الصفحة الرئيسية متفرقات

التحقيق في دالة ورسم رسم بياني مع حل مفصل. الاستكشاف الكامل والتخطيط

للحصول على دراسة كاملة للوظيفة ورسم الرسم البياني لها ، يوصى باستخدام المخطط التالي:

1) ابحث عن نطاق الوظيفة ؛

2) ابحث عن نقاط عدم الاستمرارية للوظيفة والخطوط المقاربة العمودية (إن وجدت) ؛

3) التحقيق في سلوك الوظيفة عند اللانهاية ، والعثور على الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة ؛

4) التحقق من وظيفة التكافؤ (الغرابة) والدورية (للوظائف المثلثية) ؛

5) البحث عن القيم القصوى وفترات رتابة الوظيفة ؛

6) تحديد فترات التحدب والانعطاف ؛

7) ابحث عن نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات ، إن أمكن ، وبعض النقاط الإضافية التي تعمل على تحسين الرسم البياني.

تتم دراسة الوظيفة بالتزامن مع بناء الرسم البياني الخاص بها.

المثال 9استكشف الوظيفة وقم ببناء رسم بياني.

1. مجال التعريف: ؛

2. وظيفة تنكسر عند النقاط
,
;

نحن نبحث في وظيفة وجود الخطوط المقاربة العمودية.

;
,
─ خط مقارب عمودي.

3. نتحرى عن وظيفة وجود خطوط مقاربة مائلة وأفقية.

مستقيم
─ خط مقارب مائل ، إذا
,
.

,
.

مستقيم
─ خط مقارب أفقي.

4. الوظيفة حتى لأن
. يشير تكافؤ الوظيفة إلى تناظر الرسم البياني فيما يتعلق بالمحور الصادي.

5. أوجد فترات الرتابة والنهايات القصوى للوظيفة.

لنجد النقاط الحرجة ، أي النقاط التي يكون فيها المشتق 0 أو غير موجود:
;
. لدينا ثلاث نقاط
;

. تقسم هذه النقاط المحور الحقيقي بأكمله إلى أربع فترات. دعونا نحدد العلامات على كل منهم.

على الفواصل الزمنية (-؛ -1) و (-1 ؛ 0) تزداد الوظيفة ، على الفواصل الزمنية (0 ؛ 1) و (1 ؛ + ∞) تتناقص. عند المرور عبر نقطة
يتغير المشتق من موجب إلى سالب ، وبالتالي ، في هذه المرحلة ، يكون للدالة قيمة قصوى
.

6. دعونا نجد فترات التحدب ونقاط الانعطاف.

دعونا نجد النقاط حيث هو 0 ، أو غير موجود.

ليس له جذور حقيقية.
,
,

نقاط
و
قسّم المحور الحقيقي إلى ثلاث فترات. دعونا نحدد العلامة في كل فترة.

وهكذا ، فإن المنحنى على فترات
و
محدب لأسفل ، على الفاصل الزمني (-1 ؛ 1) محدب لأعلى ؛ لا توجد نقاط انعطاف ، لأن الوظيفة عند النقاط
و
لم يحدد.

7. إيجاد نقاط التقاطع مع المحاور.

مع المحور
يتقاطع الرسم البياني للوظيفة عند النقطة (0 ؛ -1) ومع المحور
الرسم البياني لا يتقاطع لأن ليس لبسط هذه الدالة جذور حقيقية.

يظهر الرسم البياني لوظيفة معينة في الشكل 1.

الشكل 1 ، رسم بياني للوظيفة

تطبيق مفهوم المشتق في الاقتصاد. مرونة الوظيفة

لدراسة العمليات الاقتصادية وحل المشكلات التطبيقية الأخرى ، غالبًا ما يستخدم مفهوم مرونة الوظيفة.

تعريف.مرونة الوظيفة
يسمى حد نسبة الزيادة النسبية للدالة للزيادة النسبية للمتغير في
و. (السابع)

تُظهر مرونة الدالة تقريبًا عدد النسبة المئوية التي ستتغير فيها الوظيفة
عند تغيير المتغير المستقل بنسبة 1٪.

يتم استخدام مرونة الوظيفة في تحليل الطلب والاستهلاك. إذا كانت مرونة الطلب (بالقيمة المطلقة)
، فإن الطلب يعتبر مرنًا إذا
─ محايد إذا
─ غير مرن فيما يتعلق بالسعر (أو الدخل).

المثال 10احسب مرونة دالة
وإيجاد قيمة مؤشر المرونة ل = 3.

الحل: حسب الصيغة (VII) مرونة الوظيفة:

دع x = 3 ثم
هذا يعني أنه إذا زاد المتغير المستقل بنسبة 1٪ ، فإن قيمة المتغير التابع ستزيد بنسبة 1.42٪.

