حل آلة حاسبة من الدرجة الثانية لعدم المساواة على الإنترنت. حل المتباينات الأسية

حل عدم المساواة عبر الإنترنت

قبل حل المتباينات ، من الضروري أن نفهم جيدًا كيفية حل المعادلات.

لا يهم ما إذا كانت المتباينة صارمة () أو غير صارمة (≤ ، ≥) ، فإن الخطوة الأولى هي حل المعادلة عن طريق استبدال علامة عدم المساواة بالمساواة (=).

اشرح ماذا يعني حل عدم المساواة؟

بعد دراسة المعادلات ، يكون لدى الطالب الصورة التالية في رأسه: تحتاج إلى إيجاد مثل هذه القيم للمتغير الذي يأخذ كلا الجزأين من المعادلة نفس القيم. بمعنى آخر ، ابحث عن جميع النقاط التي تحمل المساواة. كل شيء صحيح!

عندما نتحدث عن المتباينات ، فإنها تعني إيجاد الفواصل الزمنية (المقاطع) التي تحمل المتباينة عليها. إذا كان هناك متغيرين في المتباينة ، فلن يكون الحل عبارة عن فترات ، ولكن بعض المناطق على المستوى. خمن ماذا سيكون حل المتباينة في ثلاثة متغيرات؟

كيف نحل عدم المساواة؟

تعتبر طريقة الفترات (المعروفة أيضًا باسم طريقة الفترات) طريقة عالمية لحل المتباينات ، والتي تتمثل في تحديد جميع الفترات التي سيتم خلالها تحقيق عدم المساواة المعينة.

بدون الخوض في نوع المتباينة ، في هذه الحالة ليس الجوهر ، مطلوب حل المعادلة المقابلة وتحديد جذورها ، متبوعًا بتعيين هذه الحلول على المحور العددي.

ما هي الطريقة الصحيحة لكتابة حل المتباينة؟

عندما تحدد فترات حل المتباينة ، عليك أن تكتب الحل نفسه بشكل صحيح. هناك فارق بسيط مهم - هل حدود الفترات مدرجة في الحل؟

كل شيء بسيط هنا. إذا كان حل المعادلة يلبي ODZ ولم تكن المتباينة صارمة ، فسيتم تضمين حدود الفترة في حل المتباينة. بخلاف ذلك لا.

بالنظر إلى كل فترة ، يمكن أن يكون حل المتباينة هو الفترة نفسها ، أو نصف الفترة (عندما تحقق إحدى حدودها المتباينة) ، أو قطعة - فترة مع حدودها.

نقطة مهمة

لا تعتقد أن حل المتباينة هو الفواصل الزمنية ونصف الفترات والمقاطع فقط. لا ، يمكن أيضًا تضمين النقاط الفردية في الحل.

على سبيل المثال ، المتباينة | x | ≤0 لها حل واحد فقط - النقطة 0.

والمتباينة | x |

ما هي حاسبة عدم المساواة؟

تعطي حاسبة المتباينة الإجابة النهائية الصحيحة. في هذه الحالة ، في معظم الحالات ، يتم تقديم رسم توضيحي لمحور أو مستوى رقمي. يمكنك معرفة ما إذا كانت حدود الفواصل الزمنية مضمنة في الحل أم لا - يتم عرض النقاط ممتلئة أو مثقوبة.

شكرا ل آلة حاسبة على الانترنتبالنسبة للمتباينات ، يمكنك التحقق مما إذا كنت قد وجدت جذور المعادلة بشكل صحيح ، وقمت بتمييزها على المحور الحقيقي وفحصت تحقيق شرط عدم المساواة على الفواصل (والحدود)؟

إذا كانت إجابتك تختلف عن إجابة الآلة الحاسبة ، فأنت بالتأكيد بحاجة إلى إعادة التحقق من الحل وتحديد الخطأ الذي تم ارتكابه.

ما الذي تحتاج لمعرفته حول أيقونات عدم المساواة؟ عدم المساواة في الأيقونة أكثر (> )، أو أقل (< ) وتسمى حازم.مع الرموز أكثر أو يساوي (≥ ), أقل أو متساوية (≤ ) وتسمى غير صارم.أيقونة غير متساوي (≠ ) بمفرده ، ولكن عليك أيضًا حل الأمثلة باستخدام مثل هذا الرمز طوال الوقت. ونحن سوف.)

ليس للأيقونة نفسها تأثير كبير على عملية الحل. لكن في نهاية الحل ، عند اختيار الإجابة النهائية ، يظهر معنى الرمز بكامل قوته! كما سنرى أدناه ، في الأمثلة. هناك بعض النكات ...

عدم المساواة ، مثل المساواة ، هي مخلص وخائن.كل شيء بسيط هنا ، بدون حيل. دعنا نقول 5 > 2 هي المتباينة الصحيحة. 5 < 2 غير صحيح.

هذا التحضير يعمل على عدم المساواة أي نوعوبسيط إلى الرعب.) ما عليك سوى تنفيذ إجراءين أساسيين (اثنان فقط!) بشكل صحيح. هذه الإجراءات مألوفة للجميع. ولكن ، وهو أمر نموذجي ، فإن العضادات في هذه الإجراءات هي الخطأ الرئيسي في حل التفاوتات ، نعم ... لذلك ، يجب تكرار هذه الإجراءات. تسمى هذه الإجراءات على النحو التالي:

تحولات الهوية من عدم المساواة.

تحولات الهوية في عدم المساواة تشبه إلى حد بعيد تحولات الهوية في المعادلات. في الواقع ، هذه هي المشكلة الرئيسية. الخلافات تفلت من الرأس و ... وصلت.) لذلك سأقوم بتسليط الضوء على هذه الاختلافات على وجه الخصوص. إذن ، أول تحول متطابق في عدم المساواة:

1. يمكن إضافة (طرح) نفس العدد أو التعبير إلى جزأي المتباينة. أي. لن تتغير علامة عدم المساواة.

