المادة النظرية. §6 المشتقات الجزئية للدوال المعقدة لعدة متغيرات حساب مشتقات الدوال المركبة لعدة متغيرات
دع الدالة z - /(x, y) يتم تعريفها في بعض المجالات D على مستوى xOy. لنأخذ نقطة داخلية (x، y) من المنطقة D ونعطي x زيادة Ax بحيث تكون النقطة (x + Ax، y) 6 D (الشكل 9). دعنا نسمي الكمية الزيادة الجزئية للدالة z بالنسبة إلى x. دعونا نقيم علاقة، بالنسبة لنقطة معينة (x، y)، فإن هذه العلاقة هي دالة للتعريف. إذا كانت العلاقة ^ لـ Ax -* 0 لها حد محدود، فإن هذا الحد يسمى المشتق الجزئي للدالة z = /(x, y) بالنسبة إلى المتغير المستقل x عند النقطة (x, y) ويكون يُشار إليه بالرمز jfc (أو /i(x, jj )، أو z"x(x، بنفس الطريقة، حسب التعريف، أو، وهو نفس الشيء، وبالمثل، إذا كانت u دالة لمتغيرات مستقلة n، ثم نلاحظ أن Arz يتم حسابه بقيمة ثابتة للمتغير y، وAtz - بقيمة ثابتة للمتغير x، ويمكن صياغة تعريفات المشتقات الجزئية على النحو التالي: المشتقات الجزئية المعنى الهندسي للمشتقات الجزئية لدالة ذات متغيرين اشتقاق دالة من عدة متغيرات الشروط اللازمة لتمايز دالة الشروط الكافية لتمايز دوال من عدة متغيرات التفاضل الكلي التفاضلات الجزئية مشتقات دالة معقدة للمشتق الجزئي بالنسبة إلى x للدالة z = /(x , y ) هو المشتق العادي لهذه الدالة بالنسبة إلى x، ويتم حسابه على افتراض أن y ثابت؛ والمشتق الجزئي بالنسبة إلى y للدالة z - /(x, y) هو مشتقها بالنسبة إلى y ، محسوبة على افتراض أن x ثابت. ويترتب على ذلك أن قواعد حساب المشتقات الجزئية تتطابق مع القواعد المثبتة لدالة ذات متغير واحد. مثال. أوجد المشتقات الجزئية للدالة 4 لدينا بدائل*. وجود الدالة r = f(x, y) عند نقطة معينة من المشتقات الجزئية فيما يتعلق بجميع الوسائط لا يعني استمرارية الدالة عند هذه النقطة. وبالتالي، فإن الدالة ليست مستمرة عند النقطة 0(0,0). ومع ذلك، عند هذه النقطة، يكون للدالة المحددة مشتقات جزئية فيما يتعلق بـ x وy. ويترتب على ذلك حقيقة أن /(x, 0) = 0 و /(0, y) = 0 وبالتالي المعنى الهندسي للمشتقات الجزئية لدالة متغيرين دع السطح S في الفضاء ثلاثي الأبعاد يتم تعريفه بواسطة المعادلة حيث f(x, y) هي الدالة المستمرة في بعض المجال D ولها مشتقات جزئية فيما يتعلق بـ x وy. دعونا نكتشف المعنى الهندسي لهذه المشتقات عند النقطة Mo(xo,yo) 6 D، والتي تقابل النقطة f(x0)yo) على السطح z = f(x)y). عند إيجاد المشتق الجزئي للنقطة M0، نفترض أن z ليست سوى دالة للوسيطة x، بينما تحتفظ الوسيطة y بقيمة ثابتة y = y0، أي أن الدالة fi(x) ممثلة هندسيًا بواسطة المنحنى L على طول الذي يتقاطع فيه السطح S مع المستوى y = عند o. نظرًا للمعنى الهندسي لمشتق دالة متغير واحد، f\(xo) = tan a، حيث a هي الزاوية التي يشكلها مماس الخط L عند النقطة JV0 مع محور الثور (الشكل 10) . ولكن وبالتالي، فإن المشتق الجزئي ($|) يساوي ظل الزاوية a بين محور الثور والمماس عند النقطة N0 للمنحنى الناتج في قسم السطح z = /(x, y) بواسطة y المستوي وبالمثل حصلنا على §6. تفاضل دالة من عدة متغيرات دع الدالة z = /(x, y) يتم تعريفها في بعض المجالات D على مستوى xOy. لنأخذ نقطة (x, y) € D ونعطي القيم المحددة لـ x وy أي زيادات Ax وDy، ولكن هذه النقطة. تعريف. تسمى الدالة r = /(x, y) نقطة قابلة للتمييز * (x, y) € 2E إذا كان من الممكن تمثيل الزيادة الكاملة لهذه الوظيفة، المقابلة لزيادات Dx، ووسائط Dy، بالشكل حيث A وB لا تعتمد على Dx وDy (ولكنها تعتمد عمومًا على x وy)، وa(Dx, Dy) و/?(Dx, Dy) تميل إلى الصفر حيث يميل Dx وDy إلى الصفر. . إذا كانت الدالة z = /(x, y) قابلة للاشتقاق عند النقطة (x, y)، فإن الجزء A Dx 4- VDy من زيادة الدالة، الخطي بالنسبة إلى Dx وDy، يسمى التفاضل الإجمالي لهذه الدالة عند النقطة (x,y) ويرمز لها بالرمز dz : وبهذه الطريقة مثال. دع ص = x2 + y2. في أي نقطة (r,y) ولأي Dx وDu لدينا هنا. الآن بعد أن يميل a و/3 إلى الصفر، حيث يميل Dx وDy إلى الصفر. وفقا للتعريف، هذه الوظيفة قابلة للتمييز في أي نقطة في مستوى xOy. في الوقت نفسه، نلاحظ أننا في تفكيرنا لم نستبعد رسميًا الحالة التي تكون فيها زيادات Dx أو Du بشكل منفصل أو حتى كليهما مساوية للصفر في وقت واحد. يمكن