المثال 11دع وظيفة الطلب بخصوص السعر لديه الشكل
، أين ─ معامل ثابت. أوجد قيمة مؤشر مرونة دالة الطلب بالسعر x = 3 den. الوحدات

الحل: احسب مرونة دالة الطلب باستخدام الصيغة (VII)

بافتراض
الوحدات النقدية ، نحصل عليها
. هذا يعني أن السعر
الوحدة النقدية ستؤدي زيادة السعر بنسبة 1 ٪ إلى انخفاض في الطلب بنسبة 6 ٪ ، أي الطلب مرن.

ندعوك اليوم لاستكشاف رسم بياني للوظائف ورسمه معنا. بعد دراسة متأنية لهذه المقالة ، لن تضطر إلى التعرق لفترة طويلة لإكمال هذا النوع من المهام. ليس من السهل استكشاف وبناء رسم بياني لوظيفة ما ، فالعمل ضخم يتطلب أقصى قدر من الاهتمام والدقة في الحسابات. لتسهيل إدراك المادة ، سوف ندرس نفس الوظيفة تدريجيًا ، وشرح جميع إجراءاتنا وحساباتنا. مرحبًا بكم في عالم الرياضيات المذهل والرائع! يذهب!

اِختِصاص

من أجل استكشاف وظيفة ورسمها ، تحتاج إلى معرفة بعض التعريفات. الوظيفة هي أحد المفاهيم الأساسية (الأساسية) في الرياضيات. يعكس الاعتماد بين عدة متغيرات (متغيرين ، ثلاثة أو أكثر) مع التغييرات. تظهر الوظيفة أيضًا اعتماد المجموعات.

تخيل أن لدينا متغيرين لهما نطاق معين من التغيير. إذن ، y هي دالة في x ، بشرط أن تتوافق كل قيمة من المتغير الثاني مع قيمة واحدة من الثانية. في هذه الحالة ، يكون المتغير y تابعًا ويسمى دالة. من المعتاد أن نقول أن المتغيرين x و y موجودان في لمزيد من الوضوح لهذا الاعتماد ، تم إنشاء رسم بياني للوظيفة. ما هو الرسم البياني للدالة؟ هذه مجموعة من النقاط على المستوى الإحداثي ، حيث تقابل كل قيمة x قيمة واحدة من y. يمكن أن تكون الرسوم البيانية مختلفة - خط مستقيم ، قطع زائد ، قطع مكافئ ، شبه جيبي ، وما إلى ذلك.

لا يمكن رسم الرسم البياني للدالة بدون استكشاف. اليوم سوف نتعلم كيفية إجراء البحث ورسم الرسم البياني للوظيفة. من المهم جدًا تدوين الملاحظات أثناء الدراسة. لذلك سيكون من الأسهل بكثير التعامل مع المهمة. الخطة الدراسية الأكثر ملاءمة:

اِختِصاص.
استمرارية.
زوجي أو فردي.
دورية.
الخطوط المقاربة.
الأصفار.
ثبات.
تصاعدي وتنازلي.
النهايات.
التحدب والتقعر.

لنبدأ بالنقطة الأولى. لنجد مجال التعريف ، أي في الفواصل الزمنية التي توجد بها وظيفتنا: y \ u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). في حالتنا هذه ، الوظيفة موجودة لأي قيم لـ x ، أي مجال التعريف هو R. ويمكن كتابة هذا كـ xОR.

استمرارية

سنقوم الآن باستكشاف وظيفة عدم الاستمرارية. في الرياضيات ، ظهر مصطلح "استمرارية" نتيجة دراسة قوانين الحركة. ما هو اللانهائي؟ المكان والوقت وبعض التبعيات (مثال على ذلك اعتماد المتغيرين S و t في مشاكل الحركة) ، ودرجة حرارة الجسم المسخن (ماء ، مقلاة ، مقياس حرارة ، وما إلى ذلك) ، خط متصل (أي واحد يمكن رسمه دون خلعه من الورقة بالقلم الرصاص).

يعتبر الرسم البياني مستمرًا إذا لم ينكسر في مرحلة ما. أحد الأمثلة الأكثر وضوحًا لمثل هذا الرسم البياني هو الموجة الجيبية ، والتي يمكنك رؤيتها في الصورة في هذا القسم. تكون الوظيفة متصلة عند نقطة ما x0 إذا تم استيفاء عدد من الشروط:

يتم تحديد وظيفة في نقطة معينة ؛
الحدود اليمنى واليسرى عند نقطة ما متساوية ؛
الحد يساوي قيمة الدالة عند النقطة x0.

