Les plans perpendiculaires sont un signe de perpendicularité de deux plans. Stéréométrie
Définition. Un angle dièdre est une figure formée par une droite a et deux demi-plans de frontière commune a, et n'appartenant pas au même plan.
Définition. La mesure en degrés d'un angle dièdre est la mesure en degrés de l'un de ses angles linéaires.
Définition. Deux plans sécants sont dits perpendiculaires si l'angle entre eux est de 90°.
Signe de perpendicularité de deux plans.
Propriétés.
- Dans un cuboïde, les six faces sont des rectangles.
- Tous les angles dièdres d'un cuboïde sont des angles droits
- Le carré de la diagonale d'un parallélépipède rectangle est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions.
Tâches et tests sur le thème "Thème 7. "Angle dièdre. Perpendicularité du plan "."
- Angle dièdre. Perpendicité plane
- Perpendicularité d'une droite et d'un plan - Perpendicularité des lignes et plans classe 10
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Le matériel du sujet résume et systématise les informations sur la perpendicularité des lignes que vous connaissez de la planimétrie. Il convient de combiner l'étude des théorèmes sur la relation entre le parallélisme et la perpendicularité des lignes et des plans dans l'espace, ainsi que le matériel sur la perpendiculaire et l'oblique, avec une répétition systématique du matériel pertinent de la planimétrie.
Les solutions de presque tous les problèmes de calcul sont réduites à l'application du théorème de Pythagore et de ses conséquences. Dans de nombreux problèmes, la possibilité d'appliquer le théorème de Pythagore ou ses conséquences est justifiée par le théorème des trois perpendiculaires ou par les propriétés de parallélisme et de perpendicularité des plans.
Cette leçon aidera ceux qui souhaitent se faire une idée du sujet "Un signe de perpendicularité de deux plans". Au début de celui-ci, nous répéterons la définition de l'angle dièdre et linéaire. Ensuite, nous examinerons quels plans sont appelés perpendiculaires et nous prouverons le critère de la perpendicularité de deux plans.
Sujet : Perpendicularité des lignes et des plans
Leçon : Signe de perpendicularité de deux plans
Définition. Un angle dièdre est une figure formée de deux demi-plans qui n'appartiennent pas au même plan, et de leur droite commune a (a est une arête).
Riz. une
Considérons deux demi-plans α et β (Fig. 1). Leur frontière commune est l. Cette figure s'appelle un angle dièdre. Deux plans sécants forment quatre angles dièdres avec une arête commune.
Un angle dièdre est mesuré par son angle linéaire. On choisit un point arbitraire sur une arête commune l de l'angle dièdre. Dans les demi-plans α et β à partir de ce point on trace les perpendiculaires a et b à la droite l et on obtient l'angle linéaire de l'angle dièdre.
Les droites a et b forment quatre angles égaux à φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Rappelons que le plus petit de ces angles s'appelle l'angle entre les droites.
Définition. L'angle entre les plans est le plus petit des angles dièdres formés par ces plans. φ - angle entre les plans α et β, si
Définition. Deux plans qui se croisent sont dits perpendiculaires (mutuellement perpendiculaires) si l'angle entre eux est de 90°.
Riz. 2
Un point arbitraire M est choisi sur l'arête l (Fig. 2). Traçons deux droites perpendiculaires MA = a et MB = b à l'arête l dans le plan α et dans le plan β, respectivement. Nous avons obtenu l'angle AMB. L'angle AMB est l'angle linéaire d'un angle dièdre. Si l'angle AMB est de 90°, alors les plans α et β sont dits perpendiculaires.
La droite b est perpendiculaire à la droite l par construction. La ligne b est perpendiculaire à la ligne a, puisque l'angle entre les plans α et β est de 90°. On obtient que la droite b est perpendiculaire à deux droites sécantes a et l du plan α. Donc la droite b est perpendiculaire au plan α.
De même, on peut prouver que la droite a est perpendiculaire au plan β. La droite a est perpendiculaire à la droite l par construction. La ligne a est perpendiculaire à la ligne b, puisque l'angle entre les plans α et β est de 90°. On obtient que la droite a est perpendiculaire à deux droites sécantes b et l du plan β. Donc la droite a est perpendiculaire au plan β.
