Šta znači skup vrijednosti funkcije. Raspon funkcija (skup vrijednosti funkcije)

y = x 3

y=| x|

y=

E( y) = [- 1, 1]

E( y) = (– ∞, + ∞)

E( y) = (– ∞, + ∞)

E( y) = (– ∞, + ∞)

E( y) = (0, + ∞)

Uvođenje algoritma za rješavanje problema za pronalaženje skupa vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Pogledajmo kako možemo primijeniti naše iskustvo na različite zadatke uključene u opcije za jedan ispit.

1. Pronalaženje vrijednosti funkcija za datu vrijednost argumenta.

Primjer. Pronađite vrijednost funkcije y = 2 cos(π/2+ π/4 ) – 1, ako x = -π/2.

Rješenje.

= –
– 1.

2. Pronalaženje raspona trigonometrijskih funkcija


Rješenje.

1≤ grijehX≤ 1

2 ≤ 2 grijehX≤ 2

9 ≤ 11+2grijehX≤ 13

3 ≤
+2∙ grijeh x ≤
, tj. E (y) = .

Zapišimo cjelobrojne vrijednosti funkcije na intervalu. Ovaj broj je 3.

Odgovor: 3.

• 
  Pronađite skup vrijednosti funkcije at= greh 2 X+6sin X + 10.

• 
  Pronađite skup vrijednosti funkcije: at = grijeh 2 X - 6 grijeh x + 8 . (na svoju ruku)

at= grijeh 2 X- 2 3 grijehx + 3 2 - 3 2 + 8,

at= (grijehX- 3) 2 -1.

E ( grijehX) = [-1;1];

E ( grijehX -3) = [-4;-2];

E ( grijehX -3) 2 = ;

E ( at) = .

Odgovor: .

• 
  Pronađite najmanju vrijednost funkcije at= cos 2 x+2sin x – 2.

Možemo li pronaći skup vrijednosti za ovu funkciju? (Ne.)

Šta treba učiniti? (Svedeno na jednu funkciju.)

Kako uraditi? (Koristite formulu cos 2 x= 1-greh 2 x.)

dakle, at= 1-greh 2 x+2sin x –2,

y= -sin 2 x+2sin x –1,

at= -(grijeh x –1) 2 .

Pa, sada možemo pronaći skup vrijednosti i odabrati najmanju od njih.

1 ≤ sin x ≤ 1,

2 ≤ sin x – 1 ≤ 0,

0 ≤ (greh x – 1) 2 ≤ 4,

4 ≤ -(sin x -1) 2 ≤ 0.

Dakle, najmanja vrijednost funkcije at hire= -4. Odgovor: -4.

• 
  Pronađite proizvod najveće i najmanje vrijednosti funkcije

Rješenje.

at= 1-cos 2 x+ cos x + 1,5,

at= -cos 2 x+ 2∙0,5∙cos x - 0,25 + 2,75,

at= -(cos x- 0,5) 2 + 2,75.

E(cos x) = [-1;1],

E(cos x – 0,5) = [-1,5;0,5],

E(cos x – 0,5) 2 = ,

E(-(cos x-0,5) 2) = [-2,25;0],

E( at) = .

Najveća vrijednost funkcije at naib= 2,75; najmanju vrijednost at hire= 0,5. Nađimo proizvod najveće i najmanje vrijednosti funkcije:

at naib ∙at hire = 0,5∙2,75 = 1,375.

Odgovor: 1.375.

Prepišimo funkciju u formu at =,

at =
,

Nađimo sada skup vrijednosti funkcije.

E(greh x) = [-1, 1],

E(6sin x) = [-6, 6],

E(6sin x + 1) = [-5, 7],

E((6sin x + 1) 2) = ,

E(– (6sin x + 1) 2) = [-49, 0],

E(– (6sin x + 1) 2 + 64) = ,

E( y) = [
, 8].

Nađimo zbroj cjelobrojnih vrijednosti funkcije: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30.

Odgovor: 30.

1)
tj X pripada prvom kvartalu.

2)

Stoga, 2 X pripadaju drugoj četvrtini.