إذا لم يتم استيفاء شرط واحد على الأقل ، يُقال أن الوظيفة تعطلت. وتسمى النقاط التي تنكسر عندها الوظيفة بنقاط الانكسار. مثال على دالة "ستكسر" عند عرضها بيانياً: y = (x + 4) / (x-3). علاوة على ذلك ، لا توجد y عند النقطة x = 3 (لأنه من المستحيل القسمة على صفر).

في الوظيفة التي ندرسها (y \ u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) تبين أن كل شيء بسيط ، لأن الرسم البياني سيكون مستمرًا.

زوجي ، غريب

الآن افحص وظيفة التكافؤ. لنبدأ بنظرية صغيرة. الوظيفة الزوجية هي دالة تحقق الشرط f (-x) = f (x) لأي قيمة للمتغير x (من نطاق القيم). الأمثلة هي:

الوحدة النمطية x (يبدو الرسم البياني مثل الغراب ، ومنصف الربعين الأول والثاني من الرسم البياني) ؛
x تربيع (القطع المكافئ) ؛
جيب التمام x (موجة جيب التمام).

لاحظ أن كل هذه الرسوم البيانية متماثلة عند عرضها بالنسبة لمحور ص.

إذن ما يسمى بالدالة الفردية؟ هذه هي الوظائف التي تحقق الشرط: f (-x) \ u003d - f (x) لأي قيمة للمتغير x. أمثلة:

القطع الزائد؛
مكعب مكافئ
الجيب.
الظل وهلم جرا.

يرجى ملاحظة أن هذه الوظائف متماثلة حول النقطة (0: 0) ، أي نقطة الأصل. بناءً على ما قيل في هذا القسم من المقالة ، يجب أن يكون للدالة الفردية والزوجية الخاصية: x ينتمي إلى مجموعة التعريف و -x أيضًا.

دعونا نفحص وظيفة التكافؤ. يمكننا أن نرى أنها لا تتناسب مع أي من الأوصاف. لذلك ، فإن وظيفتنا ليست زوجية ولا فردية.

الخطوط المقاربة

لنبدأ بتعريف. الخط المقارب هو منحنى أقرب ما يمكن إلى الرسم البياني ، أي المسافة من نقطة ما تميل إلى الصفر. هناك ثلاثة أنواع من الخطوط المقاربة:

عمودي ، أي موازٍ للمحور y ؛
أفقي ، أي موازٍ للمحور السيني ؛
منحرف - مائل.

بالنسبة للنوع الأول ، يجب البحث عن هذه الخطوط في بعض النقاط:

الفارق؛
نهايات المجال.

في حالتنا هذه الوظيفة متصلة ومجال التعريف هو R. لذلك لا توجد خطوط مقاربة عمودية.

يحتوي الرسم البياني للوظيفة على خط مقارب أفقي ، والذي يفي بالمتطلبات التالية: إذا كان x يميل إلى اللانهاية أو ناقص اللانهاية ، وكان الحد يساوي رقمًا معينًا (على سبيل المثال ، أ). في هذه الحالة ، y = a هو الخط المقارب الأفقي. لا توجد خطوط مقاربة أفقية في الوظيفة التي ندرسها.

لا يوجد خط مقارب مائل إلا إذا تم استيفاء شرطين:

ليم (و (س)) / س = ك ؛
ليم و (س) -ككس = ب.

ثم يمكن إيجادها بالصيغة: y = kx + b. مرة أخرى ، في حالتنا لا توجد خطوط مقاربة مائلة.

الأصفار الوظيفية

الخطوة التالية هي فحص الرسم البياني لوظيفة الأصفار. من المهم أيضًا ملاحظة أن المهمة المرتبطة بإيجاد أصفار دالة لا تحدث فقط في دراسة الرسم البياني للوظيفة وتخطيطها ، ولكن أيضًا كمهمة مستقلة وكوسيلة لحل التفاوتات. قد يُطلب منك العثور على أصفار دالة على رسم بياني أو استخدام تدوين رياضي.

سيساعدك العثور على هذه القيم في رسم الدالة بشكل أكثر دقة. إذا كان يتكلم لغة بسيطة، إذن ، صفر الدالة هو قيمة المتغير x ، حيث y = 0. إذا كنت تبحث عن أصفار دالة على الرسم البياني ، فعليك الانتباه إلى النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحور x.

لإيجاد أصفار الدالة ، تحتاج إلى حل المعادلة التالية: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. بعد إجراء الحسابات اللازمة نحصل على الإجابة التالية:

علامة الثبات

المرحلة التالية في دراسة وبناء دالة (رسوم بيانية) هي إيجاد فترات من ثبات الإشارة. هذا يعني أنه يجب علينا تحديد الفترات التي تستغرقها الدالة قيمة موجبة، وعلى بعض - سلبي. ستساعدنا أصفار الوظائف الموجودة في القسم السابق على القيام بذلك. لذلك ، نحتاج إلى بناء خط مستقيم (منفصل عن الرسم البياني) وتوزيع أصفار الدالة على طوله بالترتيب الصحيح من الأصغر إلى الأكبر. أنت الآن بحاجة إلى تحديد أي من الفترات الناتجة يحتوي على علامة "+" وأي منها يحتوي على "-".