في الممارسة العملية ، يتم تطبيق هذه القاعدة كنقل للمصطلحات من الجانب الأيسر من المتباينة إلى الجانب الأيمن (والعكس صحيح) مع تغيير علامة. مع تغيير في علامة المصطلح وليس عدم المساواة! قاعدة واحد لواحد هي نفسها قاعدة المعادلات. لكن التحولات المتطابقة التالية في عدم المساواة تختلف اختلافًا كبيرًا عن تلك الموجودة في المعادلات. لذلك أبرزها باللون الأحمر:

2. يمكن ضرب (قسمة) كلا جزأي المتباينة في نفس الشيءإيجابيرقم. لأيإيجابي لن تتغير.

3. يمكن ضرب (قسمة) كلا جزأي المتباينة في نفس الشيءنفيرقم. لأينفيرقم. علامة عدم المساواة من هذاسوف يتغير إلى العكس.

تتذكر (آمل ...) أنه يمكن ضرب / قسمة معادلة على أي شيء. ولأي رقم وللتعبير الذي يحتوي على x. طالما أنه ليس صفرًا. هو ، المعادلة ، ليس حارًا ولا باردًا من هذا.) لا يتغير. لكن التفاوتات أكثر حساسية للضرب / القسمة.

مثال جيد لذاكرة طويلة. نكتب عدم مساواة لا تسبب الشكوك:

5 > 2

اضرب كلا الطرفين في +3, نحن نحصل:

15 > 6

هل هناك اعتراضات؟ لا توجد اعتراضات.) وإذا ضربنا كلا جزأي المتباينة الأصلية في -3, نحن نحصل:

15 > -6

وهذه كذبة صريحة.) كذبة كاملة! خداع الناس! ولكن بمجرد عكس علامة عدم المساواة ، كل شيء يقع في مكانه:

15 < -6

عن الكذب والخداع - أنا لا أقسم فقط.) "لقد نسيت تغيير علامة عدم المساواة ..."- هذا هو الصفحة الرئيسيةخطأ في حل المتباينات. هذه القاعدة التافهة وغير المعقدة أضرت بالكثير من الناس! الذين نسوا ...) لذا أقسم. ربما تذكر ...)

أولئك الذين ينتبهون بشكل خاص سيلاحظون أنه لا يمكن ضرب عدم المساواة بتعبير مع x. احترام يقظ!) ولماذا لا؟ الجواب بسيط. لا نعرف إشارة هذا المقدار مع x. يمكن أن تكون موجبة ، سالبة ... لذلك ، لا نعرف علامة عدم المساواة التي يجب وضعها بعد الضرب. تغييره أم لا؟ مجهول. بالطبع ، يمكن تجاوز هذا القيد (حظر ضرب / قسمة متباينة على تعبير بـ x). إذا كنت حقا في حاجة إليها. لكن هذا موضوع لدروس أخرى.

هذه كلها تحولات متطابقة في عدم المساواة. اسمحوا لي أن أذكرك مرة أخرى أنهم يعملون من أجل أيعدم المساواة. والآن يمكنك الانتقال إلى أنواع محددة.

المتباينات الخطية. الحل والأمثلة.

تسمى المتباينات الخطية المتباينات حيث x في الدرجة الأولى ولا يوجد قسمة على x. يكتب:

x + 3 > 5x-5

كيف يتم حل هذه التفاوتات؟ من السهل جدا حلها! وبالتحديد: بالمساعدة ، نحد من عدم المساواة الخطية الأكثر إرباكًا مباشرة للإجابة.هذا هو الحل الكامل. سوف أسلط الضوء على النقاط الرئيسية للحل. لتجنب الأخطاء الغبية.)

نحن نحل هذا التفاوت:

x + 3 > 5x-5

نحل بنفس طريقة حل المعادلة الخطية. مع الاختلاف الوحيد:

انتبه جيدًا لعلامة عدم المساواة!

الخطوة الأولى هي الأكثر شيوعًا. مع x - إلى اليسار ، بدون x - إلى اليمين ... هذا هو أول تحول متطابق ، بسيط وخالي من المتاعب.) فقط لا تنس تغيير إشارات الأعضاء المنقولين.

يتم الاحتفاظ بعلامة عدم المساواة:

x-5x > -5-3

نقدم مماثلة.

يتم الاحتفاظ بعلامة عدم المساواة:

4x > -8

يبقى تطبيق التحويل الأخير المتطابق: قسّم كلا الجزأين على -4.

اقسم على نفيرقم.

سيتم عكس علامة عدم المساواة:

X < 2

هذا هو الجواب.

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل جميع المتباينات الخطية.

انتباه! يتم رسم النقطة 2 باللون الأبيض ، أي غير مصبوغ. فارغ من الداخل. هذا يعني أنها ليست مشمولة في الجواب! لقد رسمتها بصحة جيدة عن قصد. هذه النقطة (فارغة ، ليست صحية!)) في الرياضيات تسمى لكمات نقطة.

يمكن تمييز الأرقام المتبقية على المحور ، ولكنها ليست ضرورية. الأرقام الغريبة التي لا تتعلق بعدم المساواة لدينا يمكن أن تكون مربكة ، نعم ... عليك فقط أن تتذكر أن الزيادة في الأرقام تذهب في اتجاه السهم ، أي الأرقام 3 ، 4 ، 5 ، إلخ. نكون إلى اليميناثنان ، والأرقام 1 ، 0 ، -1 ، إلخ. - إلى اليسار.

عدم المساواة x < 2 - حازم. X أقل من اثنين تمامًا. عندما تكون في شك ، يكون الشيك بسيطًا. نعوض برقم مشكوك فيه في عدم المساواة ونفكر: "اثنان أقل من اثنين؟ بالطبع لا!" بالضبط. عدم المساواة 2 < 2 خاطئ - ظلم - يظلم.الشيطان ليس جيدًا للحصول على إجابة.

