Prava a siječe jednu od dvije prave koje se seku. Vrste linija

prave l1 i l2 nazivaju se ukrštanjem ako ne leže u istoj ravni. Neka su a i b vektori pravca ovih pravih, a tačke M1 i M2 pripadaju pravima i l1 i l2

Tada vektori a, b, M1M2> nisu koplanarni, pa stoga njihov mješoviti proizvod nije jednak nuli, tj. (a, b, M1M2>) =/= 0. Vrijedi i obrnuto: ako (a, b, M1M2> ) =/= 0, tada vektori a, b, M1M2> nisu komplanarni i, prema tome, prave l1 i l2 ne leže u istoj ravni, odnosno sijeku se. Dakle, dvije prave se sijeku ako i samo ako je uslov (a, b, M1M2>) =/= 0, gde su a i b vektori pravca, a M1 i M2 tačke koje pripadaju datim linijama. Uslov (a, b, M1M2>) = 0 je neophodan i dovoljan uslov da prave leže u istoj ravni. Ako su linije date njihovim kanonskim jednadžbama

tada je a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) i uslov (2) se zapisuje na sljedeći način:

Udaljenost između linija koje se seku

ovo je rastojanje između jedne od kosih linija i ravni paralelne s njom koja prolazi kroz drugu pravu. Udaljenost između kosih linija je rastojanje od neke tačke jedne od kosih linija do ravni koja prolazi kroz drugu pravu paralelnu sa prvi red.

26. Definicija elipse, kanonska jednadžba. Derivacija kanonske jednadžbe. Svojstva.

Elipsa je lokus tačaka u ravni za koji je zbir udaljenosti do dvije fokusirane tačke F1 i F2 ove ravni, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost.Ovo ne isključuje podudarnost žarišta elipse. sistem takav da će elipsa biti opisana jednadžbom (kanonska jednačina elipse):

On opisuje elipsu sa središtem u nultu, čije se ose poklapaju sa koordinatnim osa.

Ako se na desnoj strani nalazi jedinica sa predznakom minus, onda je rezultirajuća jednadžba:

opisuje imaginarnu elipsu. Takvu elipsu je nemoguće prikazati u realnoj ravni. Označimo žarišta kao F1 i F2, a udaljenost između njih kao 2c, a zbir udaljenosti od proizvoljne tačke elipse do žarišta kao 2a

Za izvođenje jednačine elipse biramo koordinatni sistem Oxy tako da fokusi F1 i F2 leže na osi Ox, a početak koordinata se poklapa sa sredinom segmenta F1F2. Tada će žarišta imati sljedeće koordinate: u Neka je M(x; y) proizvoljna tačka elipse. Tada, prema definiciji elipse, tj.

Ovo je, u stvari, jednačina elipse.

27. Definicija hiperbole, kanonska jednadžba. Derivacija kanonske jednadžbe. Svojstva

Hiperbola je lokus tačaka u ravni za koji je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti do dvije fiksne tačke F1 i F2 ove ravni, koje se nazivaju fokusi, konstanta. Neka je M(x;y) proizvoljna tačka hiperbole. Tada prema definiciji hiperbole |MF 1 – MF 2 |=2a ili MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Definicija parabole, kanonska jednadžba. Derivacija kanonske jednadžbe. Svojstva. Parabola je GMT ravni za koju je udaljenost do neke fiksne tačke F ove ravni jednaka udaljenosti do neke fiksne prave linije, koja se također nalazi u ravni koja se razmatra. F je fokus parabole; fiksna ravna linija je direktrisa parabole. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2 ; x 2 -xp + p 2 / 4 + y 2 \u003d x 2 + px + p 2 / 4; y 2 =2px;

Svojstva: 1. Parabola ima os simetrije (osa parabole); 2.Sve

parabola se nalazi u desnoj poluravni Oxy ravni na p>0, au lijevoj

ako str<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

Ako dvije prave u prostoru imaju zajedničku tačku, onda se kaže da se ove dvije prave seku. Na sledećoj slici, prave a i b seku se u tački A. Prave a i c se ne seku.

Bilo koje dvije prave ili imaju samo jednu zajedničku tačku, ili nemaju zajedničke tačke.

Paralelne linije

Dvije prave u prostoru nazivaju se paralelnim ako leže u istoj ravni i ne sijeku se. Za označavanje paralelnih linija koristite posebnu ikonu - ||.

Oznaka a||b znači da je prava a paralelna pravoj b. Na gornjoj slici, prave a i c su paralelne.

Teorema paralelne prave

Kroz bilo koju tačku u prostoru koja ne leži na datoj pravoj, prolazi prava paralelna datoj pravoj i, štaviše, samo jedna.

Ukrštene linije

Dvije prave koje leže u istoj ravni mogu se ili seći ili biti paralelne. Ali u prostoru, dvije prave ne moraju pripadati istoj ravni. Mogu se nalaziti u dvije različite ravnine.