3) U drugom tromjesečju, sinusna funkcija opada i kontinuirana je. Dakle, ova funkcija
preuzima sve vrijednosti iz
prije

4) Izračunajte ove vrijednosti:

Odgovori :
.

1) Pošto sinus uzima vrijednosti od -1 do 1, onda je skup vrijednosti razlike
. Kada se pomnoži sa
ovaj segment će ići u segment
.

2) Arkosinus je monotono opadajuća i kontinuirana funkcija. Dakle, skup vrijednosti izraza je segment
.

3) Prilikom množenja ovog segmenta sa dobijamo
.

odgovor:
.

Pošto je tangenta luka rastuća funkcija, onda
.

2) Prilikom povećanja X od
prije argument 2 X povećava od
prije . Budući da se sinus na takvom intervalu povećava, funkcija
preuzima vrijednosti iz
do 1.

3) Prilikom povećanja od prije
argument 2 X povećava od prije
. Budući da se sinus smanjuje na takvom intervalu, funkcija
preuzima vrijednosti iz
do 1.

4) Koristeći formulu koja izražava sinus u terminima tangenta poluugla, nalazimo da

.

Dakle, željeni skup vrijednosti je unija segmenata
I
, odnosno segment
.

odgovor:
.
Ova tehnika (Uvođenje pomoćnog ugla) se koristi za pronalaženje skupa vrijednosti funkcija oblika

at= a sin x + b cos x ili at= grijeh (Rx) + bcos(Rx).

• 
  Pronađite skup vrijednosti funkcije

Rješenje.

Nađimo vrijednost
=
= 25.

Hajde da transformišemo izraz

15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 (
) = 25 () =

25 sin (2x + ), gdje je cos = , sin =.

Skup vrijednosti funkcije y \u003d sin (2x + ): -1 sin (2x + ) 1.

Zatim skup vrijednosti originalne funkcije -25 25 sin (2x + ) 25.

Odgovori: [-25; 25].
3. Zadaci za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na intervalu.

• 
  Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije at= ctg X na segmentu [π/4; π/2].

Funkcija at= ctg X je opadajuća na segmentu [π/4; π/2], dakle, funkcija će poprimiti najmanju vrijednost na x =π/2, tj at(π/2) = stg π/2 = 0; a najveća vrijednost je na x=π/4, tj at(π/4) = stg π/4 = 1.

Odgovor: 1, 0.

Odvojite se u jednakosti
cijeli dio: .

Iz toga slijedi da je graf funkcije f(x) ili hiperbola (a≠ 0) ili prava linija bez tačke.

Štaviše, ako a; 2a) i (2a;
) i, ako je a > 0, monotono raste na ovim zracima.

Ako je a = 0, onda je f (x) = -2 u cijelom domenu definicije x ≠ 0. Stoga je očigledno da željene vrijednosti parametra nisu jednake nuli.

Pošto nas zanimaju samo vrijednosti funkcije na segmentu [-1; 1], onda je klasifikacija situacija određena činjenicom da se asimptota x = 2a hiperbole (a≠0) nalazi u odnosu na ovaj segment.

Slučaj 1. Sve tačke intervala [-1; 1] su desno od vertikalne asimptote x = 2a, odnosno kada je 2a

Slučaj 2. Vertikalna asimptota siječe interval [-1; 1], a funkcija se smanjuje (kao u slučaju 1), odnosno kada

Slučaj 3. Vertikalna asimptota siječe interval [-1; 1] i funkcija raste, tj. -1

.

Slučaj 4. Sve tačke intervala [-1; 1] su lijevo od vertikalne asimptote, odnosno 1 a > . i drugo
Prijem 4 . Izražavanje x u terminima y. (Pronalaženje domene inverzne funkcije)

Prijem 5. Pojednostavljenje formule za definiranje razlomke racionalne funkcije

Prijem 6. Pronalaženje skupa vrijednosti kvadratnih funkcija (nalaženjem vrha parabole i utvrđivanjem prirode ponašanja njegovih grana).

