الصفحة الرئيسية تجربتي الخاصة

قم ببناء 4 نقاط مثلث رائعة. عمل بحثي "نقاط ملحوظة في المثلث

إن النظريتين الأوليين معروفة لك جيدًا ، وسنثبت النظريتين الأخريين.

نظرية 1

ثلاثة مناصرات لمثلثتتقاطع عند نقطة واحدة ، وهي مركز الدائرة المنقوشة.

دليل

يعتمد على حقيقة أن منصف الزاوية هو موضع النقاط على مسافة متساوية من جانبي الزاوية.

نظرية 2

تتقاطع المنصفات الثلاثة العمودية على جوانب المثلث عند نقطة واحدة ، وهي مركز الدائرة المُحددة.

دليل

يعتمد على حقيقة أن المنصف العمودي لقطعة ما هو موضع النقاط على مسافة متساوية من نهايات هذا الجزء.

نظرية 3

ثلاثة ارتفاعات أو ثلاثة مستقيمة، حيث تقع ارتفاعات المثلث ، تتقاطع عند نقطة واحدة. هذه النقطة تسمى تقويم العظاممثلث.

دليل

من خلال رؤوس المثلث "ABC" نرسم خطوطًا مستقيمة موازية للأضلاع المتقابلة.

عند التقاطع ، يتكون مثلث `A_1 B_1 C_1`.

حسب البناء ، فإن `ABA_1C` هو متوازي أضلاع ، لذلك` BA_1 = AC`. ثبت بالمثل أن "C_1B = AC" ، ومن ثم فإن "C_1B = AC" ، النقطة "B" هي نقطة المنتصف للجزء "C_1A_1".
بالطريقة نفسها تمامًا ، "C" هو منتصف "B_1A_1" و "A" هو منتصف "B_1 C_1".
لنفترض أن `BN` هو ارتفاع المثلث` ABC` ، ثم بالنسبة للمقطع `A_1 C_1` ، يكون السطر` BN` هو المنصف العمودي. من هنا يتبين أن الخطوط الثلاثة التي تقع عليها ارتفاعات المثلث "ABC" هي المنصفات العمودية للأضلاع الثلاثة للمثلث `A_1B_1C_1` ؛ وتتقاطع هذه الخطوط العمودية عند نقطة واحدة (نظرية 2).
إذا كان المثلث حاد الزاوية ، فإن كل من الارتفاعات عبارة عن جزء يربط بين الرأس ونقطة ما على الجانب المقابل. في هذه الحالة ، تقع النقطتان "B" و "N" في أنصاف مستويات مختلفة يتكون منها الخط "AM" ، مما يعني أن الجزء "BN" يتقاطع مع الخط "AM" ، وتقع نقطة التقاطع على ارتفاع " BN` ، أي يقع داخل المثلث.
في المثلث القائم ، نقطة تقاطع الارتفاعات هي رأس الزاوية القائمة.

نظرية 4

ثلاثة متوسطات لمثلث تتقاطع عند نقطة واحدة وتشترك في نقطة التقاطع بنسبة "2: 1" ، بدءًا من الأعلى. هذه النقطة تسمى مركز الجاذبية (أو مركز الكتلة) للمثلث.
هناك العديد من البراهين لهذه النظرية. هنا واحد مبني على نظرية طاليس.

دليل

لنفترض أن "E" و "D" و "F" هي نقاط منتصف الأضلاع "AB" و "BC" و "AC" للمثلث "ABC".

ارسم الوسيط "AD" وعبر النقطتين "E" و "F" موازىلها المباشر "EK" و "FL". من خلال نظرية تاليس ، `BK = KD`` (/ _ABC` ، E K ‖ A D) EK \ | AD) و `DL = LC`` (/ _ACB` ، A D ‖ F L) AD \ | FL). لكن `BD = DC = a // 2` ، لذا` BK = KD = DL = LC = a // 4`. بنفس النظرية `BN = NM = MF`` (/ _ FBC` ، N K ‖ M D ‖ F L) NK \ | MD \ | FL) ، لذلك `BM = 2MF`.

وهذا يعني أن الوسيط "BF" عند النقطة "M" من التقاطع مع الوسيط "AD" ينقسم بنسبة "2: 1" من الأعلى.