كتابة الصيغة (1) بشكل أكثر إحكاما إذا قدمنا التعبير (المسافة بين النقاط (باستخدامه، يمكننا أن نكتب للدلالة على التعبير بين قوسين بواسطة e، لدينا حيث c يعتمد على J، Du ويميل إلى الصفر إذا كان J 0 و DN 0، أو باختصار، إذا كانت p 0. يمكن الآن كتابة الصيغة (1)، التي تعبر عن شرط تمايز الدالة z = f(xt y) عند النقطة (x، y)، بالصيغة So، في المثال أعلاه 6.1 الشروط الضرورية القابلة للتفاضل™ للدالة النظرية 4. إذا كانت الدالة r = f(x, y) قابلة للتفاضل عند نقطة ما، فهي متصلة عند تلك النقطة.4 إذا كانت عند النقطة (x, y) ) الدالة r = f(x, y) قابلة للتفاضل، ثم يمكن تمثيل زيادة الدالة i عند هذه النقطة، المقابلة للزيادات J وDy للوسائط، في النموذج (الكميات A، B لنقطة معينة تكون ثابتة، ويترتب على ذلك أن الأخيرة تعني أنه عند النقطة (x، y) فإن الدالة r /(x، y) مستمرة. النظرية! ب. إذا كانت الدالة r = /(x، y) قابل للاشتقاق عند نقطة معينة، mo o s.is عند هذه النقطة المشتقات الجزئية $§ u. دع الدالة z = /(x, y) تكون قابلة للاشتقاق عند النقطة (x, y). ثم يمكن تمثيل الزيادة Dg لهذه الوظيفة، المقابلة للزيادات Dx، Ay للوسائط، في النموذج (1). مع الأخذ في الاعتبار المساواة (1) Dx Φ 0، Dy = 0، نحصل على حيث أنه على الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة لا تعتمد القيمة A على، وهذا يعني أنه عند النقطة (x، y) يوجد مشتق جزئي للدالة r = /(x, y) في x، وباستدلال مشابه نحن مقتنعون (x، أن هناك مشتق جزئي للدالة zy، ومن النظرية يترتب على ذلك أننا نؤكد على أن النظرية 5 تنص على وجود المشتقات الجزئية فقط عند النقطة (x، y)، ولكنها لا تذكر شيئًا عن استمراريتها عند هذه النقطة، وكذلك سلوكها في جوار النقطة (x، y).المشتق /"(x) عند النقطة x0. في الحالة التي تعتمد فيها الدالة على عدة متغيرات، يكون الوضع أكثر تعقيدًا: لا توجد شروط ضرورية وكافية لتمييز الدالة z = /(x, y) لمتغيرين مستقلين x, y؛ هناك فقط بشكل منفصل الشروط الضرورية (انظر أعلاه) وبشكل منفصل - كاف. يتم التعبير عن هذه الشروط الكافية لتمييز وظائف العديد من المتغيرات من خلال النظرية التالية. نظرية ج. إذا كانت الدالة لها مشتقات جزئية /ε وf"v في بعض المناطق الرقيقة (xo, V0) وإذا كانت هذه المشتقات متصلة عند النقطة (xo, V0)، فإن الدالة z = f(x, y) قابلة للاشتقاق عند النقطة (x- مثال: النظر في الدالة المشتقات الجزئية المعنى الهندسي للمشتقات الجزئية لدالة ذات متغيرين تفاضل دالة من عدة متغيرات الشروط اللازمة لتفاضل دالة الشروط الكافية لتفاضل دوال من عدة متغيرات التفاضل الكلي التفاضلات الجزئية مشتقات دالة معقدة يتم تعريفها في كل مكان بناءً على تعريف المشتقات الجزئية لدينا ™ لهذه الدالة عند النقطة 0(0,0) نجد وزيادة هذه النقطة لتفاضل الدالة /( x,y) = عند النقطة 0(0,0) من الضروري أن تكون الدالة e(Dx, Dy) صغيرة تمامًا عند Dx 0 و Ду 0. فلنضع D0. ثم من الصيغة (1) سيكون لدينا وبالتالي فإن الدالة /(x,y) = غير قابلة للاشتقاق عند النقطة 0(0,0)، على الرغم من أنها تحتوي على fa وf"r عند هذه النقطة. والنتيجة التي تم الحصول عليها موضحة بحقيقة أن المشتقات f"z وf "متقطعة عند النقطة §7. التفاضلية الكاملة. التفاضلات الجزئية إذا كانت الدالة z - f(z> y) قابلة للتفاضل فإن مجموع تفاضلها dz يساوي مع ملاحظة أن A = B = u نكتب الصيغة (1) بالشكل التالي ونوسع مفهوم التفاضل من دالة إلى متغيرات مستقلة، مع تحديد تفاضلات المتغيرات المستقلة بزياداتها: بعد ذلك، يتم أخذ صيغة التفاضل الإجمالي للدالة كمثال. دعني - 1l(x + y2). وبالمثل، إذا كانت u =) دالة قابلة للتفاضل لعدد n من المتغيرات المستقلة، فإن التعبير يسمى التفاضل اللاحق للدالة z = f(x, y) فيما يتعلق بالمتغير x؛ يسمى التعبير التفاضل الجزئي للدالة z = /(x, y) للمتغير y. من الصيغ (3) و (4) و (5) يترتب على ذلك أن التفاضل الإجمالي للدالة هو مجموع تفاضلاتها الجزئية: لاحظ أن إجمالي الزيادة Az للدالة z = /(x, y)، بشكل عام ، لا يساوي مجموع الزيادات الجزئية. إذا كانت الدالة z = /(x, y) عند النقطة (i, y) قابلة للتفاضل وكان التفاضل dz Φ 0 عند هذه النقطة، فإن الزيادة الإجمالية لها تختلف عن جزئها