Polinomi - Metodičko uputstvo. Zadaci za samostalno rješavanje

Definicija 3.3. monom naziva se izraz koji je umnožak brojeva, varijabli i potencija s prirodnim eksponentom.

Na primjer, svaki od izraza
,
je monom.

Kažu da monom ima standardni prikaz , ako sadrži samo jedan numerički faktor na prvom mjestu, a svaki umnožak identičnih varijabli u njemu predstavljen je stupnjem. Numerički faktor monoma napisanog u standardnom obliku naziva se monomski koeficijent . Stupanj monoma je zbroj eksponenata svih svojih varijabli.

Definicija 3.4. polinom naziva se zbroj monoma. Monomi koji čine polinom nazivaju sečlanovi polinoma .

Slični članovi – monomi u polinomu – nazivaju se slični članovi polinoma .

Definicija 3.5. Polinom standardnog oblika naziva se polinom u kojem su svi članovi napisani u standardnom obliku i zadani su slični članovi.Stupanj polinoma standardnog oblika imenovati najveće potencije njegovih monoma.

Na primjer, je polinom standardnog oblika četvrtog stupnja.

Djelovanje na monome i polinome

Zbroj i razlika polinoma mogu se pretvoriti u polinom standardnog oblika. Pri zbrajanju dva polinoma ispisuju se svi njihovi članovi i zadaju slični članovi. Pri oduzimanju se mijenjaju predznaci svih članova polinoma koji se oduzima.

Na primjer:

Članovi polinoma mogu se podijeliti u skupine i staviti u zagrade. Budući da je ovo identična transformacija inverzna širenju zagrada, utvrđuje se sljedeće: pravilo zagrada: ako se ispred zagrada stavlja znak plus, tada se svi pojmovi u zagradi pišu sa svojim predznakom; ako se ispred zagrada stavlja znak minus, tada se svi pojmovi u zagradi pišu sa suprotnim predznakom.

Na primjer,

Pravilo za množenje polinoma polinomom: za množenje polinoma s polinomom dovoljno je pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog polinoma i zbrojiti dobivene umnoške.

Na primjer,

Definicija 3.6. Polinom u jednoj varijabli stupnjeva naziva se izraz forme

Gdje
- svi brojevi koji se pozivaju koeficijenti polinoma , i
,je nenegativan cijeli broj.

Ako
, zatim koeficijent nazvao vodeći koeficijent polinoma
, monom
- njegov stariji član , koeficijent – slobodan član .

Ako umjesto varijable u polinom
zamijenite realnim brojem , tada je rezultat realan broj
, koji se zove polinomska vrijednost
na
.

Definicija 3.7. Broj nazvaokorijen polinoma
, Ako
.

Razmotrimo dijeljenje polinoma polinomom, gdje je
I - cijeli brojevi. Dijeljenje je moguće ako je stupanj djeljivog polinoma
ne manji od stupnja polinoma djelitelja
, to je
.

Polinom dijeljenja
na polinom
,
, znači pronaći dva takva polinoma
I
, do

Istovremeno, polinom
stupnjeva
nazvao kvocijentni polinom ,
– ostatak ,
.

Napomena 3.2. Ako je djelitelj
–nije nulti polinom, onda dijeljenje
na
,
, uvijek je moguće, a kvocijent i ostatak su jednoznačno određeni.

Napomena 3.3. U slučaju kada
za sve , to je

recimo da je to polinom
potpuno podijeljena(ili dijeliti)na polinom
.

Dijeljenje polinoma izvodi se slično kao i dijeljenje višeznačnih brojeva: prvo se stariji član djeljivog polinoma podijeli sa starijim članom polinoma djelitelja, zatim se dobije kvocijent od dijeljenja tih članova, koji će biti stariji član. kvocijentnog polinoma, množi se polinomom djelitelja i dobiveni umnožak oduzima se od djeljivog polinoma. Kao rezultat dobiva se polinom - prvi ostatak, koji se na isti način dijeli polinomom djelitelja i nalazi se drugi član kvocijenta polinoma. Ovaj proces se nastavlja dok se ne dobije ostatak nula ili dok stupanj polinoma ostatka ne bude manji od stupnja polinoma djelitelja.

Kada dijelite polinom s binomom, možete koristiti Hornerovu shemu.

