع (مختلف الأضلاع، متساوي الساقين، متساوي الأضلاع) والزوايا (حادة، منفرجة، مستطيلة)، ينتمي المثلث إلى عائلة كبيرة من المضلعات، والتي تتميز بين العديد من الأشكال الهندسية المختلفة على سطح الأرض. طائرة.

تشير كلمة "مضلع" إلى أن جميع الشخصيات في هذه العائلة لها "زوايا عديدة". لكن هذا لا يكفي لوصف الشكل.

خط متقطع A 1 A 2 ...A n هو شكل يتكون من النقاط A 1، A 2، ...A n والأجزاء التي تربط بينها A 1 A 2، A 2 A 3،.... تسمى النقاط رؤوس الخط متعدد الخطوط، وتسمى الأجزاء روابط الخط متعدد الخطوط. (رسم بياني 1)

يسمى الخط المتقطع بسيطًا إذا لم يكن به تقاطعات ذاتية (الشكل 2، 3).

يسمى الخط متعدد الخطوط مغلقًا إذا تطابقت نهاياته. طول الخط المتقطع هو مجموع أطوال روابطه (الشكل 4).

يُطلق على الخط المكسور البسيط المغلق اسم المضلع إذا كانت الروابط المجاورة له لا تقع على نفس الخط المستقيم (الشكل 5).

استبدل رقما محددا مثلا 3 في كلمة "مضلع" بدلا من جزء "كثير" وستحصل على مثلث. أو 5. ثم - البنتاغون. لاحظ أنه، بقدر ما يوجد عدد من الزوايا، هناك العديد من الأضلاع، لذلك يمكن تسمية هذه الأشكال بأشكال متعددة الأطراف.

تسمى رؤوس الخط المتقطع رؤوس المضلع، وتسمى روابط الخط المتقطع جوانب المضلع.

يقسم المضلع المستوى إلى منطقتين: داخلية وخارجية (الشكل 6).

المضلع المستوي أو المنطقة المضلعة هي الجزء المحدود من المستوى الذي يحده مضلع.

يُطلق على رأسين من المضلع اللذين يكونان طرفي جانب واحد اسم متجاورين. القمم التي لا تنتهي من جانب واحد هي غير متجاورة.

المضلع ذو الرؤوس n، وبالتالي n الجوانب، يسمى n-gon.

على الرغم من أن أصغر عدد من أضلاع المضلع هو 3. إلا أن المثلثات، عند اتصالها ببعضها البعض، يمكن أن تشكل أشكالًا أخرى، والتي بدورها تكون أيضًا مضلعات.

تسمى الأجزاء التي تربط القمم غير المتجاورة للمضلع بالأقطار.

يسمى المضلع محدبًا إذا كان يقع في نفس المستوى النصفي بالنسبة إلى أي خط يحتوي على جانبه. في هذه الحالة، يعتبر الخط المستقيم نفسه ينتمي إلى نصف المستوى.

زاوية المضلع المحدب عند قمة معينة هي الزاوية التي تشكلها تقارب أضلاعه عند هذه القمة.

لنثبت النظرية (حول مجموع زوايا الشكل n المحدب): مجموع زوايا الشكل n المحدب يساوي 180 0 *(n - 2).

دليل. في الحالة n=3 النظرية صحيحة. دع A 1 A 2 ...A n يكون مضلعًا محدبًا و n>3. لنرسم الأقطار فيه (من قمة واحدة). وبما أن المضلع محدب، فإن هذه الأقطار تقسمه إلى مثلثات عددها n - 2. مجموع زوايا المضلع هو مجموع زوايا كل هذه المثلثات. مجموع زوايا كل مثلث يساوي 180 0، وعدد هذه المثلثات n هو 2. وبالتالي فإن مجموع زوايا n-gon المحدبة A 1 A 2 ...A n يساوي 180 0 * (ن - 2). لقد تم إثبات النظرية.

الزاوية الخارجية لمضلع محدب عند قمة معينة هي الزاوية المجاورة للزاوية الداخلية للمضلع عند هذه القمة.

يسمى المضلع المحدب منتظما إذا كانت جميع أضلاعه متساوية وجميع الزوايا متساوية.

