La ligne a coupe l'une des deux lignes qui se croisent. Types de lignes

les droites l1 et l2 sont dites sécantes si elles ne sont pas dans le même plan. Soient a et b les vecteurs directeurs de ces droites, et les points M1 et M2 appartiennent respectivement aux droites et l1 et l2

Alors les vecteurs a, b, M1M2> ne sont pas coplanaires, et donc leur produit mixte n'est pas égal à zéro, soit (a, b, M1M2>) =/= 0. L'inverse est également vrai : si (a, b, M1M2> ) =/= 0, alors les vecteurs a, b, M1M2> ne sont pas coplanaires et, par conséquent, les droites l1 et l2 ne sont pas dans le même plan, c'est-à-dire qu'elles se coupent. Ainsi, deux droites se coupent si et seulement si condition(a, b, M1M2>) =/= 0, où a et b sont les vecteurs directeurs des droites, et M1 et M2 sont les points appartenant respectivement aux droites données. La condition (a, b, M1M2>) = 0 est une condition nécessaire et suffisante pour que les droites soient dans le même plan. Si les droites sont données par leurs équations canoniques

alors a = (a1 ; a2 ; a3), b = (b1 ; b2 ; b3), M1 (x1 ; y1 ; z1), M2(x2 ; y2 ; z2) et la condition (2) s'écrit :

Distance entre les lignes qui se croisent

c'est la distance entre l'une des lignes obliques et un plan parallèle à celle-ci passant par l'autre ligne. La distance entre les lignes obliques est la distance entre un point de l'une des lignes obliques et un plan passant par l'autre ligne parallèle à la première ligne.

26. Définition d'une ellipse, équation canonique. Dérivation de l'équation canonique. Propriétés.

Une ellipse est le lieu des points d'un plan pour lequel la somme des distances à deux points focalisés F1 et F2 de ce plan, appelés foyers, est une valeur constante, ce qui n'exclut pas la coïncidence des foyers de l'ellipse. système tel que l'ellipse sera décrite par l'équation (l'équation canonique de l'ellipse) :

Il décrit une ellipse centrée à l'origine, dont les axes coïncident avec les axes de coordonnées.

Si sur le côté droit il y a une unité avec un signe moins, alors l'équation résultante :

décrit une ellipse imaginaire. Il est impossible de représenter une telle ellipse dans le plan réel. Notons les foyers par F1 et F2, et la distance entre eux par 2c, et la somme des distances d'un point arbitraire de l'ellipse aux foyers par 2a

Pour dériver l'équation de l'ellipse, nous choisissons le système de coordonnées Oxy de sorte que les foyers F1 et F2 se trouvent sur l'axe Ox et que l'origine des coordonnées coïncide avec le milieu du segment F1F2. Alors les foyers auront les coordonnées suivantes : u Soit M(x; y) un point quelconque de l'ellipse. Alors, selon la définition d'une ellipse, c'est-à-dire

C'est en fait l'équation d'une ellipse.

27. Définition d'une hyperbole, équation canonique. Dérivation de l'équation canonique. Propriétés

Une hyperbole est un lieu de points d'un plan pour lequel la valeur absolue de la différence entre les distances à deux points fixes F1 et F2 de ce plan, appelés foyers, est une constante Soit M(x;y) un point arbitraire de l'hyperbole. Alors selon la définition d'une hyperbole |MF 1 – MF 2 |=2a ou MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Définition d'une parabole, équation canonique. Dérivation de l'équation canonique. Propriétés. Une parabole est un GMT d'un plan pour lequel la distance à un point fixe F de ce plan est égale à la distance à une droite fixe, également située dans le plan considéré. F est le foyer de la parabole ; la droite fixe est la directrice de la parabole. r=d,

r= ; d=x+p/2 ; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2 ; x 2 -xp + p 2 / 4 + y 2 \u003d x 2 + px + p 2 / 4; y 2 =2px ;

Propriétés: 1. La parabole a un axe de symétrie (l'axe de la parabole) ; 2.Tous

la parabole est située dans le demi-plan droit du plan Oxy à p>0, et dans le demi-plan gauche

si p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

Si deux droites dans l'espace ont un point commun, on dit que ces deux droites se coupent. Dans la figure suivante, les lignes a et b se coupent au point A. Les lignes a et c ne se coupent pas.

Deux lignes quelconques ont soit un seul point commun, soit n'ont pas de point commun.

Lignes parallèles

Deux lignes dans l'espace sont dites parallèles si elles se trouvent dans le même plan et ne se coupent pas. Pour désigner des lignes parallèles, utilisez une icône spéciale - ||.

La notation a||b signifie que la droite a est parallèle à la droite b. Dans la figure ci-dessus, les droites a et c sont parallèles.

Théorème des droites parallèles

Par tout point de l'espace qui ne se trouve pas sur une ligne donnée, passe une ligne parallèle à la ligne donnée et, de plus, une seule.

Lignes croisées

Deux droites situées dans le même plan peuvent soit se croiser, soit être parallèles. Mais dans l'espace, deux droites ne doivent pas nécessairement appartenir au même plan. Ils peuvent être situés dans deux plans différents.