Hornerova shema

Neka je potrebno podijeliti polinom

u binom
. Kvocijent dijeljenja označimo kao polinom

a ostatak je . Značenje , koeficijenti polinoma
,
i ostatak pišemo u sljedećem obliku:

U ovoj shemi svaki od koeficijenata
,
,
, …,dobiva se iz prethodnog broja donjeg reda množenjem s brojem i dodajući dobivenom rezultatu odgovarajući broj gornje crte iznad željenog koeficijenta. Ako bilo koji stupanj nema u polinomu, tada je odgovarajući koeficijent jednak nuli. Nakon što smo odredili koeficijente prema gornjoj shemi, zapisujemo kvocijent

i rezultat dijeljenja, ako
,

ili ,

Ako
,

Teorem 3.1. Da bi nesvodivi razlomak (

,

)bio korijen polinoma
kod cjelobrojnih koeficijenata potrebno je da broj bio djelitelj slobodnog člana , i broj - djelitelj najvećeg koeficijenta .

Teorem 3.2. (Bezoutov teorem ) Ostatak od dijeljenja polinoma
u binom
jednaka vrijednosti polinoma
na
, to je
.

Kod dijeljenja polinoma
u binom
imamo jednakost

To vrijedi, posebice, za
, to je
.

Primjer 3.2. Podijelite po
.

Riješenje. Primijenimo Hornerovu shemu:

Stoga,

Primjer 3.3. Podijelite po
.

Riješenje. Primijenimo Hornerovu shemu:

Stoga,

,

Primjer 3.4. Podijelite po
.

Riješenje.

Kao rezultat toga, dobivamo

Primjer 3.5. Podijeliti
na
.

Riješenje. Izvršimo dijeljenje polinoma stupcem:

Onda dobivamo

.

Ponekad je korisno prikazati polinom kao jednak umnožak dva ili više polinoma. Takva identična transformacija naziva se faktorizacija polinoma . Razmotrimo glavne načine takve razgradnje.

Izvlačenje zajedničkog faktora iz zagrada. Da bi se polinom faktorizirao izuzimanjem zajedničkog faktora iz zagrada, potrebno je:

1) pronađite zajednički faktor. Da bi se to postiglo, ako su svi koeficijenti polinoma cijeli brojevi, najveći modulo zajednički djelitelj svih koeficijenata polinoma smatra se koeficijentom zajedničkog faktora, a svaka varijabla uključena u sve članove polinoma uzima se s najveći eksponent koji ima u ovom polinomu;

2) pronaći kvocijent dijeljenja zadanog polinoma zajedničkim faktorom;

3) zapišite umnožak zajedničkog faktora i dobivenog kvocijenta.

grupiranje članova. Kod rastavljanja polinoma na faktore metodom grupiranja njegovi se članovi dijele u dvije ili više skupina na način da se svaka od njih može pretvoriti u umnožak, a dobiveni umnošci imaju zajednički faktor. Nakon toga se primjenjuje metoda stavljanja u zagrade zajedničkog faktora novotransformiranih članova.

Primjena formula za skraćeno množenje. U slučajevima kada polinom koji se rastavlja faktorizirana, ima oblik desne strane bilo koje skraćene formule množenja, njezino faktoriziranje postiže se korištenjem odgovarajuće formule zapisane drugačijim redoslijedom.

Neka

, tada je istinito sljedeće. formule skraćenog množenja:

Za :
Ako neparan ( ):
Newtonov binom: Gdje - broj kombinacija od Po .

Uvođenje novih pomoćnih članova. Ova se metoda sastoji u tome što se polinom zamjenjuje drugim polinomom, njemu identično jednakim, ali koji sadrži drugačiji broj članova, uvođenjem dva suprotna člana ili zamjenom bilo kojeg člana zbrojem sličnih monoma koji su mu identički jednaki. Zamjena se vrši na način da se na dobiveni polinom može primijeniti metoda grupiranja članova.

Primjer 3.6..

Riješenje. Svi članovi polinoma sadrže zajednički faktor
. Stoga,.

Odgovor: .

Primjer 3.7.

Riješenje. Posebno grupiramo članove koji sadrže koeficijent , i članovi koji sadrže . Stavljajući u zagrade zajedničke faktore grupa, dobivamo:

.

Odgovor:
.

Primjer 3.8. Faktoriziraj polinom
.