لذلك يمكن تسمية المربع بشكل مختلف - شكل رباعي منتظم. المثلثات متساوية الأضلاع منتظمة أيضًا. لطالما كانت هذه الأرقام محل اهتمام الحرفيين الذين قاموا بتزيين المباني. لقد صنعوا أنماطًا جميلة، على سبيل المثال على الباركيه. ولكن ليس كل المضلعات العادية يمكن استخدامها لصنع الباركيه. لا يمكن صنع الباركيه من المثمنات العادية. والحقيقة هي أن كل زاوية تساوي 135 0. وإذا كانت هناك نقطة ما هي قمة اثنين من هذه المثمنات، فستكون 270 0، ولا يوجد مكان للمثمن الثالث ليتناسب هناك: 360 0 - 270 0 = 90 0. لكن هذا يكفي للمربع. لذلك، يمكنك صنع الباركيه من المثمنات والمربعات العادية.

النجوم صحيحة أيضًا. النجمة الخماسية لدينا هي نجمة خماسية منتظمة. وإذا قمت بتدوير المربع حول المركز بمقدار 45 0، فستحصل على نجمة مثمنة منتظمة.

1 مجموعة

ما هو الخط المكسور؟ اشرح ما هي رؤوس وروابط الخطوط المتعددة.

أي خط مكسور يسمى بسيط؟

ما هو الخط المكسور الذي يسمى مغلق؟

ماذا يسمى المضلع؟ ماذا تسمى رؤوس المضلع؟ ماذا تسمى جوانب المضلع؟

المجموعة الثانية

أي مضلع يسمى مسطح؟ أعط أمثلة على المضلعات.

ما هو ن - مربع؟

اشرح أي رؤوس المضلع متجاورة وأيها ليست كذلك.

ما هو قطري المضلع؟

3 مجموعة

أي مضلع يسمى محدب؟

اشرح ما هي زوايا المضلع الخارجية وأيها داخلية؟

أي مضلع يسمى منتظم؟ أعط أمثلة على المضلعات المنتظمة.

4 مجموعة

ما هو مجموع زوايا n-gon المحدبة؟ اثبت ذلك.

يعمل الطلاب مع النص، ويبحثون عن إجابات للأسئلة المطروحة، وبعد ذلك يتم تشكيل مجموعات الخبراء، حيث يتم العمل على نفس القضايا: يسلط الطلاب الضوء على النقاط الرئيسية، ويضعون ملخصًا داعمًا، ويقدمون المعلومات في إحدى الأشكال الرسومية. عند الانتهاء من العمل، يعود الطلاب إلى مجموعات العمل الخاصة بهم.

3. مرحلة التأمل -

أ) تقييم معرفة الفرد، والتحدي للخطوة التالية من المعرفة؛

ب) الفهم والاستيلاء على المعلومات الواردة.

الاستقبال: العمل البحثي.

أشكال العمل: فردي->زوجي->جماعي.

- مجموعات عمل تضم متخصصين في الإجابة على كل قسم من الأسئلة المقترحة.

بالعودة إلى مجموعة العمل، يقدم الخبير الإجابات على أسئلته لأعضاء المجموعة الآخرين. تقوم المجموعة بتبادل المعلومات بين جميع أعضاء مجموعة العمل. وبالتالي، في كل مجموعة عمل، بفضل عمل الخبراء، يتم تشكيل فهم عام للموضوع قيد الدراسة.

العمل البحثي للطلاب - ملء الجدول.

المضلعات المنتظمة	رسم	عدد الجوانب	عدد القمم	مجموع جميع الزوايا الداخلية	قياس الدرجة داخليا زاوية	قياس درجة الزاوية الخارجية	عدد الأقطار
مثلث
ب) رباعي
ب) خمسة بار
د) مسدس
د) ن غون

حل المشكلات المثيرة للاهتمام حول موضوع الدرس.

