Résoudre les inégalités par méthode d'intervalle en ligne avec solution. Inégalités linéaires

La forme ax 2 + bx + 0 0, où (au lieu du signe >, il peut bien sûr y avoir n'importe quel autre signe d'inégalité). Nous avons tous les faits de la théorie nécessaires pour résoudre de telles inégalités, que nous allons maintenant vérifier.

Exemple 1. Résolvez l'inégalité :

a) x 2 - 2x - 3 > 0 ; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
Décision,

a) Considérez la parabole y \u003d x 2 - 2x - 3 illustrée à la fig. 117.

Résoudre l'inégalité x 2 - 2x - 3 > 0 - cela signifie répondre à la question pour laquelle les valeurs de x les ordonnées des points de la parabole sont positives.

On remarque que y > 0, c'est-à-dire que le graphe de la fonction est situé au-dessus de l'axe des abscisses, en x< -1 или при х > 3.

Ainsi, les solutions de l'inégalité sont toutes des points de l'ouvert rayonner(- 00 , - 1), ainsi que tous les points du faisceau ouvert (3, +00).

En utilisant le signe U (le signe de l'union des ensembles), la réponse peut s'écrire comme suit : (-00 , - 1) U (3, +00). Cependant, la réponse peut aussi être écrite comme ceci :< - 1; х > 3.

b) Inégalité x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: programme situé sous l'axe des abscisses si -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) L'inégalité x 2 - 2x - 3 > 0 diffère de l'inégalité x 2 - 2x - 3 > 0 en ce que la réponse doit également inclure les racines de l'équation x 2 - 2x - 3 = 0, c'est-à-dire les points x = - 1

et x \u003d 3. Ainsi, les solutions de cette inégalité non stricte sont tous les points du faisceau (-00, - 1], ainsi que tous les points du faisceau.

Les mathématiciens pratiques disent généralement ceci: pourquoi, en résolvant l'inégalité ax 2 + bx + c > 0, construisons-nous soigneusement un graphe parabolique d'une fonction quadratique

y \u003d ax 2 + bx + c (comme cela a été fait dans l'exemple 1) ? Il suffit de faire une esquisse schématique du graphique, pour laquelle il suffit de trouver les racines trinôme carré (le point d'intersection de la parabole avec l'axe des x) et déterminer où les branches de la parabole sont dirigées - vers le haut ou vers le bas. Cette esquisse schématique donnera une interprétation visuelle de la solution de l'inégalité.

Exemple 2 Résolvez l'inégalité - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Décision.

1) Trouvez les racines du trinôme carré - 2x 2 + Zx + 9 : x 1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) La parabole, qui sert de graphique à la fonction y \u003d -2x 2 + Zx + 9, coupe l'axe des x aux points 3 et - 1,5, et les branches de la parabole sont dirigées vers le bas, car l'ancienne coefficient- nombre négatif - 2. Dans la fig. 118 est une esquisse d'un graphique.

3) En utilisant la fig. 118, nous concluons :< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Réponse : x< -1,5; х > 3.

Exemple 3 Résolvez l'inéquation 4x 2 - 4x + 1< 0.
Décision.

1) De l'équation 4x 2 - 4x + 1 = 0 nous trouvons.

2) Le trinôme carré a une racine ; cela signifie que la parabole servant de graphique à un trinôme carré ne coupe pas l'axe des abscisses, mais le touche en un point. Les branches de la parabole sont dirigées vers le haut (Fig. 119.)

3) En utilisant le modèle géométrique représenté sur la fig. 119, nous établissons que l'inégalité spécifiée n'est satisfaite qu'au point, puisque pour toutes les autres valeurs de x, les ordonnées du graphique sont positives.
Réponse: .
Vous avez probablement remarqué qu'en fait, dans les exemples 1, 2, 3, un algorithme en résolvant des inégalités quadratiques, nous allons le formaliser.

L'algorithme de résolution de l'inégalité quadratique ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

La première étape de cet algorithme consiste à trouver les racines d'un trinôme carré. Mais les racines peuvent ne pas exister, alors que faire ? Alors l'algorithme est inapplicable, ce qui signifie qu'il faut raisonner différemment. La clé de ces arguments est donnée par les théorèmes suivants.

Autrement dit, si D< 0, а >0, alors l'inégalité ax 2 + bx + c > 0 est satisfaite pour tout x ; au contraire, l'inégalité ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Preuve. programme les fonctions y \u003d ax 2 + bx + c est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut (puisque a > 0) et qui ne coupe pas l'axe x, puisque le trinôme carré n'a pas de racine par condition. Le graphique est représenté sur la fig. 120. On voit que pour tout x le graphe est situé au-dessus de l'axe des x, ce qui signifie que pour tout x l'inégalité ax 2 + bx + c > 0 est satisfaite, ce qu'il fallait prouver.

Autrement dit, si D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 n'a pas de solution.

Preuve. Le graphique de la fonction y \u003d ax 2 + bx + c est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas (puisque a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Exemple 4. Résolvez l'inégalité :

a) 2x 2 - x + 4 > 0 ; b) -x 2 + Zx - 8 > 0.

a) Trouvez le discriminant du trinôme carré 2x 2 - x + 4. Nous avons D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Le coefficient supérieur du trinôme (numéro 2) est positif.

Par conséquent, d'après le théorème 1, pour tout x, l'inégalité 2x 2 - x + 4 > 0 est satisfaite, c'est-à-dire que la solution à l'inégalité donnée est le tout (-00, + 00).

b) Trouvez le discriminant du trinôme carré - x 2 + Zx - 8. Nous avons D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Réponse : a) (-00, + 00) ; b) il n'y a pas de solution.

Dans l'exemple suivant, nous allons nous familiariser avec une autre façon de raisonner, qui est utilisée pour résoudre les inégalités quadratiques.

Exemple 5 Résolvez l'inégalité 3x 2 - 10x + 3< 0.
Décision. Factorisons le trinôme carré 3x 2 - 10x + 3. Les racines du trinôme sont les nombres 3 et, par conséquent, en utilisant ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), on obtient Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
On note sur la droite numérique les racines du trinôme : 3 et (Fig. 122).

Soit x > 3 ; alors x-3>0 et x->0, et donc le produit 3(x - 3)(x - ) est positif. Ensuite, laissez< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Par conséquent, le produit 3(x-3)(x-) est négatif. Enfin, soit x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) est positif.