هل واحد جيد بما فيه الكفاية؟ بالطبع. أقل ... والصفر جيد ، و -17 ، و 0.34 ... نعم ، كل الأرقام الأقل من اثنين جيدة! وحتى 1.9999 .... على الأقل قليلاً ، لكن أقل!

لذلك نحتفل بكل هذه الأرقام على محور الأعداد. كيف؟ هناك خيارات هنا. الخيار الأول هو الفقس. نمر بالماوس فوق الصورة (أو نلمس الصورة على الجهاز اللوحي) ونرى أن مساحة كل x التي تطابق الشرط x مظللة < 2 . هذا كل شئ.

لنفكر في الخيار الثاني في المثال الثاني:

X ≥ -0,5

ارسم محورًا ، حدد الرقم -0.5. مثله:

هل لاحظت الفرق؟) حسنًا ، نعم ، من الصعب عدم ملاحظة ذلك ... هذه النقطة سوداء! رسمت أكثر. هذا يعني أن -0.5 المدرجة في الجواب.هنا ، بالمناسبة ، فحص وإرباك شخص ما. نحن نستبدل:

-0,5 ≥ -0,5

كيف ذلك؟ -0.5 ليس أكثر من -0.5! يوجد المزيد من الأيقونات ...

كل شيء على مايرام. في حالة عدم المساواة غير الصارمة ، يكون كل ما يناسب الأيقونة مناسبًا. و يساويتناسب و أكثرجيد. لذلك ، تم تضمين -0.5 في الاستجابة.

لذلك ، حددنا -0.5 على المحور ، ويبقى تحديد جميع الأرقام الأكبر من -0.5. هذه المرة أضع علامة على نطاق قيم x المناسبة قيد(من الكلمة قوس) بدلا من الفقس. تحوم فوق الصورة وشاهد هذا القوس.

لا يوجد فرق معين بين الفقس والأقواس. افعل كما يقول المعلم. إذا لم يكن هناك معلم ، ارسم الذراعين. في المهام الأكثر تعقيدًا ، يكون الفقس أقل وضوحًا. يمكنك الخلط.

هذه هي الطريقة التي يتم بها رسم عدم المساواة الخطية على المحور. ننتقل إلى التفرد التالي لعدم المساواة.

اكتب إجابة لعدم المساواة.

لقد كان جيدًا في المعادلات.) وجدنا x ، وقمنا بتدوين الإجابة ، على سبيل المثال: x \ u003d 3. في عدم المساواة ، هناك نوعان من كتابة الإجابات. واحد - في شكل عدم المساواة النهائية. جيد للحالات البسيطة. فمثلا:

X< 2.

هذه إجابة كاملة.

في بعض الأحيان يكون مطلوبًا كتابة نفس الشيء ، ولكن بشكل مختلف ، من خلال الفجوات العددية. ثم يبدأ الإدخال في الظهور بشكل علمي للغاية):

س ∈ (-؛ 2)

تحت الأيقونة ∈ إخفاء الكلمة "ينتمي".

الإدخال يقرأ مثل هذا: x ينتمي إلى الفترة من سالب ما لا نهاية إلى اثنين لا يشمل. منطقي تماما. يمكن أن يكون X أي رقم من جميع الأرقام الممكنة من سالب ما لا نهاية إلى اثنين. لا يمكن أن يكون ضعف X ، وهذا ما تخبرنا به الكلمة "لا يشمل".

أين هو في الجواب ذلك "لا يشمل"؟ هذه الحقيقة مذكورة في الجواب. دائريأقواس مباشرة بعد الشيطان. إذا تم تضمين الشيطان ، فسيكون القوس ميدان.ها هو: ]. يستخدم المثال التالي مثل هذا القوس.

دعنا نكتب الإجابة: x ≥ -0,5 من خلال فترات:

س ∈ [-0.5 ؛ + ∞)

يقرأ: x ينتمي إلى الفترة من سالب 0.5 ، بما فيها،ما يصل إلى ما لا نهاية.

لا يمكن تشغيل Infinity أبدًا. إنه ليس رقمًا ، إنه رمز. لذلك ، في مثل هذه الإدخالات ، تتعايش اللانهاية دائمًا مع أقواس.

هذا النوع من التسجيل مناسب للإجابات المعقدة التي تتكون من عدة فجوات. لكن - فقط للإجابات النهائية. في النتائج الوسيطة ، حيث يُتوقع حل إضافي ، من الأفضل استخدام الشكل المعتاد ، في شكل متباينة بسيطة. سنتعامل مع هذا في الموضوعات ذات الصلة.

المهام الشعبية مع عدم المساواة.

المتباينات الخطية نفسها بسيطة. لذلك ، غالبًا ما تصبح المهام أكثر صعوبة. لذا ، أعتقد أنه كان من الضروري. هذا ، إذا كان بدافع العادة ، ليس ممتعًا للغاية.) لكنه مفيد. سأعرض أمثلة على مثل هذه المهام. ليس لك أن تتعلمها ، فهي لا لزوم لها. ولكي لا تخافوا عند الاجتماع بأمثلة مماثلة. القليل من التفكير - وكل شيء بسيط!)

1. أوجد أي حلين لمتباينة 3x - 3< 0

إذا لم يكن من الواضح ما يجب فعله ، فتذكر القاعدة الأساسية للرياضيات:

إذا كنت لا تعرف ماذا تفعل ، فافعل ما تستطيع!

