Polinomi - Metodološki vodič. Zadaci za samostalno rješavanje

Definicija 3.3. monom naziva se izraz koji je proizvod brojeva, varijabli i potencija s prirodnim eksponentom.

Na primjer, svaki od izraza
,
je monom.

Kažu da monom ima standardni pogled , ako sadrži samo jedan numerički faktor na prvom mjestu, a svaki proizvod identičnih varijabli u njemu je predstavljen stepenom. Numerički faktor monoma napisanog u standardnom obliku naziva se monomski koeficijent . Stepen monoma je zbir eksponenata svih njegovih varijabli.

Definicija 3.4. polinom naziva se zbir monoma. Zovu se monomi koji čine polinomčlanovi polinoma .

Slični termini - monomi u polinomu - nazivaju se slični članovi polinoma .

Definicija 3.5. Polinom standardnog oblika naziva se polinom u kojem su svi pojmovi napisani u standardnom obliku i dati su slični pojmovi.Stepen polinoma standardnog oblika nazovite najveću moć njegovih monoma.

Na primjer, je polinom standardnog oblika četvrtog stepena.

Akcije na monome i polinome

Zbir i razlika polinoma mogu se pretvoriti u polinom standardnog oblika. Prilikom sabiranja dva polinoma zapisuju se svi njihovi pojmovi i daju se slični pojmovi. Prilikom oduzimanja, predznaci svih članova polinoma koji treba oduzeti su obrnuti.

Na primjer:

Članovi polinoma mogu se podijeliti u grupe i staviti u zagrade. Budući da je ovo identična transformacija inverzna proširenju zagrada, utvrđeno je sljedeće: pravilo zagrade: ako se ispred zagrada stavlja znak plus, tada se svi pojmovi u zagradama pišu sa njihovim znacima; ako se ispred zagrada stavi znak minus, tada se svi pojmovi u zagradi pišu sa suprotnim predznacima.

Na primjer,

Pravilo za množenje polinoma polinomom: da bi se polinom pomnožio polinomom, dovoljno je pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog polinoma i dodati rezultirajuće proizvode.

Na primjer,

Definicija 3.6. Polinom u jednoj varijabli stepen naziva se izrazom forme

Gdje
- sve brojeve koji se pozivaju polinomski koeficijenti , i
,je nenegativan cijeli broj.

Ako
, zatim koeficijent pozvao vodeći koeficijent polinoma
, monom
- njegov stariji član , koeficijent – besplatni član .

Ako umjesto varijable u polinom
zamijeniti realan broj , tada je rezultat pravi broj
, koji se zove polinomska vrijednost
at
.

Definicija 3.7. Broj pozvaopolinomski korijen
, Ako
.

Razmotrimo dijeljenje polinoma polinomom, gdje
I - cijeli brojevi. Dijeljenje je moguće ako je stepen djeljivog polinoma
ne manje od stepena djeliteljskog polinoma
, to je
.

Podijeli polinom
na polinom
,
, znači pronaći dva takva polinoma
I
, to

Istovremeno, polinom
stepen
pozvao količnik polinom ,
– ostatak ,
.

Napomena 3.2. Ako djelitelj
–nije nulti polinom, onda podjela
on
,
, uvijek je izvodljivo, a količnik i ostatak su jednoznačno određeni.

Napomena 3.3. U slučaju kada
za sve , to je

reci da je polinom
potpuno podijeljen(ili podijeliti)na polinom
.

Dijeljenje polinoma se izvodi slično kao i dijeljenje viševrijednih brojeva: prvo se stariji član djeljivog polinoma podijeli sa starijim članom djeliteljskog polinoma, zatim kvocijentom iz dijeljenja ovih članova, koji će biti stariji član kvocijentnog polinoma, množi se s djeliteljskim polinomom i rezultirajući proizvod se oduzima od djeljivog polinoma. Kao rezultat, dobije se polinom - prvi ostatak, koji se na isti način dijeli s djeliteljskim polinomom i nalazi se drugi član kvocijentnog polinoma. Ovaj proces se nastavlja sve dok se ne dobije nulti ostatak ili dok stepen polinoma ostatka nije manji od stepena polinoma djelitelja.

