Razmotrite poligon na koje oblike je podijeljen. pravilan poligon

Šta je poligon? Vrste poligona. POLIGON, ravna geometrijska figura sa tri ili više strana koje se seku u tri ili više tačaka (vrhova). Definicija. Poligon je geometrijska figura omeđena sa svih strana zatvorenom isprekidanom linijom, koja se sastoji od tri ili više segmenata (linka). Trougao je definitivno mnogougao. Poligon je figura koja ima pet ili više uglova.

Definicija. Četvorougao je ravna geometrijska figura koja se sastoji od četiri tačke (vrhova četvorougla) i četiri segmenta koji ih serijski povezuju (stranice četvorougla).

Pravougaonik je četvorougao sa svim pravim uglovima. Nazivaju se prema broju stranica ili vrhova: TROUGAO (trostrani); ČETVORUGA (četvorostrana); PENTAGON (petostrani) itd. U elementarnoj geometriji, M. je lik omeđen ravnim linijama koje se nazivaju strane. Tačke u kojima se stranice sijeku nazivaju se vrhovi. Poligon ima više od tri ugla. Dakle prihvaćeno ili saglasno.

Trougao je trougao. A četverougao također nije mnogokut, a ne zove se ni četverokut - to je ili kvadrat, ili romb, ili trapez. Činjenica da poligon sa tri strane i tri ugla ima svoj naziv "trougao" ne lišava ga statusa poligona.

Pogledajte šta je "POLIGON" u drugim rječnicima:

Saznajemo da je ova figura ograničena zatvorenom izlomljenom linijom, koja zauzvrat može biti jednostavna, zatvorena. Hajde da pričamo o tome da su poligoni ravni, pravilni, konveksni. Ko nije čuo za misteriozni Bermudski trougao, gdje brodovi i avioni nestaju bez traga? Ali trokut koji nam je poznat iz djetinjstva prepun je mnogo zanimljivih i misterioznih stvari.

Iako se, naravno, figura koja se sastoji od tri ugla također može smatrati poligonom

Ali to nije dovoljno za karakterizaciju figure. Izlomljena linija A1A2…An je figura koja se sastoji od tačaka A1,A2,…An i odsječaka A1A2, A2A3,… koji ih spajaju. Prosta zatvorena izlomljena linija naziva se poligon ako njene susjedne veze ne leže na istoj pravoj liniji (slika 5). Zamenite u reč „poligon” umesto dela „mnogo” određeni broj, na primer 3. Dobićete trougao. Imajte na umu da uglova ima koliko i stranica, pa bi se ove figure mogle nazvati multilateralnim.

Neka je A1A2…A n dati konveksni poligon i n>3. Nacrtajte u njemu (iz jednog vrha) dijagonale

Zbir uglova svakog trougla je 1800, a broj ovih trouglova je n - 2. Dakle, zbir uglova konveksnog n - ugla A1A2 ... A n je 1800 * (n - 2). Teorema je dokazana. Vanjski ugao konveksnog poligona u datom vrhu je ugao koji graniči sa unutrašnjim uglom poligona u tom vrhu.

U četverokutu nacrtajte liniju tako da je dijeli na tri trougla

Četvorougao nikada nema tri vrha na istoj pravoj. Riječ "poligon" označava da sve figure ove porodice imaju "mnogo uglova". Izlomljena linija se naziva jednostavnom ako nema samopresecanja (sl. 2,3).

Dužina izlomljene linije je zbir dužina njenih karika (slika 4). U slučaju n=3 teorema je važeća. Dakle, kvadrat se može nazvati drugačije - pravilan četverougao. Takve figure već dugo zanimaju majstore koji su ukrašavali zgrade.

Broj vrhova jednak je broju stranica. Izlomljena linija naziva se zatvorenom ako joj se krajevi poklapaju. Od njih su dobijeni prelijepi uzorci npr. na parketu. Naša petokraka je pravilna petougaona zvijezda.

Ali ne mogu se svi pravilni poligoni koristiti za formiranje parketa. Pogledajmo bliže dvije vrste poligona: trokut i četverokut. Poligon u kojem su svi unutrašnji uglovi jednaki naziva se pravilan poligon. Poligoni se imenuju prema broju njegovih stranica ili vrhova.

