Formes géométriques qui ne sont pas des polygones. polygone régulier

Au cours de la géo-métrie, nous étudions les propriétés des figures géo-met-riche-ciel et avons déjà abordé les plus simples d'entre elles : les ni-ki triangulaires et les environs. Dans le même temps, nous discutons de l'opportunité et des cas particuliers de ces figures, telles que le rectangle, l'égal-pauvre-ren et le triangle rectangle-no-ki. Il est maintenant temps de parler de fi-gu-rah plus général et complexe - beaucoup-de-charbon-no-kah.

Avec un cas privé beaucoup-de-charbon-ni-kov nous savons déjà-nous - c'est un triangle (voir Fig. 1).

Riz. 1. Encoche triangulaire

Dans le nom lui-même, c'est déjà sous-cher-ki-va-et-sya que c'est fi-gu-ra, quelqu'un a trois coins. A côté de va-tel-mais, dans beaucoup de charbon il peut y en avoir beaucoup, c'est-à-dire plus de trois. Par exemple, une image d'un nick à cinq charbons (voir Fig. 2), c'est-à-dire fi-gu-ru avec cinq angles-la-mi.

Riz. 2. Cinq-charbon-nick. Surnom de vous-loin-ly-multi-charbon

Définition.Polygone- fi-gu-ra, composé de plusieurs points (plus de deux) et correspondant à la réponse au e kov, quelqu'un-seigle après-va-tel-mais combine-ed-nya-yut. Ces points sont sur-zy-va-yut-sya top-shi-on-mi beaucoup de charbon-no-ka, mais de coupe - cent-ro-sur-mi. En même temps, il n'y a pas deux côtés adjacents sur la même ligne droite et aucun deux côtés non adjacents ne re-se-ka-yut-sya .

Définition.Surnom multi-charbon avant droite- c'est un poly-coal-nick convexe, pour quelqu'un-ro-go tous les côtés et angles sont égaux.

N'importe quel polygone de-la-et le plan en deux régions : interne et externe. La zone intérieure-ren-ny est également de-but-syat à beaucoup de charbon.

En d'autres termes, par exemple, lorsqu'ils parlent de five-coal-ni-ke, ils désignent à la fois toute sa région intérieure et la frontière tsu. Et à l'intérieur-ren-it de la région de-no-syat-sya et de tous les points, du seigle se trouve à l'intérieur d'un lot de charbon-no-ka, c'est-à-dire le point est également de-mais-assis-Xia à cinq-charbon-no-ku (voir Fig. 2).

Beaucoup de-charbon-no-ki est encore parfois appelé n-charbon-no-ka-mi, afin de souligner qu'il s'agit d'un cas courant de thé sur-de-quelque-chose-d'un-inconnu-de-la -nombre de coins (n ​​pièces).

Définition. Pe-ri-mètre beaucoup-charbon-no-ka- la somme des longueurs des côtés d'un multi-coal-no-ka.

Maintenant, vous devez savoir-savoir avec les points de vue de nombreux-charbon-no-kov. Ils dé-lyat-xia sur volumineux et non encombrant. Par exemple, un poly-coal-nick, représenté sur la Fig. 2, is-la-et-sya you-bump-ly, et sur la Fig. 3 non-groupe-lym.

Riz. 3. poly-coal-nick non convexe

2. Polygones convexes et non convexes

Définition des fichiers 1. Polygone na-zy-va-et-sya tu pètes, si lorsque pro-ve-de-nii est direct à travers l'un de ses côtés, l'ensemble polygone se trouve à seulement cent puits de cette ligne droite. Nevy-puk-ly-mi yav-la-yut-sya tout le reste beaucoup de charbon.

Il est facile d'imaginer qu'en étendant n'importe quel côté du cinq-charbon-no-ka de la Fig. 2 il est tout ok-zhet-sya cent puits de cette mine droite, c'est-à-dire il est bombé. Mais quand pro-ve-de-nii est direct dans four-you-rech-coal-no-ke sur la Fig. 3, on voit déjà qu'elle le scinde en deux parties, c'est-à-dire il n'est pas encombrant.