Kada dijelite polinom binomom, možete koristiti Hornerovu shemu.

Hornerova šema

Neka je potrebno podijeliti polinom

u binom
. Označite količnik dijeljenja kao polinom

a ostatak je . Značenje , koeficijenti polinoma
,
i ostatak pišemo u sljedećem obliku:

U ovoj shemi svaki od koeficijenata
,
,
, …,se dobija iz prethodnog broja donjeg reda množenjem sa brojem i dodavanjem dobijenom rezultatu odgovarajućeg broja gornje linije iznad željenog koeficijenta. Ako ima diplome je odsutan u polinomu, tada je odgovarajući koeficijent jednak nuli. Nakon što smo odredili koeficijente prema gornjoj shemi, zapisujemo količnik

i rezultat dijeljenja, ako
,

ili ,

Ako
,

Teorema 3.1. Da bi se dobio nesvodljivi razlomak (

,

)je bio korijen polinoma
kod cjelobrojnih koeficijenata potrebno je da broj je bio djelitelj slobodnog člana , i broj - djelitelj najvećeg koeficijenta .

Teorema 3.2. (Bezoutova teorema ) Ostatak od dijeljenja polinoma
u binom
jednaka vrijednosti polinoma
at
, to je
.

Prilikom dijeljenja polinoma
u binom
imamo jednakost

Istina je, posebno, za
, to je
.

Primjer 3.2. Podijeli po
.

Rješenje. Primijenimo Hornerovu shemu:

dakle,

Primjer 3.3. Podijeli po
.

Rješenje. Primijenimo Hornerovu shemu:

dakle,

,

Primjer 3.4. Podijeli po
.

Rješenje.

Kao rezultat, dobijamo

Primjer 3.5. Podijelite
on
.

Rješenje. Izvršimo podjelu polinoma po stupcu:

Onda dobijamo

.

Ponekad je korisno predstaviti polinom kao jednak proizvod dva ili više polinoma. Takva identična transformacija se zove faktoring polinoma . Razmotrimo glavne načine takve dekompozicije.

Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada. Da bi se polinom razložio na faktore vađenjem zajedničkog faktora iz zagrada, potrebno je:

1) pronaći zajednički faktor. Da bismo to učinili, ako su svi koeficijenti polinoma cijeli brojevi, najveći modulo zajednički djelitelj svih koeficijenata polinoma smatra se koeficijentom zajedničkog faktora, a svaka varijabla uključena u sve članove polinoma uzima se sa najveći eksponent koji ima u ovom polinomu;

2) naći količnik deljenja datog polinoma zajedničkim faktorom;

3) zapišite proizvod zajedničkog faktora i rezultujućeg količnika.

grupisanje članova. Prilikom razlaganja polinoma na faktore metodom grupisanja, njegovi članovi se dijele u dvije ili više grupa na način da se svaka od njih može pretvoriti u proizvod, a dobijeni proizvodi bi imali zajednički faktor. Nakon toga se primjenjuje metoda stavljanja u zagrade zajedničkog faktora novotransformisanih članova.

Primjena skraćenih formula za množenje. U slučajevima kada se polinom dekomponuje faktorizirana, ima oblik desne strane neke skraćene formule za množenje, njena faktorizacija se postiže korištenjem odgovarajuće formule zapisane drugim redoslijedom.

Neka

, onda je sledeće tačno. skraćene formule za množenje:

Za :
Ako neparan ( ):
Njutnov binom: Gdje - broj kombinacija By .

Uvođenje novih pomoćnih članova. Ova metoda se sastoji u činjenici da se polinom zamjenjuje drugim polinomom, identično jednakim njemu, ali koji sadrži različit broj članova, uvođenjem dva suprotna člana ili zamjenom bilo kojeg člana sa zbrojem sličnih monoma koji su mu identično jednaki. Zamjena se vrši na način da se metoda grupisanja pojmova može primijeniti na rezultirajući polinom.