Prijem 7. Uvođenje pomoćnog ugla za pronalaženje skupa vrijednosti nekih trigonometrijskih funkcija.

Stranica 1

Zavisnost jedne varijable od druge se naziva funkcionalna zavisnost. Zavisnost varijable y iz varijable x pozvao funkcija, ako je svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y.

Oznaka:

varijabla x naziva se nezavisna varijabla ili argument, i varijabla y- zavisna. Kažu to y je funkcija od x. Značenje y odgovara datoj vrijednosti x, zvao vrijednost funkcije.

Sve vrednosti koje su potrebne x, obrazac opseg funkcije; sve vrednosti koje uzima y, obrazac skup vrijednosti funkcije.

Oznake:

D(f)- vrijednosti argumenata. E(f)- vrijednosti funkcije. Ako je funkcija data formulom, onda se smatra da se domen definicije sastoji od svih vrijednosti varijable za koje ova formula ima smisla.

Funkcijski grafikon poziva se skup svih točaka na koordinatnoj ravni, čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije. Ako neka vrijednost x=x0 odgovara više vrijednosti (ne samo jednoj) y, onda takva korespondencija nije funkcija. Da bi skup tačaka koordinatne ravni bio graf neke funkcije, potrebno je i dovoljno da se svaka prava linija paralelna sa Oy osi siječe sa grafikom u najviše jednoj tački.

Načini postavljanja funkcije

1) Funkcija se može podesiti analitički u obliku formule. Na primjer,

2) Funkcija se može definirati tablicom sa više parova (x; y).

3) Funkcija se može podesiti grafički. Parovi vrijednosti (x; y) prikazano na koordinatnoj ravni.

Monotonost funkcije

Funkcija f(x) pozvao povećanje na datom numeričkom intervalu, ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije. Zamislite da se određena tačka kreće duž grafika s lijeva na desno. Tada će se tačka nekako "popeti" na grafikonu.

Funkcija f(x) pozvao opadanje na datom numeričkom intervalu, ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije. Zamislite da se određena tačka kreće duž grafika s lijeva na desno. Tada će se tačka, takoreći, "skotrljati" niz grafikon.

Poziva se funkcija koja samo raste ili opada u datom numeričkom intervalu monotono na ovom intervalu.

Nule funkcije i intervali konstantnosti

Vrijednosti X, pri čemu y=0, zove se nule funkcije. Ovo su apscise tačaka preseka grafa funkcije sa x-osom.

Takvi rasponi vrijednosti x, na kojem su vrijednosti funkcije y nazivaju se samo pozitivni ili samo negativni intervali konstantnosti predznaka funkcije.

Parne i neparne funkcije

Ravnomjerna funkcija
1) Domen definicije je simetričan u odnosu na tačku (0; 0), odnosno ako je tačka a pripada domenu definicije, zatim tačka -a takođe pripada domenu definicije.
2) Za bilo koju vrijednost x f(-x)=f(x)
3) Grafikon parne funkcije je simetričan u odnosu na Oy os.

neparna funkcija ima sljedeća svojstva:
1) Područje definicije je simetrično u odnosu na tačku (0; 0).
2) za bilo koju vrijednost x, koji pripada domenu definicije, jednakosti f(-x)=-f(x)
3) Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (0; 0).

Nije svaka funkcija parna ili neparna. Funkcije opšti pogled nisu ni parni ni neparni.

Periodične funkcije

Funkcija f se naziva periodičnim ako postoji broj takav da za bilo koji x iz domena definicije jednakost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je period funkcije.

Svaka periodična funkcija ima beskonačan broj perioda. U praksi se obično uzima u obzir najmanji pozitivni period.

Vrijednosti periodične funkcije se ponavljaju nakon intervala jednakog periodu. Ovo se koristi kada se crtaju grafovi.

D(f)- one vrijednosti koje argument može poprimiti, tj. opseg funkcije.

E(f)- one vrijednosti koje funkcija može poprimiti, tj. skup vrijednosti funkcije.