Mais il y a un autre def-de-le-nie tu-pompe-lo-sti beaucoup-de-charbon-no-ka.

Opré-de-le-nie 2. Polygone na-zy-va-et-sya tu pètes, si lorsque vous sélectionnez deux de ses points internes et que vous les connectez à partir d'une coupe, tous les points d'une coupe sont également internes -no-mi point-ka-mi much-coal-no-ka.

Une démonstration de l'utilisation de cette définition de de-le-tion peut être vue dans l'exemple de construction à partir de coupes de la Fig. 2 et 3.

Définition. Dia-go-na-lew beaucoup-de-charbon-no-ka-za-va-et-sya tout de-re-zok, reliant deux ne reliant pas ses sommets.

3. Théorème sur la somme des angles intérieurs d'un n-gone convexe

Pour décrire les propriétés des polygones, il existe deux théories importantes sur leurs angles : theo-re-ma sur la somme des angles internes de you-bunch-lo-go-many-coal-no-ka et theo-re-ma sur la somme des angles extérieurs. Regardons-les.

Théorème. Sur la somme des angles internes de you-beam-lo-go-many-coal-no-ka (n-charbon-no-ka).

Où est le nombre de ses coins (côtés).

Do-for-tel-stvo 1. Image-ra-winter sur la Fig. 4 convexe n-angle-surnom.

Riz. 4. You-bump-ly n-angle-nick

D'en haut, nous pro-nous-dem tous les dia-go-on-si possible. Ils divisent le n-angle-nick en un triangle-no-ka, parce que chacun des côtés est multi-coal-no-ka-ra-zu-et triangle-nick, à l'exception des côtés adjacents au sommet du pneu. Il est facile de voir à partir du ri-sun-ku que la somme des angles de tous ces triangles sera exactement égale à la somme des angles internes du n-angle-ni-ka. Puisque la somme des angles de toute triangulaire-no-ka -, alors la somme des angles internes du n-angle-no-ka :

Do-ka-for-tel-stvo 2. C'est possible et un autre do-ka-for-tel-stvo de ce theo-re-we. Image d'un angle n analogue sur la Fig. 5 et connectez n'importe lequel de ses points internes avec tous les sommets.

We-be-chi-si raz-bi-e-ne n-angle-no-ka sur n triangle-ni-kov (combien de côtés, autant de triangles-ni-kov ). La somme de tous leurs angles est égale à la somme des angles intérieurs du multi-charbon-aucun et à la somme des angles au point intérieur, et c'est l'angle. Nous avons:

Q.E.D.

Avant-pour-mais.

D'après la théo-re-me do-ka-zan-noy, il est clair que la somme des angles n-coal-no-ka dépend du nombre de ses côtés (de n). Par exemple, dans un triangle-ne-ke, et la somme des angles. Dans four-you-reh-coal-ni-ke, et la somme des angles - etc.

4. Théorème sur la somme des angles extérieurs d'un n-gone convexe

Théorème. À propos de la somme des angles externes de you-beam-lo-go-many-coal-no-ka (n-charbon-no-ka).

Où est le nombre de ses angles (côtés), et, ..., sont les angles externes.

Preuve. Image-ra-zim convexe n-angle-nick sur la Fig. 6 et notons ses angles interne et externe.

Riz. 6. Vous êtes un n-coal-nick convexe avec la désignation external-ni-corners-la-mi

Car le coin extérieur est relié au coin intérieur comme adjacent, puis et de même pour le reste des coins extérieurs. Alors:

Au cours de pré-ob-ra-zo-va-niy, nous avons utilisé-zo-va-menti déjà à-ka-zan-ma théo-re-mine sur la somme des angles internes n-angle-no-ka .

Avant-pour-mais.