Primjer 3.6..

Rješenje. Svi članovi polinoma sadrže zajednički faktor
. Stoga,.

odgovor: .

Primjer 3.7.

Rješenje. Posebno grupiramo pojmove koji sadrže koeficijent , i članovi koji sadrže . Stavljajući u zagrade uobičajene faktore grupa, dobijamo:

.

odgovor:
.

Primjer 3.8. Faktorizirajte polinom
.

Rješenje. Koristeći odgovarajuću skraćenu formulu za množenje, dobijamo:

odgovor: .

Primjer 3.9. Faktorizirajte polinom
.

Rješenje. Koristeći metodu grupisanja i odgovarajuću skraćenu formulu množenja, dobijamo:

.

odgovor: .

Primjer 3.10. Faktorizirajte polinom
.

Rješenje. Zamenimo on
, grupirati članove, primijeniti skraćene formule za množenje:

.

odgovor:
.

Primjer 3.11. Faktorizirajte polinom

Rješenje. jer ,
,
, To

Tema lekcije:

Polinomi u jednoj varijabli.

11. razred

Nastavnik matematike

Kazantseva M.V.

MBOU "Srednja škola br. 110"

Razmotrimo polinome:

2x 2 – 11x +12

– 14x 5 + 3x 2 – 6x+7

X 6 + 11

Ovi polinomi su zapisani u standardnom obliku.

Polinom standardnog oblika ne sadrži takve pojmove i piše se u opadajućem redoslijedu u odnosu na stepene njegovih članova.

P(x)=a P X P +a n–1 X n–1 +a n–2 X n–2 +

+… + a 2 X 2 + a 1 x + a 0

Gdje A 0 , A 1 , A 2 …. A P – neki brojevi i A P  0, str 

A P X P – stariji član polinoma

A P – koeficijent at senior

član

P – polinomski stepen

A 0 – slobodni član polinoma

P(x)=a P X P +a n–1 X n–1 +a n–2 X n–2 +

+… + a 2 X 2 + a 1 x + a 0

Ako

A P =1 ,

zatim polinom P (x) - smanjeno

primjer: x+3; X 5 +3x 2 -4

A P ≠1 ,

zatim polinom P (x) - nesmanjen

primjer: 2x 2 +x; -0,5x 7 +3x 3 -11

Teorema 1:

dva polinoma ( standardni pogled) identično su jednaki ako su im snage jednake i koeficijenti jednaki pri istim potencijama x.

Zadatak #1

Pronađite brojeve a i b ako su polinomi X 3 + 6x 2 + sjekira + b jednaka kocki binoma x + 2

Operacije nad polinomima:

1. Sabiranje i oduzimanje.

Prilikom sabiranja (oduzimanja) dva polinoma različitih stepena, dobija se polinom čiji je stepen jednak najvećem od dostupnih stepeni.

Zadatak #2

Nađi zbir polinoma

x+3 i -0,5x 5 +3x 2 -4

Operacije nad polinomima:

1. Sabiranje i oduzimanje.

Prilikom sabiranja (oduzimanja) dva polinoma istog stepena, dobija se polinom istog ili manjeg stepena.

Zadatak #3

Pronađite zbir i razliku polinomi

2x 3 +3x 2 -x i -2x 3 +3x-4

Operacije nad polinomima:

2. Umjetnička djela.

Ako polinom p(x) ima najviši stepen m, a polinom s(x) ima stepen n, tada je njihov proizvod p(x) ∙ s(x) ima stepen m + n.

Zadatak #4

Nađi komad polinomi

x+3 i -0,5x 5 +3x 2 -4

Operacije nad polinomima:

3. Eksponencijacija.

Ako se polinom p(x) stepena m podigne na stepen n, onda se dobija polinom stepena mn.

