Što znači skup vrijednosti funkcije. Raspon funkcije (skup vrijednosti funkcije)

g = x 3

y=| x|

y=

E( g) = [- 1, 1]

E( g) = (– ∞, + ∞)

E( g) = (– ∞, + ∞)

E( g) = (– ∞, + ∞)

E( g) = (0, + ∞)

Uvođenje algoritma za rješavanje problema pronalaženja skupa vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Pogledajmo kako možemo primijeniti naše iskustvo na razne zadatke uključene u opcije za jedan ispit.

1. Pronalaženje vrijednosti funkcija za zadanu vrijednost argumenta.

Primjer. Odredite vrijednost funkcije y = 2 cos(π/2+ π/4 ) – 1, ako x = -π/2.

Odluka.

= –
– 1.

2. Određivanje raspona trigonometrijskih funkcija


Odluka.

1≤ grijehx≤ 1

2 ≤ 2 grijehx≤ 2

9 ≤ 11+2grijehx≤ 13

3 ≤
+2∙ grijeh x ≤
, tj. E (y) = .

Ispišimo cjelobrojne vrijednosti funkcije na intervalu. Ovaj broj je 3.

Odgovor: 3.

• 
  Pronađite skup vrijednosti funkcije na= grijeh 2 x+6sin x + 10.

• 
  Pronađite skup vrijednosti funkcije: na = grijeh 2 X - 6 grijeh x + 8 . (na svoju ruku)

na= grijeh 2 X- 2 3 grijehx + 3 2 - 3 2 + 8,

na= (grijehX- 3) 2 -1.

E ( grijehx) = [-1;1];

E ( grijehx -3) = [-4;-2];

E ( grijehx -3) 2 = ;

E ( na) = .

Odgovor: .

• 
  Pronađite najmanju vrijednost funkcije na= cos 2 x+2sin x – 2.

Možemo li pronaći skup vrijednosti za ovu funkciju? (Ne.)

Što treba učiniti? (Svedeno na jednu funkciju.)

Kako to učiniti? (Koristite formulu cos 2 x= 1-grijeh 2 x.)

Tako, na= 1-grijeh 2 x+2sin x –2,

g= -grijeh 2 x+2sin x –1,

na= -(grijeh x –1) 2 .

Pa, sada možemo pronaći skup vrijednosti i odabrati najmanju od njih.

1 ≤ grijeh x ≤ 1,

2 ≤ grijeh x – 1 ≤ 0,

0 ≤ (sin x – 1) 2 ≤ 4,

4 ≤ -(sin x -1) 2 ≤ 0.

Dakle, najmanja vrijednost funkcije na najam= -4. Odgovor: -4.

• 
  Pronađite umnožak najveće i najmanje vrijednosti funkcije

Odluka.

na= 1-cos 2 x+ cos x + 1,5,

na= -cos 2 x+ 2∙0,5∙cos x - 0,25 + 2,75,

na= -(cos x- 0,5) 2 + 2,75.

E(cos x) = [-1;1],

E(cos x – 0,5) = [-1,5;0,5],

E(cos x – 0,5) 2 = ,

E(-(cos x-0,5) 2) = [-2,25;0],

E( na) = .

Najveća vrijednost funkcije na naib= 2,75; najmanja vrijednost na najam= 0,5. Nađimo umnožak najveće i najmanje vrijednosti funkcije:

na naib ∙na najam = 0,5∙2,75 = 1,375.

Odgovor: 1.375.

Prepišimo funkciju u obliku na =,

na =
,

Pronađimo sada skup vrijednosti funkcije.

E(grijeh x) = [-1, 1],

E(6 sin x) = [-6, 6],

E(6 sin x + 1) = [-5, 7],

E((6sin x + 1) 2) = ,

E(– (6sin x + 1) 2) = [-49, 0],

E(– (6sin x + 1) 2 + 64) = ,

E( g) = [
, 8].

Nađimo zbroj cjelobrojnih vrijednosti funkcije: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30.

Odgovor: 30.

1)
to je x pripada prvoj četvrtini.

