Okomite ravni je znak okomitosti dvije ravni. Stereometrija
Definicija. Diedarski ugao je lik formiran od prave a i dvije poluravnine sa zajedničkom granicom a, a ne pripada istoj ravni.
Definicija. Mera stepena diedarskog ugla je stepenska mera bilo kog njegovog linearnog ugla.
Definicija. Za dvije ravnine koje se seku kažu da su okomite ako je ugao između njih 90o.
Znak okomitosti dvije ravni.
Svojstva.
- U kvadru, svih šest lica su pravokutnici.
- Svi diedarski uglovi kvadra su pravi uglovi
- Kvadrat dijagonale pravokutnog paralelepipeda jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije.
Zadaci i testovi na temu "Tema 7. "Dihedralni ugao. Okomitost ravni"."
- Diedarski ugao. Okomitost ravni
- Okomitost prave i ravni - Okomitost pravih i ravni 10 klasa
Lekcije: 1 zadataka: 10 kvizova: 1
- Okomito i koso. Ugao između prave i ravni - Okomitost pravih i ravni 10 klasa
Lekcije: 2 Zadaci: 10 Testovi: 1
- Paralelizam ravni - Paralelnost pravih i ravni 10. razred
Lekcije: 1 Zadaci: 8 Testovi: 1
- Okomite linije - Osnovne geometrijske informacije 7. razred
Lekcije: 1 Zadaci: 17 Testovi: 1
Materijal teme sažima i sistematizira informacije o okomitosti linija koje su vam poznate iz planimetrije. Preporučljivo je kombinovati proučavanje teorema o odnosu paralelizma i okomitosti pravih i ravni u prostoru, kao i gradivo o okomici i kosi, sa sistematskim ponavljanjem relevantnog materijala iz planimetrije.
Rješenja gotovo svih računskih problema svode se na primjenu Pitagorine teoreme i njenih posljedica. U mnogim problemima, mogućnost primjene Pitagorine teoreme ili njenih posljedica opravdava se teoremom o tri okomice ili svojstvima paralelizma i okomitosti ravnina.
Ova lekcija će pomoći onima koji žele da steknu ideju o temi "Znak okomitosti dvije ravni". Na početku ćemo ponoviti definiciju diedarskog i linearnog ugla. Zatim ćemo razmotriti koje se ravnine nazivaju okomite, te ćemo dokazati kriterij za okomitost dvije ravni.
Tema: Okomitost pravih i ravni
Lekcija: Znak okomitosti dvije ravni
Definicija. Diedarski ugao je figura koju čine dvije poluravnine koje ne pripadaju istoj ravni, a njihova zajednička prava linija a (a je ivica).
Rice. jedan
Razmotrimo dvije poluravnine α i β (slika 1). Njihova zajednička granica je l. Ova figura se naziva diedralni ugao. Dve ravni koje se seku formiraju četiri dvodelna ugla sa zajedničkom ivicom.
Diedarski ugao se mjeri njegovim linearnim uglom. Biramo proizvoljnu tačku na zajedničkoj ivici l diedralnog ugla. U poluravni α i β iz ove tačke povučemo okomice a i b na pravu l i dobijemo linearni ugao diedračnog ugla.
Prave a i b formiraju četiri ugla jednaka φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Podsjetimo da se najmanji od ovih uglova naziva ugao između pravih.
Definicija. Ugao između ravnina je najmanji od diedarskih uglova koje formiraju ove ravni. φ - ugao između ravnina α i β, ako
Definicija. Dvije ravnine koje se sijeku nazivaju se okomite (međusobno okomite) ako je ugao između njih 90°.
Rice. 2
Na rubu l bira se proizvoljna tačka M (slika 2). Povucimo dvije okomite prave MA = a i MB = b na ivicu l u ravni α, odnosno u ravni β. Dobili smo ugao AMB. Ugao AMB je linearni ugao diedralnog ugla. Ako je ugao AMB 90°, tada se za ravnine α i β kaže da su okomite.
Prava b je po konstrukciji okomita na pravu l. Prava b je okomita na pravu a, jer je ugao između ravnina α i β 90°. Dobijamo da je prava b okomita na dvije prave a i l koje se sijeku iz ravni α. Dakle, prava b je okomita na ravan α.