En résumant le raisonnement, nous arrivons à la conclusion: les signes du trinôme carré Zx 2 - 10x + 3 changent comme indiqué sur la Fig. 122. Nous nous intéressons à ce pour quoi x le trinôme carré prend des valeurs négatives. De la fig. 122 nous concluons: le trinôme carré 3x 2 - 10x + 3 prend des valeurs négatives pour toute valeur de x de l'intervalle (, 3)
Réponse (, 3), ou< х < 3.

Commenter. La méthode de raisonnement que nous avons appliquée dans l'exemple 5 est généralement appelée méthode des intervalles (ou méthode des intervalles). Il est activement utilisé en mathématiques pour résoudre rationnel inégalités. En 9e année, nous étudierons plus en détail la méthode des intervalles.

Exemple 6. A quelles valeurs du paramètre p est l'équation quadratique x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) a deux racines différentes ;

b) a une racine ;

c) n'a pas de racines ?

Décision. Le nombre de racines d'une équation quadratique dépend du signe de son discriminant D. Dans ce cas, on trouve D \u003d 25 - 4p 2.

a) Une équation quadratique a deux racines différentes, si D> 0, alors le problème se réduit à résoudre l'inégalité 25 - 4p 2 > 0. On multiplie les deux parties de cette inégalité par -1 (en n'oubliant pas de changer le signe de l'inégalité). On obtient une inégalité équivalente 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Les signes de l'expression 4(p - 2,5) (p + 2,5) sont représentés sur la fig. 123.

Nous concluons que l'inégalité 4(p - 2.5)(p + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) équation quadratique a une racine si D vaut 0.
Comme nous l'avons indiqué ci-dessus, D = 0 à p = 2,5 ou p = -2,5.

C'est pour ces valeurs du paramètre p que cette équation quadratique n'a qu'une seule racine.

c) Une équation quadratique n'a pas de racines si D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

On obtient 4p 2 - 25 > 0 ; 4 (p-2,5) (p + 2,5)> 0, d'où (voir Fig. 123) p< -2,5; р >2.5. Pour ces valeurs du paramètre p, cette équation quadratique n'a pas de racine.

Réponse : a) à p (-2,5, 2,5) ;

b) à p = 2,5 ou p = -2,5 ;
c) à r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A. G., Algèbre. 8e année : Proc. pour l'enseignement général institutions - 3e éd., finalisée. - M. : Mnemosyne, 2001. - 223 p. : ill.

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Que devez-vous savoir sur les icônes d'inégalité ? Inégalités d'icônes Suite (> ), ou alors plus petite (< ) sont appelés stricte. Avec icônes plus ou égal (≥ ), inférieur ou égal (≤ ) sont appelés non strict. Icône inégal (≠ ) est autonome, mais vous devez également résoudre des exemples avec une telle icône tout le temps. Et nous allons.)

L'icône elle-même n'a pas beaucoup d'effet sur le processus de résolution. Mais à la fin de la solution, au moment de choisir la réponse finale, la signification de l'icône apparaît en pleine force ! Comme nous le verrons plus loin, dans les exemples. Il y a des blagues...

Les inégalités, comme les égalités, sont fidèle et infidèle. Tout est simple ici, sans trucages. disons 5 > 2 est la bonne inégalité. cinq < 2 est incorrect.

Une telle préparation fonctionne pour les inégalités toute sorte et simple à l'horreur.) Il suffit d'effectuer correctement deux (seulement deux !) actions élémentaires. Ces actions sont connues de tous. Mais, ce qui est typique, les montants dans ces actions sont la principale erreur dans la résolution des inégalités, oui ... Par conséquent, ces actions doivent être répétées. Ces actions s'appellent ainsi :

Transformations identitaires des inégalités.

Les transformations d'identité des inégalités sont très similaires aux transformations d'identité des équations. En fait, c'est le principal problème. Les différences échappent à la tête et ... arrivent.) Par conséquent, je soulignerai ces différences en particulier. Ainsi, la première transformation identique des inégalités :

1. Le même nombre ou la même expression peut être ajouté (soustrait) aux deux parties de l'inégalité. Quelconque. Le signe de l'inégalité ne changera pas.

En pratique, cette règle s'applique comme un transfert de termes du côté gauche de l'inégalité vers le côté droit (et vice versa) avec un changement de signe. Avec un changement de signe du terme, pas d'inégalité ! La règle du un contre un est la même que la règle des équations. Mais les transformations identiques suivantes dans les inégalités diffèrent significativement de celles dans les équations. Je les surligne donc en rouge :

2. Les deux parties de l'inégalité peuvent être multipliées (divisées) par le mêmepositifNuméro. Pour toutepositif Ne changera pas.

3. Les deux parties de l'inégalité peuvent être multipliées (divisées) par le mêmenégatif Numéro. Pour toutenégatifNuméro. Le signe d'inégalité de cettechangera à l'opposé.

Vous vous souvenez (j'espère...) qu'une équation peut être multipliée/divisée par n'importe quoi. Et pour tout nombre, et pour une expression avec x. Tant que ce n'est pas nul. Lui, l'équation, n'est ni chaud ni froid à cause de cela.) Cela ne change pas. Mais les inégalités sont plus sensibles à la multiplication/division.

Un bon exemple pour une longue mémoire. On écrit une inégalité qui ne fait pas de doute :

5 > 2

Multipliez les deux côtés par +3, on a:

15 > 6

Y a-t-il des objections ? Il n'y a pas d'objections.) Et si nous multiplions les deux parties de l'inégalité originale par -3, on a:

15 > -6

Et c'est un mensonge éhonté.) Un mensonge complet ! Tromper les gens ! Mais dès que le signe de l'inégalité s'inverse, tout se met en place :

15 < -6

À propos des mensonges et de la tromperie - je ne fais pas que jurer.) "J'ai oublié de changer le signe de l'inégalité..."- c'est domicile erreur dans la résolution des inégalités. Cette règle insignifiante et simple a blessé tant de gens ! Qui ont oublié ...) Alors je le jure. Souvenez-vous peut-être...)

Les plus attentifs remarqueront que l'inégalité ne peut pas être multipliée par une expression avec x. Respect attentif !) Et pourquoi pas ? La réponse est simple. On ne connaît pas le signe de cette expression avec x. Elle peut être positive, négative... Par conséquent, on ne sait pas quel signe d'inégalité mettre après la multiplication. Le changer ou pas ? Inconnue. Bien entendu, cette limitation (l'interdiction de multiplier/diviser une inéquation par une expression avec x) peut être contournée. Si vous en avez vraiment besoin. Mais c'est un sujet pour d'autres leçons.