Zadatak #5

Povećaj polinom

-0,5x 5 +3x 2 -4 na kvadrat

Operacije nad polinomima:

4. Podjela polinoma je polinom.

Ako je polinom p(x) djeljiv nenultim polinomom s(x), ako postoji takav polinom q(x) da vrijedi identitet:

p(x) = s(x) q(x)

p(x) – djeljivo (ili višestruko)

s(x) - djelitelj

q(x) -količnik

Metoda podjele po kutu

Podijeli polinom 8x 2 +10x–3 na polinom 2x+3

2x+3

– 3

8x 2 +10x–3

–

8x 2 +12x

– 1

4x

– 2x

–

– 2x–3

0

Zadatak #6

Podijeli polinom 6x 3 +7x 2 – 6x +1 na polinom 3x -1

Zadatak #7

Podijeli polinom X 3 – 3x 2 + 5x - 15 na polinom x - 3

Zadatak #8

Podijeli polinom X 4 + 4 na polinom X 2 + 2x + 2

Lekcija na temu: "Pojam i definicija polinoma. Standardni oblik polinoma"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici "Integral" za 7. razred
Elektronski udžbenik o udžbeniku Yu.N. Makarychev
Elektronski udžbenik o udžbeniku Sh.A. Alimova

Ljudi, već ste proučavali monome u temi: Standardni oblik monoma. Definicije. Primjeri. Hajde da rezimiramo osnovne definicije.

Monomijalni- izraz koji se sastoji od proizvoda brojeva i varijabli. Varijable se mogu podići na prirodne moći. Monom ne sadrži nikakve druge operacije, osim množenja.

Standardni oblik monoma- takav oblik kada je koeficijent (numerički faktor) na prvom mjestu, a zatim stupnjevi raznih varijabli.

Slični monomi su ili identični monomi ili monomi koji se međusobno razlikuju po faktoru.

Koncept polinoma

Polinom, kao i monom, je generalizovani naziv za matematičke izraze određenog tipa. Već smo se ranije susreli sa takvim generalizacijama. Na primjer, "zbir", "proizvod", "eksponencijacija". Kada čujemo "razliku brojeva", pomisao na množenje ili dijeljenje ne pada nam ni na pamet. Takođe, polinom je izraz strogo definisanog oblika.

Polinomska definicija

Polinom je zbir monoma.

Zovu se monomi koji čine polinom članovi polinoma. Ako postoje dva člana, onda imamo posla sa binomom, ako postoje tri, onda sa trinomom. Ako se kaže više pojmova - polinom.

Primjeri polinoma.

1) 2ab + 4cd (binom);

2) 4ab + 3cd + 4x (trinom);

3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xy 3;

3c 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xy - 5xy 2 .

Pogledajmo pobliže posljednji izraz. Po definiciji, polinom je zbir monoma, ali u posljednjem primjeru ne samo da dodajemo, već i oduzimamo monome.
Da pojasnimo, pogledajmo mali primjer.

Hajde da napišemo izraz a + b - c(složimo se sa tim a ≥ 0, b ≥ 0 i c ≥ 0) i odgovori na pitanje: da li je to zbir ili razlika? Teško je reći.
Zaista, ako prepišemo izraz kao a + b + (-c), dobijamo zbir dva pozitivna i jednog negativnog člana.
Ako pogledate naš primjer, onda imamo posla upravo sa zbirom monoma sa koeficijentima: 3, - 2, 7, -5. U matematici postoji pojam "algebarski zbir". Dakle, definicija polinoma znači "algebarski zbir".

Ali zapis oblika 3a: b + 7 sa polinomom nije zato što 3a: b nije monom.
Oznaka 3b + 2a * (c 2 + d) takođe nije polinom, pošto 2a * (c 2 + d) nije monom. Ako otvorite zagrade, onda će rezultirajući izraz biti polinom.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.

Stepen polinoma je najviši stepen njenih članova.
Polinom a 3 b 2 + a 4 ima peti stepen, jer je stepen monoma a 3 b 2 2 + 3 \u003d 5, a stepen monoma a 4 je 4.