• في الشكل الرباعي، ارسم خطًا مستقيمًا بحيث يقسمه إلى ثلاثة مثلثات.
• ما عدد أضلاع المضلع المنتظم، قياس كل زاوية من زواياه الداخلية هو 135 0؟
• في مضلع معين، تكون جميع الزوايا الداخلية متساوية مع بعضها البعض. هل يمكن أن يساوي مجموع الزوايا الداخلية لهذا المضلع: 0 360، 0 380؟

تلخيص الدرس. تسجيل الواجبات المنزلية.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد الهوية شخص معينأو الارتباط معه.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، والإجراءات القانونية، و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات الواردة من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

في هذا الدرس سنبدأ موضوعًا جديدًا ونقدم لنا مفهومًا جديدًا: "المضلع". سنلقي نظرة على المفاهيم الأساسية المرتبطة بالمضلعات: الجوانب، وزوايا الرأس، والتحدب، وعدم التحدب. ثم سوف نثبت أهم الحقائق، مثل نظرية مجموع الزوايا الداخلية للمضلع، ونظرية مجموع الزوايا الخارجية للمضلع. ونتيجة لذلك، سنقترب من دراسة حالات خاصة للمضلعات، والتي سيتم تناولها في دروس لاحقة.

الموضوع: الأشكال الرباعية

الدرس: المضلعات

في مقرر الهندسة، ندرس خصائص الأشكال الهندسية وقد قمنا بالفعل بدراسة أبسطها: المثلثات والدوائر. وفي الوقت نفسه، ناقشنا أيضًا حالات خاصة محددة لهذه الأشكال، مثل المثلث القائم ومتساوي الساقين والمثلثات المنتظمة. حان الوقت الآن للحديث عن شخصيات أكثر عمومية وتعقيدًا - المضلعات.

مع حالة خاصة المضلعاتنحن مألوفون بالفعل - هذا مثلث (انظر الشكل 1).

أرز. 1. المثلث

يؤكد الاسم نفسه بالفعل على أن هذا الشكل ذو ثلاث زوايا. لذلك، في مضلعيمكن أن يكون هناك الكثير منهم، أي. أكثر من ثلاثة. على سبيل المثال، لنرسم شكلاً خماسيًا (انظر الشكل 2)، أي. الشكل مع خمس زوايا.

أرز. 2. البنتاغون. مضلع محدب

تعريف.مضلع- شكل يتكون من عدة نقاط (أكثر من نقطتين) وعدد مماثل من المقاطع التي تربطها بالتتابع. تسمى هذه النقاط قممالمضلع، والقطاعات هي حفلات. في هذه الحالة، لا يوجد ضلعان متجاوران يقعان على نفس الخط المستقيم، ولا يتقاطع ضلعان غير متجاورين.

تعريف.مضلع منتظمهو مضلع محدب تكون جميع أضلاعه وزواياه متساوية.

أي مضلعيقسم الطائرة إلى منطقتين: داخلية وخارجية. ويشار إلى المنطقة الداخلية أيضا باسم مضلع.

بمعنى آخر، على سبيل المثال، عندما يتحدثون عن البنتاغون، فإنهم يقصدون منطقته الداخلية بأكملها وحدوده. والمنطقة الداخلية تشمل جميع النقاط التي تقع داخل المضلع أي: تشير النقطة أيضًا إلى البنتاغون (انظر الشكل 2).

يُطلق على المضلعات أحيانًا اسم n-gons للتأكيد على أنه يتم أخذ الحالة العامة لوجود عدد غير معروف من الزوايا (n قطع) في الاعتبار.

تعريف. محيط المضلع- مجموع أطوال أضلاع المضلع .

الآن نحن بحاجة للتعرف على أنواع المضلعات. وهي مقسمة إلى محدبو غير محدب. على سبيل المثال، المضلع الموضح في الشكل. 2 محدبة، وفي الشكل. 3 غير محدبة.

أرز. 3. مضلع غير محدب

التعريف 1. مضلعمُسَمًّى محدب، إذا كان عند رسم خط مستقيم على أي من جوانبه، كله مضلعتقع فقط على جانب واحد من هذا الخط المستقيم. غير محدبهم الجميع المضلعات.