Ce sont toutes des transformations identiques d'inégalités. Permettez-moi de vous rappeler à nouveau qu'ils travaillent pour quelconque inégalités. Et maintenant, vous pouvez passer à des types spécifiques.

Inégalités linéaires. Solution, exemples.

Les inégalités linéaires sont appelées inégalités dans lesquelles x est au premier degré et il n'y a pas de division par x. Taper:

x+3 > 5x-5

Comment ces inégalités sont-elles résolues ? Ils sont très faciles à résoudre ! A savoir: avec l'aide, nous réduisons l'inégalité linéaire la plus confuse droit à la réponse. C'est toute la solution. Je vais souligner les principaux points de la solution. Pour éviter les erreurs stupides.)

On résout cette inégalité :

x+3 > 5x-5

On résout de la même façon qu'une équation linéaire. A la seule différence près :

Faites bien attention au signe de l'inégalité !

La première étape est la plus courante. Avec x - à gauche, sans x - à droite ... C'est la première transformation identique, simple et sans problème.) Seulement, n'oubliez pas de changer les signes des membres transférés.

Le signe de l'inégalité est conservé :

x-5x > -5-3

Nous vous en présentons des similaires.

Le signe de l'inégalité est conservé :

4x > -8

Il reste à appliquer la dernière transformation identique : diviser les deux parties par -4.

Diviser par négatif Numéro.

Le signe de l'inégalité sera inversé :

X < 2

C'est la réponse.

C'est ainsi que toutes les inégalités linéaires sont résolues.

Attention! Le point 2 est dessiné en blanc, c'est-à-dire non peint. Vide à l'intérieur. Cela signifie qu'elle n'est pas incluse dans la réponse ! Je l'ai dessinée si saine exprès. Un tel point (vide, pas sain !)) en mathématiques s'appelle point poinçonné.

Les nombres restants sur l'axe peuvent être marqués, mais pas nécessaire. Les nombres étrangers qui ne sont pas liés à notre inégalité peuvent prêter à confusion, oui ... Vous devez juste vous rappeler que l'augmentation des nombres va dans le sens de la flèche, c'est-à-dire. nombres 3, 4, 5, etc. sont À droite deux, et les nombres 1, 0, -1, etc. - À gauche.

Inégalité x < 2 - stricte. X est strictement inférieur à deux. En cas de doute, la vérification est simple. Nous substituons un nombre douteux dans l'inégalité et pensons : "Deux c'est moins que deux ? Bien sûr que non !" Exactement. Inégalité 2 < 2 faux. Un deux n'est pas bon pour une réponse.

Est-ce qu'un seul suffit ? Bien sûr. Moins... Et zéro c'est bien, et -17, et 0,34... Oui, tous les nombres inférieurs à deux sont bons ! Et même 1.9999.... Au moins un peu, mais moins !

Nous marquons donc tous ces nombres sur l'axe des nombres. Comment? Il y a des options ici. La première option est l'éclosion. Nous passons la souris sur l'image (ou touchons l'image sur la tablette) et voyons que la zone de tous les x qui correspondent à la condition x est ombrée < 2 . C'est tout.

Considérons la deuxième option dans le deuxième exemple :

X ≥ -0,5

Dessinez un axe, marquez le nombre -0,5. Comme ça:

Avez-vous remarqué la différence ?) Et bien oui, difficile de ne pas remarquer... Ce point est noir ! Repeint. Cela signifie que -0,5 inclus dans la réponse. Ici, au fait, vérifier et confondre quelqu'un. Nous remplaçons :

-0,5 ≥ -0,5

Comment? -0,5 n'est rien de plus que -0,5 ! Il y a plus d'icônes...

C'est bon. Dans une inégalité non stricte, tout ce qui correspond à l'icône convient. Et équivaut à en forme et Suite bon. Par conséquent, -0,5 est inclus dans la réponse.

Donc, nous avons marqué -0,5 sur l'axe, il reste à marquer tous les nombres supérieurs à -0,5. Cette fois, je marque la plage de valeurs x appropriées manille(du mot arc) plutôt que l'éclosion. Survolez l'image et voyez cet arc.

Il n'y a pas de différence particulière entre les hachures et les arcs. Faites comme le professeur dit. S'il n'y a pas d'enseignant, tirez les bras. Dans les tâches plus complexes, les hachures sont moins évidentes. Vous pouvez devenir confus.

C'est ainsi que les inégalités linéaires sont dessinées sur l'axe. On passe à la singularité suivante des inégalités.

Écris une réponse pour les inégalités.

C'était bien dans les équations.) Nous avons trouvé x et noté la réponse, par exemple: x \u003d 3. Dans les inégalités, il existe deux formes d'écriture des réponses. Un - sous la forme d'inégalité finale. Bon pour les cas simples. Par example:

X< 2.

Ceci est une réponse complète.

Parfois, il est nécessaire d'écrire la même chose, mais sous une forme différente, à travers des trous numériques. Ensuite, l'entrée commence à avoir l'air très scientifique):

x ∈ (-∞; 2)

Sous l'icône ∈ cacher le mot "fait parti".

L'entrée se lit comme ceci : x appartient à l'intervalle de moins l'infini à deux non compris. Assez logique. X peut être n'importe quel nombre parmi tous les nombres possibles de moins l'infini à deux. Double X ne peut pas être, c'est ce que le mot nous dit "non compris".

Où est-ce dans la réponse que "non compris"? Ce fait est noté dans la réponse. rond parenthèse immédiatement après le deux. Si le deux était inclus, la parenthèse serait carré. C'est ici: ]. L'exemple suivant utilise une telle parenthèse.

Ecrivons la réponse : x ≥ -0,5 par intervalles :

x ∈ [-0,5 ; +∞)

Lit : x appartient à l'intervalle de moins 0,5, comprenant, jusqu'à plus l'infini.

Infinity ne peut jamais s'allumer. Ce n'est pas un chiffre, c'est un symbole. Par conséquent, dans de telles entrées, l'infini coexiste toujours avec une parenthèse.

Cette forme d'enregistrement est pratique pour les réponses complexes composées de plusieurs lacunes. Mais - juste pour les réponses finales. Dans les résultats intermédiaires, où une autre solution est attendue, il est préférable d'utiliser la forme habituelle, sous la forme d'une inéquation simple. Nous en traiterons dans les rubriques correspondantes.