U ovoj lekciji ćemo započeti novu temu i uvesti novi koncept za nas - "poligon". Pogledat ćemo osnovne koncepte povezane s poligonima: stranice, vrhovi, uglovi, konveksnost i nekonveksnost. Onda ćemo dokazati ključne činjenice kao što je teorema o zbroju unutrašnjih uglova poligona, teorema o sumi vanjskih uglova poligona. Kao rezultat toga, približit ćemo se proučavanju posebnih slučajeva poligona, koji će biti razmatrani u budućim lekcijama.

Tema: četverouglovi

Lekcija: Poligoni

U toku geometrije proučavamo svojstva geometrijskih oblika i već smo razmotrili najjednostavnije od njih: trokute i krugove. Istovremeno, raspravljali smo i o specifičnim posebnim slučajevima ovih figura, kao što su pravokutni, jednakokraki i pravilni trouglovi. Sada je vrijeme da razgovaramo o opštijim i složenijim oblicima - poligoni.

Sa posebnim slučajem poligoni već smo upoznati - ovo je trougao (vidi sliku 1).

Rice. 1. Trougao

Već sam naziv naglašava da se radi o figuri koja ima tri ugla. Stoga, u poligon može ih biti mnogo, tj. više od tri. Na primjer, nacrtajmo pentagon (vidi sliku 2), tj. figura sa pet uglova.

Rice. 2. Pentagon. Konveksni poligon

Definicija.Poligon- figura koja se sastoji od nekoliko tačaka (više od dvije) i odgovarajućeg broja segmenata koji ih povezuju u seriju. Ove tačke se nazivaju vrhovi poligon i segmenti - stranke. U ovom slučaju, dvije susjedne stranice ne leže na istoj pravoj liniji niti se dvije nesusjedne stranice ne seku.

Definicija.pravilan poligon je konveksan poligon u kojem su sve strane i uglovi jednaki.

Bilo koji poligon deli ravan na dva regiona: unutrašnju i spoljašnju. Unutrašnjost se takođe naziva poligon.

Drugim riječima, na primjer, kada se govori o pentagonu, misli se i na čitavo njegovo unutrašnje područje i na njegovu granicu. A unutrašnja oblast takođe uključuje sve tačke koje leže unutar poligona, tj. tačka takođe pripada pentagonu (videti sliku 2).

Poligoni se ponekad nazivaju i n-uglovi kako bi se naglasilo da se razmatra opći slučaj posjedovanja nekog nepoznatog broja uglova (n komada).

Definicija. Perimetar poligona je zbir dužina stranica poligona.

Sada se trebamo upoznati sa vrstama poligona. Podijeljeni su na konveksan i nekonveksan. Na primjer, poligon prikazan na sl. 2 je konveksan, a na Sl. 3 nekonveksna.

Rice. 3. Nekonveksni poligon

Definicija 1. Poligon pozvao konveksan, ako se pri crtanju prave linije kroz bilo koju od njenih strana, cijeli poligon leži samo na jednoj strani ove linije. nekonveksan su svi ostali poligoni.

Lako je zamisliti da kada produžite bilo koju stranu pentagona na Sl. 2 sve će biti na jednoj strani ove prave linije, tj. on je konveksan. Ali kada crtate ravnu liniju kroz četvorougao na sl. 3 već vidimo da ga dijeli na dva dijela, tj. on nije konveksan.

Ali postoji još jedna definicija konveksnosti poligona.

Definicija 2. Poligon pozvao konveksan ako su pri odabiru bilo koje dvije njegove unutrašnje tačke i povezivanju sa segmentom sve tačke segmenta ujedno i unutrašnje tačke poligona.

Demonstracija upotrebe ove definicije može se vidjeti na primjeru konstruisanja segmenata na Sl. 2 i 3.

Definicija. Dijagonala Poligon je svaki segment koji povezuje dva nesusedna vrha.