الخطي فقط بمجموع الحدود الأخيرة aAx 4 - /?DE، والتي في Ax 0 و Ау -» О هي متناهية الصغر ذات ترتيب أعلى من شروط الجزء الخطي. لذلك، عندما dz Ф 0، يُطلق على الجزء الخطي من زيادة الدالة القابلة للتفاضل اسم الجزء الرئيسي من زيادة الدالة ويتم استخدام صيغة تقريبية، والتي ستكون أكثر دقة، وكلما كانت القيمة المطلقة أصغر الزيادات الحجج هي. §8. مشتقات دالة معقدة 1. دع الدالة يتم تعريفها في بعض المجالات D على المستوى xOy، وكل من المتغيرات x، y بدورها هي دالة للوسيطة t: سنفترض أنه عندما يتغير t في الفاصل الزمني ( النقاط المقابلة (x، y) لا تترك خارج المنطقة D. إذا قمنا باستبدال القيم في الدالة z = / (x، y)، نحصل على دالة معقدة لمتغير واحد t وللقيم المناسبة الدالة / (x, y) قابلة للاشتقاق، ثم الدالة المعقدة عند النقطة t لها مشتق وM لنعطي t زيادة Dt. ثم x وy سيحصلان على بعض الزيادات Ax وDy. ونتيجة لذلك، لـ ( J)2 + (Dy)2 Ф 0، ستتلقى الدالة z أيضًا بعض الزيادة Dt، والتي، بسبب اختلاف الدالة z = /(x , y) عند النقطة (x, y) يمكن تمثيلها في الشكل حيث أ) يميل إلى الصفر حيث يميل Ax و Du إلى الصفر. دعونا نحدد a و/3 لـ Ax = Ay = 0 عن طريق تحديد a ثم a(سوف يكون مستمرًا لـ J = Dn = 0. ضع في اعتبارك العلاقة التي لدينا في كل حد ^ في الجانب الأيمن من (2) كلا العاملين لهما حدود في الواقع، المشتقات الجزئية و ^ لواحد معين تكون ثابتة، بشرط أن تكون هناك حدود لوجود المشتقات ^ وعند النقطة £ الدالتان x = y(t) و y = مستمرتان عند هذه النقطة؛ وبالتالي، كما عند 0، يميل كل من J وDy إلى الصفر، والذي بدوره يستلزم ميلًا إلى الصفر a(Dx, Dy) وP(Ax, Ay). وبالتالي، فإن الجانب الأيمن من المساواة (2) عند 0 له الحد يساوي إذن، عند 0 هناك أيضًا نهاية للجانب الأيسر من (2)، أي. هـ. هناك واحد مساوٍ. بتمرير المساواة (2) إلى الحد عند -» 0، نحصل على الصيغة المطلوبة. في الحالة الخاصة، عندما تكون z دالة معقدة لـ x، نحصل على الصيغة (5) يوجد مشتق جزئي funadiig = /(x , y) بواسطة x، عند حسابه في التعبير /(x, y) يتم أخذ الوسيطة y كثابت. ويوجد مشتق كامل للدالة z بالنسبة للمتغير المستقل x، عند حساب أي y في التعبير /(x, y) لم تعد تعتبر ثابتة، ولكنها تعتبر بدورها دالة لـ x: y = tp(x)t وبالتالي يؤخذ اعتماد z على بعين الاعتبار بشكل كامل. مثال. ابحث عن وjg if 2. دعونا الآن نفكر في التمييز بين دالة معقدة لعدة متغيرات. دع أين بدوره بحيث نفترض أنه عند النقطة () توجد مشتقات جزئية مستمرة u، 3؟ وعند النقطة المقابلة (x، y)، حيث تكون الدالة f(x، y) قابلة للاشتقاق. دعونا نبين ذلك في ظل هذه الظروف، الدالة المعقدة z = z(() y) عند النقطة t7) لها مشتقات و π، وسنجد تعبيرات لهذه المشتقات. لاحظ أن هذه الحالة لا تختلف بشكل كبير عن تلك التي تمت دراستها بالفعل. في الواقع، عند التمييز بين z فيما يتعلق بـ £، يتم أخذ المتغير المستقل الثاني rj كثابت، ونتيجة لذلك تصبح x وy في هذه العملية دالتين لمتغير واحد x" = c)، y = c) والسؤال يتم حل المشتق ζ بنفس الطريقة التي يتم بها حل مسألة المشتق عند اشتقاق الصيغة (3). باستخدام الصيغة (3) واستبدال المشتقات § و^ رسميًا بالمشتقات u وعلى التوالي، نحصل على وبالمثل، نحن ابحث عن مثال: ابحث عن المشتقات الجزئية ^ و^ للدالة r = x2 y - husli x - y = إذا تم إعطاء دالة معقدة "بواسطة صيغ بحيث يكون لدينا، عند استيفاء الشروط المناسبة، في الحالة الخاصة عندما و = حيث المشتقات الجزئية المعنى الهندسي للمشتقات الجزئية لدالة ذات متغيرين اشتقاق دالة من عدة متغيرات الشروط اللازمة لاشتقاق دالة الشروط الكافية لاشتقاق دوال لعدة متغيرات التفاضل الكلي التفاضل الجزئي مشتقات مركبة الدالة لدينا هنا m هو المشتق الجزئي الكلي للدالة وفيما يتعلق بالمتغير المستقل x، مع الأخذ في الاعتبار الاعتماد الكامل على x وعلى x، بما في ذلك من خلال z = z(x,y),a ^ - المشتق الجزئي لـ الدالة u = /(r, y, d) بواسطة x عند حساب k
1°. حالة متغير مستقل واحد. إذا كانت z=f(x,y) دالة قابلة للتفاضل للوسيطين x وy، والتي بدورها دوال قابلة للتفاضل للمتغير المستقل ر: ، ثم مشتق الدالة المعقدة 
يمكن حسابها باستخدام الصيغة
مثال. اكتشف إذا وأين.