2)

Stoga, 2 x pripadaju drugoj četvrtini.

3) U drugoj četvrtini funkcija sinusa opada i kontinuirana je. Dakle, ova funkcija
preuzima sve vrijednosti iz
prije

4) Izračunajte ove vrijednosti:

Odgovor :
.

1) Budući da sinus uzima vrijednosti od -1 do 1, tada skup vrijednosti razlike
. Kada se pomnoži sa
ovaj segment će ići u segment
.

2) Arkosinus je monotono opadajuća i kontinuirana funkcija. Dakle, skup vrijednosti izraza je segment
.

3) Kada se ovaj segment pomnoži sa dobivamo
.

Odgovor:
.

Budući da je arktangens rastuća funkcija, onda
.

2) Pri povećanju x iz
prije argument 2 x povećava se od
prije . Budući da sinus na takvom intervalu raste, funkcija
uzima vrijednosti iz
do 1.

3) Pri povećanju od prije
argument 2 x povećava se od prije
. Budući da se sinus smanjuje na takvom intervalu, funkcija
uzima vrijednosti iz
do 1.

4) Koristeći formulu koja izražava sinus kroz tangens polukuta, nalazimo da

.

Dakle, željeni skup vrijednosti je unija segmenata
i
, odnosno segment
.

Odgovor:
.
Ova tehnika (uvođenje pomoćnog kuta) koristi se za pronalaženje skupa vrijednosti funkcija oblika

na= a sin x + b cos x ili na= grijeh (Rx) + bcos(Rx).

• 
  Pronađite skup vrijednosti funkcije

Odluka.

Pronađimo vrijednost
=
= 25.

Transformirajmo izraz

15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 (
) = 25 () =

25 grijeha (2x + ), gdje je cos = , grijeh =.

Skup vrijednosti funkcije y \u003d sin (2x + ): -1 grijeh (2x + ) 1.

Zatim skup vrijednosti izvorne funkcije -25 25 grijeha (2x + ) 25.

Odgovor: [-25; 25].
3. Zadaci za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na intervalu.

• 
  Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na= ctg x na segmentu [π/4; π/2].

Funkcija na= ctg x opada na segmentu [π/4; π/2], stoga će funkcija uzeti najmanju vrijednost pri x =π/2, tj na(π/2) = stg π/2 = 0; a najveća vrijednost je kod x=π/4, tj na(π/4) = stg π/4 = 1.

Odgovor: 1, 0.

Odvojeni u jednakosti
cijeli dio: .

Slijedi da je graf funkcije f(x) ili hiperbola (a≠ 0) ili pravac bez točke.

Štoviše, ako je; 2a) i (2a;
) i, ako je a > 0, monotono raste na tim zrakama.

Ako je a \u003d 0, tada je f (x) \u003d -2 u cijeloj domeni definicije x ≠ 0. Stoga je očito da željene vrijednosti parametra nisu jednake nuli.

Budući da nas zanimaju samo vrijednosti funkcije na segmentu [-1; 1], tada je klasifikacija situacija određena činjenicom da se asimptota x = 2a hiperbole (a≠0) nalazi u odnosu na ovaj segment.

Slučaj 1. Sve točke intervala [-1; 1] nalaze se desno od vertikalne asimptote x = 2a, odnosno kada je 2a

Slučaj 2. Vertikalna asimptota siječe interval [-1; 1], a funkcija opada (kao u slučaju 1), odnosno kada

Slučaj 3. Vertikalna asimptota siječe interval [-1; 1], a funkcija je rastuća, tj. -1

.

Slučaj 4. Sve točke intervala [-1; 1] nalaze se lijevo od okomite asimptote, odnosno 1 a > . i drugo
Prijem 4 . Izražavanje x preko y. (Pronalaženje domene inverzne funkcije)

Prijem 5. Pojednostavljivanje formule koja definira razlomačku racionalnu funkciju

Prijem 6. Pronalaženje skupa vrijednosti kvadratnih funkcija (pronalaženjem vrha parabole i utvrđivanjem prirode ponašanja njezinih grana).