من السهل أن نتخيل أنه عند تمديد أي جانب من جوانب البنتاغون في الشكل. 2 ـ أن يكون كله على جانب واحد من هذا الخط المستقيم، أي على جهة واحدة. إنه محدب. ولكن عند رسم خط مستقيم من خلال الشكل الرباعي في الشكل. 3 سبق أن رأينا أنه يقسمها إلى قسمين، أي: انها ليست محدبة.

ولكن هناك تعريف آخر لتحدب المضلع.

التعريف 2. مضلعمُسَمًّى محدب، إذا كان عند اختيار أي نقطتين من نقاطه الداخلية وربطهما بقطعة، فإن جميع نقاط القطعة هي أيضًا نقاط داخلية للمضلع.

يمكن رؤية توضيح لاستخدام هذا التعريف في مثال إنشاء المقاطع في الشكل. 2 و 3.

تعريف. قطريالمضلع هو أي قطعة تصل بين رأسين غير متجاورين.

لوصف خصائص المضلعات، هناك نظريتان مهمتان حول زواياها: نظرية مجموع الزوايا الداخلية للمضلع المحدبو نظرية مجموع الزوايا الخارجية للمضلع المحدب. دعونا ننظر إليهم.

نظرية. على مجموع الزوايا الداخلية لمضلع محدب (ن-غون).

أين عدد زواياه (أضلاعه).

الدليل 1. دعونا نصور في الشكل. 4 محدب n-gon.

أرز. 4. محدب n-gon

من قمة الرأس نرسم جميع الأقطار الممكنة. يقسمون n-gon إلى مثلثات، لأن يشكل كل جانب من أضلاع المضلع مثلثًا، باستثناء الأضلاع المجاورة للرأس. من السهل أن نرى من الشكل أن مجموع زوايا كل هذه المثلثات سيكون مساويًا تمامًا لمجموع الزوايا الداخلية للـ n-gon. بما أن مجموع زوايا أي مثلث هو , فإن مجموع الزوايا الداخلية للمضلع n هو:

Q.E.D.

الدليل 2. هناك دليل آخر على هذه النظرية ممكن. دعونا نرسم n-gon مشابهًا في الشكل. 5 وتوصيل أي نقطة من نقاطه الداخلية بجميع رؤوسه.

أرز. 5.

لقد حصلنا على تقسيم n-gon إلى مثلثات n (عدد الأضلاع يساوي عدد المثلثات). ومجموع زواياها كلها يساوي مجموع الزوايا الداخلية للمضلع ومجموع الزوايا عند النقطة الداخلية، وهذه هي الزاوية. لدينا:

Q.E.D.

ثبت.

وفقا للنظرية المثبتة، من الواضح أن مجموع زوايا n-gon يعتمد على عدد أضلاعه (على n). على سبيل المثال، في مثلث، ومجموع زواياه هو . في شكل رباعي، ومجموع زواياه، الخ.

نظرية. على مجموع الزوايا الخارجية لمضلع محدب (ن-غون).

أين هو عدد زواياه (أضلاعه)، و...، هي الزوايا الخارجية.

دليل. دعونا نصور n-gon محدبًا في الشكل. 6ـ وتعيين زواياه الداخلية والخارجية.

أرز. 6. محدب n-gon بزوايا خارجية محددة

لأن ثم يتم توصيل الزاوية الخارجية بالزاوية الداخلية كمجاورة وهكذا بالنسبة للزوايا الخارجية المتبقية. ثم:

أثناء التحويلات، استخدمنا النظرية المثبتة بالفعل حول مجموع الزوايا الداخلية للـ n-gon.

ثبت.

من النظرية المثبتة يتبع حقيقة مثيرة للاهتمام، أن مجموع الزوايا الخارجية للمضلع n المحدب يساوي على عدد زواياه (جوانبه). بالمناسبة، على النقيض من مجموع الزوايا الداخلية.

فهرس

1. ألكساندروف أ.د. وغيرها الهندسة الصف الثامن. - م: التربية، 2006.
2. بوتوزوف ف.ف.، كادومتسيف إس.بي.، براسولوف ف.ف. الهندسة، الصف الثامن. - م: التربية، 2011.
3. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir S.M. الهندسة، الصف الثامن. - م: فينتانا-غراف، 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. نارود.رو ().
3. كسفاتيت.كوم ().