À partir de la théorie pré-ka-zan-noy, nous suivons le fait in-te-res-ny que la somme des angles externes de l'angle n convexe-lo-ième est égale à du nombre de ses coins (côtés). Soit dit en passant, en fonction de la somme des angles internes.

De plus, nous travaillerons de manière plus fractionnée avec un cas particulier de beaucoup de charbon-no-kov - che-you-rekh-coal-no-ka-mi. Dans la prochaine leçon, nous apprendrons à connaître un fi-gu-swarm tel que par-ral-le-lo-gram et discuterons de ses propriétés.

LA SOURCE

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-class

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144

Matière, âge des élèves : géométrie, 9e année

Le but de la leçon : l'étude des types de polygones.

Tâche d'apprentissage : mettre à jour, élargir et généraliser les connaissances des élèves sur les polygones ; se faire une idée des « composantes » d'un polygone ; mener une étude du nombre d'éléments constitutifs des polygones réguliers (du triangle au n-gone) ;

Tâche de développement : développer la capacité d'analyser, de comparer, de tirer des conclusions, de développer des compétences informatiques, le discours mathématique oral et écrit, la mémoire, ainsi que l'indépendance dans les activités de réflexion et d'apprentissage, la capacité de travailler en binôme et en groupe ; développer des activités de recherche et d'enseignement;

Tâche éducative: cultiver l'indépendance, l'activité, la responsabilité de la tâche assignée, la persévérance dans la réalisation de l'objectif.

Pendant les cours : une citation est écrite sur le tableau noir

"La nature parle le langage des mathématiques, les lettres de ce langage... les figures mathématiques." G. Gallilei

Au début de la leçon, la classe est divisée en groupes de travail (dans notre cas, la division en groupes de 4 personnes chacun - le nombre de membres du groupe est égal au nombre de groupes de questions).

1. Étape d'appel-

Buts:

a) mettre à jour les connaissances des étudiants sur le sujet ;

b) l'éveil de l'intérêt pour le sujet à l'étude, la motivation de chaque élève pour les activités d'apprentissage.

Accueil : Le jeu « Croyez-vous que… », organisation du travail avec texte.

Formes de travail : frontal, de groupe.

« Croyez-vous que… »

1. ... le mot "polygone" indique que toutes les figures de cette famille ont "beaucoup de coins" ?

2. … un triangle appartient à une grande famille de polygones, distingués parmi de nombreuses formes géométriques différentes sur le plan ?

3. …un carré est-il un octogone régulier (quatre côtés + quatre coins) ?

Aujourd'hui, dans la leçon, nous parlerons des polygones. On apprend que cette figure est délimitée par une ligne brisée fermée, qui à son tour peut être simple, fermée. Parlons du fait que les polygones sont plats, réguliers, convexes. L'un des polygones plats est un triangle que vous connaissez depuis longtemps (vous pouvez montrer aux élèves des affiches représentant des polygones, une ligne brisée, leur montrer différentes sortes, vous pouvez également utiliser TSO).

2. Stade de compréhension

Objectif : obtenir une nouvelle information, sa compréhension, sa sélection.

Réception : en zigzag.

Formes de travail : individuel->pair->groupe.

Chaque groupe reçoit un texte sur le sujet de la leçon, et le texte est conçu de manière à inclure à la fois des informations déjà connues des élèves et des informations complètement nouvelles. En même temps que le texte, les étudiants reçoivent des questions dont les réponses doivent être trouvées dans ce texte.

Polygones. Types de polygones.

Qui n'a pas entendu parler du mystérieux triangle des Bermudes, où les navires et les avions disparaissent sans laisser de trace ? Mais le triangle qui nous est familier depuis l'enfance regorge de nombreuses choses intéressantes et mystérieuses.

Outre les types de triangles que nous connaissons déjà, divisés par des côtés (scalènes, isocèles, équilatéraux) et des angles (angles aigus, obtus, rectangles), le triangle appartient à une grande famille de polygones qui se distingue de beaucoup différentes formes géométriques sur le plan.

