Fonctions trigonométriques inverses et leurs graphiques. Qu'est-ce que l'arc sinus, l'arc cosinus ? Qu'est-ce que l'arc tangente, l'arc tangente ? Fonctions trigonométriques inverses de l'article

Dans un certain nombre de problèmes de mathématiques et de ses applications, il est demandé, à partir de la valeur connue de la fonction trigonométrique, de trouver la valeur correspondante de l'angle, exprimée en degrés ou en radians. On sait qu'une même valeur du sinus correspond à une infinité d'angles, par exemple, si $\sin α=1/2,$ alors l'angle $α$ peut valoir à la fois $30°$ et $150°, $ ou en radian mesurent $π /6$ et $5π/6,$ et n'importe lequel des angles obtenus à partir de ceux-ci en ajoutant un terme de la forme $360°⋅k,$ ou respectivement $2πk,$ où $k$ est n'importe lequel entier. Cela devient clair en considérant le graphique de la fonction $y=\sin x$ sur la droite numérique entière (voir Fig. $1$) : si nous traçons un segment de longueur $1/2$ sur l'axe $Oy$ et dessinons un droite parallèle à l'axe $Ox, $ alors elle coupera la sinusoïde en un nombre infini de points. Pour éviter une variété possible de réponses, des fonctions trigonométriques inverses sont introduites, autrement appelées fonctions circulaires ou arc (du mot latin arcus - "arc").

Les quatre fonctions trigonométriques de base $\sin x,$ $\cos x,$ $\mathrm(tg)\,x$ et $\mathrm(ctg)\,x$ correspondent aux quatre fonctions d'arc $\arcsin x,$ $\arccos x ,$ $\mathrm(arctg)\,x$ et $\mathrm(arcctg)\,x$ (lire : arcsinus, arccosinus, arctangente, arccotangente). Considérons les fonctions \arcsin x et \mathrm(arctg)\,x, puisque les deux autres sont exprimées en fonction d'elles par les formules :

$\arccos x = \frac(π)(2) − \arcsin x,$ $\mathrm(arcctg)\,x = \frac(π)(2) − \mathrm(arctg)\,x.$

L'égalité $y = \arcsin x$ signifie par définition un tel angle $y,$ exprimé en radian et compris dans l'intervalle de $−\frac(π)(2)$ à $\frac(π)(2) ,$ sinus qui est égal à $x,$ soit $\sin y = x.$ La fonction $\arcsin x$ est la fonction inverse de la fonction $\sin x,$ considérée sur l'intervalle $\left[−\ frac(π)(2 ),+\frac(π)(2)\right],$ où cette fonction est monotone croissante et prend toutes les valeurs de $−1$ à $+1.$ Évidemment, l'argument $y$ de la fonction $\arcsin x$ ne peut prendre des valeurs que sur le segment $\left[−1,+1\right].$ Ainsi, la fonction $y=\arcsin x$ est définie sur le segment $\left[−1,+1\right],$ est monotone croissante, et ses valeurs remplissent le segment $\left[−\frac(π)(2),+\frac(π)(2)\ right].$ Le tracé de la fonction est illustré à la fig. $2.$

Sous la condition $−1 ≤ a ≤ 1$, on représente toutes les solutions de l'équation $\sin x = a$ comme $x=(−1)^n \arcsin a + πn,$ $n=0,±1 ,± 2, … .$ Par exemple, si

$\sin x = \frac(\sqrt(2))(2)$ alors $x = (−1)^n \frac(π)(4)+πn,$ $n = 0, ±1, ±2 , … .$

La relation $y=\mathrm(arcctg)\,x$ est définie pour toutes les valeurs de $x$ et signifie par définition que l'angle $y,$ exprimé en radian est compris dans

$−\frac(π)(2)

et la tangente de cet angle est x, soit $\mathrm(tg)\,y = x.$ La fonction $\mathrm(arctg)\,x$ est définie sur toute la droite réelle, est la fonction inverse de la fonction $\mathrm( tg)\,x$, qui n'est considéré que sur l'intervalle

$−\frac(π)(2)

La fonction $y = \mathrm(arctg)\,x$ est monotone croissante, son graphe est donné en fig. $3.$

Toutes les solutions de l'équation $\mathrm(tg)\,x = a$ peuvent s'écrire $x=\mathrm(arctg)\,a+πn,$ $n=0,±1,±2,… .$

Notez que les fonctions trigonométriques inverses sont largement utilisées dans l'analyse mathématique. Par exemple, l'une des premières fonctions pour lesquelles une représentation en série de puissance infinie a été obtenue était la fonction $\mathrm(arctg)\,x.$ à côté

Les tâches liées aux fonctions trigonométriques inverses sont souvent proposées aux examens finaux des écoles et aux examens d'entrée dans certaines universités. Une étude détaillée de ce sujet ne peut être réalisée que dans des cours parascolaires ou dans des cours au choix. Le cours proposé vise à développer au mieux les capacités de chaque élève, à améliorer sa formation mathématique.