Standardni oblik polinoma

Polinom koji nema slične članove i koji je zapisan u opadajućem redosledu u odnosu na stepene članova polinoma je polinom standardnog oblika.

Polinom je doveden u standardni oblik kako bi se otklonila prekomjerna glomaznost pisanja i pojednostavile dalje radnje s njim.

Zaista, zašto, na primjer, pisati dug izraz 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4, kada se može napisati kraće od 9b 2 + 3a 2 + 8.

Da biste polinom doveli u standardni oblik, trebate:
1. sve svoje članove dovesti na standardni obrazac,
2. dodati slične (iste ili sa različitim numeričkim koeficijentom) pojmove. Ovaj postupak se često naziva donoseći slično.

Primjer.
Dovedite polinom aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 u standardni oblik.

Rješenje.

a 2 b + 2 x 5 y 2 + x 5 y 2 + 10a 2 b + 14 = 11a 2 b + 3 x 5 y 2 + 14.

Odredimo stepene monoma koji čine izraz i poredajmo ih u opadajućem redosledu.
11a 2 b ima treći stepen, 3 x 5 y 2 ima sedmi stepen, 14 ima nulti stepen.
Dakle, na prvo mjesto stavićemo 3 x 5 y 2 (7. stepen), na drugo - 12a 2 b (3. stepen) i na treće - 14 (nulti stepen).
Kao rezultat, dobijamo polinom standardnog oblika 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14.

Primjeri za samostalno rješavanje

Dovedite polinome u standardni oblik.

1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2 - 56 + ac + x 2 y + 50 * (2 a 2 b 3 - 4x 2 y + 7ac - 6);

2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5);

3) 4ax 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5ax 6 - 19bc - 6a);

4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).

Dopisna škola 7 razred. Zadatak broj 2.

Metodički priručnik br.2.

Teme:

Polinomi. Zbir, razlika i proizvod polinoma;

Rješavanje jednadžbi i zadataka;

Faktorizacija polinoma;

Formule za skraćeno množenje;

Zadaci za samostalno rješavanje.

Polinomi. Zbir, razlika i proizvod polinoma.

Definicija. polinom naziva se zbir monoma.

Definicija. Zovu se monomi koji čine polinom članovi polinoma.

Množenje monoma polinomom .

Da bi se monom pomnožio polinomom, potrebno je ovaj monom pomnožiti sa svakim članom polinoma i dodati dobijene proizvode.

Množenje polinoma polinomom .

Da bi se polinom pomnožio polinomom, potrebno je pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog polinoma i dodati rezultirajuće proizvode.

Primjeri rješavanja zadataka:

Pojednostavite izraz:

Rješenje.

Rješenje:

Pošto je, prema uslovu, koeficijent at onda bi trebalo da bude nula

Odgovori: -1.

Rješenje jednačina i zadataka.

Definicija . Jednakost koja sadrži varijablu se zove jedna promenljiva jednačina ili jednačina sa jednom nepoznatom.

Definicija . Korijen jednadžbe (rješenje jednadžbe) je vrijednost varijable pri kojoj jednačina postaje prava jednakost.

Rješavanje jednačine znači pronalaženje skupa korijena.

Definicija. Tipska jednadžba
, Gdje X varijabla, a I b - neki brojevi se nazivaju linearna jednačina sa jednom promenljivom.

Definicija.

Gomila korijeni linearne jednadžbe mogu:

Primjeri rješavanja problema:

Da li je dati broj 7 korijen jednadžbe:

Rješenje:

Dakle, x=7 je korijen jednadžbe.

Odgovori: Da.

Riješite jednačine:

Rješenje:
Odgovor: -12		Odgovor: -0,4

Od pristaništa je do grada krenuo čamac brzinom od 12 km/h, a nakon pola sata u ovom pravcu je krenuo i parobrod brzinom od 20 km/h. Kolika je udaljenost od pristaništa do grada ako je parobrod stigao u grad 1,5 sat ranije od broda?