Slično, može se dokazati da je prava a okomita na ravan β. Prava a je po konstrukciji okomita na pravu l. Prava a je okomita na pravu b, jer je ugao između ravnina α i β 90°. Dobijamo da je prava a okomita na dvije prave b i l koje se seku iz ravni β. Dakle, prava a je okomita na ravan β.
Ako jedna od dvije ravni prolazi kroz pravu okomitu na drugu ravan, tada su te ravni okomite.
dokazati:
Rice. 3
dokaz:
Neka se ravni α i β sijeku duž prave AC (slika 3). Da biste dokazali da su ravnine međusobno okomite, potrebno je konstruirati linearni ugao između njih i pokazati da je taj kut jednak 90 °.
Prava AB je po uslovu okomita na ravan β, a time i na pravu AC koja leži u ravni β.
Nacrtajmo pravu AD okomitu na pravu AC u ravni β. Tada je BAD linearni ugao diedralnog ugla.
Prava AB je okomita na ravan β, a time i na pravu AD koja leži u ravni β. Dakle, linearni ugao BAD je 90°. Dakle, ravni α i β su okomite, što je i trebalo dokazati.
Ravan okomita na pravu duž koje se seku dve date ravni je okomita na svaku od ovih ravni (slika 4).
dokazati:
Rice. četiri
dokaz:
Prava l je okomita na ravan γ, a ravan α prolazi kroz pravu l. Dakle, po kriterijumu okomitosti ravni, ravni α i γ su okomite.
Prava l je okomita na ravan γ, a ravan β prolazi kroz pravu l. Dakle, po znaku okomitosti ravni, ravni β i γ su okomite.
TEKST OBJAŠNJENJE ČASA:
Ideja o avionu u prostoru omogućava vam da dobijete, na primjer, površinu stola ili zida. Međutim, stol ili zid imaju konačne dimenzije, a ravan se proteže izvan njihovih granica do beskonačnosti.
Razmotrimo dvije ravnine koje se ukrštaju. Kada se sijeku, formiraju četiri diedarska ugla sa zajedničkim rubom.
Prisjetimo se šta je diedarski ugao.
U stvarnosti susrećemo objekte koji imaju oblik diedarskog ugla: na primjer, otvorena vrata ili poluotvoreni folder.
Na preseku dve ravni alfa i beta dobijamo četiri diedralna ugla. Neka je jedan od diedarskih uglova jednak (phi), onda je drugi jednak (1800 -), treći, četvrti (1800-).
Razmotrimo slučaj kada je jedan od uglova diedara jednak 900.
Tada su svi diedralni uglovi u ovom slučaju jednaki 900.
Hajde da uvedemo definiciju okomitih ravni:
Za dvije ravni se kaže da su okomite ako je diedarski ugao između njih 90°.
Ugao između sigma i epsilon ravni je 90 stepeni, što znači da su ravni okomite
Navedimo primjere okomitih ravnina.
Zid i plafon.
Bočni zid i ploča stola.
Formulirajmo znak okomitosti dvije ravni:
TEOREMA: Ako jedna od dvije ravni prolazi kroz pravu okomitu na drugu ravan, tada su ove ravni okomite.
Dokažimo ovu osobinu.
Pod uslovom je poznato da prava AM leži u ravni α, prava AM je okomita na ravan β,
Dokažite: ravni α i β su okomite.
dokaz:
1) Ravnine α i β seku se duž prave AR, dok je AM AR, pošto je AM β po uslovu, odnosno AM okomita na bilo koju pravu koja leži u ravni β.
2) Nacrtajmo pravu AT okomitu na AP u ravni β.
Dobijamo ugao TAM - linearni ugao diedralnog ugla. Ali ugao TAM = 90°, pošto MA β. Dakle, α β.
Q.E.D.
Iz znaka okomitosti dvije ravni imamo važnu posljedicu:
POSLEDICA: Ravan okomita na pravu duž koje se seku dve ravni je okomita na svaku od ovih ravni.
To jest: ako je α∩β=s i γ s, onda γ α i γ β.
Dokažimo ovu posljedicu: ako je gama ravan okomita na pravu c, onda je prema znaku paralelizma dvije ravni gama okomita na alfa. Slično, gama je okomita na beta.