دعونا نثبت أن الوسيط "AD" عند النقطة "M" مقسم بنفس النسبة. المنطق مشابه.

إذا أخذنا في الاعتبار المتوسطين "BF" و "CE" ، فيمكننا أيضًا إظهار أنهما يتقاطعان عند النقطة التي ينقسم فيها الوسيط "BF" في النسبة "2: 1" ، أي عند نفس النقطة "M". وعند هذه النقطة ، سيتم أيضًا تقسيم الوسيط "CE" على النسبة "2: 1" ، بدءًا من الأعلى.

نقطة تقاطع متوسطات مثلث نقطة تقاطع منصفات مثلث نقطة تقاطع ارتفاعات مثلث

الوسيط (BD) للمثلث هو قطعة خطية تربط رأس المثلث بنقطة منتصف الضلع المقابل. متوسط أ ب ج د

يتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة (مركز ثقل المثلث) ويتم تقسيمها على هذه النقطة بنسبة 2: 1 ، عد من الأعلى. AM: MA 1 = VM: MV 1 = SM: MS 1 = 2: 1. أ أ 1 ب ب 1 م ج ج 1

منصف المثلث (A D) هو جزء من منصف الزاوية الداخلية للمثلث.

كل نقطة من المنصف لزاوية غير مطوية تكون على مسافة متساوية من جوانبها. على العكس من ذلك ، فإن كل نقطة تقع داخل زاوية وعلى مسافة متساوية من جانبي الزاوية تقع على منصفها. أ م ب ج

تتقاطع جميع منصفات المثلث عند نقطة واحدة - مركز الدائرة المدرجة في المثلث. C B 1 M A B A 1 C 1 O نصف قطر الدائرة (OM) عمودي سقط من المركز (t.O) إلى جانب المثلث

HEIGHT (الارتفاع C D) للمثلث هو جزء من العمود العمودي الساقط من رأس المثلث إلى الخط الذي يحتوي على الضلع المقابل. ا ب ت ث

تتقاطع ارتفاعات المثلث (أو امتداداتهما) عند نقطة واحدة. أ أ 1 ب 1 ج ج 1

المنصف العمودي (DF) هو خط عمودي على أحد أضلاع المثلث ويقسمه إلى نصفين. أ د و ب ج

م ب م س كل نقطة من المنصف العمودي (م) على مقطع ما هي على مسافة متساوية من طرفي هذا المقطع. على العكس من ذلك ، تقع كل نقطة على مسافة متساوية من نهايات المقطع على المنصف العمودي لها.

تتقاطع جميع المنصات العمودية لأضلاع المثلث عند نقطة واحدة - مركز الدائرة محصور حول المثلث. A B C O نصف قطر الدائرة المحصورة هو المسافة من مركز الدائرة إلى أي رأس للمثلث (OA). م ن ص

مهام الطالب استخدم البوصلة والمسطرة لإنشاء دائرة منقوشة في مثلث منفرج. للقيام بذلك: قم ببناء منصفات مثلث منفرج باستخدام البوصلة والمسطرة. نقطة تقاطع المنصفين هي مركز الدائرة. قم ببناء نصف قطر الدائرة: العمودي من مركز الدائرة إلى جانب المثلث. قم ببناء دائرة منقوشة في مثلث.

2. استخدم بوصلة وخط مستقيم لإنشاء دائرة تحيط بمثلث منفرج. للقيام بذلك: قم ببناء المنصات العمودية على جانبي المثلث المنفرج. نقطة تقاطع هذه الخطوط العمودية هي مركز الدائرة المحددة. نصف قطر الدائرة هو المسافة من المركز إلى أي رأس للمثلث. قم ببناء دائرة تحيط بمثلث.

وزارة التعليم العام والمهني في منطقة سفيردلوفسك.

MOUO يكاترينبورغ.

المؤسسة التعليمية - MOUSOSH رقم 212 "مدرسة ليكاترينبورغ الثقافية"

المجال التربوي - الرياضيات.

الموضوع هو الهندسة.

نقاط ملحوظة في المثلث

عظةمرجع: طالب بالصف الثامن

سيليتسكي دميتري كونستانتينوفيتش.

المستشار العلمي:

رابكانوف سيرجي بتروفيتش.