Metode za pronalaženje opsega funkcija.

sekvencijalno pronalaženje vrijednosti argumenata složene funkcije;

metoda bodovanja/granične;

korištenje svojstava kontinuiteta i monotonosti funkcije;

upotreba derivata;

koristeći najveću i najmanju vrijednost funkcije;

grafička metoda;

metoda uvođenja parametara;

metoda inverzne funkcije.

Hajde da razmotrimo neke od njih.

Korištenje derivata

Opšti pristup pronalaženje skupa vrijednosti kontinuirane funkcije f(x) znači pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije f(x) u njenoj domeni (ili dokazati da jedna ili obje ne postoje) .

Ako trebate pronaći skup vrijednosti funkcije na segmentu:

naći derivaciju date funkcije f "(x);

pronaći kritične tačke funkcije f(x) i odabrati one koje pripadaju datom segmentu;

izračunati vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i na odabranim kritičnim tačkama;

među pronađenim vrijednostima odaberite najmanju i najveću vrijednost;

Skup vrijednosti funkcije zaključuje se između ovih vrijednosti.

Ako je opseg funkcije interval, tada se koristi ista shema, ali umjesto vrijednosti na krajevima, koriste se granice funkcije kada argument teži krajevima intervala. Granične vrijednosti od nisu uključene u skup vrijednosti.

Metoda granica/bodova

Da biste pronašli skup vrijednosti funkcije, prvo pronađite skup vrijednosti argumenata, a zatim pronađite odgovarajuće minimalne i maksimalne vrijednosti funkcije funkcije. Koristeći nejednakosti - odredite granice.

Suština je procijeniti kontinuiranu funkciju odozdo i odozgo i dokazati da funkcija doseže donju i gornju granicu procjena. U ovom slučaju, podudarnost skupa vrijednosti funkcije s intervalom od donje granice procjene do gornje određena je kontinuitetom funkcije i odsustvom drugih vrijednosti za nju.

Svojstva kontinuirane funkcije

Druga mogućnost je transformacija funkcije u kontinuiranu monotonu funkciju, a zatim se pomoću svojstava nejednakosti procjenjuje skup vrijednosti novodobivene funkcije.

Sekvencijalno pronalaženje vrijednosti argumenata složene funkcije

Zasnovano na sekvencijalnoj potrazi za skupom vrijednosti međufunkcija koje čine funkciju

Opseg osnovnih elementarnih funkcija

Primjeri

Pronađite skup vrijednosti funkcije:

Korištenje derivata

Pronađite domen definicije: D(f)=[-3;3], jer $9-x^(2)\geq 0$

Pronađite izvod: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0 ako je x = 0. f"(x) ne postoji ako je $\sqrt(9-x^(2))=0$, tj. za x = ±3. Dobijamo tri kritične točke: x 1 = -3, x 2 = 0, x 3 = 3, od kojih se dvije poklapaju s krajevima segmenta. Izračunajte: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Dakle, najmanja vrijednost f(x) je 0, a najveća vrijednost je 3.

Odgovor: E(f) = .

NE koristim derivat

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije:

Od $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , tada:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ za sve x;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ za sve x(jer $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Odgovor: $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$

Ako ovaj problem riješite uz pomoć derivacija, tada ćete morati prevladati prepreke povezane s činjenicom da funkcija f (x) nije definirana na segmentu, već na cijeloj realnoj liniji.

Korištenje metode granica/procjena

Iz definicije sinusa slijedi da je $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Zatim koristimo svojstva numeričkih nejednakosti.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (pomnožite sva tri dijela dvostruke nejednakosti sa -4);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (dodato na tri dijela dvostruke nejednakosti 5);

Budući da je ova funkcija kontinuirana u cijeloj domeni definicije, skup njenih vrijednosti se nalazi između njene najmanje i najveće vrijednosti u cijeloj domeni definicije, ako postoji.

U ovom slučaju, skup vrijednosti funkcije $y = 5 - 4\sin(x)$ je skup .