العمل في المنزل

يسمى الجزء من المستوى الذي يحده خط مغلق ومكسور بالمضلع.

تسمى أجزاء هذا الخط المكسور حفلاتمضلع. AB، BC، CD، DE، EA (الشكل 1) هي جوانب المضلع ABCDE. مجموع جميع أضلاع المضلع يسمى محيط.

يسمى المضلع محدبإذا كان يقع على جانب واحد من أي جانب من جوانبه، ممتدًا إلى ما بعد القمم إلى ما لا نهاية.

لن يكون مضلع MNPKO (الشكل 1) محدبًا، لأنه يقع على أكثر من جانب من الخط المستقيم KR.

سننظر فقط في المضلعات المحدبة.

تسمى الزوايا التي تشكلها ضلعان متجاوران في المضلع بها داخليالزوايا، وقممها هي رؤوس المضلع.

يسمى الجزء المستقيم الذي يربط بين رأسين غير متجاورين للمضلع بقطر المضلع.

AC، AD - أقطار المضلع (الشكل 2).

تسمى الزوايا المجاورة للزوايا الداخلية للمضلع بالزوايا الخارجية للمضلع (الشكل 3).

اعتمادًا على عدد الزوايا (الأضلاع)، يُسمى المضلع مثلثًا، أو رباعيًا، أو خماسي الأضلاع، وما إلى ذلك.

يقال إن مضلعين متطابقان إذا كان من الممكن جمعهما عن طريق التداخل.

المضلعات المنقوشة والمحدودة

إذا كانت جميع رؤوس المضلع تقع على دائرة، فإن المضلع يسمى منقوشةفي دائرة، والدائرة - الموصوفةبالقرب من المضلع (الشكل).

إذا كانت جميع أضلاع المضلع مماسة لدائرة، فإن المضلع يسمى الموصوفةحول دائرة، وتسمى الدائرة منقوشةفي مضلع (الشكل).

تشابه المضلعات

يسمى مضلعان لهما نفس الاسم بالتشابه إذا كانت زوايا أحدهما متساوية على التوالي مع زوايا الآخر، وكانت الجوانب المتشابهة للمضلعات متناسبة.

تسمى المضلعات التي لها نفس عدد الأضلاع (الزوايا) مضلعات تحمل نفس الاسم.

تسمى جوانب المضلعات المتشابهة التي تربط رؤوس الزوايا المتساوية المتشابهة (الشكل).

لذا، على سبيل المثال، لكي يكون المضلع ABCDE مشابهًا للمضلع A'B'C'D'E'، فمن الضروري أن: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E'، وبالإضافة إلى ذلك، AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

نسبة محيط المضلعات المتشابهة

أولا، النظر في خاصية سلسلة من النسب المتساوية. فلنأخذ على سبيل المثال النسب التالية: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 = 2.

لنجد مجموع الحدود السابقة لهذه العلاقات، ثم مجموع حدودها اللاحقة ونوجد نسبة المجاميع الناتجة، نحصل على:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

نحصل على نفس الشيء إذا أخذنا سلسلة من بعض العلاقات الأخرى، على سبيل المثال: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 فلنوجد مجموع الحدود السابقة لـ هذه العلاقات ومجموع العلاقات اللاحقة، ومن ثم إيجاد نسبة هذه المجاميع، نحصل على:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

وفي كلتا الحالتين، فإن مجموع الأعضاء السابقين في سلسلة من العلاقات المتساوية يرتبط بمجموع الأعضاء اللاحقين في نفس السلسلة، تمامًا كما يرتبط العضو السابق في أي من هذه العلاقات بالعضو اللاحق لها.

لقد اشتقنا هذه الخاصية من خلال النظر في عدد من الأمثلة العددية. يمكن استخلاصها بشكل صارم وفي شكل عام.

الآن فكر في نسبة محيط المضلعات المتشابهة.

دع المضلع ABCDE يكون مشابهًا للمضلع A'B'C'D'E' (الشكل).