Očigledno je da se prave koje se nalaze u različitim ravnima ne sijeku i nisu paralelne. Zovu se dvije prave koje ne leže u istoj ravni ukrštanje linija.

Sljedeća slika prikazuje dvije linije a i b koje se ukrštaju koje leže u različitim ravnima.

Znak i teorema kosih linija

Ako jedna od dvije prave leži u određenoj ravni, a druga siječe ovu ravan u tački koja ne leži na prvoj liniji, tada su ove prave nagnute.

Teorema ukrštanja linija: kroz svaku od dvije prave koje se ukrštaju prolazi ravan paralelna s drugom pravom, i osim toga, samo jedna.

Dakle, razmotrili smo sve moguće slučajeve međusobnog rasporeda linija u prostoru. Ima ih samo tri.

1. Prave se sijeku. (To jest, imaju samo jednu zajedničku tačku.)

2. Prave su paralelne. (To jest, nemaju zajedničke tačke i leže u istoj ravni.)

3. Prave se seku. (Odnosno, nalaze se u različitim ravnima.)

Teorema. Ako jedna prava leži u datoj ravni, a druga siječe ovu ravan u tački koja ne pripada prvoj liniji, tada se ove dvije prave sijeku. Znak linija koje se seku Dokaz. Neka prava a leži u ravni, a prava b siječe ravan u tački B koja ne pripada pravoj a. Ako prave a i b leže u istoj ravni, tada bi u ovoj ravni ležala i tačka B. Pošto kroz pravu prolazi samo jedna ravan i tačka van ove prave, ova ravan mora biti ravan. Ali tada bi prava b ležala u ravni, što je u suprotnosti sa uslovom. Dakle, prave a i b ne leže u istoj ravni, tj. križanje.

Koliko ima parova kosih linija koje sadrže ivice pravilne trouglaste prizme? Rješenje: Za svaku osnovnu ivicu postoje tri ivice koje se s njom seku. Za svaku bočnu ivicu postoje dvije ivice koje se s njom seku. Dakle, željeni broj parova kosih linija je vježba 5

Koliko ima parova kosih linija koje sadrže ivice pravilne šestougaone prizme? Rješenje: Svaki osnovni rub učestvuje u 8 parova linija koje se seku. Svaka bočna ivica učestvuje u 8 parova linija koje se seku. Dakle, željeni broj parova kosih linija je vježba 6

Predavanje: Presječne, paralelne i nagnute linije; okomitost linija

linije koje se seku

Ako na ravni ima nekoliko pravih linija, tada će se prije ili kasnije presjeći proizvoljno, ili pod pravim uglom, ili će biti paralelne. Pogledajmo svaki slučaj.

Prave koje se seku su one prave koje imaju barem jednu tačku preseka.

Možete pitati zašto barem jedna prava ne može dva ili tri puta preseći drugu pravu. Upravu si! Ali linije se mogu potpuno poklapati jedna s drugom. U ovom slučaju, postojaće beskonačan broj zajedničkih tačaka.

Paralelizam

Paralelno mogu se imenovati one prave koje se nikada neće ukrštati, čak ni u beskonačnosti.

Drugim riječima, paralelne su one koje nemaju jednu zajedničku tačku. Imajte na umu da ova definicija vrijedi samo ako su prave u istoj ravni, ali ako nemaju zajedničke tačke, nalaze se u različitim ravnima, onda se smatraju da se sijeku.

Primjeri paralelnih linija u životu: dvije suprotne ivice ekrana monitora, linije u bilježnicama, kao i mnogi drugi dijelovi stvari koje imaju kvadratne, pravokutne i druge oblike.

Kada žele da pokažu pismeno da je jedna prava paralelna sa drugom, onda se koristi sledeća notacija a||b. Ova notacija kaže da je prava a paralelna pravoj b.

Prilikom proučavanja ove teme važno je razumjeti još jednu tvrdnju: kroz neku tačku na ravni koja ne pripada datoj pravoj može se povući jedna paralelna prava. Ali obratite pažnju, opet je korekcija na nivou. Ako uzmemo u obzir trodimenzionalni prostor, onda je moguće nacrtati beskonačan broj linija koje se neće sjeći, ali će se sijeći.

Gore opisana izjava se zove aksiom paralelnih pravih.

Perpendikularnost

Direktne linije se mogu pozvati samo ako okomito ako se seku pod uglom od 90 stepeni.

U prostoru, kroz određenu tačku na pravoj, može se povući beskonačan broj okomitih linija. Međutim, ako govorimo o ravni, onda se kroz jednu tačku na pravoj može povući jedna okomita linija.

Ukrštene linije. Secant

Ako se neke prave seku u nekoj tački pod proizvoljnim uglom, mogu se nazvati ukrštanje.

Sve nagnute linije imaju okomite i susjedne uglove.

Ako uglovi koji formiraju dvije prave koje se sijeku imaju jednu zajedničku stranu, onda se nazivaju susjedni:

Susjedni uglovi iznose 180 stepeni.