Prijem 7. Uvođenje pomoćnog kuta za pronalaženje skupa vrijednosti nekih trigonometrijskih funkcija.

Stranica 1

Ovisnost jedne varijable o drugoj naziva se funkcionalna ovisnost. Ovisnost varijable g iz varijable x nazvao funkcija, ako je svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti g.

Oznaka:

varijabla x naziva nezavisna varijabla ili argument, i varijabla g- ovisan. To kažu g je funkcija od x. Značenje g koji odgovara zadanoj vrijednosti x, nazvao vrijednost funkcije.

Sve vrijednosti koje su potrebne x, obrazac opseg funkcije; sve vrijednosti koje su potrebne g, obrazac skup vrijednosti funkcije.

Oznake:

D(f)- vrijednosti argumenata. E(f)- vrijednosti funkcije. Ako je funkcija dana formulom, tada se smatra da domenu definiranja čine sve vrijednosti varijable za koje ova formula ima smisla.

Grafikon funkcije naziva se skup svih točaka na koordinatnoj ravnini čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije. Ako neka vrijednost x=x0 odgovara više vrijednosti (ne samo jednoj) g, tada takvo dopisivanje nije funkcija. Da bi skup točaka koordinatne ravnine bio graf neke funkcije, potrebno je i dovoljno da bilo koji pravac paralelan s osi Oy siječe graf najviše u jednoj točki.

Načini postavljanja funkcije

1) Funkcija se može postaviti analitički u obliku formule. Na primjer,

2) Funkcija se može definirati tablicom više parova (x; y).

3) Funkcija se može postaviti grafički. Parovi vrijednosti (x; y) prikazan na koordinatnoj ravnini.

Monotonost funkcije

Funkcija f(x) nazvao povećavajući se na zadanom numeričkom intervalu, ako većoj vrijednosti argumenta odgovara veća vrijednost funkcije. Zamislite da se određena točka pomiče po grafu slijeva nadesno. Tada će se točka na neki način "popeti" na grafikonu.

Funkcija f(x) nazvao opadajući na zadanom numeričkom intervalu, ako manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta. Zamislite da se određena točka pomiče po grafu slijeva nadesno. Tada će se točka, tako reći, "skotrljati" niz grafikon.

Poziva se funkcija koja samo raste ili samo pada na zadanom numeričkom intervalu monoton na ovom intervalu.

Nule funkcije i intervali konstantnosti

Vrijednosti x, na kojem y=0, Zove se funkcijske nule. To su apscise točaka presjeka grafa funkcije s x-osi.

Takvi rasponi vrijednosti x, na kojem su vrijednosti funkcije g nazivaju se ili samo pozitivni ili samo negativni intervali predznaka konstantnosti funkcije.

Parne i neparne funkcije

Ravnomjerna funkcija
1) Područje definicije je simetrično u odnosu na točku (0; 0), tj. ako je točka a pripada domeni definicije, zatim točka -a također spada u domenu definicije.
2) Za bilo koju vrijednost x f(-x)=f(x)
3) Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os Oy.

neparna funkcija ima sljedeća svojstva:
1) Područje definicije je simetrično u odnosu na točku (0; 0).
2) za bilo koju vrijednost x, što spada u domenu definicije, jednakosti f(-x)=-f(x)
3) Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (0; 0).

Nije svaka funkcija parna ili neparna. Funkcije opći pogled nisu ni parni ni neparni.

Periodične funkcije

Funkcija f naziva se periodičnim ako postoji broj takav da za bilo koji x iz domene definicije jednakost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je period funkcije.

Svaka periodična funkcija ima beskonačan broj perioda. U praksi se obično uzima u obzir najmanji pozitivni period.

Vrijednosti periodične funkcije se ponavljaju nakon intervala jednakog razdoblju. Ovo se koristi pri crtanju grafikona.

D(f)- one vrijednosti koje argument može poprimiti, tj. opseg funkcije.

E(f)- one vrijednosti koje funkcija može poprimiti, tj. skup vrijednosti funkcije.