ويترتب على تشابه هذه المضلعات ذلك

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

بناءً على الخاصية التي استنتجناها لسلسلة من النسب المتساوية، يمكننا أن نكتب:

مجموع الحدود السابقة للعلاقات التي أخذناها يمثل محيط المضلع الأول (P)، ومجموع الحدود اللاحقة لهذه العلاقات يمثل محيط المضلع الثاني (P')، ويعني P/P '= أ ب / أ'ب'.

لذلك، ترتبط محيطات المضلعات المتشابهة بأضلاعها المتشابهة.

نسبة مساحات المضلعات المتشابهة

اجعل ABCDE وA’B’C’D’E’ مضلعين متشابهين (الشكل).

ومن المعروف أن ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' و ΔADE ~ ΔA'D'E'.

بجانب،

;

وبما أن النسب الثانية لهذه النسب متساوية، وهو ما يترتب على تشابه المضلعات، إذن

باستخدام خاصية سلسلة النسب المتساوية نحصل على:

أو

حيث S وS هي مناطق هذه المضلعات المتشابهة.

لذلك، ترتبط مساحات المضلعات المتشابهة كمربعات ذات جوانب متشابهة.

يمكن تحويل الصيغة الناتجة إلى هذا النموذج: S / S' = (AB / A'B') 2

مساحة المضلع التعسفي

فليكن من الضروري حساب مساحة الشكل الرباعي التعسفي ABC (الشكل).

لنرسم فيه قطريًا، على سبيل المثال م. نحصل على مثلثين ABD وACD، يمكننا حساب مساحتهما. ثم نجد مجموع مساحات هذه المثلثات. المبلغ الناتج سيعبر عن مساحة هذا الشكل الرباعي.

إذا كنت بحاجة إلى حساب مساحة البنتاغون، فإننا نفعل الشيء نفسه: نرسم الأقطار من إحدى القمم. نحصل على ثلاثة مثلثات يمكننا حساب مساحتها. وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد مساحة هذا الخماسي. نحن نفعل الشيء نفسه عند حساب مساحة أي مضلع.

المساحة المتوقعة للمضلع

دعونا نتذكر أن الزاوية بين الخط والمستوى هي الزاوية بين خط معين ومسقطه على المستوى (الشكل).

نظرية. مساحة الإسقاط المتعامد للمضلع على المستوى تساوي مساحة المضلع المسقط مضروبًا في جيب تمام الزاوية التي يشكلها مستوى المضلع ومستوى الإسقاط.

يمكن تقسيم كل مضلع إلى مثلثات مجموع مساحاتها يساوي مساحة المضلع. لذلك، يكفي إثبات نظرية المثلث.

دع ΔАВС يتم عرضه على الطائرة ر. دعونا نفكر في حالتين:

أ) أحد الجوانب ΔABC موازي للمستوى ر;

ب) لا يوجد أي ضلع من أضلاع ΔABC متوازي ر.

دعونا نفكر الحالة الأولى: دع [AB] || ر.

دعونا نرسم مستوى من خلال (AB) ر 1 || روالمشروع بشكل متعامد ΔАВС ر 1 وما فوق ر(أرز.)؛ نحصل على ΔАВС 1 و ΔА'В'С'.

بواسطة خاصية الإسقاط لدينا ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С'، وبالتالي

S Δ ABC1 = S Δ A'B'C'

لنرسم ⊥ والقطعة D 1 C 1 . ثم ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ هي قيمة الزاوية بين المستوى ΔABC والمستوى ر 1 . لهذا

S Δ ABC1 = 1/2 | أ ب | | ج1 د1 | = 1 / 2 | أ ب | | القرص المضغوط 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

وبالتالي S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

دعنا ننتقل إلى النظر الحالة الثانية. لنرسم طائرة ر 1 || رمن خلال تلك القمة ΔАВС، وهي المسافة التي تصل منها إلى المستوى رالأصغر (فليكن الرأس A).

لنعرض ΔАВС على المستوى ر 1 و ر(أرز.)؛ دع توقعاتها تكون ΔАВ 1 С 1 و ΔА'В'С'، على التوالي.

دع (قبل الميلاد) ∩ ص 1 = د. ثم

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

مواد اخرى