Évidemment, les lignes situées dans des plans différents ne se coupent pas et ne sont pas des lignes parallèles. Deux droites qui ne sont pas dans le même plan sont appelées les lignes des passages piétons.

La figure suivante montre deux lignes qui se croisent a et b qui se trouvent dans des plans différents.

Signe et théorème des lignes obliques

Si l'une des deux lignes se trouve dans un certain plan et que l'autre ligne coupe ce plan en un point ne se trouvant pas sur la première ligne, alors ces lignes sont obliques.

Théorème des lignes de croisement: par chacune des deux droites sécantes passe un plan parallèle à l'autre droite, et de plus un seul.

Ainsi, nous avons considéré tous les cas possibles d'arrangement mutuel des lignes dans l'espace. Il n'y en a que trois.

1. Les lignes se croisent. (C'est-à-dire qu'ils n'ont qu'un seul point commun.)

2. Les droites sont parallèles. (C'est-à-dire qu'ils n'ont pas de points communs et se trouvent dans le même plan.)

3. Les lignes droites se croisent. (C'est-à-dire qu'ils sont situés dans des plans différents.)

Théorème. Si une droite se trouve dans un plan donné et qu'une autre droite coupe ce plan en un point qui n'appartient pas à la première droite, alors ces deux droites se coupent. Signe de lignes qui se croisent Preuve. Soit la droite a située dans un plan, et la droite b coupe le plan en un point B n'appartenant pas à la droite a. Si les droites a et b sont dans le même plan, alors le point B serait également dans ce plan. Puisqu'il n'y a qu'un seul plan passant par la droite et un point extérieur à cette droite, ce plan doit être un plan. Mais alors la ligne b se trouverait dans un plan, ce qui contredit la condition. Par conséquent, les lignes a et b ne se trouvent pas dans le même plan, c'est-à-dire croiser.

Combien y a-t-il de paires de lignes obliques contenant les arêtes d'un prisme triangulaire régulier ? Solution : pour chaque arête de base, trois arêtes se croisent. Pour chaque bord latéral, deux bords se croisent. Par conséquent, le nombre souhaité de paires de lignes obliques est Exercice 5

Combien y a-t-il de paires de lignes obliques contenant les arêtes d'un prisme hexagonal régulier ? Solution : Chaque arête de base participe à 8 paires de lignes qui se croisent. Chaque bord latéral participe à 8 paires de lignes qui se croisent. Par conséquent, le nombre souhaité de paires de lignes obliques est Exercice 6

Conférence: Lignes sécantes, parallèles et obliques ; perpendicularité des lignes

Lignes d'intersection

S'il y a plusieurs lignes droites sur le plan, elles se croiseront tôt ou tard arbitrairement, ou à angle droit, ou elles seront parallèles. Examinons chaque cas.

Les lignes qui se croisent sont les lignes qui ont au moins un point d'intersection.

Vous pouvez vous demander pourquoi au moins une ligne ne peut pas croiser une autre ligne deux ou trois fois. Tu as raison! Mais les lignes peuvent complètement coïncider les unes avec les autres. Dans ce cas, il y aura une infinité de points communs.

Parallélisme

Parallèle on peut nommer ces droites qui ne se croiseront jamais, même à l'infini.

En d'autres termes, parallèles sont ceux qui n'ont pas un seul point commun. Veuillez noter que cette définition n'est valable que si les lignes sont dans le même plan, mais si elles n'ont pas de points communs, étant dans des plans différents, alors elles sont considérées comme sécantes.

Exemples de lignes parallèles dans la vie : deux bords opposés de l'écran du moniteur, des lignes dans les cahiers, ainsi que de nombreuses autres parties de choses qui ont des formes carrées, rectangulaires et autres.

Lorsqu'ils veulent montrer par écrit qu'une droite est parallèle à la seconde, alors la notation suivante a||b est utilisée. Cette notation dit que la droite a est parallèle à la droite b.

Lors de l'étude de ce sujet, il est important de comprendre une autre déclaration : à travers un point du plan qui n'appartient pas à une ligne donnée, on peut tracer une seule ligne parallèle. Mais attention, encore une fois la correction est dans l'avion. Si nous considérons un espace tridimensionnel, il est alors possible de dessiner un nombre infini de lignes qui ne se croiseront pas, mais se croiseront.

L'instruction décrite ci-dessus s'appelle axiome des droites parallèles.

Perpendicularité

Les lignes directes ne peuvent être appelées que si perpendiculaire s'ils se croisent à un angle de 90 degrés.

Dans l'espace, passant par un certain point d'une ligne, un nombre infini de lignes perpendiculaires peuvent être tracées. Cependant, si nous parlons d'un plan, alors à travers un point sur une ligne, on peut tracer une seule ligne perpendiculaire.

Lignes croisées. Sécante

Si certaines lignes se croisent en un point à un angle arbitraire, elles peuvent être appelées métissage.

Toutes les lignes obliques ont des angles verticaux et adjacents.

Si les angles formés par deux droites sécantes ont un côté en commun, alors ils sont dits adjacents :

Les angles adjacents totalisent 180 degrés.