Le mot "polygone" indique que toutes les figures de cette famille ont "plusieurs coins". Mais cela ne suffit pas à caractériser la figure.

Une ligne brisée A 1 A 2 ... A n est une figure composée de points A 1, A 2, ... A n et de segments A 1 A 2, A 2 A 3, ... les reliant. Les points sont appelés les sommets de la polyligne et les segments sont appelés les liens de la polyligne. (Fig. 1)

Une ligne brisée est dite simple si elle n'a pas d'auto-intersections (Fig. 2,3).

Une ligne brisée est dite fermée si ses extrémités coïncident. La longueur d'une ligne brisée est la somme des longueurs de ses liens (Fig. 4).

Une simple ligne brisée fermée est appelée un polygone si ses liens adjacents ne se trouvent pas sur la même ligne droite (Fig. 5).

Remplacez le mot "polygone" au lieu de la partie "plusieurs" par un nombre spécifique, par exemple 3. Vous obtiendrez un triangle. Ou 5. Alors - un pentagone. Notez qu'il y a autant d'angles que de côtés, donc ces figures pourraient bien être qualifiées de multilatérales.

Les sommets de la polyligne sont appelés les sommets du polygone et les liens de la polyligne sont appelés les côtés du polygone.

Le polygone divise le plan en deux régions : interne et externe (Fig. 6).

Un polygone plan ou une région polygonale est une partie finie d'un plan délimitée par un polygone.

Deux sommets d'un polygone qui sont les extrémités d'un même côté sont appelés voisins. Les sommets qui ne sont pas les extrémités d'un côté ne sont pas adjacents.

Un polygone à n sommets et donc à n côtés est appelé un n-gone.

Bien que le plus petit nombre de côtés d'un polygone soit 3. Mais les triangles, reliés les uns aux autres, peuvent former d'autres formes, qui à leur tour sont également des polygones.

Les segments reliant des sommets non voisins d'un polygone sont appelés diagonales.

Un polygone est dit convexe s'il se trouve dans un demi-plan par rapport à toute ligne contenant son côté. Dans ce cas, la droite elle-même est considérée comme appartenant au demi-plan.

L'angle d'un polygone convexe à un sommet donné est l'angle formé par ses côtés convergeant vers ce sommet.

Démontrons le théorème (sur la somme des angles d'un n-gone convexe) : La somme des angles d'un n-gone convexe est égale à 180 0 *(n - 2).

Preuve. Dans le cas n=3 le théorème est valide. Soit А 1 А 2 …А n un polygone convexe donné et n>3. Dessinons-y des diagonales (à partir d'un sommet). Le polygone étant convexe, ces diagonales le divisent en n - 2 triangles. La somme des angles du polygone est la même que la somme des angles de tous ces triangles. La somme des angles de chaque triangle est 180 0 et le nombre de ces triangles est n - 2. Par conséquent, la somme des angles d'un angle n convexe A 1 A 2 ... A n est 180 0 * ( n-2). Le théorème a été démontré.

L'angle extérieur d'un polygone convexe à un sommet donné est l'angle adjacent à l'angle intérieur du polygone à ce sommet.

Un polygone convexe est dit régulier si tous les côtés sont égaux et tous les angles sont égaux.

Ainsi, le carré peut être appelé différemment - un quadrilatère régulier. Les triangles équilatéraux sont également réguliers. De telles figures intéressent depuis longtemps les maîtres qui ont décoré les bâtiments. Ils ont fait de beaux motifs, par exemple, sur le parquet. Mais tous les polygones réguliers ne pouvaient pas être utilisés pour former du parquet. Le parquet ne peut pas être formé d'octogones réguliers. Le fait est qu'ils ont chaque angle égal à 135 0. Et si un point est le sommet de deux de ces octogones, alors ils auront 270 0, et il n'y a nulle part où le troisième octogone peut s'adapter: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Mais assez pour un carré. Par conséquent, il est possible de plier le parquet à partir d'octogones et de carrés réguliers.