حل. ووفقا للصيغة (1) لدينا:
مثال. أوجد المشتقة الجزئية والمشتقة الكلية إذا 
.
حل. .
وبناء على الصيغة (2) نحصل عليها 
.
2°. حالة عدة متغيرات مستقلة.
يترك ض =F (س ;ذ) -وظيفة اثنين من المتغيرات Xو ذ،كل منها دالة للمتغير المستقل ر : س =س(ر)، ص =ذ (ر).في هذه الحالة الوظيفة ض =F (س(ر)؛ذ (ر))هي دالة معقدة لمتغير مستقل واحد ر؛المتغيرات x و y متغيرات وسيطة.
نظرية. لو ض == F(x ; ذ) -قابلة للتمييز عند نقطة ما م (س؛ ص)دوظيفة و س =س(ر)و في =ذ (ر) -وظائف تفاضلية للمتغير المستقل ر،ثم مشتق دالة معقدة ض (ر) == F(س(ر)؛ذ (ر))تحسب بواسطة الصيغة
|
|
حالة خاصة:ض = F (س ; ذ)،حيث ص = ص(س)،أولئك. ض = F (س ;ذ (س )) -دالة معقدة لمتغير مستقل واحد X.هذه الحالة تختزل إلى الحالة السابقة ودور المتغير ريلعب X.ووفقا للصيغة (3) لدينا:
.
الصيغة الأخيرة تسمى مجموع الصيغ المشتقة.
الحالة العامة:ض = F (س ;ذ)،أين س =س(ش ;الخامس )،ص =ذ (ش ;الخامس).ثم ض = F (س(ش ;الخامس)؛ذ (ش ;الخامس)) -وظيفة معقدة للمتغيرات المستقلة وو الخامس.ويمكن إيجاد مشتقاتها الجزئية باستخدام الصيغة (3) على النحو التالي. وقد ثابتة الخامس،ونستبدل فيه المشتقات الجزئية المقابلة
وبالتالي مشتقة دالة معقدة (ض) بالنسبة لكل متغير مستقل (وو الخامس)يساوي مجموع منتجات المشتقات الجزئية لهذه الدالة (z) بالنسبة لمتغيراتها الوسيطة (س و ص)لمشتقاتها بالنسبة للمتغير المستقل المقابل (ش و الخامس).
وفي جميع الحالات، تكون الصيغة صالحة
(خاصية الثبات للفرق الكلي).
مثال. البحث وإذا ض = F(x ,y ), حيث x =uv , .
حل. وبتطبيق الصيغتين (4) و (5) نحصل على:
مثال. أظهر أن الدالة تحقق المعادلة 
.
حل. تعتمد الدالة على x وy من خلال وسيطة وسيطة
بالتعويض بالمشتقات الجزئية في الطرف الأيسر من المعادلة نحصل على:
أي أن الدالة z تحقق هذه المعادلة.
مشتق في اتجاه معين وتدرج الوظيفة
1°. مشتقة دالة في اتجاه معين. المشتقوظائف ض = F(س، ص) في هذا الاتجاهمُسَمًّى 
وأين هي قيم الوظيفة عند النقاط و . إذا كانت الدالة z قابلة للاشتقاق، فإن الصيغة صالحة
أين هي الزوايا بين الاتجاهات لومحاور الإحداثيات المقابلة. المشتق في اتجاه معين يحدد معدل تغير الدالة في هذا الاتجاه.
مثال. أوجد مشتقة الدالة z = 2x 2 - 3 2 عند النقطة P (1; 0) في الاتجاه الذي يشكل زاوية 120° مع المحور OX.
حل. لنجد المشتقات الجزئية لهذه الدالة وقيمها عند النقطة P.
نظرية.يترك ش = و (س، ص) ويرد في المجال D والسماح س = س (ر) و ص = ذ (ر) المحددة في المنطقة , وعندما , ثم x و y ينتميان إلى المنطقة D . دع الدالة u تكون قابلة للاشتقاق عند النقطة M 0 (س 0 , ذ 0 , ض 0)والوظائف س(ر) وفي(ر) قابلة للتفاضل عند النقطة المقابلة t 0 ثم الدالة المعقدة u = f [س(ر), ذ(ر)]= ف (ر) قابلة للتفاضل عند النقطة t 0 والمساواة حاصلة:
.
دليل.بما أن u قابلة للتمييز حسب الشرط عند النقطة ( س 0 , ذ 0)، ثم يتم تمثيل الزيادة الإجمالية ك
وبقسمة هذه النسبة على نحصل على:
دعنا نذهب إلى الحد الأقصى ونحصل على الصيغة
.
ملاحظة 1.لو ش= ش(س، ص) و س= س, ذ= ذ(س)، ثم المشتق الإجمالي للدالة ش بواسطة متغير X
أو 
.
يمكن استخدام المساواة الأخيرة لإثبات قاعدة اشتقاق دالة لمتغير واحد، وهي مذكورة ضمنيًا في النموذج F(س, ذ) = 0، حيث ذ= ذ(س) (انظر الموضوع رقم 3 والمثال 14).
لدينا: 
. من هنا 
.
(6.1)
ولنعد إلى المثال رقم 14 من الموضوع رقم 3:
;
.
كما ترون، تزامنت الإجابات.