Metode za pronalaženje raspona funkcija.

sekvencijalno pronalaženje vrijednosti argumenata složene funkcije;

metoda bodovanja/graničenja;

korištenje svojstava neprekidnosti i monotonosti funkcije;

uporaba izvedenice;

korištenje najveće i najmanje vrijednosti funkcije;

grafička metoda;

metoda uvođenja parametara;

metoda inverzne funkcije.

Razmotrimo neke od njih.

Korištenje izvedenice

Opći pristup pronaći skup vrijednosti kontinuirane funkcije f(x) znači pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije f(x) u njezinoj domeni (ili dokazati da jedna ili obje ne postoje) .

Ako trebate pronaći skup vrijednosti funkcije na segmentu:

pronaći izvod zadane funkcije f "(x);

pronaći kritične točke funkcije f(x) i odabrati one koje pripadaju zadanom segmentu;

izračunati vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i na odabranim kritičnim točkama;

među pronađenim vrijednostima odaberite najmanju i najveću vrijednost;

Skup vrijednosti funkcije je zaključen između ovih vrijednosti.

Ako je opseg funkcije interval, tada se koristi ista shema, ali umjesto vrijednosti na krajevima, koriste se granice funkcije kada argument teži krajevima intervala. Granične vrijednosti od nisu uključene u skup vrijednosti.

Metoda granice/bodovanja

Da biste pronašli skup vrijednosti funkcije, prvo pronađite skup vrijednosti argumenata, a zatim pronađite odgovarajuće minimalne i maksimalne vrijednosti funkcije funkcije. Pomoću nejednakosti – odrediti granice.

Bit je ocijeniti kontinuiranu funkciju odozdo i odozgo te dokazati da funkcija doseže donju i gornju granicu procjene. U ovom slučaju, podudarnost skupa vrijednosti funkcije s intervalom od donje granice procjene do gornje određuje se kontinuitetom funkcije i nedostatkom drugih vrijednosti za nju.

Svojstva kontinuirane funkcije

Druga mogućnost je transformirati funkciju u kontinuiranu monotonu funkciju, a zatim se pomoću svojstava nejednakosti procjenjuje skup vrijednosti novodobivene funkcije.

Sekvencijalno pronalaženje vrijednosti argumenata složene funkcije

Na temelju sekvencijalnog traženja skupa vrijednosti posrednih funkcija koje čine funkciju

Rasponi osnovnih elementarnih funkcija

Primjeri

Pronađite skup vrijednosti funkcije:

Korištenje izvedenice

Nađi domenu definicije: D(f)=[-3;3], jer $9-x^(2)\geq 0$

Pronađite izvod: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0 ako je x = 0. f"(x) ne postoji ako je $\sqrt(9-x^(2))=0$ tj. za x = ±3. Dobivamo tri kritične točke: x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 3, od kojih se dvije podudaraju s krajevima segmenta. Izračunajte: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Dakle, najmanja vrijednost f(x) je 0, najveća vrijednost je 3.

Odgovor: E(f) = .

NE koristi izvedenicu

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije:

Od $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , tada:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ za sve x;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ za sve x(jer $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Odgovor: $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$

Ako riješite ovaj problem uz pomoć izvedenica, tada ćete morati prevladati prepreke povezane s činjenicom da je funkcija f (x) definirana ne na segmentu, već na cijeloj realnoj liniji.

Korištenje metode granica/procjena

Iz definicije sinusa slijedi da je $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Zatim koristimo svojstva numeričkih nejednakosti.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (pomnožite sva tri dijela dvostruke nejednadžbe s -4);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (dodano trima dijelovima dvostruke nejednadžbe 5);

Budući da je ova funkcija kontinuirana u cijeloj domeni definicije, skup njezinih vrijednosti nalazi se između njezine najmanje i najveće vrijednosti u cijeloj domeni definicije, ako postoji.

U ovom slučaju, skup vrijednosti funkcije $y = 5 - 4\sin(x)$ je skup .