Da bismo opisali svojstva poligona, postoje dvije najvažnije teoreme o njihovim uglovima: teorema o sumi unutrašnjeg ugla konveksnog poligona i teorema o sumi vanjskog ugla konveksnog poligona. Hajde da ih razmotrimo.

Teorema. O zbiru unutrašnjih uglova konveksnog mnogougla (n-gon).

Gdje je broj njegovih uglova (strana).

Dokaz 1. Hajde da prikažemo na Sl. 4 konveksna n-ugla.

Rice. 4. Konveksni n-ugao

Nacrtajte sve moguće dijagonale iz vrha. Oni dijele n-ugao na trouglove, jer svaka strana poligona formira trougao, osim stranica koje se nalaze uz vrh. Sa slike je lako vidjeti da će zbir uglova svih ovih trouglova biti jednak zbiru unutrašnjih uglova n-ugla. Budući da je zbir uglova bilo kojeg trokuta , tada je zbir unutarnjih uglova n-kuta:

Q.E.D.

Dokaz 2. Moguć je još jedan dokaz ove teoreme. Nacrtajmo sličan n-ugao na Sl. 5 i povežite bilo koju njegovu unutrašnju tačku sa svim vrhovima.

Rice. 5.

Dobili smo podelu n-ugla na n trouglova (koliko strana, toliko trouglova). Zbir svih njihovih uglova jednak je zbiru unutrašnjih uglova poligona i zbiru uglova u unutrašnjoj tački, a to je ugao. Imamo:

Q.E.D.

Dokazan.

Prema dokazanoj teoremi, može se vidjeti da zbir uglova n-ugla zavisi od broja njegovih stranica (na n). Na primjer, u trokutu, a zbroj uglova je . U četvorouglu, i zbir uglova - itd.

Teorema. O zbiru vanjskih uglova konveksnog poligona (n-gon).

Gdje je broj njegovih uglova (strana), a , ..., su vanjski uglovi.

Dokaz. Nacrtajmo konveksni n-ugao na sl. 6 i označavaju njene unutrašnje i spoljašnje uglove.

Rice. 6. Konveksni n-ugao sa označenim vanjskim uglovima

Jer vanjski ugao je spojen sa unutrašnjim kao susjedni, dakle i slično za ostale vanjske uglove. onda:

Prilikom transformacija koristili smo već dokazanu teoremu o zbiru unutrašnjih uglova n-ugla.

Dokazan.

Iz dokazane teoreme slijedi zanimljiva činjenica da je zbir vanjskih uglova konveksnog n-ugla na broj njegovih uglova (strana). Usput, za razliku od zbira unutrašnjih uglova.

Bibliografija

1. Aleksandrov A.D. itd. Geometrija, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolov V.V. Geometrija, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija, 8. razred. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com().

Zadaća

§ 1 Pojam trougla

U ovoj lekciji ćete se upoznati sa oblicima kao što su trokut i mnogokut.

Ako se tri tačke koje ne leže na istoj pravoj spoje segmentima, dobiće se trougao. Trougao ima tri vrha i tri stranice.

Pred vama je trougao ABC, koji ima tri vrha (tačka A, tačka B i tačka C) i tri stranice (AB, AC i CB).

Usput, ove iste strane mogu se nazvati drugačije:

AB=BA, AC=CA, CB=BC.

Stranice trougla formiraju tri ugla u vrhovima trougla. Na slici vidite ugao A, ugao B, ugao C.

Dakle, trokut je geometrijska figura formirana od tri segmenta koji spajaju tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj liniji.

§ 2 Pojam poligona i njegove vrste

Pored trouglova, postoje četvorouglovi, petouglovi, šestouglovi i tako dalje. Jednom riječju, mogu se nazvati poligonima.

Na slici vidite DMKE četvorougao.

Tačke D, M, K i E su vrhovi četvorougla.

Segmenti DM, MK, KE, ED su stranice ovog četvorougla. Kao iu slučaju trougla, stranice četvorougla čine četiri ugla na vrhovima, pogađate, otuda i naziv - četvorougao. Za ovaj četvorougao, vidite na slici D ugao, M ugao, K ugao i E ugao.