ملاحظة 2.يترك ش = F (س، ص)، أين X= X(ر ،الخامس), في= في(ر ،الخامس). إذن u هي في النهاية دالة معقدة لمتغيرين رو الخامس . إذا كانت الدالة u الآن قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة م 0 (س 0 , ذ 0) والوظائف Xو فيقابلة للتمييز عند النقطة المقابلة ( ر 0 , الخامس 0)، ثم يمكننا الحديث عن المشتقات الجزئية فيما يتعلق بـ رو الخامسمن وظيفة معقدة عند النقطة ( ر 0 , الخامس 0). أما إذا كنا نتحدث عن المشتقة الجزئية بالنسبة لـ t عند نقطة محددة فإن المتغير الثاني v يعتبر ثابتا ويساوي الخامس 0 . وبالتالي، نحن نتحدث فقط عن مشتقة دالة معقدة بالنسبة لـ t، وبالتالي يمكننا استخدام الصيغة المشتقة. وهكذا نحصل على:
و 
.
مثال 13.أوجد المشتقة الكاملة للدالة ش = س ذ, أين س = خطيئة ر, ص = كوس ر .
41. الحدود القصوى لدالة متعددة المتغيرات.
الحد الأقصى لدالة من عدة متغيرات. الشروط الضرورية والكافية لوجود الطرف المتطرف
التعريف 7. تسمى النقطة نقطة الحد الأدنى (الحد الأقصى) للدالة إذا كان هناك حي للنقطة بحيث ينطبق عدم المساواة () على جميع النقاط في هذا الحي.
تسمى النقاط الدنيا والقصوى للدالة بالنقاط القصوى، وتسمى قيم الوظيفة عند هذه النقاط بالنقاط القصوى للدالة (الحد الأدنى والحد الأقصى، على التوالي).
لاحظ أن الحد الأدنى والحد الأقصى للدالة محليان بطبيعتهما، إذ تتم مقارنة قيمة الدالة عند نقطة ما بقيمها عند نقاط قريبة بدرجة كافية منها.
النظرية 1 (الشروط اللازمة لحد أقصى). إذا كانت النقطة القصوى للدالة القابلة للتفاضل، فإن مشتقاتها الجزئية عند هذه النقطة تساوي الصفر: .
تسمى النقاط التي تكون عندها المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى صفرًا حرجة أو ثابتة. في النقاط الحرجة، قد تكون الوظيفة أو لا يكون لها حد متطرف.
النظرية 2 (شرط كاف للحد الأقصى). دع الوظيفة: أ) يتم تعريفها في بعض المناطق المجاورة للنقطة الحرجة، عندها و؛ ب) لديه مشتقات جزئية مستمرة من الدرجة الثانية. ثم، إذا، فإن الدالة عند هذه النقطة لها حد أقصى: الحد الأقصى، إذا كان A<0; минимум, если А>0; إذا، فإن الدالة لا تحتوي على حد أقصى. في هذه الحالة يبقى سؤال وجود الحد الأقصى مفتوحا.
عند دراسة دالة لمتغيرين لحد أقصى، يوصى باستخدام المخطط التالي:
1. ابحث عن المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى: و.
2. حل نظام المعادلات وإيجاد النقاط الحرجة للدالة.
3. أوجد المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية: , .
4. احسب قيم المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية عند كل نقطة حرجة، وباستخدام الشروط الكافية، استنتج وجود حد متطرف.
5. أوجد الحدود القصوى للدالة.
مثال 6. أوجد الحد الأقصى للدالة.
حل. 1. ابحث عن المشتقات الجزئية و:
2. لتحديد النقاط الحرجة، نقوم بحل نظام المعادلات
من المعادلة الأولى للنظام نجد : . بتعويض القيمة الموجودة لـ y في المعادلة الثانية، نحصل على
ابحث عن قيم y المقابلة للقيم. وبتعويض القيم في المعادلة نحصل على: .
وبالتالي، لدينا نقطتان حاسمتان: و.
3. أوجد المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية:
4. نحسب قيم المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية عند كل نقطة حرجة. بالنسبة لنقطة لدينا:
ثم لا يوجد أقصى عند هذه النقطة.
وبالتالي
هذا يعني أنه نظرًا للشرط الكافي لحد أقصى، فإن الدالة لها قيمة صغرى عند نقطة ما، حيث أنه عند هذه النقطة و.
§ 5. المشتقات الجزئية للوظائف المعقدة. الفروق بين الوظائف المعقدة
1. المشتقات الجزئية لدالة معقدة.
Letbe دالة لمتغيرين حججهما 
و 
، هي في حد ذاتها وظائف لمتغيرين أو أكثر. على سبيل المثال، دعونا 
, 
.
ثم 
سوف وظيفة معقدة
المتغيرات المستقلة 
و 
، فإن المتغيرات ستكون لها المتغيرات الوسيطة.
في هذه الحالة، كيفية العثور على المشتقات الجزئية للدالة فيما يتعلق 
و ؟
يمكنك، بالطبع، التعبير عنها مباشرة فيما يتعلق بـ و:
وابحث عن المشتقات الجزئية للدالة الناتجة. لكن التعبير يمكن أن يكون معقدًا للغاية، ويتطلب إيجاد مشتقات جزئية 
, 
ثم سوف يتطلب الكثير من الجهد.
إذا كانت الوظائف 
, 
, 
قابلة للتمييز، ثم تجد 
ومن الممكن دون اللجوء إلى التعبير المباشر من خلال و . في هذه الحالة، ستكون الصيغ صالحة
(5.1)
في الواقع، دعونا نعطي الحجة 
زيادة راتب 
, 
- مقدار ثابت. ثم الوظائف 
و 
سوف يحصل على زيادات
وسيتم زيادة الوظيفة
أين 
, 
- متناهية الصغر في 
, 
. دعونا نقسم جميع شروط المساواة الأخيرة على . نحن نحصل:
نظرًا لأن الوظائف قابلة للتفاضل حسب الشرط، فهي مستمرة. لذلك، إذا 
، ثم و . وهذا يعني أن المرور إلى الحد الأقصى عند المساواة الأخيرة نحصل عليه:
(بما أن ، متناهية الصغر بالنسبة لـ ،).