Riješenje. Pomoću odgovarajuće formule za skraćeno množenje dobivamo:

Odgovor: .

Primjer 3.9. Faktoriziraj polinom
.

Riješenje. Metodom grupiranja i pripadajućom formulom skraćenog množenja dobivamo:

.

Odgovor: .

Primjer 3.10. Faktoriziraj polinom
.

Riješenje. Zamijenimo na
, grupirati članove, primijeniti skraćene formule množenja:

.

Odgovor:
.

Primjer 3.11. Faktoriziraj polinom

Riješenje. jer,
,
, To

Tema lekcije:

Polinomi u jednoj varijabli.

11. razred

Profesor matematike

Kazantseva M.V.

MBOU "Srednja škola br. 110"

Razmotrimo polinome:

2x 2 – 11x +12

– 14x 5 + 3x 2 – 6x+7

x 6 + 11

Ovi polinomi su napisani u standardnom obliku.

Polinom standardnog oblika ne sadrži takve članove i napisan je silaznim redoslijedom potencija svojih članova.

P(x)= a P x P +a n–1 x n–1 +a n–2 x n–2 +

+… + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

Gdje A 0 , A 1 , A 2 …. A P – neki brojevi, i A P  0, str 

A P x P – viši član polinoma

A P – koeficijent na stariji

član

P – polinomski stupanj

A 0 – slobodni član polinoma

P(x)= a P x P +a n–1 x n–1 +a n–2 x n–2 +

+… + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

Ako

A P =1 ,

zatim polinom P (x) - smanjeno

Primjer: x+3; x 5 +3x 2 -4

A P ≠1 ,

zatim polinom P (x) - nereducirano

Primjer: 2x 2 +x; -0,5x 7 +3x 3 -11

Teorem 1:

Dva polinoma ( standardni prikaz) su identički jednaki ako su im potencije jednake i koeficijenti jednaki pri istim potencijama od x.

Zadatak #1

Nađi brojeve a i b ako su polinomi x 3 + 6x 2 + sjekira + b jednaka kubu binoma x + 2

Operacije na polinomima:

1. Zbrajanje i oduzimanje.

Zbrajanjem (oduzimanjem) dvaju polinoma različitih stupnjeva dobiva se polinom čiji je stupanj jednak najvećem od dostupnih stupnjeva.

Zadatak #2

Nađi zbroj polinoma

x+3 i -0,5x 5 +3x 2 -4

Operacije na polinomima:

1. Zbrajanje i oduzimanje.

Zbrajanjem (oduzimanjem) dvaju polinoma istog stupnja dobiva se polinom istog ili manjeg stupnja.

Zadatak #3

Nađi zbroj i razliku polinomi

2x 3 +3x 2 -x i -2x 3 +3x-4

Operacije na polinomima:

2. Umjetničko djelo.

Ako polinom p(x) ima najveći stupanj m, a polinom s(x) ima stupanj n, tada je njihov umnožak p(x)∙ s(x) ima stupanj m+n.

Zadatak #4

Nađi komad polinomi

x+3 i -0,5x 5 +3x 2 -4

Operacije na polinomima:

3. Potenciranje.

Ako se polinom p(x) stupnja m podigne na stupanj n, tada se dobije polinom stupnja mn.

Zadatak #5

Podignite polinom

-0,5x 5 +3x 2 -4 na kvadrat

Operacije na polinomima:

4. Dijeljenje polinoma je polinom.

Ako je polinom p(x) djeljiv polinomom s(x) koji nije nula, ako postoji takav polinom q(x) za koji vrijedi identitet:

p(x) = s(x) q(x)

p(x) – djeljivo (ili višestruko)

s(x) - djelitelj

q(x) -kvocijent

Metoda podjele po kutu

Polinom dijeljenja 8x 2 +10x–3 na polinom 2x+3

2x+3

– 3

8x 2 +10x–3

–

8x 2 +12x

– 1

4x

– 2x

–

– 2x–3

0

Zadatak #6

Polinom dijeljenja 6x 3 +7x 2 – 6x +1 na polinom 3x -1

Zadatak #7

Polinom dijeljenja x 3 – 3x 2 + 5x - 15 na polinom x - 3

Zadatak #8

Polinom dijeljenja x 4 + 4 na polinom x 2 + 2x + 2

Lekcija na temu: "Pojam i definicija polinoma. Standardni oblik polinoma"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna pomagala i simulatori u online trgovini "Integral" za 7. razred
Elektronički udžbenik na udžbeniku Yu.N. Makarychev
Elektronički udžbenik na udžbeniku Sh.A. Alimova

Dečki, već ste proučavali monome u temi: Standardni oblik monoma. Definicije. Primjeri. Ponovimo osnovne definicije.