Preformulirajmo ovaj zaključak za diedarski ugao:
Ravan koja prolazi kroz linearni ugao diedarskog ugla je okomita na ivicu i površine ovog diedarskog ugla. Drugim riječima, ako smo konstruirali linearni ugao diedarskog ugla, tada je ravan koja prolazi kroz njega okomita na ivicu i površine ovog diedralnog ugla.
Dato je: ΔABC, C = 90°, AC leži u ravni α, ugao između ravnina α i ABC = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Pronađite: udaljenost od tačke B do ravni α.
1) Konstruirajmo VC α. Tada je CS projekcija BC na ovu ravan.
2) BC AS (prema uslovu), dakle, po teoremi o tri okomice (TTP), CS AS. Dakle, VSK je linearni ugao diedarskog ugla između ravni α i ravni trougla ABC. To jest, WSC = 60°.
3) Iz ΔBCA prema Pitagorinoj teoremi:
Odgovor VK jednak je 6 korijena od tri cm
Praktična upotreba (primijenjenog karaktera) okomitosti dvije ravni.
Okomitost u prostoru može imati:
1. Dvije ravne linije
3. Dva aviona
Razmotrimo redom ova tri slučaja: sve definicije i izjave teorema koje se odnose na njih. A zatim ćemo raspravljati o vrlo važnoj teoremi o tri okomice.
Okomitost dvije prave.
definicija:
Možete reći: i meni su otvorili Ameriku! Ali zapamtite da u svemiru sve nije isto kao u avionu.
Na ravni samo takve prave (seku) mogu biti okomite:
Ali okomitost u prostoru dvije prave može biti čak i ako se ne sijeku. pogledajte:
prava je okomita na pravu, iako je ne siječe. Kako to? Podsjećamo na definiciju ugla između linija: da biste pronašli ugao između linija koje se sijeku i, trebate povući liniju kroz proizvoljnu tačku na pravoj a. I tada će ugao između i (po definiciji!) biti jednak kutu između i.
Zapamtite? Pa, u našem slučaju, ako se ispostavi da su linije i okomite, onda se linije i trebaju smatrati okomitim.
Da budemo potpuno jasni, pogledajmo primjer. Neka bude kocka. Od vas se traži da pronađete ugao između linija i. Ove prave se ne seku - one se seku. Da biste pronašli ugao između i, nacrtajte.
Zbog činjenice da je - paralelogram (pa čak i pravougaonik!), Ispada da. A zbog činjenice da je - kvadrat, ispada da je tako. Pa, to znači.
Okomitost prave i ravni.
definicija:
evo slike:
prava je okomita na ravan ako je okomita na sve-sve prave u ovoj ravni: i, i, i, pa i! I milijardu drugih linija!
Da, ali kako onda općenito možete provjeriti okomitost u pravoj liniji i ravni? Dakle, život nije dovoljan! Ali, na našu sreću, matematičari su nas spasili od noćne more beskonačnosti tako što su izmislili znak okomitosti prave i ravni.
Formuliramo:
Provjerite kako je odlično:
ako postoje samo dvije prave (u) u ravnini na koju je prava okomita, tada će se ta prava odmah pokazati okomitom na ravninu, odnosno na sve prave u ovoj ravni (uključujući i neku pravu koja stoji sa strane ). Ovo je veoma važna teorema, pa ćemo i njeno značenje nacrtati u obliku dijagrama.
I pogledajmo ponovo primjer.
Neka nam je dat pravilan tetraedar.
Zadatak: to dokazati. Reći ćete: ovo su dvije prave! Kakve veze ima okomitost prave i ravni s tim?!
ali pogledaj:
označimo sredinu ivice i nacrtajmo i. Ovo su medijane u i. Trouglovi su pravilni i.
Evo ga, čudo: ispostavilo se da je isto tako. I dalje, na sve prave linije u ravni, i stoga, i. Dokazano. A najvažnija stvar bila je upravo upotreba znaka okomitosti prave i ravni.
Kada su ravnine okomite
definicija:
Odnosno (za više detalja pogledajte temu "diedarski ugao"), dvije ravni(e) su okomite ako se ispostavi da je ugao između dvije okomice(e) na liniju presjeka ovih ravni jednak. I postoji teorema koja povezuje pojam okomitih ravni sa konceptom okomitosti u prostoru prave i ravni.