Si l'un des deux plans passe par une ligne perpendiculaire à l'autre plan, alors ces plans sont perpendiculaires.
Prouver:
Riz. 3
Preuve:
Laissez les plans α et β se couper le long de la droite AC (Fig. 3). Pour prouver que les plans sont perpendiculaires entre eux, il faut construire un angle linéaire entre eux et montrer que cet angle est égal à 90°.
La ligne AB est perpendiculaire par la condition au plan β, et donc aussi à la ligne AC située dans le plan β.
Traçons la droite AD perpendiculaire à la droite AC dans le plan β. Alors BAD est l'angle linéaire de l'angle dièdre.
La ligne AB est perpendiculaire au plan β, et donc également à la ligne AD située dans le plan β. L'angle linéaire BAD est donc de 90°. Ainsi, les plans α et β sont perpendiculaires, ce qui restait à prouver.
Le plan perpendiculaire à la ligne le long de laquelle deux plans donnés se coupent est perpendiculaire à chacun de ces plans (Fig. 4).
Prouver:
Riz. quatre
Preuve:
La droite l est perpendiculaire au plan γ, et le plan α passe par la droite l. Ainsi, par le critère de perpendicularité des plans, les plans α et γ sont perpendiculaires.
La droite l est perpendiculaire au plan γ, et le plan β passe par la droite l. Ainsi, par le signe de la perpendicularité des plans, les plans β et γ sont perpendiculaires.
EXPLICATION DU TEXTE DE LA LEÇON :
L'idée d'un avion dans l'espace vous permet d'obtenir, par exemple, la surface d'une table ou d'un mur. Cependant, une table ou un mur a des dimensions finies et le plan s'étend au-delà de leurs limites jusqu'à l'infini.
Considérons deux plans sécants. Lorsqu'ils se croisent, ils forment quatre angles dièdres avec une arête commune.
Rappelons-nous ce qu'est un angle dièdre.
En réalité, nous rencontrons des objets qui ont la forme d'un angle dièdre : par exemple, une porte entrouverte ou un dossier entrouvert.
A l'intersection de deux plans alpha et bêta, on obtient quatre angles dièdres. Soit l'un des angles dièdres égal à (phi), alors le second est égal à (1800-), le troisième, le quatrième (1800-).
Considérons le cas où l'un des angles dièdres est égal à 900.
Alors, tous les angles dièdres dans ce cas sont égaux à 900.
Introduisons la définition des plans perpendiculaires :
Deux plans sont dits perpendiculaires si l'angle dièdre entre eux est de 90°.
L'angle entre les plans sigma et epsilon est de 90 degrés, ce qui signifie que les plans sont perpendiculaires
Donnons des exemples de plans perpendiculaires.
Mur et plafond.
Paroi latérale et dessus de table.
Formulons un signe de perpendicularité de deux plans :
THÉORÈME : Si l'un des deux plans passe par une droite perpendiculaire à l'autre plan, alors ces plans sont perpendiculaires.
Prouvons cette fonctionnalité.
Par condition, on sait que la droite AM est dans le plan α, la droite AM est perpendiculaire au plan β,
Démontrer : les plans α et β sont perpendiculaires.
Preuve:
1) Les plans α et β se coupent le long de la droite AR, tandis que AM AR, puisque AM β par la condition, c'est-à-dire que AM est perpendiculaire à toute ligne située dans le plan β.
2) Tracer une droite AT perpendiculaire à AP dans le plan β.
Nous obtenons l'angle TAM - l'angle linéaire de l'angle dièdre. Mais l'angle TAM = 90°, puisque MA β. Par conséquent, α β.
Q.E.D.
Du signe de perpendicularité de deux plans, nous avons une conséquence importante :
CONSÉQUENCE : Un plan perpendiculaire à une ligne le long de laquelle deux plans se coupent est perpendiculaire à chacun de ces plans.
Autrement dit : si α∩β=с et γ с, alors γ α et γ β.
Démontrons ce corollaire : si le plan gamma est perpendiculaire à la droite c, alors, du fait du parallélisme des deux plans, gamma est perpendiculaire à alpha. De même, gamma est perpendiculaire à bêta.