Les étoiles sont correctes. Notre étoile à cinq branches est une étoile pentagonale régulière. Et si vous faites pivoter le carré autour du centre de 45 0, vous obtenez une étoile octogonale régulière.

1 groupe

Qu'est-ce qu'une ligne brisée ? Expliquez ce que sont les sommets et les liens d'une polyligne.

Quelle ligne brisée est dite simple ?

Quelle ligne brisée est dite fermée ?

Qu'est-ce qu'un polygone ? Comment appelle-t-on les sommets d'un polygone ? Quels sont les côtés d'un polygone ?

2 groupe

Qu'est-ce qu'un polygone plat ? Donnez des exemples de polygones.

Qu'est-ce que le n-gon ?

Expliquez quels sommets du polygone sont adjacents et lesquels ne le sont pas.

Quelle est la diagonale d'un polygone ?

3 groupe

Qu'est-ce qu'un polygone convexe ?

Expliquez quels coins du polygone sont externes et lesquels sont internes ?

Qu'est-ce qu'un polygone régulier ? Donnez des exemples de polygones réguliers.

4 groupe

Quelle est la somme des angles d'un n-gone convexe ? Prouve le.

Les étudiants travaillent avec le texte, recherchent des réponses aux questions posées, après quoi des groupes d'experts sont formés, dans lesquels un travail est effectué sur les mêmes questions: les étudiants soulignent l'essentiel, rédigent un résumé à l'appui, présentent des informations dans l'un des formes graphiques. A la fin des travaux, les élèves retournent dans leurs groupes de travail.

3. Phase de réflexion -

a) évaluation de leurs connaissances, défi à l'étape suivante de la connaissance ;

b) compréhension et appropriation des informations reçues.

Réception : travail de recherche.

Formes de travail : individuel->pair->groupe.

Les groupes de travail sont experts dans les réponses à chacune des sections des questions proposées.

De retour au groupe de travail, l'expert présente les autres membres du groupe avec les réponses à leurs questions. Dans le groupe, il y a un échange d'informations de tous les membres du groupe de travail. Ainsi, dans chaque groupe de travail, grâce au travail des experts, une idée générale se forme sur le sujet à l'étude.

Travail de recherche des étudiants - remplissage du tableau.

Polygones réguliers	Dessin	Nombre de côtés	Nombre de pics	Somme de tous les angles internes	Degré mesure int. angle	Mesure en degrés de l'angle externe	Nombre de diagonales
A) un triangle
B) quadrilatère
B) cinq murs
D) hexagone
E) n-gon

Résoudre des problèmes intéressants sur le sujet de la leçon.

• Dans le quadrilatère, tracez une ligne de manière à ce qu'elle le divise en trois triangles.
• Combien de côtés a un polygone régulier dont chacun des angles intérieurs est égal à 135 0 ?
• Dans un certain polygone, tous les angles intérieurs sont égaux les uns aux autres. La somme des angles intérieurs de ce polygone peut-elle être : 360 0 , 380 0 ?

Résumé de la leçon. Enregistrement des devoirs.

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Dans cette leçon, nous allons commencer un nouveau sujet et introduire un nouveau concept pour nous - un "polygone". Nous verrons les concepts de base associés aux polygones : côtés, sommets, coins, convexité et non-convexité. Ensuite, nous prouverons faits marquants comme le théorème de somme d'angle intérieur de polygone, le théorème de somme d'angle extérieur de polygone. De ce fait, nous nous rapprocherons de l'étude de cas particuliers de polygones, qui seront abordés dans les prochaines leçons.

Thème : Quadrilatères

Leçon : Polygones

En cours de géométrie, nous étudions les propriétés des formes géométriques et avons déjà considéré les plus simples d'entre elles : les triangles et les cercles. Dans le même temps, nous avons également discuté de cas particuliers spécifiques de ces figures, tels que les triangles rectangles, isocèles et réguliers. Il est maintenant temps de parler de formes plus générales et complexes - polygones.