Monom- izraz koji se sastoji od umnoška brojeva i varijabli. Varijable se mogu podići na prirodne potencije. Monom ne sadrži nikakve druge operacije osim množenja.

Standardni oblik monoma- takav oblik kada je na prvom mjestu koeficijent (brojčani faktor), a zatim stupnjevi raznih varijabli.

Slični monomi su ili identični monomi ili monomi koji se međusobno razlikuju faktorom.

Pojam polinoma

Polinom je, kao i monom, općeniti naziv za matematičke izraze određene vrste. Već smo se prije susretali s takvim generalizacijama. Na primjer, "zbroj", "proizvod", "potenciranje". Kada čujemo "razlika brojeva", pomisao na množenje ili dijeljenje nam niti ne pada na pamet. Također, polinom je izraz strogo definiranog oblika.

Definicija polinoma

Polinom je zbroj monoma.

Monomi koji čine polinom nazivaju se članovi polinoma. Ako su dva člana, onda imamo posla s binomom, ako su tri, onda s trinomom. Ako se kaže više članova – polinom.

Primjeri polinoma.

1) 2ab + 4cd (binom);

2) 4ab + 3cd + 4x (trinom);

3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xy 3;

3c 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xy - 5xy 2 .

Pogledajmo pobliže posljednji izraz. Po definiciji, polinom je zbroj monoma, ali u posljednjem primjeru ne samo da zbrajamo, već i oduzimamo monome.
Da pojasnimo, pogledajmo mali primjer.

Napišimo izraz a + b - c(složimo se s tim a ≥ 0, b ≥ 0 i c ≥ 0) i odgovori na pitanje: je li to zbroj ili razlika? Teško je reći.
Doista, ako prepišemo izraz kao a + b + (-c), dobivamo zbroj dva pozitivna i jednog negativnog člana.
Ako pogledate naš primjer, onda imamo posla upravo sa zbrojem monoma s koeficijentima: 3, - 2, 7, -5. U matematici postoji pojam "algebarski zbir". Dakle, definicija polinoma znači "algebarski zbroj".

Ali zapis oblika 3a: b + 7 s polinomom nije jer 3a: b nije monom.
Oznaka 3b + 2a * (c 2 + d) također nije polinom, budući da 2a * (c 2 + d) nije monom. Ako otvorite zagrade, tada će rezultirajući izraz biti polinom.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.

Stupanj polinoma je najviši stupanj njegovih članova.
Polinom a 3 b 2 + a 4 ima peti stupanj, budući da je stupanj monoma a 3 b 2 2 + 3 \u003d 5, a stupanj monoma a 4 4.

Standardni oblik polinoma

Polinom koji nema sličnih članova i napisan je prema silaznom redoslijedu stupnjeva članova polinoma je polinom standardnog oblika.

Polinom se dovodi u standardni oblik kako bi se uklonila pretjerana nezgrapnost pisanja i pojednostavile daljnje radnje s njim.

Doista, zašto, na primjer, pisati dugačak izraz 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4, kada se može pisati kraće od 9b 2 + 3a 2 + 8.

Da biste polinom doveli u standardni oblik, potrebno vam je:
1. dovesti sve svoje članove u standardni obrazac,
2. dodati slične (iste ili s različitim brojčanim koeficijentima) članove. Ovaj se postupak često naziva dovođenje sličnih.

Primjer.
Dovedite polinom aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 u standardni oblik.

Riješenje.

a 2 b + 2 x 5 y 2 + x 5 y 2 + 10a 2 b + 14 = 11a 2 b + 3 x 5 y 2 + 14.

Odredimo stupnjeve monoma koji čine izraz i rasporedimo ih u silazni red.
11a 2 b ima treći stupanj, 3 x 5 y 2 ima sedmi stupanj, 14 ima nulti stupanj.
Dakle, na prvo mjesto ćemo staviti 3 x 5 y 2 (7. stupanj), na drugo - 12a 2 b (3. stupanj) i na treće - 14 (nulti stupanj).
Kao rezultat, dobivamo polinom standardnog oblika 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14.