X < 1

وماذا في ذلك؟ لا شيء مميز. ماذا يطلب منا؟ مطلوب منا إيجاد عددين محددين يمثلان حلًا لمتباينة. أولئك. تناسب الجواب. اثنين أيأعداد. في الواقع ، هذا أمر محرج). زوجان من 0 و 0.5 مناسبان. زوجان -3 و -8. نعم ، هناك عدد لا حصر له من هؤلاء الأزواج! ما هو الجواب الصحيح؟!

أجبت: كل شيء! أي زوج من الأرقام ، كل منهما أقل من واحد ، سيكون الجواب الصحيح.اكتب ما تريد. لنذهب أبعد من ذلك.

2. حل عدم المساواة:

4x - 3 ≠ 0

وظائف مثل هذه نادرة. ولكن ، كمتباينات مساعدة ، عند العثور على ODZ ، على سبيل المثال ، أو عند العثور على مجال وظيفة ، يتم مواجهتها طوال الوقت. يمكن حل هذه المتباينة الخطية كمعادلة خطية عادية. فقط في كل مكان ، باستثناء علامة "=" ( يساوي) ضع العلامة " ≠ " (غير متساوي). لذا ستصل إلى الإجابة بعلامة عدم المساواة:

X ≠ 0,75

في المزيد أمثلة صعبةمن الأفضل أن تفعل ذلك بالطريقة الأخرى. اجعل عدم المساواة متساوية. مثله:

4x - 3 = 0

قم بحلها بهدوء كما علمت ، واحصل على الإجابة:

س = 0.75

الشيء الرئيسي ، في النهاية ، عند كتابة الإجابة النهائية ، هو عدم نسيان أننا وجدنا x ، مما يعطي المساواة.ونحتاج - عدم المساواة.لذلك ، لا نحتاج إلى X.) ونحتاج إلى كتابته بالأيقونة الصحيحة:

X ≠ 0,75

ينتج عن هذا النهج أخطاء أقل. أولئك الذين يحلون المعادلات على الآلة. وبالنسبة لأولئك الذين لا يحلون المعادلات ، فإن عدم المساواة ، في الواقع ، غير مجدية ...) مثال آخر على مهمة شائعة:

3. أوجد أصغر حل صحيح للمتباينة:

3 (× - 1) < 5x + 9

أولًا ، نحل المتباينة ببساطة. نفتح الأقواس ، وننقل ، ونعطي الأقواس المماثلة ... نحصل على:

X > - 6

ألم يحدث !؟ هل اتبعت الإشارات؟ وخلف علامات الأعضاء ، وخلف علامة اللامساواة ...

دعونا نتخيل مرة أخرى. نحتاج إلى إيجاد رقم محدد يطابق كلاً من الإجابة والشرط "أصغر عدد صحيح".إذا لم يطل عليك الأمر على الفور ، فيمكنك ببساطة أن تأخذ أي رقم وتكتشفه. اثنان أكبر من سالب ستة؟ بالطبع! هل يوجد رقم أصغر مناسب؟ بالطبع. على سبيل المثال ، الصفر أكبر من -6. وحتى أقل؟ نحن بحاجة إلى أصغر ما يمكن! ناقص ثلاثة أكثر من ناقص ستة! يمكنك بالفعل التقاط النمط والتوقف عن فرز الأرقام بغباء ، أليس كذلك؟)

نأخذ رقمًا أقرب إلى -6. على سبيل المثال ، -5. تم تنفيذ الاستجابة ، -5 > - 6. هل يمكنك العثور على رقم آخر أصغر من -5 ولكن أكبر من -6؟ يمكنك ، على سبيل المثال ، -5.5 ... توقف! لقد قيل لنا كاملالمحلول! لا لفة -5.5! ماذا عن ناقص ستة؟ إيييي! المتباينة صارمة ، سالب 6 لا يقل عن سالب 6!

إذن الإجابة الصحيحة هي -5.

آمل أن يكون كل شيء واضحًا مع اختيار القيمة من الحل العام. مثال آخر:

4. حل عدم المساواة:

7 < 3x + 1 < 13

كيف! يسمى هذا التعبير عدم المساواة الثلاثية.بالمعنى الدقيق للكلمة ، هذا تدوين مختصر لنظام عدم المساواة. لكن لا يزال يتعين عليك حل مثل هذه التفاوتات الثلاثية في بعض المهام ... يتم حلها بدون أي أنظمة. من خلال نفس التحولات متطابقة.

من الضروري التبسيط ، تحويل هذه المتباينة إلى X خالص. لكن ... ماذا تنقل إلى أين !؟ هذا هو الوقت المناسب لتذكر أن التحول من اليسار إلى اليمين هو شكل مختصرأول تحول مماثل.

والشكل الكامل يبدو كالتالي: يمكنك إضافة / طرح أي رقم أو تعبير لكلا جزأي المعادلة (عدم المساواة).

هناك ثلاثة أجزاء هنا. لذلك سنطبق تحويلات متطابقة على الأجزاء الثلاثة!

فلنتخلص من الواحد في الجزء الأوسط من المتباينة. اطرح واحدًا من الجزء الأوسط بأكمله. حتى لا تتغير المتباينة ، نطرح واحدًا من الجزأين المتبقيين. مثله:

7 -1< 3x + 1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

بالفعل أفضل ، أليس كذلك؟) يبقى تقسيم الأجزاء الثلاثة إلى ثلاثة:

2 < X < 4

هذا كل شئ. هذا هو الجواب. يمكن أن يكون X أي رقم من اثنين (لا يشمل) إلى أربعة (لا يشمل). هذه الإجابة مكتوبة أيضًا على فترات ، ستكون هذه الإدخالات في متباينات التربيع. هناك هم الشيء الأكثر شيوعًا.

في نهاية الدرس سأكرر أهم شيء. يعتمد النجاح في حل المتباينات الخطية على القدرة على تحويل وتبسيط المعادلات الخطية. إذا في نفس الوقت اتبع علامة عدم المساواة ،لن تكون هناك مشاكل. ما اتمنى لك. لا مشكلة.)