Avec un cas particulier polygones nous sommes déjà familiers - c'est un triangle (voir Fig. 1).

Riz. 1. Triangle

Le nom lui-même souligne déjà qu'il s'agit d'une figure à trois coins. Par conséquent, dans polygone il peut y en avoir beaucoup, c'est-à-dire plus de trois. Par exemple, dessinons un pentagone (voir Fig. 2), c'est-à-dire figure à cinq coins.

Riz. 2. Pentagone. Polygone convexe

Définition.Polygone- une figure composée de plusieurs points (plus de deux) et le nombre correspondant de segments qui les relient en série. Ces points sont appelés pics polygone et segments - des soirées. Dans ce cas, deux côtés adjacents ne se trouvent pas sur la même ligne droite et aucun côté non adjacent ne se croise.

Définition.polygone régulier est un polygone convexe dont tous les côtés et angles sont égaux.

N'importe quel polygone divise le plan en deux régions : interne et externe. L'intérieur est aussi appelé polygone.

En d'autres termes, par exemple, lorsqu'ils parlent d'un pentagone, ils désignent à la fois toute sa région intérieure et sa frontière. Et la zone intérieure comprend également tous les points qui se trouvent à l'intérieur du polygone, c'est-à-dire le point appartient également au pentagone (voir Fig. 2).

Les polygones sont parfois aussi appelés n-gons pour souligner que le cas général d'avoir un nombre inconnu de coins (n ​​pièces) est considéré.

Définition. Périmètre du polygone est la somme des longueurs des côtés du polygone.

Nous devons maintenant nous familiariser avec les types de polygones. Ils sont divisés en convexe et non convexe. Par exemple, le polygone illustré à la Fig. 2 est convexe, et sur la Fig. 3 non convexes.

Riz. 3. Polygone non convexe

Définition 1. Polygone appelé convexe, si lors du tracé d'une ligne droite à travers l'un de ses côtés, l'ensemble polygone se trouve que d'un côté de cette ligne. non convexe sont tout le reste polygones.

Il est facile d'imaginer que lors de l'extension de n'importe quel côté du pentagone de la Fig. 2 tout sera d'un côté de cette droite, c'est-à-dire il est convexe. Mais lorsque vous tracez une ligne droite à travers le quadrilatère de la Fig. 3 on voit déjà qu'il le divise en deux parties, c'est-à-dire il est non convexe.

Mais il existe une autre définition de la convexité d'un polygone.

Définition 2. Polygone appelé convexe si, lors du choix de deux de ses points intérieurs et de leur connexion avec un segment, tous les points du segment sont également des points intérieurs du polygone.

Une démonstration de l'utilisation de cette définition peut être vue dans l'exemple de construction de segments de la Fig. 2 et 3.

Définition. Diagonale Un polygone est un segment qui relie deux sommets non adjacents.

Pour décrire les propriétés des polygones, il existe deux théorèmes les plus importants concernant leurs angles : théorème de la somme des angles intérieurs du polygone convexe et théorème de la somme des angles extérieurs du polygone convexe. Considérons-les.

Théorème. Sur la somme des angles intérieurs d'un polygone convexe (n-gon).

Où est le nombre de ses angles (côtés).

Preuve 1. Représentons sur la Fig. 4 n-gone convexe.

Riz. 4. N-gon convexe

Dessinez toutes les diagonales possibles à partir du sommet. Ils divisent le n-gon en triangles, car chacun des côtés du polygone forme un triangle, à l'exception des côtés adjacents au sommet. Il est facile de voir sur la figure que la somme des angles de tous ces triangles sera juste égale à la somme des angles intérieurs du n-gone. Puisque la somme des angles de tout triangle est , alors la somme des angles intérieurs d'un n-gone est :

Q.E.D.

Preuve 2. Une autre preuve de ce théorème est également possible. Dessinons un n-gon similaire sur la Fig. 5 et connectez n'importe lequel de ses points intérieurs à tous les sommets.