Rješenje:

Neka je x udaljenost od luke do grada.

	Brzina (km/h)	Vrijeme (h)	put (km)
Čamac
parobrod

Prema stanju problema, čamac je proveo 2 sata više vremena od parobroda (pošto je parobrod napustio pristanište pola sata kasnije i stigao u grad 1,5 sat ranije od broda).

Napravimo i riješimo jednačinu:

60 km - udaljenost od pristaništa do grada.

Odgovor: 60 km.

Dužina pravokutnika se smanjuje za 4 cm i dobije se kvadrat čija je površina manja od površine pravokutnika za 12 cm². Pronađite površinu pravougaonika.

Rješenje:

Neka je x stranica pravougaonika.

	Dužina	Širina	Square
Pravougaonik			x(x-4)
Square			(x-4)(x-4)

Prema uslovu zadatka, površina kvadrata je manja od površine pravougaonika za 12 cm².

Napravimo i riješimo jednačinu:

7 cm je dužina pravougaonika.

(cm²) je površina pravougaonika.

Odgovor: 21 cm².

Turisti su tri dana prošli planiranom rutom. Prvog dana prešli su 35% planirane rute, drugog - 3 km više nego prvog, a trećeg - preostalih 21 km. Kolika je dužina rute?

Rješenje:

Neka je x dužina cijele rute.

	1 dan	2 dan	3 dan
Dužina puta		0,35x+3
Ukupna dužina puta je x km.

Dakle, sastavljamo i rješavamo jednačinu:

0,35x+0,35x+21=x

0,7x+21=x

0,3x=21

70 km dužine cijele rute.

Odgovor: 70 km.

Faktorizacija polinoma.

Definicija . Predstavljanje polinoma kao proizvoda dva ili više polinoma naziva se faktorizacija.

Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada .

Primjer :

Metoda grupisanja .

Grupisanje se mora izvršiti tako da svaka grupa ima zajednički faktor, osim toga, nakon što se zajednički faktor izvuče iz zagrada u svakoj grupi, rezultirajući izrazi moraju imati i zajednički faktor.

Primjer :

Skraćene formule za množenje.

Umnožak razlike dva izraza i njihovog zbira jednak je razlici kvadrata ovih izraza.

Kvadrat zbira dva izraza jednak je kvadratu prvog izraza, plus dvostruki proizvod prvog i drugog izraza, plus kvadrat drugog izraza. rješenja. 1. Pronađite ostatak prilikom dijeljenja polinom x6 - 4x4 + x3 ... nema odluke, A odluke drugi su parovi (1; 2) i (2; 1). Odgovor: (1; 2) , (2; 1). Zadaci Za nezavisni rješenja. Reši sistem...

• Uzorni nastavni plan i program iz algebre i počeci analize za 10-11 razred (profilni nivo) Objašnjenje

  Program

  Svaki paragraf daje traženi broj zadataka Za nezavisni rješenja po rastućoj složenosti. ... algoritam dekompozicije polinom u potencijama binoma; polinomi sa kompleksnim koeficijentima; polinomi sa pravim...

• Izborni predmet „Rješavanje nestandardnih zadataka. 9 razred „Završio nastavnik matematike

  izborni predmet

  Jednačina je ekvivalentna jednačini R(h) = Q(X), gdje su R(h) i Q(x) neki polinomi sa jednom varijablom x. Pomeranje Q(x) na lijevu stranu... = . ODGOVOR: x1=2, x2=-3, xs=, x4=. ZADACI ZA NEZAVISNA SOLUTIONS. Riješite sljedeće jednačine: x4 - 8x...

• Izborni program iz matematike za 8. razred

  Program

  Teorema algebre, Vieta teorema Za kvadratni trinom i Za polinom proizvoljan stepen, racionalna teorema... stvari. Ne samo da je lista zadataka Za nezavisni rješenja, ali i zadatak da se napravi zamašni model...