Ova teorema se zove
Kriterijum okomitosti ravnina.
Hajde da formulišemo:
Kao i uvijek, dekodiranje riječi "tada i samo tada" izgleda ovako:
- Ako, onda prolazi kroz okomitu na.
- Ako prolazi kroz okomicu na, onda.
(naravno, ovdje su i avioni).
Ova teorema je jedna od najvažnijih u stereometriji, ali, nažalost, jedna od najtežih za primjenu.
Zato morate biti veoma oprezni!
Dakle, formulacija je:
I opet, dešifrovanje reči "tada i samo tada". Teorema kaže dvije stvari odjednom (pogledajte sliku):
Pokušajmo primijeniti ovu teoremu da riješimo problem.
Zadatak: data je pravilna heksagonalna piramida. Pronađite ugao između linija i.
Rješenje:
Zbog činjenice da u pravilnoj piramidi vrh tokom projekcije pada u centar baze, ispada da je linija projekcija prave.
Ali to znamo u pravilnom šesterokutu. Primjenjujemo teoremu o tri okomite:
I napiši odgovor:
PERENDIKULARNOST PRAVA U PROSTORU. UKRATKO O GLAVNOM
Okomitost dvije prave.
Dvije prave u prostoru su okomite ako je ugao između njih.
Okomitost prave i ravni.
Prava je okomita na ravan ako je okomita na sve prave u toj ravni.
Okomitost ravni.
Ravnine su okomite ako je diedarski ugao između njih jednak.
Kriterijum okomitosti ravnina.
Dvije ravni su okomite ako i samo ako jedna od njih prolazi okomicom na drugu ravan.
Teorema o tri okomice:
Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, onda ste veoma cool.
Jer samo 5% ljudi je sposobno nešto samostalno savladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!
Sada najvažnija stvar.
Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.
Problem je što ovo možda nije dovoljno...
Za što?
Za uspješan položen ispit, za upis na institut na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.
Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...
Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.
Ali to nije glavna stvar.
Glavno je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...
Ali razmislite sami...
Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na ispitu i na kraju biti ... sretniji?
NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.
Na ispitu vas neće tražiti teorija.
Trebaće ti rješavajte probleme na vrijeme.
A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.
To je kao u sportu - morate ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.
Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno sa rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!
Možete koristiti naše zadatke (nije neophodno) i svakako ih preporučujemo.
Da biste nam pomogli uz pomoć naših zadataka, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.
Kako? Postoje dvije opcije:
- Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku -
- Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - Kupite udžbenik - 899 rubalja
Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se otvoriti odmah.
Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za cijeli vijek trajanja stranice.
U zakljucku...
Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati sa teorijom.
“Razumijem” i “Znam kako riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.
Pronađite probleme i riješite ih!
Ako jedna od dvije ravni prolazi kroz pravu pravu okomitu na drugu ravninu, tada su date ravni okomite () (Sl. 28)
α - ravan, in je prava prava okomita na nju, β je ravan koja prolazi kroz pravu liniju in, i With je prava linija duž koje se sijeku ravni α i β.
Posljedica. Ako je ravan okomita na liniju presjeka dvije date ravni, onda je ona okomita na svaku od ovih ravnina
Zadatak 1. Dokažite da je kroz bilo koju tačku prave u prostoru moguće povući dvije različite prave okomite na nju.
dokaz:
Prema aksiomu I postoji tačka koja nije na liniji a. Prema teoremi 2.1 kroz tačku AT i direktno a ravan α se može nacrtati. (Sl. 29) Prema teoremi 2.3 kroz tačku ALI u ravni α može se povući prava linija a. Prema aksiomu C 1, postoji tačka OD, koji ne pripada α. Po teoremi 15.1 kroz tačku OD i direktno a ravan β se može nacrtati. U ravni β, prema teoremi 2.3, kroz tačku a može se povući prava sa a. Prave u i c po konstrukciji imaju samo jednu zajedničku tačku ALI i obe su okomite
Zadatak 2. Gornji krajevi dva okomito stojeća stuba, razmaknuti na udaljenosti od 3,4 m, povezani su prečkom. Visina jednog stuba je 5,8 m, a drugog 3,9 m. Nađite dužinu prečke.