Tâches populaires avec inégalités.

Les inégalités linéaires elles-mêmes sont simples. Par conséquent, les tâches deviennent souvent plus difficiles. Alors, dire que c'était nécessaire. Ceci, si par habitude, n'est pas très agréable.) Mais c'est utile. Je vais montrer des exemples de telles tâches. Pas à vous de les apprendre, c'est superflu. Et pour ne pas avoir peur de rencontrer des exemples similaires. Une petite réflexion - et tout est simple!)

1. Trouvez deux solutions à l'inégalité 3x - 3< 0

Si ce n'est pas très clair quoi faire, rappelez-vous la règle principale des mathématiques:

Si vous ne savez pas quoi faire, faites ce que vous pouvez !

X < 1

Et alors? Rien de spécial. Que nous demande-t-on ? On nous demande de trouver deux nombres spécifiques qui sont la solution d'une inéquation. Celles. correspond à la réponse. Deux quelconque Nombres. En fait, c'est embarrassant.) Un couple de 0 et 0,5 convient. Un couple -3 et -8. Oui, il y a une infinité de ces couples ! Quelle est la bonne réponse?!

Je réponds : tout ! Toute paire de nombres, dont chacun est inférieur à un, serait la bonne réponse.Écrivez ce que vous voulez. Allons plus loin.

2. Résolvez l'inégalité :

4x - 3 ≠ 0

Des emplois comme celui-ci sont rares. Mais, en tant qu'inégalités auxiliaires, lors de la recherche de l'ODZ, par exemple, ou lors de la recherche du domaine d'une fonction, elles se rencontrent tout le temps. Une telle inégalité linéaire peut être résolue comme une équation linéaire ordinaire. Uniquement partout, sauf pour le signe "=" ( équivaut à) mettre le signe " ≠ " (inégal). Vous arriverez donc à la réponse, avec un signe d'inégalité :

X ≠ 0,75

En plus exemples difficiles mieux vaut faire dans l'autre sens. Rendre l'inégalité égale. Comme ça:

4x - 3 = 0

Résolvez-le calmement comme enseigné et obtenez la réponse :

x = 0,75

L'essentiel, à la toute fin, lors de la rédaction de la réponse finale, est de ne pas oublier que l'on a trouvé x, ce qui donne égalité. Et nous avons besoin - inégalité. Par conséquent, nous n'avons tout simplement pas besoin de ce X.) Et nous devons l'écrire avec la bonne icône :

X ≠ 0,75

Cette approche entraîne moins d'erreurs. Ceux qui résolvent des équations sur la machine. Et pour ceux qui ne résolvent pas les équations, les inégalités, en fait, ne servent à rien...) Autre exemple de tâche populaire :

3. Trouvez la plus petite solution entière de l'inégalité :

3(x - 1) < 5x + 9

Tout d'abord, nous résolvons simplement l'inégalité. Nous ouvrons les parenthèses, transférons, donnons des similaires ... Nous obtenons:

X > - 6

N'est-ce pas arrivé!? Avez-vous suivi les panneaux? Et derrière les signes des membres, et derrière le signe de l'inégalité...

Imaginons à nouveau. Nous devons trouver un nombre spécifique qui correspond à la fois à la réponse et à la condition "plus petit entier". Si cela ne vous apparaît pas immédiatement, vous pouvez simplement prendre n'importe quel nombre et le comprendre. Deux est supérieur à moins six ? Bien sûr! Existe-t-il un nombre inférieur approprié ? Bien sûr. Par exemple, zéro est supérieur à -6. Et encore moins ? Il nous faut le plus petit possible ! Moins trois est plus que moins six ! Vous pouvez déjà attraper le modèle et arrêter de trier bêtement les chiffres, n'est-ce pas ?)

Nous prenons un nombre plus proche de -6. Par exemple, -5. Réponse exécutée, -5 > - 6. Peux-tu trouver un autre nombre inférieur à -5 mais supérieur à -6 ? Vous pouvez, par exemple, -5,5 ... Arrêtez! On nous a dit ensemble décision! Ne roule pas -5.5 ! Et moins six ? Eee ! L'inégalité est stricte, moins 6 n'est pas moins que moins 6 !

La bonne réponse est donc -5.

J'espère que tout est clair avec le choix de la valeur de la solution générale. Un autre exemple:

4. Résolvez l'inégalité :

7 < 3x+1 < 13

Comment! Une telle expression s'appelle triple inégalité. Au sens strict, il s'agit d'une notation abrégée du système d'inégalités. Mais vous devez encore résoudre ces triples inégalités dans certaines tâches ... Il est résolu sans aucun système. Par les mêmes transformations identiques.

Il faut simplifier, ramener cette inégalité à un X pur. Mais... Quoi transférer où !? Voici le moment de se rappeler que le décalage gauche-droite est forme abrégée la première transformation identique.

ET forme longue ressemble à ceci: Vous pouvez ajouter/soustraire n'importe quel nombre ou expression aux deux parties de l'équation (inégalité).

Il y a trois parties ici. Nous allons donc appliquer des transformations identiques aux trois parties !

Alors, débarrassons-nous de celui qui se trouve au milieu de l'inégalité. Soustrayez un de toute la partie médiane. Pour que l'inégalité ne change pas, nous soustrayons un des deux parties restantes. Comme ça:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Déjà mieux, non ?) Il reste à diviser les trois parties en trois :

2 < X < 4

C'est tout. C'est la réponse. X peut être n'importe quel nombre compris entre deux (non compris) et quatre (non compris). Cette réponse est également écrite à intervalles, ces entrées seront en inégalités carrées. Là, ils sont la chose la plus commune.

À la fin de la leçon, je répéterai la chose la plus importante. Le succès dans la résolution des inégalités linéaires dépend de la capacité à transformer et à simplifier les équations linéaires. Si en même temps suivre le signe de l'inégalité, il n'y aura pas de problèmes. Ce que je te souhaite. aucun problème.)

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Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprendre - avec intérêt !)

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Aujourd'hui, mes amis, il n'y aura pas de morve ni de sentiment. Au lieu de cela, je vous enverrai au combat avec l'un des adversaires les plus redoutables du cours d'algèbre de la 8e à la 9e année sans plus de questions.