Riz. 5.

Nous avons obtenu une partition d'un n-gone en n triangles (combien de côtés, autant de triangles). La somme de tous leurs angles est égale à la somme des angles intérieurs du polygone et à la somme des angles au point intérieur, et c'est l'angle. Nous avons:

Q.E.D.

Éprouvé.

D'après le théorème prouvé, on voit que la somme des angles d'un n-gone dépend du nombre de ses côtés (sur n). Par exemple, dans un triangle, et la somme des angles est . Dans un quadrilatère, et la somme des angles - etc.

Théorème. Sur la somme des angles extérieurs d'un polygone convexe (n-gon).

Où est le nombre de ses coins (côtés), et , ..., sont les coins externes.

Preuve. Dessinons un n-gone convexe sur la Fig. 6 et notons ses angles interne et externe.

Riz. 6. N-gon convexe avec coins extérieurs marqués

Car le coin extérieur est relié au coin intérieur comme adjacent, puis et de même pour les autres angles extérieurs. Alors:

Lors des transformations, nous avons utilisé le théorème déjà prouvé sur la somme des angles intérieurs d'un n-gone.

Éprouvé.

Du théorème prouvé, il résulte fait intéressant que la somme des angles extérieurs d'un n-gone convexe est sur le nombre de ses angles (côtés). Soit dit en passant, contrairement à la somme des angles intérieurs.

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3. Xvatit.com().

Devoirs

La partie du plan délimitée par une ligne brisée fermée s'appelle un polygone.

Les segments de cette ligne brisée sont appelés des soirées polygone. AB, BC, CD, DE, EA (Fig. 1) - côtés du polygone ABCDE. La somme de tous les côtés d'un polygone s'appelle son périmètre.

Le polygone s'appelle convexe, s'il est situé d'un côté de l'un de ses côtés, prolongé indéfiniment au-delà de ses deux sommets.

Le polygone MNPKO (Fig. 1) ne sera pas convexe, car il est situé sur plus d'un côté de la droite KP.

Nous ne considérerons que les polygones convexes.

Les angles formés par deux côtés adjacents d'un polygone sont appelés ses interne coins et leurs sommets - sommets du polygone.

Un segment de droite reliant deux sommets non adjacents d'un polygone est appelé une diagonale du polygone.

AC, AD - diagonales du polygone (Fig. 2).

Les coins adjacents aux coins internes du polygone sont appelés les coins externes du polygone (Fig. 3).

Selon le nombre d'angles (côtés), un polygone est appelé triangle, quadrilatère, pentagone, etc.

Deux polygones sont dits égaux s'ils peuvent être superposés.

Polygones inscrits et circonscrits

Si tous les sommets d'un polygone se trouvent sur un cercle, alors le polygone est appelé inscrit dans un cercle, et le cercle décrit près du polygone (fig.).

Si tous les côtés d'un polygone sont tangents à un cercle, alors le polygone est appelé décrit autour du cercle, et le cercle s'appelle inscrit dans un polygone (fig.).

Similitude des polygones

Deux polygones de même nom sont dits semblables si les angles de l'un d'eux sont respectivement égaux aux angles de l'autre, et si les côtés semblables des polygones sont proportionnels.

Les polygones ayant le même nombre de côtés (angles) sont appelés polygones du même nom.

Les côtés de polygones similaires sont dits similaires s'ils relient les sommets d'angles égaux correspondants (Fig.).

Ainsi, par exemple, pour que le polygone ABCDE soit semblable au polygone A'B'C'D'E', il faut que : E = ∠E' et, en plus, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Rapport de périmètre de polygones similaires

Considérons d'abord la propriété d'une série de rapports égaux. Prenons par exemple les relations : 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Trouvons la somme des membres précédents de ces relations, puis - la somme de leurs membres suivants et trouvons le rapport des sommes reçues, nous obtenons:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Nous obtenons la même chose si nous prenons un certain nombre d'autres relations, par exemple : 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 2/3 et ensuite nous trouvons le rapport de ces sommes, on a:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Dans les deux cas, la somme des membres précédents d'une série de relations égales est liée à la somme des membres suivants de la même série, car le membre précédent de l'une de ces relations est lié à son suivant.