Le cours est conçu pour 10 heures :

1. Fonctions d'arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 heures).

2. Opérations sur les fonctions trigonométriques inverses (4 heures).

3. Opérations trigonométriques inverses sur des fonctions trigonométriques (2 heures).

Leçon 1 (2 heures) Sujet : Fonctions y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Objectif : couverture complète de ce problème.

1. Fonction y \u003d arcsin x.

a) Pour la fonction y \u003d sin x sur le segment, il existe une fonction inverse (à valeur unique), que nous avons convenu d'appeler arcsinus et de noter comme suit : y \u003d arcsin x. Le graphique de la fonction inverse est symétrique du graphique de la fonction principale par rapport à la bissectrice des angles de coordonnées I - III.

Propriétés de la fonction y = arcsin x .

1)Périmètre de définition : segment [-1 ; une];

2) Zone de changement : coupe ;

3) Fonction y = arcsin x impair : arcsin (-x) = - arcsin x ;

4) La fonction y = arcsin x est monotone croissante ;

5) Le graphe coupe les axes Ox, Oy à l'origine.

Exemple 1. Trouver a = arcsin . Cet exemple peut être formulé en détail comme suit : trouver un tel argument a , compris dans l'intervalle de à , dont le sinus est égal à .

La solution. Il existe d'innombrables arguments dont le sinus est , par exemple : etc. Mais nous ne sommes intéressés que par l'argument qui est sur l'intervalle . Cet argument sera. Alors, .

Exemple 2. Trouver .La solution. En raisonnant de la même manière que dans l'exemple 1, on obtient .

b) exercices oraux. Trouver : arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0 Exemple de réponse : , car . Les expressions ont-elles un sens : ; arcsin 1,5 ; ?

c) Classez par ordre croissant : arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Fonctions y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (de même).

Leçon 2 (2 heures) Sujet : Fonctions trigonométriques inverses, leurs graphes.

Objectif: dans cette leçon, il est nécessaire d'acquérir des compétences pour déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques, pour tracer des fonctions trigonométriques inverses à l'aide de D (y), E (y) et les transformations nécessaires.

Dans cette leçon, effectuez des exercices qui incluent la recherche du domaine de définition, la portée des fonctions du type : y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .

Il faut construire des graphes de fonctions : a) y = arcsin 2x ; b) y = 2 arcsin 2x ; c) y \u003d arcsin;

d) y \u003d arcsin; e) y = arcsin; f) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Exemple. Traçons y = arccos

Vous pouvez inclure les exercices suivants dans vos devoirs : construire des graphes de fonctions : y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Graphiques de fonctions inverses

Leçon #3 (2 heures) Sujet :

Opérations sur les fonctions trigonométriques inverses.

Objectif : élargir les connaissances mathématiques (ceci est important pour les candidats aux spécialités avec des exigences accrues pour la préparation mathématique) en introduisant les relations de base pour les fonctions trigonométriques inverses.

Matériel de cours.

Quelques opérations trigonométriques simples sur des fonctions trigonométriques inverses : sin (arcsin x) \u003d x, je xi? une; cos (arccos x) = x, i xi ? une; tg (arctg x)= x , x I R ; CTG (arcctg x) = x , x I R.

Des exercices.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctgx) = ; tg (arctg x) = .

b) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Soit arcsin 0,6 \u003d a, sin a \u003d 0,6;

cos(arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

Remarque : nous prenons le signe « + » devant la racine car a = arcsin x satisfait .

c) sin (1,5 + arcsin).Réponse : ;

d) ctg ( + arctg 3).Réponse : ;

e) tg (- arcctg 4) Réponse : .

f) cos (0,5 + arc cos) . Réponse: .

Calculer:

a) sin (2 arctan 5) .

Soit arctg 5 = a, alors sin 2 a = ou sin(2 arctan 5) = ;

b) cos (+ 2 arcsin 0,8) Réponse : 0,28.

c) arctg + arctg.