Oui, vous avez tout bien compris : on parle d'inégalités avec un module. Nous examinerons quatre techniques de base avec lesquelles vous apprendrez à résoudre environ 90 % de ces problèmes. Qu'en est-il des 10 % restants ? Eh bien, nous en parlerons dans une leçon séparée. :)

Cependant, avant d'y analyser d'éventuelles astuces, je voudrais rappeler deux faits que vous devez déjà connaître. Sinon, vous risquez de ne pas comprendre du tout la matière de la leçon d'aujourd'hui.

Ce que vous devez déjà savoir

Captain Evidence, pour ainsi dire, laisse entendre que pour résoudre des inégalités avec un module, vous devez savoir deux choses :

1. Comment les inégalités sont-elles résolues ?
2. Qu'est-ce qu'un module.

Commençons par le deuxième point.

Définition des modules

Tout est simple ici. Il existe deux définitions : algébrique et graphique. Commençons par l'algèbre :

Définition. Le module du nombre $x$ est soit le nombre lui-même, s'il est non négatif, soit le nombre qui lui est opposé, si le $x$ d'origine est toujours négatif.

Il s'écrit comme ceci :

\[\gauche| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

parlant langage clair, le module est "un nombre sans moins". Et c'est dans cette dualité (quelque part que vous n'avez rien à faire avec le nombre d'origine, mais quelque part où vous devez supprimer certains moins là-bas) et toute la difficulté pour les étudiants novices réside.

Il existe également une définition géométrique. Il est également utile de le connaître, mais nous n'y ferons référence que dans des cas complexes et quelques cas particuliers, où l'approche géométrique est plus commode que l'algébrique (spoiler : pas aujourd'hui).

Définition. Soit le point $a$ marqué sur la droite réelle. Puis le module $\left| x-a \right|$ est la distance entre le point $x$ et le point $a$ sur cette droite.

Si vous dessinez une image, vous obtenez quelque chose comme ceci :

Définition graphique du module

D'une manière ou d'une autre, sa propriété clé découle immédiatement de la définition du module : le module d'un nombre est toujours une valeur non négative. Ce fait sera un fil rouge qui traversera toute notre histoire aujourd'hui.

Solution des inégalités. Méthode d'espacement

Passons maintenant aux inégalités. Il y en a un grand nombre, mais notre tâche est maintenant de pouvoir résoudre au moins le plus simple d'entre eux. Celles qui se réduisent aux inégalités linéaires, ainsi qu'à la méthode des intervalles.

J'ai deux gros tutoriels sur ce sujet (au fait, très, TRÈS utiles - je recommande d'étudier):

1. La méthode des intervalles pour les inégalités (surtout regardez la vidéo);
2. Les inégalités fractionnaires-rationnelles sont une leçon très volumineuse, mais après cela, vous n'aurez plus du tout de questions.

Si vous savez tout ça, si la phrase "passons de l'inégalité à l'équation" ne vous donne pas vaguement envie de vous tuer contre le mur, alors vous êtes prêt : bienvenue en enfer pour le sujet principal de la leçon. :)

1. Inégalités de la forme "Module inférieur à fonction"

C'est l'une des tâches les plus fréquemment rencontrées avec les modules. Il faut résoudre une inégalité de la forme :

\[\gauche| f\droit| \ltg\]

Tout peut agir comme des fonctions $f$ et $g$, mais généralement ce sont des polynômes. Exemples de telles inégalités :

\[\begin(aligner) & \left| 2x+3\droite| \ltx+7 ; \\ & \gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0 ; \\ & \gauche| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(aligner)\]

Tous sont résolus littéralement en une seule ligne selon le schéma:

\[\gauche| f\droit| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \droite.\droite)\]

Il est facile de voir qu'on se débarrasse du module, mais on obtient à la place une double inégalité (ou, ce qui revient au même, un système de deux inégalités). Mais cette transition prend en compte absolument tous les problèmes possibles : si le nombre sous le module est positif, la méthode fonctionne ; s'il est négatif, cela fonctionne toujours ; et même avec la fonction la plus inadéquate à la place de $f$ ou $g$, la méthode fonctionnera toujours.

Naturellement, la question se pose : n'est-ce pas plus facile ? Malheureusement, vous ne pouvez pas. C'est tout l'intérêt du module.

Mais assez de philosophie. Résolvons quelques problèmes :

Une tâche. Résolvez l'inégalité :

\[\gauche| 2x+3\droite| \ltx+7\]

Décision. Donc, nous avons une inégalité classique de la forme "le module est inférieur à" - il n'y a même rien à transformer. On travaille selon l'algorithme :

\[\begin(aligner) & \left| f\droit| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \gauche| 2x+3\droite| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Ne vous précipitez pas pour ouvrir les parenthèses qui sont précédées d'un « moins » : il est fort possible qu'à cause de la hâte vous fassiez une erreur offensive.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Le problème a été réduit à deux inégalités élémentaires. On note leurs solutions sur des droites réelles parallèles :

Intersection de plusieurs

L'intersection de ces ensembles sera la réponse.

Réponse : $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Une tâche. Résolvez l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Décision. Cette tâche est un peu plus difficile. Pour commencer, on isole le module en déplaçant le second terme vers la droite :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\gauche(x+1 \droite)\]

Évidemment, on a à nouveau une inégalité de la forme "le module est inférieur", donc on se débarrasse du module selon l'algorithme déjà connu :

\[-\gauche(-3\gauche(x+1 \droite) \droite) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\gauche(x+1 \droite)\]

Maintenant attention : quelqu'un dira que je suis un peu pervers avec toutes ces parenthèses. Mais encore une fois, je vous rappelle que notre objectif principal est résoudre correctement l'inégalité et obtenir la réponse. Plus tard, lorsque vous aurez parfaitement maîtrisé tout ce qui est décrit dans cette leçon, vous pourrez vous pervertir à votre guise : ouvrir des parenthèses, ajouter des moins, etc.