Iz nejednakosti $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ dobivamo procjenu $$\\ -6\leq y\ leq 6 $ $

Za x = p i x = 0, funkcija poprima vrijednosti -6 i 6, tj. dostiže donju i gornju granicu. Kao linearna kombinacija kontinuiranih funkcija cos(7x) i cos(x), funkcija y je kontinuirana duž cijele brojčane osi, dakle, po svojstvu kontinuirane funkcije, poprima sve vrijednosti od -6 do 6 uključivo , i samo njih, budući da su mu zbog nejednakosti $- 6\leq y\leq 6$ druge vrijednosti nemoguće.

Prema tome, E(y) = [-6;6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Odgovor: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Transformirajmo izraz $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \desno)\cos\lijevo ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)( 2)) \desno) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac( \pi) (4)) $$.

Definicija kosinusa implicira $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Budući da je ova funkcija kontinuirana na cijeloj domeni definicije, tada je skup njezinih vrijednosti zatvoren između svoje najmanje i najveće vrijednosti, ako postoji, skup vrijednosti funkcije $y =\sqrt(2)\ cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ je skup $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Označite $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, gdje je -∞≤t≤4. Dakle, problem se svodi na pronalaženje skupa vrijednosti funkcije $y = \log_(0,5)(t)$ na zraku (-∞;4). Budući da je funkcija $y = \log_(0,5)(t)$ definirana samo za t > 0 , njen skup vrijednosti na zraku (-∞;4) podudara se sa skupom vrijednosti funkcija na intervalu (0;4) koja predstavlja sjecište zrake (-∞;4) s domenom definicije (0;+∞) logaritamske funkcije. Na intervalu (0;4) ova funkcija je kontinuirana i padajuća. Za t > 0 teži +∞, a za t = 4 poprima vrijednost -2, pa je E(y) = (-2, +∞).

Koristimo tehniku ​​koja se temelji na grafičkom prikazu funkcije.

Nakon transformacija funkcije imamo: y 2 + x 2 = 25, te y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Treba podsjetiti da je $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ jednadžba kruga polumjera r.

Pod ovim ograničenjima, graf ove jednadžbe je gornji polukrug sa središtem u ishodištu i polumjerom jednakim 5. Očito je da je E(y) = .

Odgovor: E(y) = .

Reference

Raspon funkcija u USE zadaci, Minyuk Irina Borisovna

Savjeti za pronalaženje skupa vrijednosti funkcije, Belyaeva I., Fedorova S.

Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije

Kako riješiti zadatke iz matematike na prijemnom ispitu, I.I. Melnikov, I.N. Sergeev

Funkcija je model. Definirajmo X kao skup vrijednosti nezavisne varijable // neovisno znači bilo koje.

Funkcija je pravilo po kojem se za svaku vrijednost nezavisne varijable iz skupa X može pronaći jedina vrijednost zavisne varijable. // tj. za svaki x postoji jedan y.

Iz definicije proizlazi da postoje dva pojma - nezavisna varijabla (koju označavamo s x i može poprimiti bilo koju vrijednost) i zavisna varijabla (koju označavamo s y ili f (x) i izračunava se iz funkcije kada zamijenimo x).

NA PRIMJER y=5+x

1. Neovisno je x, pa uzimamo bilo koju vrijednost, neka je x = 3

2. a sada izračunavamo y, pa je y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y je ovisan o x, jer ono što x zamijenimo, dobivamo takav y)

Kažemo da je varijabla y funkcionalno ovisna o varijabli x i to se označava na sljedeći način: y = f (x).

NPR.

1.y=1/x. (naziva se hiperbola)

2. y=x^2. (naziva se parabola)

3.y=3x+7. (zvana ravna linija)

4. y \u003d √ x. (naziva se grana parabole)

Neovisna varijabla (koju označavamo s x) naziva se argument funkcije.

Opseg funkcije

Skup svih vrijednosti koje argument funkcije ima naziva se domena funkcije i označava se s D(f) ili D(y).

Uzmite u obzir D(y) za 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) i (0;+∞) //cijeli skup realnih brojeva osim nule.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / svi mnogi realni brojevi

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / svi mnogi realni brojevi

4. D (y) \u003d)