Nous avons déduit cette propriété en considérant un certain nombre d'exemples numériques. Elle peut être déduite strictement et sous une forme générale.

Considérons maintenant le rapport des périmètres de polygones similaires.

Soit le polygone ABCDE semblable au polygone A'B'C'D'E' (fig.).

Il résulte de la similitude de ces polygones que

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Sur la base de la propriété d'une série de relations égales que nous avons dérivées, nous pouvons écrire:

La somme des termes précédents des relations que nous avons prises est le périmètre du premier polygone (P), et la somme des termes suivants de ces relations est le périmètre du second polygone (P'), donc P/P' = AB / A'B'.

Par conséquent, les périmètres de polygones similaires sont liés comme leurs côtés correspondants.

Rapport des aires de polygones similaires

Soient ABCDE et A'B'C'D'E' des polygones semblables (fig.).

On sait que ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' et ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Outre,

;

Puisque les seconds rapports de ces proportions sont égaux, ce qui découle de la similarité des polygones, alors

En utilisant la propriété d'une série de rapports égaux, on obtient :

Ou

où S et S' sont les aires de ces polygones similaires.

Par conséquent, les aires de polygones similaires sont liées comme les carrés de côtés similaires.

La formule résultante peut être convertie sous cette forme: S / S '= (AB / A'B ') 2

Aire d'un polygone arbitraire

Soit nécessaire de calculer l'aire d'un quadrilatère arbitraire ABDC (Fig.).

Traçons-y une diagonale, par exemple AD. Nous obtenons deux triangles ABD et ACD dont nous pouvons calculer les aires. Ensuite, nous trouvons la somme des aires de ces triangles. La somme résultante exprimera l'aire du quadrilatère donné.

Si vous avez besoin de calculer l'aire d'un pentagone, nous procédons de la même manière: nous dessinons des diagonales à partir de l'un des sommets. Nous obtenons trois triangles dont nous pouvons calculer les aires. On peut donc trouver l'aire de ce pentagone. Nous faisons de même lors du calcul de la surface de n'importe quel polygone.

Zone de projection polygonale

Rappelons que l'angle entre une droite et un plan est l'angle entre une droite donnée et sa projection sur le plan (Fig.).

Théorème. L'aire de la projection orthogonale du polygone sur le plan est égale à l'aire du polygone projeté multipliée par le cosinus de l'angle formé par le plan du polygone et le plan de projection.

Chaque polygone peut être divisé en triangles dont la somme des aires est égale à l'aire du polygone. Par conséquent, il suffit de prouver le théorème pour un triangle.

Soit ΔABC projeté sur le plan R. Considérez deux cas :

a) un des côtés ΔABS est parallèle au plan R;

b) aucun des côtés ΔABC n'est parallèle R.

Envisager premier cas: soit [AB] || R.

Dessiner à travers le plan (AB) R 1 || R et projeter orthogonalement ΔABC sur R 1 et sur R(riz.); on obtient ΔABC 1 et ΔA'B'C'.

Par la propriété de projection, on a ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’, et donc

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

Dessinons ⊥ et le segment D 1 C 1 . Alors ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ est l'angle entre le plan ΔABC et le plan R une . C'est pourquoi

S ∆ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

et, par conséquent, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Passons à la considération deuxième cas. Dessiner un avion R 1 || R par ce sommet ΔАВС, la distance à partir de laquelle au plan R le plus petit (que ce soit le sommet A).

Concevons ΔABC sur le plan R 1 et R(riz.); soit ses projections respectivement ΔAB 1 C 1 et ΔA'B'C'.

Soit (BC) ∩ p 1 = D. Alors

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

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