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

بعد تلقي المعلومات الأولية حول المتباينات ذات المتغيرات ، ننتقل إلى مسألة حلها. دعنا نحلل حل المتباينات الخطية بمتغير واحد وجميع طرق حلها باستخدام الخوارزميات والأمثلة. سيتم النظر فقط في المعادلات الخطية مع متغير واحد.

ما هي المتباينة الخطية؟

تحتاج أولاً إلى تحديد معادلة خطية ومعرفة شكلها القياسي وكيف ستختلف عن غيرها. من الدورة المدرسية لدينا أن عدم المساواة ليس لها اختلاف جوهري ، لذلك يجب استخدام العديد من التعريفات.

التعريف 1

المتباينة الخطية بمتغير واحد x هي متباينة بالصيغة a x + b> 0 عند استخدام أي علامة متباينة بدلاً من>< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

التعريف 2

المتباينات أ س< c или a · x >c ، حيث x متغير و a و c بعض الأرقام تسمى المتباينات الخطية بمتغير واحد.

بما أنه لم يتم ذكر أي شيء حول ما إذا كان المعامل يمكن أن يساوي 0 أم لا ، فإن عدم المساواة الصارمة بالصيغة 0 x> c و 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

اختلافاتهم هي:

• التدوين a · x + b> 0 في الأول ، و a · x> c - في الثانية ؛
• مقبولية معامل الصفر a ، a ≠ 0 - في الأول ، و a = 0 - في الثانية.

يُعتقد أن المتباينات a x + b> 0 و a x> c متكافئة ، لأنه يتم الحصول عليها عن طريق نقل المصطلح من جزء إلى آخر. سيؤدي حل المتباينة 0 · x + 5> 0 إلى حقيقة أنه يجب حلها ، ولن تنجح الحالة a = 0.

التعريف 3

يعتبر أن المتباينات الخطية في متغير واحد x هي متباينات في النموذج أ س + ب< 0 , a · x + b >0 ، أ س + ب ≤ 0و أ س + ب ≥ 0، حيث أ و ب أرقام حقيقية. بدلاً من x ، يمكن أن يكون هناك رقم عادي.

بناءً على القاعدة ، لدينا 4 x - 1> 0 ، 0 z + 2 ، 3 ≤ 0 ، - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 ، - 0 ، 5 · ص ≤ - 1 ، 2 تسمى خطية.

كيفية حل المتباينة الخطية

الطريقة الرئيسية لحل مثل هذه التفاوتات هي استخدام تحويلات مكافئة لإيجاد المتباينات الأولية x< p (≤ , >، ≥) ، p يمثل عددًا ما ، لـ a 0 ، وللشكل a< p (≤ , >، ≥) ل = 0.

لحل متباينة ذات متغير واحد ، يمكنك تطبيق طريقة الفترة أو تمثيلها بيانياً. يمكن استخدام أي منهم بشكل منفصل.

استخدام تحويلات مكافئة

لحل متباينة خطية بالصيغة أ س + ب< 0 (≤ , >، ≥) ، من الضروري تطبيق تحويلات مكافئة لعدم المساواة. قد يكون المعامل صفراً وقد لا يكون. دعونا ننظر في كلتا الحالتين. للتوضيح ، من الضروري الالتزام بمخطط يتكون من 3 نقاط: جوهر العملية ، الخوارزمية ، الحل نفسه.

التعريف 4

خوارزمية لحل المتباينة الخطية أ س + ب< 0 (≤ , >، ≥) لـ ≠ 0

• سيتم نقل الرقم ب إلى الجانب الأيمن من المتباينة مع الإشارة المعاكسة ، مما سيسمح لنا بالوصول إلى المكافئ a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• سيتم قسمة جزأي المتباينة على عدد لا يساوي 0. علاوة على ذلك ، عندما تكون a موجبة ، تظل الإشارة ، وعندما تكون a سالبة ، فإنها تتغير إلى العكس.

ضع في اعتبارك تطبيق هذه الخوارزمية لحل الأمثلة.

مثال 1

حل متباينة بالصيغة 3 · س + 12 ≤ 0.

المحلول

هذه المتباينة الخطية لها أ = 3 و ب = 12. ومن ثم ، فإن المعامل a في المتغير x لا يساوي صفرًا. دعونا نطبق الخوارزميات المذكورة أعلاه ونحلها.

من الضروري نقل المصطلح 12 إلى جزء آخر من المتباينة مع تغيير علامة أمامه. ثم نحصل على متباينة بالصورة 3 · x ≤ - 12. من الضروري تقسيم كلا الجزأين على 3. لن تتغير العلامة لأن الرقم 3 هو رقم موجب. نحصل على (3 x): 3 ≤ (- 12): 3 ، وهو ما سيعطي النتيجة x ≤ - 4.

المتباينة بالصيغة x ≤ - 4 مكافئة. أي أن حل 3 س + 12 ≤ 0 هو أي عدد حقيقي أصغر من أو يساوي 4. تكتب الإجابة في صورة متباينة x ≤ - 4 ، أو فاصل رقمي على الصورة (- ∞ ، - 4].

تتم كتابة الخوارزمية الكاملة الموضحة أعلاه على النحو التالي:

3 × + 12 0 ؛ 3 × ≤ - 12 ؛ س ≤ - 4.

إجابه:س ≤ - 4 أو (- ∞ ، - 4].

مثال 2

حدد جميع الحلول المتاحة للمتباينة - 2 ، 7 · z> 0.

المحلول

من الشرط ، نرى أن المعامل a عند z يساوي - 2 ، 7 ، و b غير موجود بشكل صريح أو يساوي صفرًا. لا يمكنك استخدام الخطوة الأولى من الخوارزمية ، ولكن انتقل على الفور إلى الخطوة الثانية.