يكاترينبورغ ، 2001

مقدمة 3

الجزء الوصفي:

تقويم العظام 4

آيسنتر 5

مركز الثقل 7

مركز الدائرة المحصورة 8

خط أويلر 9

الجزء العملي:

المثلث العمودي 10

الخلاصة 11

المراجع 11

مقدمة.

تبدأ الهندسة بمثلث. على مدى ألفي سنة ونصف ، كان المثلث رمزًا للهندسة. يتم اكتشاف ميزات جديدة باستمرار. للحديث عن جميع الخصائص المعروفة للمثلث ، سوف يستغرق الأمر الكثير من الوقت. كنت مهتمًا بما يسمى ب نقاط رائعةمثلث." مثال على هذه النقاط هو نقطة تقاطع المنصفين. من اللافت للنظر أننا إذا أخذنا ثلاث نقاط عشوائية في الفضاء ، وقمنا ببناء مثلث منها ورسمنا منصفين ، فإنهم (المنصفون) سوف يتقاطعون عند نقطة واحدة! يبدو أن هذا غير ممكن ، لأننا اتخذنا نقاطًا عشوائية ، لكن هذه القاعدة تعمل دائمًا. "النقاط الرائعة" الأخرى لها خصائص مماثلة.

بعد قراءة الأدبيات حول هذا الموضوع ، حددت بنفسي تعريفات وخصائص خمس نقاط رائعة ومثلث. لكن عملي لم ينته عند هذا الحد ، أردت استكشاف هذه النقاط بنفسي.

لهذا السبب المرمىمن هذا العمل دراسة بعض الخصائص الرائعة للمثلث ، ودراسة المثلث العمودي. في عملية تحقيق هذا الهدف يمكن التمييز بين المراحل التالية:

اختيار الأدب بمساعدة مدرس

تعلم الخصائص الأساسية لنقاط وخطوط المثلث الرائعة

تعميم هذه الخصائص

رسم وحل مشكلة تتعلق بالمثلث العمودي

لقد قدمت النتائج التي تم الحصول عليها في هذا العمل البحثي. لقد صنعت جميع الرسومات باستخدام رسومات الكمبيوتر (محرر الرسومات المتجه CorelDRAW).

تقويم العظام. (نقطة تقاطع المرتفعات)

دعونا نثبت أن المرتفعات تتقاطع عند نقطة واحدة. دعنا نذهب من خلال القمم لكن, فيو منمثلث ABCخطوط مستقيمة موازية للأضلاع المتقابلة. هذه الخطوط تشكل مثلث لكن 1 في 1 من 1 . ارتفاع المثلث ABCهي المنصفات العمودية لأضلاع المثلث لكن 1 في 1 من 1 . لذلك ، يتقاطعان عند نقطة واحدة - مركز الدائرة المحددة للمثلث لكن 1 في 1 من 1 . نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث تسمى المركز العمودي ( ح).

المركز هو مركز دائرة منقوشة.

(نقطة تقاطع المنصفين)

دعونا نثبت أن منصفات زوايا المثلث ABCتتقاطع عند نقطة واحدة. ضع في اعتبارك نقطة حولتقاطعات مناصرات الزوايا لكنو في. أي نقطة على منصف الزاوية A تكون على مسافة متساوية من الخطوط ABو تيار متردد، وأي نقطة لمنصف الزاوية فيعلى مسافة متساوية من الخطوط المستقيمة ABو الشمس، لذا فإن النقطة حولعلى مسافة متساوية من الخطوط المستقيمة تيار مترددو الشمس، بمعنى آخر. تقع على منصف الزاوية من. نقطة حولعلى مسافة متساوية من الخطوط المستقيمة AB, الشمسو SA، إذن هناك دائرة بمركزها حولمماسة لهذه الخطوط ونقاط التماس على الجانبين نفسها وليس على امتدادها. في الواقع ، الزوايا عند الرؤوس لكنو فيمثلث AOBلذلك نقطة الإسقاط حولمباشرة ABيقع داخل الجزء AB.

للحفلات الشمسو SAالدليل مشابه.

للمركز ثلاث خصائص:

إذا استمر منصف الزاوية منيتقاطع مع محيط المثلث ABCفي هذه النقطة م، ومن بعد ماجستير=MV=MO.