Soit a = arctg , b = arctg ,

alors tan(a + b) = .

d) sin (arcsin + arcsin).

e) Prouver que pour tout x I [-1; 1] vrai arcsin x + arccos x = .

Preuve:

arcsin x = - arccos x

sin (arcsin x) = sin (- arccos x)

x = cos (arccos x)

Pour une solution autonome : sin (arccos ), cos (arcsin ) , cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos ) , ctg (arccos ).

Pour une solution domestique : 1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0) ; 2) arcsin + arcsin; 3) ctg ( - arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 - arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 - arctg 3.

Leçon n°4 (2 heures) Sujet : Opérations sur les fonctions trigonométriques inverses.

Objectif : dans cette leçon, montrer l'utilisation des rapports dans la transformation d'expressions plus complexes.

Matériel de cours.

ORALEMENT:

a) sin (arc cos 0,6), cos (arc cos 0,8);

b) tg (arctg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arctg ());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

ÉCRIT:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5 - arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg (- arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Un travail indépendant aidera à déterminer le niveau d'assimilation de la matière

1) tg ( arctg 2 - arctg ) 2) cos( - arctg2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) sin (1.5 - arctg 3) 3) arcctg3 - arctg2

Pour les devoirs, vous pouvez proposer :

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tg ( arcsin )); 4) sin (2 arctan); 5) tg ( (arcsin ))

Leçon n°5 (2h) Sujet : Opérations trigonométriques inverses sur des fonctions trigonométriques.

Objectif : pour former les élèves à la compréhension des opérations trigonométriques inverses sur les fonctions trigonométriques, concentrez-vous sur l'augmentation de la signification de la théorie étudiée.

Lors de l'étude de ce sujet, on suppose que la quantité de matériel théorique à mémoriser est limitée.

Matériel pour le cours :

Vous pouvez commencer à apprendre du nouveau matériel en examinant la fonction y = arcsin (sin x) et en la traçant.

3. Chaque x I R est associé à y I , c'est-à-dire<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. La fonction est impaire: sin (-x) \u003d - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Représenter y = arcsin (sin x) sur :

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y \u003d sin ( - x) \u003d sinx, 0<= - x <= .

Alors,

Ayant construit y = arcsin (sin x) sur , on continue symétriquement autour de l'origine sur [- ; 0], en tenant compte de l'impair de cette fonction. En utilisant la périodicité, nous continuons sur l'axe numérique entier.

Ensuite, notez quelques ratios : arcsin (sin a) = a si<= a <= ; arccos (cos un ) = un si 0<= a <= ; arctg (tg a) = un si< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

Et faites les exercices suivants : a) arccos (sin 2) Réponse : 2 - ; b) arcsin (cos 0,6) Réponse : - 0,1 ; c) arctg (tg 2) Réponse : 2 - ;

d) arcctg (tg 0,6) Réponse : 0,9 ; e) arccos (cos ( - 2)).Réponse : 2 - ; f) arcsin (sin (- 0,6)). Réponse : - 0,6 ; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Réponse : 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Réponse : - 0,6 ; - arctanx; e) arccos + arccos

Qu'est-ce que l'arc sinus, l'arc cosinus ? Qu'est-ce que l'arc tangente, l'arc tangente ?

Attention!
Il y a d'autres
matériaux dans Article spécial 555.
Pour ceux qui fortement "pas très..."
Et pour ceux qui "beaucoup...")

Vers les notions arcsinus, arccosinus, arctangente, arccotangente la population étudiante est méfiante. Il ne comprend pas ces termes et, par conséquent, ne fait pas confiance à cette glorieuse famille.) Mais en vain. Ce sont des notions très simples. Ce qui, soit dit en passant, facilite grandement la vie d'une personne avertie au moment de décider équations trigonométriques !

Confus au sujet de la simplicité? En vain.) Ici et maintenant, vous en serez convaincu.

Bien sûr, pour comprendre, ce serait bien de savoir qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente. oui eux valeurs du tableau pour certains angles... Au moins dans les termes les plus généraux. Ensuite, il n'y aura pas de problèmes ici non plus.

Donc, nous sommes surpris, mais rappelez-vous : arc sinus, arc cosinus, arc tangente et arc tangente ne sont que quelques angles. Ni plus ni moins. Il y a un angle, disons 30°. Et il y a un angle arcsin0.4. Ou arctg(-1.3). Il existe toutes sortes d'angles.) Vous pouvez simplement écrire des angles de différentes manières. Vous pouvez écrire l'angle en termes de degrés ou radians. Ou vous pouvez - à travers son sinus, cosinus, tangente et cotangente ...