وقد تم إثبات المساواة الثانية من (5.1) بطريقة مماثلة.
مثال. يترك 
، أين 
, 
. ثم هي وظيفة معقدة للمتغيرات المستقلة و . ولإيجاد مشتقاتها الجزئية نستخدم الصيغة (5.1). لدينا
وبالتعويض في (5.1) نحصل على
,
يتم تعميم الصيغ (5.1) بشكل طبيعي على حالة الدالة التي تحتوي على عدد أكبر من الوسائط المستقلة والوسيطة. أي إذا
………………………
وجميع الوظائف قيد النظر قابلة للتمييز، ثم لأي 
هناك مساواة
ومن الممكن أيضًا أن تكون وسيطات الدالة عبارة عن دالات لمتغير واحد فقط، أي.
, 
.
عندها ستكون دالة معقدة لمتغير واحد فقط 
ويمكننا أن نطرح مسألة إيجاد المشتقة 
. إذا كانت الوظائف 
, 
قابلة للاشتقاق، ثم يمكن العثور عليها من خلال الصيغة 
(5.2)
مثال. يترك 
، أين 
, 
. هنا دالة معقدة لمتغير مستقل واحد. باستخدام الصيغة (5.2) نحصل عليها
.
وأخيرًا، من الممكن أن يلعب دور المتغير المستقل، أي. ,
أين 
.
ومن الصيغة (5.2) نحصل بعد ذلك على
(5.3)
(لأن 
). المشتق 
، في الصيغة (٥.٣) على اليمين هي المشتقة الجزئية للدالة بالنسبة إلى . ويتم حسابها بقيمة ثابتة. المشتق 
على الجانب الأيسر من الصيغة (5.3) يسمى المشتقة الكاملة للدالة 
. وقد روعي عند حسابها أنها تعتمد على طريقتين: مباشرة ومن خلال الوسيط الثاني.
مثال. البحث عن وظيفة 
، أين 
.
لدينا 
.
لإيجاد نستخدم الصيغة (5.3). نحن نحصل
.
وفي ختام هذه الفقرة نلاحظ أن الصيغتين (5.2) و (5.3) من السهل تعميمهما على حالة الدوال التي تحتوي على عدد كبير من الوسائط الوسيطة.
2. تفاضل دالة معقدة.
ولنتذكر أنه إذا 
هي دالة قابلة للتفاضل لمتغيرين مستقلين، حسب التعريف
, (5.4)
أو في شكل آخر 
. (5.5)
ميزة الصيغة (5.5) هي أنها تظل صحيحة حتى عندما تكون دالة معقدة.
في الواقع، دعونا، أين، . لنفترض أن الوظائف قابلة للتمييز. عندها ستكون الدالة المركبة قابلة للاشتقاق أيضًا وسيكون إجمالي تفاضلها وفقًا للصيغة (5.5) مساويًا لـ
.
وبتطبيق الصيغة (5.1) لحساب المشتقات الجزئية لدالة معقدة، نحصل على ذلك
وبما أن التفاضلات الكاملة للوظائف موجودة بين قوسين، فقد وصلنا أخيرًا
لذلك، نحن مقتنعون أنه في حالة متى و تكون متغيرات مستقلة، وفي حالة عندما تكون و متغيرات تابعة، يمكن كتابة تفاضل الدالة بالصيغة (5.5). في هذا الصدد، يسمى هذا الشكل من تسجيل الفرق الإجمالي ثابت
. إن صيغة كتابة التفاضل المقترحة في (5.4) لن تكون ثابتة، بل يمكن استخدامها فقط في حالة وجود متغيرات مستقلة. لن يكون شكل كتابة التفاضل ثابتًا أيضًا 
- الترتيب. تذكر أننا أظهرنا سابقًا أن التفاضل في الترتيب 
يمكن العثور على دالة لمتغيرين بواسطة الصيغة
. (4.12)
أما إذا لم تكن متغيرات مستقلة، فإن الصيغة (4.12) لـ 
يتوقف عن أن يكون صحيحا.
من الواضح أن جميع الاستدلالات التي تم تنفيذها في هذا القسم لدالة ذات متغيرين يمكن تكرارها في حالة دالة ذات عدد أكبر من الوسائط. لذلك، بالنسبة للدالة، يمكن أيضًا كتابة التفاضل في شكلين:
والشكل الثاني من التدوين سيكون ثابتا، أي. عادلة حتى في حالة عندما 
ليست متغيرات مستقلة، بل وسيطة.
§ 6. التمايز بين الوظائف الضمنية
عند الحديث عن طرق تعريف دالة لمتغير واحد أو عدة متغيرات، لاحظنا أن التعريف التحليلي للدالة يمكن أن يكون صريحًا أو ضمنيًا. في الحالة الأولى، يتم إيجاد قيمة الدالة من القيم المعروفة للوسائط؛ وفي الحالة الثانية، ترتبط قيمة الدالة ووسائطها ببعض المعادلات. لكننا لم نحدد متى المعادلات
و
تحديد وظائف محددة ضمنيا وعلى التوالي. سهولة الاستخدام الشروط الكافية لوجود دالة ضمنية 
المتغيرات ( 
) واردة في النظرية التالية.