إذا AB- قاعدة مثلث متساوي الساقين ABC، ثم المماس للدائرة على جانبي الزاوية DIAفي نقاط لكنو فييمر بالنقطة حول.

إذا كان الخط يمر عبر نقطة حولبالتوازي مع الجانب ABيتقاطع مع الجانبين الشمسو SAفي نقاط لكن 1 و في 1 ، ومن بعد لكن 1 في 1 =لكن 1 في+AB 1 .

مركز الجاذبية. (نقطة تقاطع المتوسطات)

دعونا نثبت أن متوسطات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة. لهذا ، ضع في اعتبارك النقطة محيث تتقاطع المتوسطات AA 1 و BB 1 . دعونا نفعل ذلك في مثلث BB 1 منخط الوسط لكن 1 لكن 2 ، موازى BB 1 . ومن بعد لكن 1 ماما=في 1 لكن 2 : AB 1 =في 1 لكن 2 :في 1 من=فيرجينيا 1 :الشمس= 1: 2 ، أي النقطة المتوسطة BB 1 و AA 1 يقسم الوسيط AA 1 بنسبة 1: 2. وبالمثل ، فإن نقطة تقاطع المتوسطات SS 1 و AA 1 يقسم الوسيط AA 1 بنسبة 1: 2. لذلك ، نقطة تقاطع المتوسطات AA 1 و BB 1 يتزامن مع نقطة تقاطع المتوسطات AA 1 و SS 1 .

إذا كانت نقطة تقاطع متوسطات المثلث متصلة بالرؤوس ، فسيتم تقسيم المثلثات إلى ثلاثة مثلثات متساوية المساحة. في الواقع ، يكفي إثبات ذلك ص- أي نقطة في الوسيط AA 1 في مثلث ABC، ثم مناطق المثلثات AVRو ASRمتساوية. بعد كل شيء ، المتوسطات AA 1 و RA 1 في مثلثات ABCو RVSاقطعهم إلى مثلثات متساوية المساحة.

العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا كانت في مرحلة ما صالكذب داخل المثلث ABC، مناطق مثلثات AVR, الاربعاءو ريال سعوديمتساوون إذن صهي نقطة تقاطع المتوسطات.

تحتوي نقطة التقاطع على خاصية أخرى: إذا قمت بقص مثلث من أي مادة ، ورسمت متوسطات عليه ، وقمت بإصلاح المصعد عند نقطة تقاطع المتوسطات ، وقمت بتثبيت التعليق على حامل ثلاثي القوائم ، فسيكون النموذج (المثلث) في حالة التوازن ، وبالتالي ، فإن نقطة التقاطع ليست أكثر من مركز ثقل المثلث.

مركز الدائرة المحددة.

دعونا نثبت أن هناك نقطة على مسافة متساوية من رءوس المثلث ، أو بعبارة أخرى ، أن هناك دائرة تمر عبر ثلاثة رؤوس للمثلث. يقع موقع النقاط على مسافة متساوية من النقاط لكنو فيعمودي على القطعة ABيمر عبر نقطة المنتصف (منصف عمودي على القطعة AB). ضع في اعتبارك نقطة حولحيث تتقاطع المنصفات العمودية للقطاعات ABو الشمس. نقطة حولعلى مسافة متساوية من النقاط لكنو في، وكذلك من النقاط فيو من. لذلك فهي على مسافة متساوية من النقاط لكنو من، بمعنى آخر. كما أنها تقع على المنصف العمودي للقطعة تيار متردد.

مركز حولتقع الدائرة المحصورة داخل المثلث فقط إذا كان المثلث حادًا. إذا كان المثلث هو مثلث قائم الزاوية ، ثم النقطة حوليتطابق مع منتصف الوتر ، وإذا كانت الزاوية في الرأس منفظة ثم مباشرة ABيفصل بين النقاط حولو من.

في الرياضيات ، غالبًا ما يحدث أن الأشياء المحددة بطرق مختلفة جدًا تتحول إلى نفسها. دعنا نظهر هذا بمثال.