نقسم كلا الجزأين من المعادلة على الرقم - 2 ، 7. بما أن الرقم سالب ، فمن الضروري تغيير علامة عدم المساواة إلى العكس. أي أننا نحصل على (- 2 ، 7 ض): (- 2 ، 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

نكتب الخوارزمية بأكملها في نموذج قصير:

- 2 ، 7 ض> 0 ؛ ض< 0 .

إجابه:ض< 0 или (− ∞ , 0) .

مثال 3

حل المتباينة - 5 · س - 15 22 ≤ 0.

المحلول

وفقًا للشرط ، نرى أنه من الضروري حل المتباينة باستخدام المعامل a للمتغير x ، والذي يساوي - 5 ، مع المعامل b الذي يقابل الكسر - 15 22. من الضروري حل المتباينة باتباع الخوارزمية ، أي: تحريك - 15 22 إلى جزء آخر بعلامة معاكسة ، قسمة كلا الجزأين على - 5 ، قم بتغيير علامة عدم المساواة:

5 × 15 22 ؛ - 5 ×: - 5 15 22: - 5 × - 3 22

في الانتقال الأخير للجانب الأيمن ، قاعدة قسمة الرقم على علامات مختلفة 15 22: - 5 = - 15 22: 5 ، وبعد ذلك نقوم بالقسمة جزء مشتركإلى رقم طبيعي - 15 22: 5 \ u003d - 15 22 1 5 \ u003d - 15 1 22 5 \ u003d - 3 22.

إجابه:س ≥ - 3 22 و [- 3 22 + ∞).

ضع في اعتبارك الحالة عندما يكون a = 0. التعبير الخطي للصيغة أ س + ب< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

كل شيء يعتمد على تعريف حل عدم المساواة. لأي قيمة لـ x ، نحصل على متباينة عددية للصيغة b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

نحن نأخذ في الاعتبار جميع الأحكام في شكل خوارزمية لحل المتباينات الخطية 0 س + ب< 0 (≤ , > , ≥) :

التعريف 5

عدم المساواة العددية من النموذج ب< 0 (≤ , >، ≥) صحيحة ، فإن المتباينة الأصلية لها حل لأي قيمة ، وخطأ عندما لا يكون للمتباينة الأصلية حلول.

مثال 4

حل المتباينة 0 · x + 7> 0.

المحلول

هذه المتباينة الخطية 0 · x + 7> 0 يمكن أن تأخذ أي قيمة x. ثم نحصل على متباينة بالصيغة 7> 0. تعتبر المتباينة الأخيرة صحيحة ، لذا يمكن أن يكون حلها أي رقم.

إجابه: الفاصل الزمني (- ∞ ، + ∞).

مثال 5

أوجد حلًا للمتباينة 0 · س - 12 ، 7 0.

المحلول

بالتعويض بالمتغير x لأي عدد ، نحصل على أن المتباينة ستأخذ الصورة - 12، 7 ≥ 0. هذا غير صحيح. أي 0 · س - 12 ، 7 0 ليس لها حلول.

إجابه:لا توجد حلول.

ضع في اعتبارك حل المتباينات الخطية ، حيث يساوي كلا المعاملين صفرًا.

مثال 6

حدد متباينة غير قابلة للحل من 0 · x + 0> 0 و 0 · x + 0 ≥ 0.

المحلول

عند التعويض بأي عدد بدلاً من x ، نحصل على متباينتين بالصيغة 0> 0 و 0 0. الأول غير صحيح. هذا يعني أن 0 x + 0> 0 ليس له حلول ، و 0 x + 0 ≥ 0 له عدد لا نهائي من الحلول ، أي أي رقم.

إجابه: المتباينة 0 x + 0> 0 ليس لها حلول ، و 0 x + 0 ≥ 0 لها حلول.

تعتبر هذه الطريقة في دورة الرياضيات المدرسية. طريقة الفاصل قادرة على حل أنواع مختلفةالتفاوتات هي أيضا خطية.

تُستخدم طريقة الفاصل الزمني للتباينات الخطية عندما لا تساوي قيمة المعامل x 0. خلاف ذلك ، سيكون عليك إجراء الحساب باستخدام طريقة أخرى.

التعريف 6

طريقة التباعد هي:

• مقدمة للوظيفة y = a x + b ؛
• البحث عن الأصفار لتقسيم مجال التعريف إلى فترات ؛
• تحديد العلامات لمفهومها على فترات.

لنجمع خوارزمية لحل المعادلات الخطية أ س + ب< 0 (≤ , >، ≥) لـ ≠ 0 باستخدام طريقة الفاصل الزمني:

• إيجاد أصفار الدالة y = a · x + b لحل معادلة بالصيغة a · x + b = 0. إذا كانت a ≠ 0 ، فسيكون الحل هو الجذر الوحيد الذي سيأخذ التعيين x 0 ؛
• بناء خط إحداثي مع صورة نقطة ذات إحداثي x 0 ، مع عدم مساواة صارمة ، تتم الإشارة إلى النقطة بواسطة مثقوبة ، مع عدم مساواة غير صارمة ، تكون مظللة ؛
• تحديد علامات الدالة y = a x + b على الفواصل الزمنية ، لذلك من الضروري إيجاد قيم الوظيفة عند نقاط في الفترة الزمنية ؛
• حل عدم المساواة مع> أو على خط الإحداثيات ، يضاف الفقس فوق الفجوة الإيجابية ،< или ≤ над отрицательным промежутком.

ضع في اعتبارك عدة أمثلة لحل متباينة خطية باستخدام طريقة الفترة.

مثال 6

حل المتباينة - 3 · س + 12> 0.

المحلول

يتبع من الخوارزمية أنك تحتاج أولاً إلى إيجاد جذر المعادلة - 3 · س + 12 = 0. حصلنا على ذلك - 3 · س = - 12 ، س = 4. من الضروري تصوير خط الإحداثيات ، حيث نحتفل بالنقطة 4. سيتم ثقبها لأن عدم المساواة صارم. ضع في اعتبارك الرسم أدناه.