نظرية6.1
. (وجود دالة ضمنية) دع الدالة 
ومشتقاته الجزئية 
محددة ومستمرة في بعض أحياء النقطة. لو 
و 
، ثم هناك مثل هذا الحي 
النقطة التي عندها المعادلة
يحدد وظيفة مستمرة و
1) النظر في المعادلة 
. يتم استيفاء شروط النظرية، على سبيل المثال، في أي حي من النقطة 
. لذلك، في بعض أحياء هذه النقطة 
تُعرف هذه المعادلة بأنها دالة ضمنية لمتغيرين و . يمكن الحصول بسهولة على تعبير صريح لهذه الوظيفة عن طريق حل المعادلة من أجل:
2) النظر في المعادلة 
. فهو يحدد وظيفتين لمتغيرين و. وبالفعل فإن شروط النظرية تتحقق، على سبيل المثال، في أي جوار للنقطة 
، حيث تحدد المعادلة المعطاة دالة مستمرة تأخذ القيمة 
.
ومن ناحية أخرى، يتم استيفاء شروط النظرية في أي جوار للنقطة 
. وبالتالي، في منطقة معينة من النقطة، تحدد المعادلة دالة مستمرة تأخذ القيمة عند النقطة 
.
وبما أن الدالة لا يمكن أن تأخذ قيمتين عند نقطة واحدة، فهذا يعني أننا نتحدث عن دالتين مختلفتين 
وبالمقابل. دعونا نجد تعبيراتهم الصريحة. للقيام بذلك، دعونا نحل المعادلة الأصلية لـ . نحن نحصل
3) النظر في المعادلة 
. ومن الواضح أن شروط النظرية مستوفاة في أي جوار من النقطة 
. وبالتالي، هناك مثل هذا الحي للنقطة 
حيث يتم تعريف المعادلة على أنها دالة ضمنية للمتغير. من المستحيل الحصول على تعبير صريح لهذه الدالة، حيث لا يمكن حل المعادلة فيما يتعلق بـ .
4) المعادلة 
لا يحدد أي دالة ضمنية، حيث لا توجد أزواج من الأعداد الحقيقية والتي تلبيها.
وظيفة 
، تعطى بواسطة المعادلة 
، وفقًا للنظرية 6.1، لها مشتقات جزئية متصلة فيما يتعلق بجميع الحجج الموجودة في محيط النقطة. دعنا نتعرف على كيفية العثور عليها دون تحديد الوظيفة بشكل صريح.
دع الوظيفة 
يفي بشروط النظرية 6.1. ثم المعادلة 
وظيفة مستمرة 
. النظر في الوظيفة المعقدة 
، أين . الدالة هي دالة معقدة لمتغير واحد، و if 
، الذي - التي
(6.1)
ومن ناحية أخرى حسب الصيغة (5.3) لحساب المشتق الإجمالي 
(6.2)
من (6.1) و (6.2) نحصل على ذلك إذاً
(6.3)
تعليق.اقسم على 
ممكن، لأنه وفقا للنظرية 6.1 
في أي مكان في المنطقة المجاورة.
مثال. أوجد مشتقة الدالة الضمنية المعطاة في المعادلة واحسب قيمتها عند 
.
, 
.
استبدال المشتقات الجزئية في الصيغة (6.3) نحصل عليه
.
بعد ذلك، بالتعويض في المعادلة الأصلية، نجد قيمتين: 
و 
.
وبالتالي، في جوار النقطة تحدد المعادلة وظيفتين: 
و 
، أين 
, 
. مشتقاتها في سوف تكون متساوية
و 
.
دعونا الآن المعادلة 
يحدد في بعض المناطق المجاورة لنقطة ما 
وظيفة دعونا نجد ذلك. دعونا نتذكر أن هذه في الواقع هي المشتقة العادية لدالة تعتبر دالة لمتغير بقيمة ثابتة. ولذلك، يمكننا تطبيق الصيغة (6.3) للعثور عليه، معتبرا أنه دالة، وسيطة، وثابت. نحن نحصل
. (6.4)
وبالمثل، بالنظر إلى دالة، أو وسيطة، أو ثابت، باستخدام الصيغة (6.3)، نجد
. (6.5)
مثال. أوجد المشتقات الجزئية للدالة المعطاة في المعادلة 
.
, 
, 
.
باستخدام الصيغ (6.4) و (6.5) نحصل عليها
, 
.
وأخيرا، النظر في الحالة العامة عند المعادلة
يحدد وظيفة المتغيرات في حي معين من نقطة ما. بتكرار الوسائط التي تم تنفيذها لدالة معينة ضمنيًا لمتغيرين، نحصل على ذلك
, 
, …, 
.
§ 7. مشتق الاتجاه
1. مشتق الاتجاه.
دع وظيفة من متغيرين يتم تعريفها في بعض المجالات 
طائرة 
، - نقطة المنطقة، 
-ناقل من أي اتجاه. دعونا ننتقل من هذه النقطة 
إلى نقطة في اتجاه المتجه. سوف تتلقى الوظيفة زيادة
دعونا نقسم زيادة الوظيفة 
حسب طول مقطع الإزاحة 
. النسبة الناتجة 
يعطي متوسط معدل تغير الدالة في المنطقة 
. ثم حد هذه النسبة عند 
(إذا كان موجودًا ومحدودًا) سيكون معدل تغير الدالة عند هذه النقطة 
في اتجاه المتجه. يسمى مشتقة دالة عند نقطة في اتجاه المتجه
وتدل 
أو 
.
بالإضافة إلى مقدار معدل تغير الدالة، فإنه يسمح لك أيضًا بتحديد طبيعة التغير في الدالة عند نقطة ما في اتجاه المتجه 
(زيادة أو نقصان):
يتم إثبات هذه العبارات بنفس الطريقة التي يتم بها إثبات العبارات المماثلة لدالة لمتغير واحد.