Que veut dire l'expression

arcsin 0,4 ?

C'est l'angle dont le sinus vaut 0,4! Oui oui. C'est le sens de l'arc sinus. Je répète précisément : arcsin 0,4 est un angle dont le sinus vaut 0,4.

Et c'est tout.

Pour garder cette pensée simple dans ma tête pendant longtemps, je vais même donner une ventilation de ce terme terrible - l'arc sinus :

arc péché 0,4
coin, dont le sinus est égal à 0,4

Comme il est écrit, ainsi il est entendu.) Presque. Console arc moyens arc(mot cambre savez?), parce que les anciens utilisaient des arcs au lieu de coins, mais cela ne change pas l'essence de la question. Rappelez-vous ce décodage élémentaire d'un terme mathématique ! De plus, pour l'arc cosinus, l'arc tangente et l'arc tangente, le décodage ne diffère que par le nom de la fonction.

Qu'est-ce qu'Arccos 0.8 ?
C'est un angle dont le cosinus vaut 0,8.

Qu'est-ce que arctan(-1,3) ?
C'est un angle dont la tangente est -1,3.

Qu'est-ce que l'arcctg 12 ?
C'est un angle dont la cotangente est 12.

Un tel décodage élémentaire permet, soit dit en passant, d'éviter les erreurs épiques.) Par exemple, l'expression arccos1,8 semble assez solide. Commençons à décoder : arccos1,8 est un angle dont le cosinus est égal à 1,8... Hop-hop !? 1.8 ! ? Le cosinus ne peut pas être supérieur à un !

Droit. L'expression arccos1,8 n'a pas de sens. Et écrire une telle expression dans une réponse amusera grandement le vérificateur.)

Élémentaire, comme vous pouvez le voir.) Chaque angle a son propre sinus et cosinus. Et presque tout le monde a sa propre tangente et cotangente. Par conséquent, connaissant la fonction trigonométrique, vous pouvez écrire l'angle lui-même. Pour cela, arcsinus, arccosinus, arctangentes et arccotangentes sont prévus. De plus, j'appellerai toute cette famille un diminutif - arcs. taper moins.)

Attention! Verbe élémentaire et conscient déchiffrer les arches vous permet de résoudre calmement et en toute confiance une variété de tâches. Et en inhabituel tâches qu'elle seule sauve.

Est-il possible de passer des arcs aux degrés ou radians ordinaires ?- J'entends une question prudente.)

Pourquoi pas!? Facilement. Vous pouvez y aller et revenir. De plus, il est parfois nécessaire de le faire. Les arches sont une chose simple, mais sans elles, c'est en quelque sorte plus calme, non ?)

Par exemple : qu'est-ce que arcsin 0.5 ?

Regardons le décryptage : arcsin 0,5 est l'angle dont le sinus vaut 0,5. Maintenant, allumez votre tête (ou Google)) et rappelez-vous quel angle a un sinus de 0,5 ? Le sinus vaut 0,5 y angle de 30 degrés. C'est tout ce qu'on peut en dire: arcsin 0,5 est un angle de 30°. Vous pouvez écrire en toute sécurité :

arcsin 0,5 = 30°

Ou, plus solidement, en termes de radians :

Voilà, vous pouvez oublier l'arcsinus et travailler avec les degrés ou radians habituels.

Si tu réalisais qu'est-ce que l'arcsinus, l'arccosinus ... Qu'est-ce que l'arctangente, l'arccotangente ... Ensuite, vous pouvez facilement faire face, par exemple, à un tel monstre.)

Un ignorant reculera d'horreur, oui ...) Et un savant rappelez-vous le décryptage: l'arcsinus est l'angle dont le sinus est ... Eh bien, et ainsi de suite. Si une personne bien informée sait aussi table sinus... table cosinus. Tableau des tangentes et cotangentes, alors il n'y a aucun problème !

Il suffit de considérer que :

Je vais déchiffrer, c'est-à-dire traduire la formule en mots : angle dont la tangente vaut 1 (arctg1) est un angle de 45°. Ou, ce qui revient au même, Pi/4. De la même manière:

et c'est tout... On remplace toutes les arches par des valeurs en radians, tout est réduit, il reste à calculer combien sera 1 + 1. Ce sera 2.) Quelle est la bonne réponse.

C'est ainsi que vous pouvez (et devriez) passer des arcs sinus, arccosinus, arctangentes et arctangentes aux degrés et radians ordinaires. Cela simplifie grandement les exemples effrayants !