من الضروري تحديد العلامات على فترات. لتحديده في الفترة (- ∞ ، 4) ، من الضروري حساب الدالة y = - 3 · x + 12 لـ x = 3. من هنا نحصل على ذلك - 3 3 + 12 = 3> 0. العلامة الموجودة على الفجوة موجبة.

نحدد العلامة من الفاصل الزمني (4 ، + ∞) ، ثم نستبدل القيمة x \ u003d 5. لدينا - 3 5 + 12 = - 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

نقوم بحل المتباينة بالعلامة> ، ويتم إجراء الفقس على الفجوة الموجبة. ضع في اعتبارك الرسم أدناه.

يمكن أن نرى من الرسم أن الحل المطلوب له الشكل (- ∞ ، 4) أو x< 4 .

إجابه: (- ∞ ، 4) أو x< 4 .

لفهم كيفية التمثيل البياني ، من الضروري اعتبار 4 متباينات خطية كمثال: 0 ، 5 × - 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 و 0 ، 5 س - 1 0. ستكون حلولهم س< 2 , x ≤ 2 , x >2 و x 2. للقيام بذلك ، ارسم رسمًا بيانيًا للدالة الخطية y = 0 ، 5 · x - 1 أدناه.

انه واضح

التعريف 7

• حل المتباينة 0، 5 س - 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• الحل 0، 5 x - 1 ≤ 0 هو الفترة التي تكون فيها الدالة y = 0، 5 x - 1 أقل من 0 x أو تتزامن ؛
• يعتبر الحل 0 ، 5 x - 1> 0 هو الفاصل الزمني ، حيث تقع الوظيفة فوق O x ؛
• الحل 0؛ 5 x - 1 0 هو الفترة التي يكون فيها الرسم البياني أعلى من O x أو يتزامن.

معنى الحل الرسومي للتباينات هو إيجاد الفجوات التي يجب تصويرها على الرسم البياني. في هذه الحالة ، نحصل على أن الجانب الأيسر به y \ u003d a x + b ، والجانب الأيمن y \ u003d 0 ، ويتزامن مع About x.

التعريف 8

يتم تنفيذ رسم الدالة y = a x + b:

• أثناء حل المتباينة أ س + ب< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• أثناء حل المتباينة a x + b ≤ 0 ، يتم تحديد الفاصل الزمني حيث يتم عرض الرسم البياني أسفل المحور O x أو يتزامن ؛
• أثناء حل المتباينة أ س + ب> 0 ، يتم تحديد الفترة الزمنية ، حيث يتم عرض الرسم البياني أعلاه O x ؛
• أثناء حل المتباينة a x + b ≥ 0 ، يتم تحديد الفترة حيث يكون الرسم البياني أعلى من O x أو يتزامن.

مثال 7

حل المتباينة - ٥ · س - ٣> ٠ باستخدام التمثيل البياني.

المحلول

من الضروري بناء رسم بياني لوظيفة خطية - 5 · س - 3> 0. هذا الخط آخذ في التناقص لأن معامل x سالب. لتحديد إحداثيات نقطة تقاطعها مع O x - 5 · x - 3> 0 ، نحصل على القيمة - 3 5. دعونا نرسمها.

حل المتباينة بعلامة> ، فأنت بحاجة إلى الانتباه إلى الفترة فوق O x. نبرز الجزء الضروري من الطائرة باللون الأحمر ونحصل على ذلك

الفجوة المطلوبة هي الجزء O x من اللون الأحمر. ومن ثم ، فإن شعاع العدد المفتوح - ∞ ، - 3 5 سيكون حل المتباينة. إذا كان لديهم ، بشرط ، متباينة غير صارمة ، فإن قيمة النقطة - 3 5 ستكون أيضًا حلًا للمتباينة. وسوف يتطابق مع O x.

إجابه: - ، - 3 5 أو x< - 3 5 .

يتم استخدام الحل الرسومي عندما يتوافق الجانب الأيسر مع الدالة y = 0 x + b ، أي y = b. ثم سيكون الخط موازٍ لـ O x أو متزامن عند b \ u003d 0. توضح هذه الحالات أن المتباينة قد لا يكون لها حلول ، أو يمكن أن يكون أي رقم حلاً.

المثال 8

أوجد من المتباينات 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

المحلول

التمثيل y = 0 x + 7 هو y = 7 ، ثم نحصل على مستوى إحداثي بخط مستقيم يوازي O x وأعلى O x. إذن 0 × + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

يعتبر الرسم البياني للوظيفة y \ u003d 0 x + 0 y \ u003d 0 ، أي أن الخط يتزامن مع O x. ومن ثم ، فإن المتباينة 0 · x + 0 0 لها العديد من الحلول.

إجابه: المتباينة الثانية لها حل لأي قيمة لـ x.

المتباينات الخطية

يمكن اختزال حل المتباينات إلى حل المعادلة الخطية ، والتي تسمى المتباينات الخطية.

تم أخذ هذه التفاوتات في الاعتبار في الدورة المدرسية ، لأنها كانت حالة خاصة لحل التفاوتات ، مما أدى إلى فتح الأقواس وتقليل المصطلحات المماثلة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك أن 5 - 2 x> 0 ، 7 (x - 1) + 3 ≤ 4 x - 2 + x، x - 3 5 - 2 x + 1> 2 7 x.

دائمًا ما يتم تقليل المتباينات المذكورة أعلاه إلى شكل معادلة خطية. بعد ذلك ، يتم فتح الأقواس ويتم إعطاء المصطلحات المماثلة ونقلها من اجزاء مختلفة، تغيير اللافتة إلى العكس.