Et pour commencer, on se débarrasse juste du double moins à gauche :

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\gauche(x+1\droite)\]

Ouvrons maintenant toutes les parenthèses dans la double inégalité :

Passons à la double inégalité. Cette fois les calculs seront plus sérieux :

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(aligner) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( aligner)\droite.\]

Les deux inégalités sont carrées et sont résolues par la méthode des intervalles (c'est pourquoi je dis : si vous ne savez pas ce que c'est, il vaut mieux ne pas encore prendre de modules). On passe à l'équation à la première inégalité :

\[\begin(aligner) & ((x)^(2))+5x=0 ; \\ & x\left(x+5 \right)=0 ; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\fin(aligner)\]

Comme vous pouvez le voir, la sortie s'est avérée être une équation quadratique incomplète, qui est résolue de manière élémentaire. Abordons maintenant la deuxième inégalité du système. Là, vous devez appliquer le théorème de Vieta :

\[\begin(aligner) & ((x)^(2))-x-6=0 ; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0 ; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\fin(aligner)\]

On marque les nombres obtenus sur deux lignes parallèles (séparées pour la première inégalité et séparées pour la seconde) :

Encore une fois, puisque nous résolvons un système d'inéquations, nous nous intéressons à l'intersection des ensembles ombrés : $x\in \left(-5;-2 \right)$. C'est la réponse.

Réponse : $x\in \left(-5;-2 \right)$

Je pense qu'après ces exemples, le schéma de solution est très clair:

1. Isolez le module en déplaçant tous les autres termes du côté opposé de l'inégalité. On obtient ainsi une inégalité de la forme $\left| f\droit| \ltg$.
2. Résolvez cette inégalité en vous débarrassant du module comme décrit ci-dessus. À un moment donné, il faudra passer d'une double inégalité à un système de deux expressions indépendantes, dont chacune peut déjà être résolue séparément.
3. Enfin, il ne reste plus qu'à croiser les solutions de ces deux expressions indépendantes - et ça y est, nous aurons la réponse définitive.

Un algorithme similaire existe pour les inégalités du type suivant, lorsque le module est supérieur à la fonction. Cependant, il y a quelques "mais" sérieux. Nous allons parler de ces "mais" maintenant.

2. Inégalités de la forme "Le module est supérieur à la fonction"

Ils ressemblent à ceci :

\[\gauche| f\droit| \gt g\]

Semblable au précédent ? Semble être. Néanmoins, ces tâches sont résolues d'une manière complètement différente. Formellement, le schéma est le suivant :

\[\gauche| f\droit| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Autrement dit, on considère deux cas :

1. Tout d'abord, nous ignorons simplement le module - nous résolvons l'inégalité habituelle ;
2. Ensuite, en fait, on ouvre le module avec le signe moins, puis on multiplie les deux parties de l'inégalité par −1, avec un signe.

Dans ce cas, les options sont combinées avec un crochet, c'est-à-dire Nous avons une combinaison de deux exigences.

Faites encore attention : devant nous n'est pas un système, mais un agrégat, donc dans la réponse, les ensembles sont combinés, non intersectés. C'est une différence fondamentale avec le paragraphe précédent !

En général, de nombreux étudiants ont beaucoup de confusion avec les unions et les intersections, alors examinons ce problème une fois pour toutes :

• "∪" est un signe de concaténation. En fait, il s'agit d'une lettre "U" stylisée, qui nous vient de de la langue anglaise et est une abréviation pour "Union", c'est-à-dire "Les associations".
• "∩" est le signe d'intersection. Cette merde ne vient de nulle part, mais est simplement apparue comme une opposition à "∪".

Pour faciliter encore plus la mémorisation, il suffit d'ajouter des jambes à ces panneaux pour en faire des lunettes (ne m'accusez pas de promouvoir la toxicomanie et l'alcoolisme maintenant : si vous étudiez sérieusement cette leçon, alors vous êtes déjà toxicomane) :

Différence entre intersection et union d'ensembles

Traduit en russe, cela signifie ce qui suit: l'union (collection) comprend des éléments des deux ensembles, donc pas moins que chacun d'eux; mais l'intersection (système) ne comprend que les éléments qui sont à la fois dans le premier ensemble et dans le second. Par conséquent, l'intersection des ensembles n'est jamais supérieure aux ensembles sources.

Alors c'est devenu plus clair ? C'est super. Passons à la pratique.

Une tâche. Résolvez l'inégalité :

\[\gauche| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Décision. Nous agissons selon le schéma:

\[\gauche| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ droite.\]

On résout chaque inégalité de population :

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Nous marquons chaque ensemble résultant sur la droite numérique, puis les combinons :

Union d'ensembles

Évidemment, la réponse est $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Réponse : $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Une tâche. Résolvez l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

Décision. Bien? Non, c'est tout pareil. On passe d'une inégalité à module à un ensemble de deux inégalités :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(aligner) \right.\]

Nous résolvons chaque inégalité. Malheureusement, les racines n'y seront pas très bonnes :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13 ; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\fin(aligner)\]

Dans la deuxième inégalité, il y a aussi un peu de jeu :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21 ; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\fin(aligner)\]

Nous devons maintenant marquer ces nombres sur deux axes - un axe pour chaque inégalité. Cependant, vous devez marquer les points dans le bon ordre : plus le nombre est grand, plus le point se décale vers la droite.

Et ici, nous attendons une configuration. Si tout est clair avec les nombres $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (les termes au numérateur du premier fraction sont inférieurs aux termes du numérateur de la seconde , donc la somme est également plus petite), avec les nombres $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ il n'y aura pas non plus de difficulté (un nombre positif évidemment plus négatif), mais avec le dernier couple, tout n'est pas si simple. Quelle est la plus grande : $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ou $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$ ? La disposition des points sur les droites numériques et, en fait, la réponse dépendra de la réponse à cette question.

Alors comparons :

\[\begin(matrice) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Nous avons isolé la racine, obtenu des nombres non négatifs des deux côtés de l'inégalité, nous avons donc le droit de mettre les deux côtés au carré :

\[\begin(matrice) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Je pense que c'est une évidence que $4\sqrt(13) \gt 3$, donc $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, enfin les points sur les axes seront disposés comme ceci :

Cas de racines laides

Permettez-moi de vous rappeler que nous résolvons un ensemble, donc la réponse sera l'union, et non l'intersection des ensembles ombrés.

Réponse : $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Comme vous pouvez le voir, notre système fonctionne très bien à la fois pour les tâches simples et pour les tâches très difficiles. Le seul "point faible" de cette approche est que vous devez comparer correctement les nombres irrationnels (et croyez-moi : ce ne sont pas que des racines). Mais une leçon séparée (et très sérieuse) sera consacrée aux questions de comparaison. Et nous passons à autre chose.