Reformulons ce corollaire pour un angle dièdre :
Le plan passant par l'angle linéaire de l'angle dièdre est perpendiculaire à l'arête et aux faces de cet angle dièdre. En d'autres termes, si nous avons construit un angle linéaire d'un angle dièdre, alors le plan qui le traverse est perpendiculaire à l'arête et aux faces de cet angle dièdre.
Soit : ΔABC, C = 90°, AC se trouve dans le plan α, angle entre les plans α et ABC = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Trouver : distance du point B au plan α.
1) Construisons le VC α. Alors le CS est la projection du BC sur ce plan.
2) BC AS (par condition), donc, par le théorème des trois perpendiculaires (TTP), CS AS. Par conséquent, VSK est l'angle linéaire de l'angle dièdre entre le plan α et le plan du triangle ABC. Autrement dit, WSC = 60°.
3) A partir de ΔBCA selon le théorème de Pythagore :
La réponse VK est égale à 6 racines de trois cm
Utilisation pratique (caractère appliqué) de la perpendicularité de deux plans.
La perpendicularité dans l'espace peut avoir :
1. Deux lignes droites
3. Deux avions
Considérons successivement ces trois cas : toutes les définitions et énoncés de théorèmes qui leur sont liés. Et puis nous discuterons d'un théorème très important sur trois perpendiculaires.
Perpendicularité de deux lignes.
Définition:
Vous pouvez dire : ils m'ont aussi ouvert l'Amérique ! Mais rappelez-vous que dans l'espace, tout n'est pas tout à fait comme dans un avion.
Sur un plan, seules de telles lignes (sécantes) peuvent s'avérer perpendiculaires :
Mais la perpendicularité dans l'espace de deux droites peut être même si elles ne se coupent pas. Voir:
une droite est perpendiculaire à une droite, bien qu'elle ne la coupe pas. Comment? Nous rappelons la définition de l'angle entre les lignes : pour trouver l'angle entre les lignes obliques et, vous devez tracer une ligne passant par un point arbitraire sur la ligne a. Et alors l'angle entre et (par définition !) sera égal à l'angle entre et.
Rappelé ? Eh bien, dans notre cas, si les lignes et sont perpendiculaires, alors les lignes et doivent être considérées comme perpendiculaires.
Pour être tout à fait clair, regardons Exemple. Qu'il y ait un cube. Et on vous demande de trouver l'angle entre les lignes et. Ces lignes ne se croisent pas - elles se croisent. Pour trouver l'angle entre et, dessinez.
En raison du fait que - un parallélogramme (et même un rectangle!), Il s'avère que. Et en raison du fait que - un carré, il s'avère que. Eh bien, cela signifie.
Perpendicularité d'une droite et d'un plan.
Définition:
Voici l'image :
une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à toutes-toutes dans ce plan : et, et, et, et pair ! Et un milliard d'autres lignes !
Oui, mais comment alors vérifier la perpendicularité sur une droite et dans un plan ? Alors la vie ne suffit pas ! Mais heureusement pour nous, les mathématiciens nous ont sauvés du cauchemar de l'infini en inventant signe de perpendicularité d'une droite et d'un plan.
Nous formulons :
Découvrez à quel point :
s'il n'y a que deux lignes (s) dans le plan auquel la ligne est perpendiculaire, alors cette ligne se révélera immédiatement perpendiculaire au plan, c'est-à-dire à toutes les lignes de ce plan (y compris certaines lignes se tenant sur le côté ). C'est un théorème très important, nous allons donc également dessiner sa signification sous la forme d'un diagramme.
Et regardons à nouveau Exemple.
Donnons-nous un tétraèdre régulier.
Tâche : prouver cela. Vous direz : ce sont deux lignes droites ! Quel est le rapport entre la perpendicularité d'une droite et d'un plan ?!
Mais regarde:
marquons le milieu du bord et dessinons et. Ce sont les médianes en et. Les triangles sont réguliers et.
Voilà, un miracle : il s'avère que, ainsi que. Et plus loin, à toutes les droites du plan, et donc, et. Prouvé. Et le point le plus important était précisément l'utilisation du signe de perpendicularité d'une droite et d'un plan.