لاحظ أن المشتقات الجزئية للدالة هي حالة خاصة من المشتقات الاتجاهية. يسمى، 
هذه هي مشتقة الدالة في اتجاه المتجه 
(اتجاه المحور 
)، هو مشتق الدالة في اتجاه المتجه 
(اتجاه المحور 
).
لنفترض أن الدالة قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة. ثم
أين 
- متناهية الصغر في 
.
تعيين
|
خلال 
، لدينا
، نحصل على نقطة عند نقطةتم تقديم دليل على صيغة مشتق دالة معقدة. يتم النظر بالتفصيل في الحالات التي تعتمد فيها وظيفة معقدة على متغير واحد أو متغيرين. يتم التعميم على حالة وجود عدد تعسفي من المتغيرات.
محتوىأنظر أيضا: أمثلة على استخدام صيغة مشتقة دالة معقدة
الصيغ الأساسية
نقدم هنا اشتقاق الصيغ التالية لاشتقاق دالة معقدة.
اذا ثم
.
اذا ثم
.
اذا ثم
.
مشتقة دالة معقدة من متغير واحد
دع دالة المتغير x يتم تمثيلها كدالة معقدة بالشكل التالي:
,
حيث توجد بعض الوظائف. الدالة قابلة للاشتقاق لبعض قيم المتغير x. الدالة قابلة للاشتقاق بقيمة المتغير.
ثم تكون الدالة المعقدة (المركبة) قابلة للاشتقاق عند النقطة x ويتم تحديد مشتقها بالصيغة:
(1)
.
يمكن أيضًا كتابة الصيغة (1) على النحو التالي:
;
.
دليل
دعونا نقدم التدوين التالي.
;
.
هنا توجد دالة للمتغيرات، وهناك دالة للمتغيرات و. لكننا سنحذف وسيطات هذه الوظائف حتى لا نتسبب في تشويش الحسابات.
نظرًا لأن الوظائف و قابلة للتفاضل عند النقطتين x و ، على التوالي، ففي هذه النقاط توجد مشتقات لهذه الوظائف، وهي الحدود التالية:
;
.
خذ بعين الاعتبار الوظيفة التالية:
.
بالنسبة لقيمة ثابتة للمتغير u، فهي دالة لـ . من الواضح أن
.
ثم
.
بما أن الدالة هي دالة قابلة للتفاضل عند هذه النقطة، فهي متصلة عند تلك النقطة. لهذا
.
ثم
.
الآن نجد المشتقة.
.
تم إثبات الصيغة.
عاقبة
إذا كان من الممكن تمثيل دالة المتغير x كدالة معقدة لدالة معقدة
,
ثم يتم تحديد مشتقه بالصيغة
.
هنا، وهناك بعض الوظائف القابلة للتمييز.
لإثبات هذه الصيغة، نحسب المشتقة بشكل تسلسلي باستخدام قاعدة اشتقاق دالة معقدة.
النظر في الوظيفة المعقدة
.
مشتق منه
.
النظر في الوظيفة الأصلية
.
مشتق منه
.
مشتقة من دالة معقدة من متغيرين
الآن دع الوظيفة المعقدة تعتمد على عدة متغيرات. أولا دعونا ننظر حالة دالة معقدة لمتغيرين.
لتمثل دالة تعتمد على المتغير x كدالة معقدة لمتغيرين بالشكل التالي:
,
أين
وهناك دوال قابلة للتفاضل لبعض قيم المتغير x؛
- دالة مكونة من متغيرين قابلين للتفاضل عند النقطة . ثم يتم تعريف الدالة المعقدة في حي معين من النقطة ولها مشتق يتم تحديده بالصيغة:
(2)
.
دليل
وبما أن الدوال قابلة للاشتقاق عند النقطة، فهي محددة في جوار معين من هذه النقطة، ومتصلة عند النقطة، ومشتقاتها موجودة عند النقطة، وهي الحدود التالية:
;
.
هنا
;
.
ونظراً لاستمرارية هذه الوظائف عند نقطة ما، نحصل على:
;
.
بما أن الدالة قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة، فهي محددة في حي معين من هذه النقطة، ومتصلة عند هذه النقطة، ويمكن كتابة زيادتها على الصورة التالية:
(3)
.
هنا
- زيادة الدالة عندما تتزايد وسيطاتها بالقيم و؛
;
- المشتقات الجزئية للدالة بالنسبة للمتغيرات و .
بالنسبة للقيم الثابتة لـ و و هي دالات للمتغيرات و . إنهم يميلون إلى الصفر عند و:
;
.
منذ و، ثم
;
.
زيادة الوظيفة:
.
:
.
لنستبدل (3):
.
تم إثبات الصيغة.
مشتقة من دالة معقدة من عدة متغيرات
يمكن بسهولة تعميم الاستنتاج أعلاه على الحالة التي يكون فيها عدد متغيرات دالة معقدة أكثر من اثنين.
على سبيل المثال، إذا كان f وظيفة ثلاثة متغيرات، الذي - التي
,
أين
، وهناك دوال قابلة للتفاضل لبعض قيم المتغير x؛
- دالة قابلة للتفاضل لثلاثة متغيرات عند النقطة , .
ومن ثم فمن تعريف تفاضل الدالة نجد أن:
(4)
.
لأنه بسبب الاستمرارية
;
;
,
الذي - التي
;
;
.
بقسمة (4) على وتمريرها إلى النهاية نحصل على:
.
وأخيرا، دعونا نفكر الحالة الأكثر عمومية.
دع دالة المتغير x يتم تمثيلها كدالة معقدة لمتغيرات n بالشكل التالي:
,
أين
هناك دوال قابلة للتفاضل لبعض قيم المتغير x؛
- دالة قابلة للتمييز للمتغيرات n عند نقطة ما
,
,
... , .
ثم
.