Souvent, dans de tels exemples, à l'intérieur des arcs sont négatif valeurs. Comme, arctg(-1.3), ou, par exemple, arccos(-0.8)... Ce n'est pas un problème. Voici quelques formules simples pour passer du négatif au positif :

Vous devez, par exemple, déterminer la valeur d'une expression :

Vous pouvez résoudre ce problème en utilisant un cercle trigonométrique, mais vous ne voulez pas le dessiner. Bien, OK. Venir de négatif valeurs à l'intérieur de l'arc cosinus à positif selon la seconde formule :

À l'intérieur de l'arc cosinus à droite déjà positif sens. Quoi

vous avez juste à savoir. Il reste à substituer les radians à la place de l'arc cosinus et à calculer la réponse :

C'est tout.

Restrictions sur arcsinus, arccosinus, arctangente, arccotangente.

Y a-t-il un problème avec les exemples 7 à 9 ? Eh bien, oui, il y a une astuce là-bas.)

Tous ces exemplaires, du 1er au 9ème, sont soigneusement triés dans les rayons de Article 555. Quoi, comment et pourquoi. Avec tous les pièges et astuces secrets. Plus des moyens de simplifier considérablement la solution. Soit dit en passant, cette section contient de nombreuses informations utiles et des conseils pratiques sur la trigonométrie en général. Et pas seulement en trigonométrie. Aide beaucoup.

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprendre - avec intérêt !)

vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivés.

Fonctions trigonométriques inverses(fonctions circulaires, fonctions d'arc) - fonctions mathématiques inverses des fonctions trigonométriques.

Ceux-ci comprennent généralement 6 fonctions :

• arc sinus(symbole: arcsin x; arcsin x est l'angle péché qui est égal à X),
• arc cosinus(symbole: arccos x; arccos x est l'angle dont le cosinus est égal à X etc),
• arc tangente(symbole: arctg x ou arctan x),
• arc tangente(symbole: arcctg x ou arccot ​​x ou arccotan x),
• arcsécante(symbole: arcsec x),
• arccosécante(symbole: arccosec x ou arccsc x).

Arcsinus (y = arcsin x) est la fonction inverse de péché (x = siny . En d'autres termes, renvoie l'angle par sa valeur péché.

Arc cosinus (y = arc cos x) est la fonction inverse de parce que (x = cos y parce que.

Arctangente (y = arctan x) est la fonction inverse de TG (x = tgie), qui a un domaine de définition et un ensemble de valeurs . En d'autres termes, renvoie l'angle par sa valeur TG.

Arc tangente (y = arcctg x) est la fonction inverse de CTG (x = ctg y), qui a un domaine de définition et un ensemble de valeurs. En d'autres termes, renvoie l'angle par sa valeur CTG.

arcsec- arcsecant, renvoie l'angle par la valeur de sa sécante.

arccosec- arccosécante, renvoie l'angle par la valeur de sa cosécante.

Lorsque la fonction trigonométrique inverse n'est pas définie au point spécifié, sa valeur n'apparaîtra pas dans le tableau résultant. Les fonctions arcsec et arccosec ne sont pas définis sur le segment (-1,1), mais péché d'arc et arccos sont définis uniquement sur l'intervalle [-1,1].

Le nom de la fonction trigonométrique inverse est formé à partir du nom de la fonction trigonométrique correspondante en ajoutant le préfixe "ark-" (de lat. arc nous- arc). Cela est dû au fait que géométriquement la valeur de la fonction trigonométrique inverse est associée à la longueur de l'arc de cercle unité (ou à l'angle qui sous-tend cet arc), qui correspond à l'un ou l'autre segment.

Parfois, dans la littérature étrangère, ainsi que dans les calculatrices scientifiques / techniques, ils utilisent des notations telles que péché −1, cos -1 pour l'arcsinus, l'arccosinus et similaires - ceci n'est pas considéré comme complètement exact, car confusion probable avec l'élévation d'une fonction à une puissance −1 (« −1 » (moins la première puissance) définit la fonction x=f-1(y), l'inverse de la fonction y=f(x)).

Relations de base des fonctions trigonométriques inverses.

Ici, il est important de faire attention aux intervalles pour lesquels les formules sont valables.

Formules reliant les fonctions trigonométriques inverses.

Dénoter l'une des valeurs des fonctions trigonométriques inverses par Arcsin x, Arcos x, Arctan x, Arccot ​​x et gardez la notation : arcsin x, arcos x, arctan x, arccot ​​x pour leurs valeurs principales, alors la relation entre eux est exprimée par de telles relations.