3. Inégalités avec des "queues" non négatives

Nous sommes donc arrivés au plus intéressant. Ce sont des inégalités de la forme :

\[\gauche| f\droit| \gt\gauche| g\droite|\]

De manière générale, l'algorithme dont nous allons parler maintenant n'est vrai que pour le module. Cela fonctionne dans toutes les inégalités où il y a des expressions non négatives garanties à gauche et à droite :

Que faire de ces tâches ? Rappelez-vous juste:

Dans les inégalités avec des queues non négatives, les deux côtés peuvent être élevés à n'importe quelle puissance naturelle. Il n'y aura pas de restrictions supplémentaires.

Tout d'abord, nous nous intéresserons au carré - il brûle les modules et les racines :

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\fin(aligner)\]

Ne confondez pas cela avec la prise de la racine du carré :

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

D'innombrables erreurs ont été commises lorsqu'un étudiant a oublié d'installer un module ! Mais c'est une histoire complètement différente (ce sont, pour ainsi dire, des équations irrationnelles), donc nous n'y reviendrons pas maintenant. Résolvons mieux quelques problèmes :

Une tâche. Résolvez l'inégalité :

\[\gauche| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \droite|\]

Décision. On remarque immédiatement deux choses :

1. Il s'agit d'une inégalité non stricte. Les points sur la droite numérique seront poinçonnés.
2. Les deux côtés de l'inégalité sont évidemment non négatifs (c'est une propriété du module : $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Par conséquent, nous pouvons élever au carré les deux côtés de l'inégalité pour nous débarrasser du module et résoudre le problème en utilisant la méthode d'intervalle habituelle :

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\fin(aligner)\]

A la dernière étape, j'ai un peu triché : j'ai changé la séquence des termes, en utilisant la parité du module (en fait, j'ai multiplié l'expression $1-2x$ par −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0 ; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \right) droite)\droite)\le 0 ; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0 ; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Nous résolvons par la méthode des intervalles. Passons de l'inégalité à l'équation :

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0 ; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\fin(aligner)\]

Nous marquons les racines trouvées sur la droite numérique. Encore une fois : tous les points sont grisés car l'inégalité d'origine n'est pas stricte !

Se débarrasser du signe du module

Je vous rappelle pour les plus têtus : on reprend les signes de la dernière inégalité, qui a été notée avant de passer à l'équation. Et nous peignons sur les zones requises dans la même inégalité. Dans notre cas, c'est $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

C'est ça. Problème résolu.

Réponse : $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Une tâche. Résolvez l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Décision. Nous faisons tout pareil. Je ne commenterai pas - il suffit de regarder la séquence d'actions.

Mettons-le au carré :

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ droite))^(2))\le 0 ; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0 ; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Méthode d'espacement :

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Flèche droite x=-1,5 ; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\fin(aligner)\]

Il n'y a qu'une seule racine sur la droite numérique :

La réponse est toute une gamme

Réponse : $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Une petite note sur la dernière tâche. Comme l'un de mes étudiants l'a noté avec précision, les deux expressions de sous-module dans cette inégalité sont évidemment positives, de sorte que le signe du module peut être omis sans nuire à la santé.

Mais c'est déjà un niveau de pensée complètement différent et une approche différente - on peut l'appeler conditionnellement la méthode des conséquences. À propos de lui - dans une leçon séparée. Et maintenant, passons à la dernière partie de la leçon d'aujourd'hui et considérons un algorithme universel qui fonctionne toujours. Même lorsque toutes les approches précédentes étaient impuissantes. :)

4. Méthode d'énumération des options

Et si toutes ces astuces ne fonctionnaient pas ? Si l'inégalité ne se réduit pas à des queues non négatives, s'il est impossible d'isoler le module, voire pas du tout douleur-tristesse-désir ?

Puis «l'artillerie lourde» de toutes les mathématiques entre en scène - la méthode d'énumération. En ce qui concerne les inégalités avec le module, cela ressemble à ceci:

1. Écrivez toutes les expressions de sous-module et assimilez-les à zéro ;
2. Résolvez les équations résultantes et marquez les racines trouvées sur une droite numérique ;
3. La ligne droite sera divisée en plusieurs sections, à l'intérieur desquelles chaque module a un signe fixe et se développe donc sans ambiguïté ;
4. Résolvez l'inégalité sur chacune de ces sections (vous pouvez considérer séparément les racines des limites obtenues au paragraphe 2 - pour la fiabilité). Combinez les résultats - ce sera la réponse. :)

Bien comment? Faible? Facile! Seulement pour longtemps. Voyons en pratique :

Une tâche. Résolvez l'inégalité :

\[\gauche| x+2 \right| \lt\gauche| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Décision. Cette merde ne se résume pas à des inégalités comme $\left| f\droit| \lt g$, $\left| f\droit| \gt g$ ou $\left| f\droit| \lt\gauche| g \right|$, alors allons-y.

Nous écrivons des expressions de sous-module, les assimilons à zéro et trouvons les racines :

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2 ; \\ & x-1=0\Flèche droite x=1. \\\fin(aligner)\]

Au total, nous avons deux racines qui divisent la droite numérique en trois sections, à l'intérieur desquelles chaque module se révèle de manière unique :

Fractionnement de la droite numérique par des zéros de fonctions sous-modulaires

Considérons chaque section séparément.

1. Soit $x \lt -2$. Alors les deux expressions de sous-module sont négatives et l'inégalité d'origine est réécrite comme suit :

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(aligner)\]

Nous avons une contrainte assez simple. Croisons-le avec l'hypothèse originale que $x \lt -2$ :

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Évidemment, la variable $x$ ne peut pas être simultanément inférieure à −2 mais supérieure à 1,5. Il n'y a pas de solutions dans ce domaine.

1.1. Considérons séparément le cas limite : $x=-2$. Remplaçons simplement ce nombre dans l'inégalité d'origine et vérifions : est-ce vrai ?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1.5 ; \\ & 0 \lt 3-3.5 ; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\fin(aligner)\]

De toute évidence, la chaîne de calculs nous a conduits à la mauvaise inégalité. Par conséquent, l'inégalité d'origine est également fausse et $x=-2$ n'est pas inclus dans la réponse.

2. Soit maintenant $-2 \lt x \lt 1$. Le module de gauche s'ouvrira déjà avec un "plus", mais celui de droite est toujours avec un "moins". Nous avons:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(aligner)\]

Encore une fois, nous recoupons l'exigence d'origine :

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Et encore une fois, l'ensemble vide de solutions, puisqu'il n'y a pas de nombres qui soient à la fois inférieurs à -2,5 et supérieurs à -2.