اسمحوا ان لكن 1 , في 1 ,من 1 - نقاط المنتصف من الجانبين الشمس,SAو AV. يمكن إثبات أن الدوائر محصورة حول المثلثات AB 1 من, لكن 1 الشمس 1 و لكن 1 في 1 من 1 تتقاطع عند نقطة واحدة ، وهذه النقطة هي مركز الدائرة المحددة للمثلث ABC. إذن ، لدينا نقطتان مختلفتان تمامًا على ما يبدو: نقطة تقاطع الخطوط العمودية المتوسطة على جانبي المثلث ABCونقطة تقاطع دوائر المثلثات المحصورة AB 1 من 1 , لكن 1 الشمسو لكن 1 في 1 من 1 . لكن اتضح أن هاتين النقطتين تتطابقان.

خط أويلر المستقيم.

أكثر الخصائص المدهشة للنقاط الرائعة للمثلث هي أن بعضها يرتبط ببعضها البعض من خلال علاقات معينة. على سبيل المثال ، مركز الثقل م، تقويم العظام حومركز الدائرة المحددة حولتقع على خط مستقيم واحد ، والنقطة M تقسم المقطع OH بحيث تكون العلاقة OM: MN= 1: 2. تم إثبات هذه النظرية في عام 1765 من قبل العالم السويسري ليوناردو أويلر.

المثلث العمودي.

المثلث العمودي(orthotriangle) هو مثلث ( منل) ، التي تمثل رءوسها قواعد ارتفاعات المثلث المحدد ( ABC). يحتوي هذا المثلث على العديد من الخصائص المثيرة للاهتمام. لنأخذ واحد منهم.

خاصية.

إثبات:

مثلثات AKM, CMNو BKNعلى غرار المثلث ABC;

زوايا المستطيل التقويمي MNKنكون: إل KNM = π - 2 إل أ,إلKMN = π-2 إل ب, إل MNK = π - - 2 إل ج.

دليل:

لدينا ABكوس أ, AKكوس أ. بالتالي، صباحا/AB = AK/تيار متردد.

لأن مثلثات ABCو AKMحقنة لكنهو أمر شائع ، ثم هما متشابهان ، ومن هنا نستنتج أن الزاوية إل AKM = إل ج. لهذا السبب إل BKM = إل ج. إذن لدينا إل MKC= π / 2 - إل ج, إل NKC= π / 2 - - - - إل ج، بمعنى آخر. SC- زاوية منصف MNK. وبالتالي، إل MNK= π - 2 إل ج. تم إثبات المساواة المتبقية بالمثل.

خاتمة.

في ختام هذا العمل البحثي يمكن استخلاص الاستنتاجات التالية:

النقاط والخطوط الرائعة للمثلث هي:

تقويم العظامالمثلث هو نقطة تقاطع ارتفاعاته ؛

icenterالمثلث هو نقطة تقاطع المنصفين ؛

مركز الجاذبيةالمثلث هو نقطة تقاطع متوسطاته ؛

مركز الدائرة المحصورةهي نقطة تقاطع المنصفين المتعامدين ؛

خط أويلرهو خط مستقيم يقع عليه مركز الجاذبية ومركز تقويم العظام ومركز الدائرة المحددة.

المثلث العمودي يقسم مثلثًا معينًا إلى ثلاثة مثلثات متشابهة.

بعد أن فعل هذا العمللقد تعلمت الكثير عن خصائص المثلث. كان هذا العمل مناسبًا لي من حيث تطوير معرفتي في مجال الرياضيات. في المستقبل ، أنوي تطوير هذا الموضوع الأكثر إثارة للاهتمام.

فهرس.

Kiselev A.P. الهندسة الأولية. - م: التنوير ، 1980.

Kokseter G.S.، Greitzer S.L. لقاءات جديدة مع الهندسة. - م: نوكا ، 1978.

براسولوف ف. مشاكل في قياس الكواكب. - م: نوكا ، 1986. - الجزء الأول.

Sharygin I.F. مشاكل في الهندسة: قياس الكواكب. - م: نوكا ، 1986.

Scanavi M. I. الرياضيات. مشاكل الحلول. - روستوف اون دون: فينيكس ، 1998.

Berger M. الهندسة في مجلدين - M: Mir ، 1984.

أربع نقاط كبيرة

مثلث

الهندسة

الصف 8

ساخاروفا ناتاليا إيفانوفنا