AC= 5,8m, BD= 3,9 m, AB- ? (sl.30)
AE = AC - CE = AC - BD= 5,8 - 3,9 = 1,9 (m)
Po Pitagorinoj teoremi iz ∆ AEB dobijamo:
AB 2 = AE 2 + EB 2 = AE 2 + CD 2 \u003d ( 1,9) 2 + (3,4) 2 \u003d 15,17 (m 2)
AB== 3,9 (m)
Zadaci
Target. Naučite analizirati u najjednostavnijim slučajevima međusobnog dogovora objekata u prostoru, koristiti planimetrijske činjenice i metode pri rješavanju stereometrijskih problema.
1. Dokaži da je kroz bilo koju tačku prave u prostoru moguće povući pravu okomitu na nju.
2. Prave AB, AC i AD su po paru okomite. Pronađite segment SD ako:
1) AB = 3cm , ned= 7cm, AD= 1,5 cm;
2) VD= 9 cm, AD= 5cm, sunce= 16cm;
3) AB = c, BC = a, AD = d;
4) BD = c, BC = a, AD = d
3. Tačka A je na udaljenosti a iz vrhova jednakostraničnog trougla sa stranicom a. Pronađite udaljenost od tačke A do ravni trougla.
4. Dokažite da ako je prava paralelna s ravninom, onda su sve njene tačke na istoj udaljenosti od ravni.
5. Telefonska žica dužine 15 m se proteže od telefonskog stuba, gdje je pričvršćena na visini od 8 m od zemlje, do kuće, gdje je pričvršćena na visini od 20 m. Nađite razmak između kuće i stub, pod pretpostavkom da žica ne visi.
6. Od tačke do ravni povučene su dvije nagnute, jednake 10 cm i 17 cm.Razlika u projekcijama ovih kosih je 9 cm.Nađi projekcije kosih.
7. Iz tačke u ravan povučene su dvije kose prave, od kojih je jedna 26 cm veća od druge. Projekcije kosih su 12 cm i 40 cm. Pronađite kosih.
8. Dvije nagnute prave se povlače iz tačke u ravan. Odredite dužine kosih kostiju ako su u omjeru 1:2, a projekcije kosih su 1 cm i 7 cm.
9. Iz tačke u ravan povučene su dvije nagnute prave, jednake 23 cm i 33 cm.
udaljenost od ove tačke do ravni, ako su projekcije kosog omjera 2:3.
10. Odrediti rastojanje od sredine segmenta AB do ravni koja ne seče ovaj segment, ako je rastojanje od tačaka a i B do ravni: 1) 3,2 cm i 5,3 cm, 7,4 cm i 6,1 cm; 3) a i c.
11. Riješite prethodni zadatak, pod uslovom da segment AB siječe ravan.
12. Odsječak dužine 1 m siječe ravan, njegovi krajevi su udaljeni od ravni na udaljenosti od 0,5 m i 0,3 m. Odrediti dužinu projekcije segmenta na ravan..
13. Iz tačaka A i B okomite se spuštaju na ravan. Nađite rastojanje između tačaka A i B, ako su okomite 3 m i 2 m, razmak između njihovih osnova je 2,4 m, a odsječak AB ne siječe ravan.
14. Iz tačaka A i B, koje leže u dvije okomite ravni, okomite AC i BD se spuštaju na liniju presjeka ravnina. Odrediti dužinu segmenta AB ako je: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 m, BD = 4 m, CD = 12 m; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.
15. Iz vrhova A i B jednakostraničnog trougla ABC podignute su okomite AA 1 i BB 1 na ravan trougla. Pronađite udaljenost od vrha C do sredine segmenta A 1 B 1 ako AB = 2 m, CA 1 = 3 m, CB 1 = 7 m i segment A 1 B 1 ne siječe ravninu trougao
16. Iz vrhova A i B oštrih uglova pravouglog trougla ABC podignute su okomite AA 1 i BB 1 na ravan trougla. Pronađite udaljenost od vrha C do sredine segmenta A 1 B 1 ako je A 1 C = 4 m, AA 1 = 3 m, CB 1 = 6 m, BB 1 = 2 m i segment A 1 B 1 ne seče ravan trougla.