في حالتنا ، تأخذ الدالة قيمة موجبة على الفترات الزمنية:

من 1 إلى 4 ؛
من 9 إلى ما لا نهاية.

معنى سلبي:

من سالب ما لا نهاية إلى 1 ؛
من 4 إلى 9.

هذا من السهل تحديده. عوّض بأي رقم من الفترة في الدالة وانظر ما هي علامة الإجابة (ناقص أو زائد).

الوظيفة تصاعديا وتناقصا

من أجل استكشاف دالة وبنائها ، نحتاج إلى معرفة المكان الذي سيزيد فيه الرسم البياني (صعودًا في Oy) ، وأين سينخفض (الزحف لأسفل على طول المحور الصادي).

تزيد الدالة فقط إذا كانت القيمة الأكبر للمتغير x تتوافق مع القيمة الأكبر لـ y. أي أن x2 أكبر من x1 و f (x2) أكبر من f (x1). ونلاحظ ظاهرة معاكسة تمامًا في دالة تناقص (كلما زاد س ، قل ص). لتحديد فترات الزيادة والنقصان ، عليك إيجاد ما يلي:

النطاق (لدينا بالفعل) ؛
المشتق (في حالتنا: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) ؛
حل المعادلة 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0.

بعد الحسابات نحصل على النتيجة:

نحصل على: تزداد الدالة على الفترات من سالب ما لا نهاية إلى 7/3 ومن 7 إلى ما لا نهاية ، وتنخفض في الفترة من 7/3 إلى 7.

النهايات

الدالة التي تم فحصها y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) متصلة وموجودة لأي قيم للمتغير x. تُظهر النقطة القصوى الحد الأقصى والأدنى لهذه الوظيفة. في حالتنا ، لا يوجد أي شيء ، مما يبسط إلى حد كبير مهمة البناء. خلاف ذلك ، يتم إيجادها أيضًا باستخدام دالة المشتق. بعد العثور عليها ، لا تنسى وضع علامة عليها على الرسم البياني.

التحدب والتقعر

نواصل دراسة الوظيفة y (x). الآن نحن بحاجة إلى التحقق من التحدب والتقعر. يصعب إدراك تعاريف هذه المفاهيم ، فمن الأفضل تحليل كل شيء بالأمثلة. بالنسبة للاختبار: تكون الوظيفة محدبة إذا كانت دالة غير متناقصة. موافق ، هذا غير مفهوم!

علينا إيجاد مشتقة دالة من الدرجة الثانية. نحصل على: y = 1/3 (6x-28). الآن نساوي الطرف الأيمن بالصفر ونحل المعادلة. الجواب: س = 14/3. لقد وجدنا نقطة الانعطاف ، أي المكان الذي يتغير فيه الرسم البياني من محدب إلى مقعر أو العكس. في الفترة من سالب اللانهاية إلى 14/3 ، تكون الوظيفة محدبة ، ومن 14/3 إلى ما لا نهاية ، تكون مقعرة. من المهم أيضًا ملاحظة أن نقطة الانعطاف على الرسم البياني يجب أن تكون سلسة وناعمة ، ولا ينبغي أن تكون هناك أي زوايا حادة.

تعريف النقاط الإضافية

مهمتنا هي استكشاف الرسم البياني للوظيفة ورسمه. لقد أكملنا الدراسة ، لن يكون من الصعب رسم الوظيفة الآن. للحصول على إعادة إنتاج أكثر دقة وتفصيلاً لمنحنى أو خط مستقيم على مستوى الإحداثيات ، يمكنك العثور على عدة نقاط مساعدة. من السهل جدًا حسابها. على سبيل المثال ، نأخذ x = 3 ، ونحل المعادلة الناتجة ونوجد y = 4. أو x = 5 و y = -5 وهكذا. يمكنك الحصول على العديد من النقاط الإضافية التي تحتاجها للبناء. تم العثور على 3-5 منهم على الأقل.

التخطيط

كنا بحاجة إلى التحقق من الوظيفة (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. تم إجراء جميع العلامات اللازمة في سياق العمليات الحسابية على مستوى الإحداثيات. كل ما يتبقى هو إنشاء رسم بياني ، أي ربط جميع النقاط ببعضها البعض. يعتبر ربط النقاط سلسًا ودقيقًا ، فهذه مسألة مهارة - القليل من الممارسة وسيكون جدولك مثاليًا.