Koje četvorouglove već znate?

Kvadrat i pravougaonik! Svaki od njih ima četiri ugla i četiri strane.

Druga vrsta poligona je pentagon.

Tačke O, P, X, Y, T su vrhovi petougla, a segmenti TO, OP, PX, XY, YT su stranice ovog pentagona. Pentagon ima pet uglova i pet stranica.

Šta mislite koliko uglova i koliko strana ima šestougao? Tako je, šest! Raspravljajući na sličan način, možemo reći koliko stranica, vrhova ili uglova ima dati poligon. I možemo zaključiti da je i trougao mnogougao, koji ima tačno tri ugla, tri stranice i tri temena.

Dakle, u ovoj lekciji ste se upoznali sa konceptima kao što su trokut i mnogokut. Saznali smo da trougao ima 3 vrha, 3 stranice i 3 ugla, četvorougao ima 4 temena, 4 stranice i 4 ugla, petougao ima 5 stranica, 5 vrhova, 5 uglova, i tako dalje.

Spisak korišćene literature:

1. Matematika 5. razred. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. i dr. 31. izdanje, ster. - M: 2013.
2. Didaktički materijali iz matematike 5. razred. Autor - Popov M.A. - 2013. godina
3. Računamo bez greške. Rad sa samoproverom u matematici 5-6 razred. Autor - Minaeva S.S. - 2014. godina
4. Didaktički materijali iz matematike 5. razred. Autori: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Kontrolni i samostalni rad iz matematike 5. razred. Autori - Popov M.A. - 2012 godina
6. Matematika. 5. razred: udžbenik. za učenike opšteg obrazovanja. institucije / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. izd., Sr. - M.: Mnemosyne, 2009

Dio ravnine omeđen zatvorenom izlomljenom linijom naziva se poligon.

Segmenti ove izlomljene linije se nazivaju stranke poligon. AB, BC, CD, DE, EA (slika 1) - stranice poligona ABCDE. Zbir svih strana poligona naziva se njegovim perimetar.

Poligon se zove konveksan, ako se nalazi na jednoj strani bilo koje od njegovih strana, produženo na neodređeno vrijeme izvan oba vrha.

Poligon MNPKO (slika 1) neće biti konveksan, jer se nalazi na više od jedne strane prave KP.

Razmotrićemo samo konveksne poligone.

Uglovi koje formiraju dvije susjedne stranice poligona nazivaju se njegovim interni uglovi i njihovi vrhovi - vrhovi poligona.

Segment koji povezuje dva nesusedna vrha poligona naziva se dijagonala poligona.

AC, AD - dijagonale poligona (slika 2).

Uglovi koji su susjedni unutrašnjim uglovima poligona nazivaju se vanjskim uglovima poligona (slika 3).

U zavisnosti od broja uglova (strana), poligon se naziva trougao, četvorougao, petougao itd.

Za dva poligona se kaže da su jednaka ako se mogu superponirati.

Upisani i opisani poligoni

Ako svi vrhovi poligona leže na kružnici, tada se poligon naziva upisano u krug i krug opisano blizu poligona (sl.).

Ako su sve strane poligona tangente na kružnicu, tada se poligon naziva opisano oko kruga, a krug se zove upisano u poligon (sl.).

Sličnost poligona

Dva poligona istog imena nazivaju se sličnima ako su uglovi jednog od njih jednaki uglovima drugog, a slične stranice poligona su proporcionalne.

Poligoni sa istim brojem strana (uglova) nazivaju se istoimeni poligoni.

Stranice sličnih poligona koje spajaju vrhove odgovarajućih jednakih uglova nazivaju se sličnim.

Tako, na primjer, da bi poligon ABCDE bio sličan poligonu A'B'C'D'E', potrebno je da: E = ∠E' i, pored toga, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Omjer perimetra sličnih poligona

Prvo, razmotrite svojstvo niza jednakih omjera. Na primjer, imamo relacije: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Nađimo zbir prethodnih članova ovih relacija, zatim - zbir njihovih narednih članova i nađemo omjer primljenih suma, dobijamo:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Isto ćemo dobiti ako uzmemo još neke relacije, na primjer: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 i onda pronađemo omjer ovih suma, dobijamo:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

U oba slučaja, zbir prethodnih članova niza jednakih relacija povezan je sa zbirom narednih članova istog niza, kao što je prethodni član bilo koje od ovih relacija povezan sa njegovim sljedećim.