عند تقليل المتباينة 5 - 2 x> 0 إلى متباينة خطية ، فإننا نمثلها على النحو التالي - 2 x + 5> 0 ، ولتقليل الثانية نحصل على 7 (x - 1) + 3 ≤ 4 x - 2 + x. من الضروري فتح الأقواس ، وإحضار المصطلحات المتشابهة ، ونقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيسر وإحضار المصطلحات المتشابهة. تبدو هكذا:

7 س - 7 + 3 ≤ 4 س - 2 + س 7 س - 4 5 س - 2 7 س - 4-5 س + 2 0 2 س - 2 0

هذا يقودنا إلى حل المتباينة الخطية.

تعتبر هذه التفاوتات خطية ، لأن لها نفس مبدأ الحل ، وبعد ذلك يمكن اختزالها إلى متباينات أولية.

لحل هذا النوع من عدم المساواة من هذا النوع ، من الضروري اختزاله إلى متباينة خطية. يجب أن يتم ذلك على النحو التالي:

التعريف 9

• بين قوسين
• اجمع المتغيرات على اليسار والأرقام على اليمين ؛
• جلب شروط مماثلة
• اقسم كلا الجزأين على معامل x.

المثال 9

حل المتباينة 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x - 3) + 1.

المحلول

نفك الأقواس ، ثم نحصل على متباينة بالصيغة 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x - 18 + 1. بعد اختزال الحدود المتشابهة ، لدينا 6 · س + 15 6 · س - 17. بعد تحريك الحدود من اليسار إلى اليمين ، نحصل على 6 x + 15-6 x + 17 0. ومن ثم ، فإن لها متباينة على شكل 32 ≤ 0 من النتيجة التي تم الحصول عليها في الحساب 0 × + 32 0. يمكن ملاحظة أن عدم المساواة خاطئة ، مما يعني أن عدم المساواة التي يوفرها الشرط ليس لها حلول.

إجابه: لا توجد حلول.

تجدر الإشارة إلى أن هناك العديد من عدم المساواة من نوع آخر ، والتي يمكن اختزالها إلى متباينة خطية أو متباينة من النوع الموضح أعلاه. على سبيل المثال ، 5 2 x - 1 ≥ 1 هي معادلة أسية تختزل إلى حل خطي 2 × - 1 0. سيتم النظر في هذه الحالات عند حل عدم المساواة من هذا النوع.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

ماذا او ما "مربع عدم المساواة"؟ليس سؤال!) إذا كنت تأخذ أيالمعادلة التربيعية وتغيير العلامة فيها "=" (يساوي) أي رمز عدم المساواة ( > ≥ < ≤ ≠ ) ، نحصل على عدم مساواة تربيعية. فمثلا:

1. x2 -8x + 12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x2 ≤ 4

جيد، لقد وصلتك الفكرة...)

لقد ربطت عن قصد بين المعادلات وعدم المساواة هنا. الحقيقة هي أن الخطوة الأولى في الحل أيمربع عدم المساواة - حل المعادلة التي تتكون منها هذه المتباينة.لهذا السبب - عدم القدرة على حل المعادلات التربيعية يؤدي تلقائيًا إلى فشل كامل في عدم المساواة. هل التلميح واضح؟) إذا كان هناك أي شيء ، فابحث عن كيفية حل أي معادلات تربيعية. كل شيء مفصل هناك. وفي هذا الدرس سنتعامل مع المتباينات.

المتباينة الجاهزة للحل لها الشكل: اليسار - ثلاثي الحدود الفأس 2 + bx + c، على اليمين - صفر.يمكن أن تكون علامة عدم المساواة أي شيء على الإطلاق. أول مثالين هنا مستعدون لاتخاذ قرار.المثال الثالث لا يزال بحاجة إلى الاستعداد.

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

في المقال سننظر فيه حل عدم المساواة. دعنا نتحدث بصراحة عن كيفية بناء حل لعدم المساواةمع أمثلة واضحة!

قبل التفكير في حل المتباينات بالأمثلة ، لنتعامل مع المفاهيم الأساسية.

مقدمة في عدم المساواة

عدم المساواةيسمى التعبير الذي ترتبط فيه الوظائف بعلامات العلاقة> ،. يمكن أن تكون المتباينات عددية وأبجدية.
تسمى المتباينات التي لها علامتا علاقة مزدوج ، بثلاثة - ثلاثية ، إلخ. فمثلا:
أ (خ)> ب (خ) ،
أ (خ) أ (خ) ب (خ) ،
أ (خ) ب (خ).
أ (خ) المتباينات التي تحتوي على علامة> أو غير صارمة.
حل عدم المساواةهي أي قيمة للمتغير التي تكون هذه المتباينة صحيحة.
"حل المتباينة"يعني أنك بحاجة إلى العثور على مجموعة جميع الحلول الخاصة به. هناك العديد من الحلول طرق حل عدم المساواة. إلى عن على حلول عدم المساواةاستخدم خط الأعداد اللانهائي. فمثلا، حل عدم المساواة x> 3 عبارة عن فاصل زمني من 3 إلى + ، والرقم 3 غير مدرج في هذه الفترة ، لذلك يتم الإشارة إلى النقطة الموجودة على الخط بدائرة فارغة ، لأن عدم المساواة صارم.
+
ستكون الإجابة: x (3 ؛ +).
لم يتم تضمين القيمة x = 3 في مجموعة الحلول ، لذا فإن الأقواس مستديرة. يتم وضع علامة اللانهاية دائمًا بين قوسين. العلامة تعني "الانتماء".
ضع في اعتبارك كيفية حل التفاوتات باستخدام مثال آخر مع الإشارة:
x2
-+
يتم تضمين القيمة x = 2 في مجموعة الحلول ، لذا يُشار إلى القوس المربع والنقطة على الخط بدائرة مملوءة.
ستكون الجواب: x)