2.1. Et encore un cas particulier : $x=1$. On substitue dans l'inégalité d'origine :

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \gauche| 3\droite| \lt\gauche| 0 \right|+1-1,5 ; \\ & 3 \lt -0.5 ; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\fin(aligner)\]

Comme pour le "cas particulier" précédent, le nombre $x=1$ n'est clairement pas inclus dans la réponse.

3. Le dernier morceau de la ligne : $x \gt 1$. Ici, tous les modules sont développés avec un signe plus :

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Et encore une fois, nous croisons l'ensemble trouvé avec la contrainte d'origine :

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \droite)\]

Enfin! Nous avons trouvé l'intervalle, qui sera la réponse.

Réponse : $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Enfin, une note qui peut vous éviter des erreurs stupides lors de la résolution de problèmes réels :

Les solutions d'inéquations avec modules sont généralement des ensembles continus sur la droite numérique - intervalles et segments. Les points isolés sont beaucoup plus rares. Et encore plus rarement, il arrive que les bornes de la solution (la fin du segment) coïncident avec la borne de la plage considérée.

Par conséquent, si les limites (ces très "cas particuliers") ne sont pas incluses dans la réponse, alors les zones à gauche-droite de ces limites ne seront presque certainement pas incluses dans la réponse non plus. Et vice versa : la frontière est entrée en réponse, ce qui signifie que certaines zones qui l'entourent seront également des réponses.

Gardez cela à l'esprit lorsque vous vérifiez vos solutions.

Bonjour! Chers étudiants, dans cet article nous allons apprendre à résoudre des inégalités exponentielles .

Aussi compliquée que puisse vous paraître l'inégalité exponentielle, après quelques transformations (nous en reparlerons un peu plus tard), toutes les inégalités sont réduits à résoudre les inégalités exponentielles les plus simples:

a x > b, un x< b et une x ≥ b, une x ≤ b.

Essayons de comprendre comment de telles inégalités sont résolues.

Nous envisagerons une solution inégalités strictes. La seule différence dans la résolution des inégalités non strictes est que les racines correspondantes obtenues sont incluses dans la réponse.

Soit qu'il faille résoudre une inéquation de la forme et f(x) > b, où un>1 et b>0.

Regardez le schéma pour résoudre de telles inégalités (Figure 1):

Examinons maintenant un exemple précis. Résolvez l'inégalité : 5 x - 1 > 125.

Puisque 5 > 1 et 125 > 0, alors
x - 1 > log 5 125, c'est-à-dire
x - 1 > 3,
x > 4.

Réponse: (4; +∞) .

Quelle est la solution à cette inégalité ? et f(x) >b, si 0 et b>0?

Ainsi, le schéma de la figure 2

Exemple: Résoudre l'inégalité (1/2) 2x - 2 ≥ 4

En appliquant la règle (figure 2), on obtient
2x - 2 ≤ log 1/2 4,
2x - 2 ≤ -2,
2x ≤ 0,
x ≤ 0.

Réponse: (–∞; 0] .

Reprenons la même inégalité et f(x) > b, si un>0 et b<0 .

Ainsi, le diagramme de la figure 3 :

Exemple de résolution d'une inéquation (1/3) x + 2 > -9. Comme nous le remarquons, quel que soit le nombre que nous substituons à x, (1/3) x + 2 est toujours supérieur à zéro.

Réponse: (–∞; +∞) .

Comment résoudre les inégalités de la forme ? un f(x)< b , où un>1 et b>0?

Schéma de la figure 4 :

Et l'exemple suivant : 3 3 – x ≥ 8.
Puisque 3 > 1 et 8 > 0, alors
3 - x\u003e journal 3 8, c'est-à-dire
-x > log 3 8 - 3,
X< 3 – log 3 8.

Réponse: (0; 3–log 3 8) .

Comment changer la solution de l'inégalité un f(x)< b , à 0 et b>0?

Diagramme de la figure 5 :

Et l'exemple suivant : Résolvez l'inéquation 0,6 2x - 3< 0,36 .

En suivant le schéma de la figure 5, on obtient
2x - 3 > log 0,6 0,36,
2x - 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

Réponse: (2,5; +∞) .

Considérons le dernier schéma de résolution d'une inégalité de la forme un f(x)< b , à un>0 et b<0 illustré à la figure 6 :

Par exemple, résolvons l'inégalité :

Nous remarquons que quel que soit le nombre que nous substituons à x, le côté gauche de l'inégalité est toujours supérieur à zéro, et dans notre cas cette expression est inférieure à -8, c'est-à-dire et zéro signifie qu'il n'y a pas de solutions.

Réponse: aucune solution.

Sachant comment les inégalités exponentielles les plus simples sont résolues, nous pouvons procéder à résoudre des inégalités exponentielles.

Exemple 1

Trouver la plus grande valeur entière de x qui satisfait l'inégalité

Puisque 6 x est supérieur à zéro (pour aucun x le dénominateur ne va à zéro), on multiplie les deux côtés de l'inégalité par 6 x, on obtient :

440 - 2 6 2x > 8, puis
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2x > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

X< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Réponse 1.

Exemple 2.

Résoudre l'inégalité 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Notons 2 x par y, on obtient l'inégalité y 2 - 3y + 2 ≤ 0, on résout cette inégalité quadratique.

y 2 - 3y +2 = 0,
y 1 = 1 et y 2 = 2.

Les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, traçons un graphique :

Alors la solution de l'inégalité sera l'inégalité 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Réponse: (0; 1) .

Exemple 3. Résoudre l'inégalité 5x+1 – 3x+2< 2·5 x – 2·3 x –1
Recueillir des expressions avec les mêmes bases dans une partie de l'inégalité

5x +1 – 2 5x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Retirons l'inégalité du côté gauche des crochets 5 x , et du côté droit de l'inégalité 3 x et obtenons l'inégalité

5 × (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 5 fois< (25/3)·3 х

On divise les deux parties de l'inégalité par l'expression 3 3 x, le signe de l'inégalité ne changera pas, puisque 3 3 x est un nombre positif, on obtient l'inégalité :

X< 2 (так как 5/3 > 1).

Réponse: (–∞; 2) .

Si vous avez des questions sur la résolution d'inégalités exponentielles ou si vous souhaitez vous entraîner à résoudre des exemples similaires, inscrivez-vous à mes cours. Tutrice Valentina Galinevskaya.

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