Lorsque les plans sont perpendiculaires
Définition:
Autrement dit (pour plus de détails, voir le sujet "angle dièdre"), deux plans(s) sont perpendiculaires s'il s'avère que l'angle entre les deux perpendiculaire(s) à la ligne d'intersection de ces plans est égal. Et il y a un théorème qui relie le concept de plans perpendiculaires au concept de perpendicularité dans l'espace d'une ligne et d'un plan.
Ce théorème s'appelle
Critère de perpendicularité des plans.
Formulons :
Comme toujours, le décodage des mots "alors et seulement alors" ressemble à ceci :
- Si, alors passe par la perpendiculaire à.
- Si passe par la perpendiculaire à, alors.
(naturellement, ici et sont des avions).
Ce théorème est l'un des plus importants en stéréométrie, mais, malheureusement, l'un des plus difficiles à appliquer.
Il faut donc être très prudent !
Donc le libellé est :
Et encore une fois, déchiffrer les mots "alors et seulement alors". Le théorème énonce deux choses à la fois (regardez l'image):
Essayons d'appliquer ce théorème pour résoudre le problème.
Une tâche: une pyramide hexagonale régulière est donnée. Trouvez l'angle entre les droites et.
La solution:
Du fait que dans une pyramide régulière, le sommet tombe au centre de la base lors de la projection, il s'avère que la ligne est la projection de la ligne.
Mais nous savons que dans un hexagone régulier. On applique le théorème des trois perpendiculaires :
Et écrivez la réponse :
PERPENDICULARITÉ DES LIGNES DANS L'ESPACE. EN BREF SUR LE PRINCIPAL
Perpendicularité de deux lignes.
Deux lignes dans l'espace sont perpendiculaires si l'angle est entre elles.
Perpendicularité d'une droite et d'un plan.
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan.
Perpendicité plane.
Les plans sont perpendiculaires si l'angle dièdre entre eux est égal.
Critère de perpendicularité des plans.
Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si l'un d'eux passe par la perpendiculaire à l'autre plan.
Théorème des trois perpendiculaires :
Bon, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, alors vous êtes très cool.
Parce que seulement 5% des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous avez lu jusqu'au bout, alors vous êtes dans les 5% !
Maintenant la chose la plus importante.
Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et, je le répète, c'est... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.
Le problème c'est que cela risque de ne pas suffire...
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Mais ce n'est pas l'essentiel.
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Si l'un des deux plans passe par une droite perpendiculaire à l'autre plan, alors les plans donnés sont perpendiculaires () (Fig. 28)
α - plan, dans est une droite qui lui est perpendiculaire, β est un plan passant par une droite dans, et Avec est la droite le long de laquelle les plans α et β se coupent.
Conséquence. Si un plan est perpendiculaire à la ligne d'intersection de deux plans donnés, alors il est perpendiculaire à chacun de ces plans
Tache 1. Montrer que par n'importe quel point d'une ligne dans l'espace, il est possible de tracer deux lignes distinctes perpendiculaires à celle-ci.
Preuve:
Selon l'axiome je il y a un point qui n'est pas sur la ligne un. D'après le théorème 2.1 passant par le point À et directe un le plan α peut être dessiné. (Fig. 29) D'après le théorème 2.3 passant par le point MAIS dans le plan α on peut tracer une droite un. D'après l'axiome C 1, il existe un point DE, n'appartenant pas à α. D'après le théorème 15.1 passant par le point DE et directe un le plan β peut être dessiné. Dans le plan β, d'après le théorème 2.3, passant par le point a, on peut tracer une droite avec un. Les droites in et c par construction n'ont qu'un seul point commun MAIS et les deux sont perpendiculaires
Tâche 2. Les extrémités supérieures de deux piliers verticaux, séparés par une distance de 3,4 m, sont reliées par une barre transversale. La hauteur d'un pilier est de 5,8 m et l'autre de 3,9 m. Trouvez la longueur de la barre transversale.