Iz nejednačina $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ dobijamo procjenu $$\\ -6\leq y\ leq 6$ $

Za x = p i x = 0, funkcija uzima vrijednosti -6 i 6, tj. dostiže donju i gornju granicu. Kao linearna kombinacija neprekidnih funkcija cos(7x) i cos(x), funkcija y je kontinuirana duž cijele brojevne ose, pa prema svojstvu neprekidne funkcije uzima sve vrijednosti od -6 do 6 uključujući , i samo njih, pošto su zbog nejednakosti $- 6\leq y\leq 6$ druge vrijednosti za njega nemoguće.

Dakle, E(y) = [-6;6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Odgovor: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Transformirajmo izraz $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \desno)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)( 2)) \desno) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac( \pi) (4)) $$.

Definicija kosinusa implicira $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Pošto je ova funkcija kontinuirana u cijeloj domeni definicije, tada je skup njenih vrijednosti zatvoren između njene najmanje i najveće vrijednosti, ako postoji, skupa vrijednosti funkcije $y =\sqrt(2)\ cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ je skup $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Označimo $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, gdje je -∞≤t≤4. Dakle, problem se svodi na pronalaženje skupa vrijednosti funkcije $y = \log_(0,5)(t)$ na zraku (-∞;4). Budući da je funkcija $y = \log_(0,5)(t)$ definirana samo za t > 0, njen skup vrijednosti na zraku (-∞;4) poklapa se sa skupom vrijednosti funkcija na intervalu (0;4) koja predstavlja presjek zraka (-∞;4) sa domenom definicije (0;+∞) logaritamske funkcije. Na intervalu (0;4) ova funkcija je kontinuirana i opadajuća. Za t > 0 teži +∞, a za t = 4 poprima vrijednost -2, pa E(y) = (-2, +∞).

Koristimo tehniku ​​zasnovanu na grafičkom prikazu funkcije.

Nakon transformacije funkcije imamo: y 2 + x 2 = 25, i y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Treba podsjetiti da je $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ jednadžba kružnice polumjera r.

Pod ovim ograničenjima, grafik ove jednačine je gornji polukrug sa centrom u nultu i poluprečnik jednak 5. Očigledno je da je E(y) = .

Odgovor: E(y) = .

Reference

Raspon funkcija u KORISTITE zadatke, Minyuk Irina Borisovna

Savjeti za pronalaženje skupa vrijednosti funkcija, Belyaeva I., Fedorova S.

Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije

Kako rješavati zadatke iz matematike na prijemnim ispitima, I.I. Melnikov, I.N. Sergeev

Funkcija je model. Definirajmo X kao skup vrijednosti nezavisne varijable // nezavisna znači bilo koja.

Funkcija je pravilo po kojem se za svaku vrijednost nezavisne varijable iz skupa X može pronaći jedina vrijednost zavisne varijable. // tj. za svaki x postoji jedno y.

Iz definicije proizilazi da postoje dva pojma - nezavisna varijabla (koju označavamo sa x i može uzeti bilo koju vrijednost) i zavisna varijabla (koju označavamo sa y ili f (x) i ona se izračunava iz funkcije kada zamjenjujemo x).

NA PRIMJER y=5+x

1. Nezavisno je x, pa uzimamo bilo koju vrijednost, neka je x = 3

2. i sada izračunavamo y, tako da je y = 5 + x = 5 + 3 = 8. (y zavisi od x, jer ono što x zamenimo, dobijemo takvo y)

Kažemo da je varijabla y funkcionalno zavisna od varijable x i to se označava na sljedeći način: y = f (x).

NA PRIMJER.

1.y=1/x. (naziva se hiperbola)

2. y=x^2. (naziva se parabola)

3.y=3x+7. (naziva se prava linija)

4. y \u003d √ x. (naziva se grana parabole)

Nezavisna varijabla (koju označavamo sa x) naziva se argument funkcije.

Opseg funkcije

Skup svih vrijednosti koje argument funkcije uzima naziva se domenom funkcije i označava se sa D(f) ili D(y).

Uzmimo D(y) za 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) i (0;+∞) //cijeli skup realnih brojeva osim nule.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / svi mnogi realni brojevi

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / svi mnogi realni brojevi

4. D (y) \u003d)