Ovo svojstvo smo zaključili razmatranjem brojnih primjera. Može se zaključiti striktno i u opštem obliku.

Sada razmotrite omjer perimetara sličnih poligona.

Neka je mnogougao ABCDE sličan poligonu A'B'C'D'E' (sl.).

Iz sličnosti ovih poligona slijedi da

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Na osnovu svojstva niza jednakih odnosa koje smo izveli možemo napisati:

Zbir prethodnih članova relacija koje smo uzeli je obim prvog poligona (P), a zbir narednih članova ovih relacija je obim drugog poligona (P '), tako da je P / P ' = AB / A'B '.

shodno tome, perimetri sličnih poligona su povezani kao njihove odgovarajuće stranice.

Omjer površina sličnih poligona

Neka su ABCDE i A'B'C'D'E' slični poligoni (sl.).

Poznato je da su ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' i ΔADE ~ ΔA'D'E'.

osim toga,

;

Pošto su drugi odnosi ovih proporcija jednaki, što proizilazi iz sličnosti poligona, onda

Koristeći svojstvo niza jednakih omjera, dobijamo:

Or

gdje su S i S' površine ovih sličnih poligona.

shodno tome, površine sličnih poligona su povezane kao kvadrati sličnih stranica.

Rezultirajuća formula se može pretvoriti u ovaj oblik: S / S '= (AB / A'B ') 2

Područje proizvoljnog poligona

Neka je potrebno izračunati površinu proizvoljnog četverougla ABDC (Sl.).

Nacrtajmo dijagonalu u njemu, na primjer AD. Dobijamo dva trougla ABD i ACD čije površine možemo izračunati. Zatim nalazimo zbir površina ovih trouglova. Rezultirajući zbir će izraziti površinu datog četverougla.

Ako trebate izračunati površinu peterokuta, nastavljamo na isti način: izvlačimo dijagonale iz jednog od vrhova. Dobijamo tri trougla čije površine možemo izračunati. Tako možemo pronaći površinu ovog pentagona. Isto radimo i kada izračunavamo površinu bilo kojeg poligona.

Područje projekcije poligona

Podsjetimo da je ugao između prave i ravni ugao između date prave i njene projekcije na ravan (Sl.).

Teorema. Površina ortogonalne projekcije poligona na ravan jednaka je površini projektovanog poligona pomnoženoj sa kosinusom ugla koji formiraju ravnina poligona i ravnina projekcije.

Svaki poligon se može podijeliti na trokute, čiji je zbir površina jednak površini poligona. Stoga je dovoljno dokazati teoremu za trokut.

Neka se ΔABC projektuje na ravan R. Razmotrite dva slučaja:

a) jedna od stranica ΔABS je paralelna sa ravninom R;

b) nijedna stranica ΔABC nije paralelna R.

Razmislite prvi slučaj: neka [AB] || R.

Povucite kroz (AB) ravan R 1 || R i projektovati ortogonalno ΔABC na R 1 i dalje R(pirinač.); dobijamo ΔABC 1 i ΔA’B’C’.

Prema svojstvu projekcije, imamo ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’, pa prema tome

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

Nacrtajmo ⊥ i segment D 1 C 1 . Tada je ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ ugao između ravni ΔABC i ravni R jedan . Zbog toga

S ∆ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

i, prema tome, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Pređimo na razmatranje drugi slučaj. Nacrtaj avion R 1 || R kroz taj vrh ΔAVS, udaljenost od koje do ravni R najmanji (neka je vrh A).

Dizajnirajmo ΔABC na ravni R 1 i R(pirinač.); neka su njegove projekcije ΔAB 1 C 1 i ΔA’B’C’.

Neka (BC) ∩ str 1 = D. Onda

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Ostali materijali