CA= 5,8 m, BD= 3,9 m, UN B- ? (fig.30)
AE = CA - CE = CA - BD= 5,8 - 3,9 = 1,9 (m)
Par le théorème de Pythagore à partir de ∆ AEB on a:
AB 2 \u003d AE 2 + EB 2 \u003d AE 2 + CD 2 \u003d ( 1,9) 2 + (3,4) 2 \u003d 15,17 (m 2)
UN B== 3,9 (m)
Tâches
Cible. Apprendre à analyser dans les cas les plus simples arrangement mutuel objets dans l'espace, utiliser des faits et des méthodes planimétriques pour résoudre des problèmes stéréométriques.
1. Prouver que par n'importe quel point d'une ligne dans l'espace, il est possible de tracer une ligne perpendiculaire à celle-ci.
2. Les droites AB, AC et AD sont deux à deux perpendiculaires. Trouvez le segment SD si :
1) AB = 3cm , Soleil= 7cm, UN D= 1,5 cm;
2) VD= 9cm, UN D= 5cm, Soleil= 16cm;
3) AB = c, BC = a, AD = d ;
4) BD = c, BC = a, AD = d
3. Le point A est éloigné un des sommets d'un triangle équilatéral de côté un. Trouver la distance du point A au plan du triangle.
4. Démontrer que si une droite est parallèle à un plan, alors tous ses points sont à la même distance du plan.
5. Un fil téléphonique de 15 m de long est tendu d'un poteau téléphonique, où il est attaché à une hauteur de 8 m du sol, à une maison, où il est attaché à une hauteur de 20 m. Trouvez la distance entre la maison et le pôle, en supposant que le fil ne s'affaisse pas.
6. D'un point à un plan, deux inclinés sont dessinés, égaux à 10 cm et 17 cm. La différence dans les projections de ces inclinés est de 9 cm. Trouvez les projections des inclinés.
7. Deux lignes inclinées sont tracées d'un point à un plan, dont l'un est 26 cm plus grand que l'autre. Les projections des obliques sont de 12 cm et 40 cm. Trouvez les obliques.
8. Deux lignes inclinées sont tracées d'un point à un plan. Trouvez les longueurs des obliques si elles sont dans un rapport de 1:2 et que les projections des obliques sont de 1 cm et 7 cm.
9. Deux lignes inclinées sont tracées d'un point à un plan, égal à 23 cm et 33 cm.
la distance de ce point au plan, si les projections du rapport oblique sont de 2:3.
10. Trouver la distance du milieu du segment AB à un plan qui ne coupe pas ce segment, si la distance des points a et B au plan est : 1) 3,2 cm et 5,3 cm 7,4 cm et 6,1 cm ; 3) a et c.
11. Résolvez le problème précédent, à condition que le segment AB coupe le plan.
12. Un segment de 1 m de long coupe un plan, ses extrémités sont retirées du plan à une distance de 0,5 m et 0,3 m. Trouvez la longueur de la projection du segment sur le plan ..
13. Des points A et B, les perpendiculaires sont déposées au plan. Trouvez la distance entre les points A et B, si les perpendiculaires sont de 3 m et 2 m, la distance entre leurs bases est de 2,4 m et le segment AB ne coupe pas le plan.
14. Des points A et B, situés dans deux plans perpendiculaires, les perpendiculaires AC et BD sont abaissées jusqu'à la ligne d'intersection des plans. Trouver la longueur du segment AB si : 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m ; 2) AC = 3 m, BD = 4 m, CD = 12 m ; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m ; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m ; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.
15. À partir des sommets A et B du triangle équilatéral ABC, les perpendiculaires AA 1 et BB 1 au plan du triangle sont érigées. Trouvez la distance du sommet C au milieu du segment A 1 B 1 si AB \u003d 2 m, CA 1 \u003d 3 m, CB 1 \u003d 7 m et le segment A 1 B 1 ne coupe pas le plan du Triangle
16. A partir des sommets A et B des angles aigus du triangle rectangle ABC, les perpendiculaires AA 1 et BB 1 au plan du triangle sont érigées. Trouvez la distance entre le sommet C et le milieu du segment A 1 B 1 si A 1 C \u003d 4 m, AA 1 \u003d 3 m, CB 1 \u003d 6 m, BB 1 \u003d 2 m et le segment A 1 B 1 ne coupe pas le plan du triangle.