Primjeri za samostalno rješavanje

Polinome dovesti u standardni oblik.

1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2 - 56 + ac + x 2 y + 50 * (2 a 2 b 3 - 4x 2 y + 7ac - 6);

2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5);

3) 4ax 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5ax 6 - 19bc - 6a);

4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).

7. razred dopisne škole. Zadatak broj 2.

Metodički priručnik br.2.

Teme:

Polinomi. Zbroj, razlika i umnožak polinoma;

Rješavanje jednadžbi i zadataka;

Faktorizacija polinoma;

Formule skraćenog množenja;

Zadaci za samostalno rješavanje.

Polinomi. Zbroj, razlika i umnožak polinoma.

Definicija. polinom naziva se zbroj monoma.

Definicija. Monomi koji čine polinom nazivaju se članovi polinoma.

Množenje monoma polinomom .

Da bi se monom pomnožio s polinomom, potrebno je taj monom pomnožiti sa svakim članom polinoma i zbrojiti dobivene umnoške.

Množenje polinoma polinomom .

Za množenje polinoma s polinomom potrebno je svaki član jednog polinoma pomnožiti sa svakim članom drugog polinoma i zbrojiti dobivene umnoške.

Primjeri rješavanja zadataka:

Pojednostavite izraz:

Riješenje.

Riješenje:

Budući da je prema uvjetu koeficijent pri onda treba biti nula

Odgovor: -1.

Rješenje jednadžbi i zadataka.

Definicija . Jednadžba koja sadrži varijablu naziva se jedna varijabilna jednadžba ili jednadžba s jednom nepoznatom.

Definicija . Korijen jednadžbe (rješenje jednadžbe) je vrijednost varijable pri kojoj jednadžba postaje prava jednakost.

Rješavanje jednadžbe znači pronalaženje skupa korijena.

Definicija. Vrsta jednadžbe
, Gdje x varijabla, a I b - neke brojeve nazivamo linearnom jednadžbom s jednom varijablom.

Definicija.

Gomila korijeni linearne jednadžbe mogu:

Primjeri rješavanja problema:

Je li zadani broj 7 korijen jednadžbe:

Riješenje:

Dakle, x=7 je korijen jednadžbe.

Odgovor: Da.

Riješite jednadžbe:

Riješenje:
Odgovor: -12		Odgovor: -0,4

S pristaništa je prema gradu krenuo brod brzinom 12 km/h, a nakon pola sata u tom je smjeru krenuo parobrod brzinom 20 km/h. Kolika je udaljenost od pristaništa do grada ako je parobrod stigao u grad 1,5 sat ranije od broda?

Riješenje:

Neka je x udaljenost od luke do grada.

	Ubrzati (km/h)	Vrijeme (h)	put (km)
Čamac
parobrod

Prema uvjetu zadatka, brod je proveo 2 sata više vremena od parobroda (budući da je parobrod krenuo s pristaništa pola sata kasnije i stigao u grad 1,5 sat ranije od broda).

Napravimo i riješimo jednadžbu:

60 km - udaljenost od pristaništa do grada.

Odgovor: 60 km.

Duljina pravokutnika se smanji za 4 cm i dobije se kvadrat čija je površina manja od površine pravokutnika za 12 cm². Pronađite površinu pravokutnika.

Riješenje:

Neka je x stranica pravokutnika.

	Duljina	Širina	Kvadrat
Pravokutnik			x(x-4)
Kvadrat			(x-4)(x-4)

Prema uvjetu zadatka, površina kvadrata manja je od površine pravokutnika za 12 cm².

Napravimo i riješimo jednadžbu:

7 cm je duljina pravokutnika.

(cm²) je površina pravokutnika.

Odgovor: 21 cm².

Turisti su planiranu rutu prolazili tri dana. Prvog dana prešli su 35% planirane rute, drugog 3 km više nego prvog, a trećeg preostalih 21 km. Kolika je duljina rute?

Riješenje:

Neka je x duljina cijele rute.

	1 dan	2 dan	3 dan
Dužina puta		0,35x+3
Ukupna duljina staze bila je x km.

Dakle, sastavljamo i rješavamo jednadžbu:

0,35x+0,35x+21=x

0,7x+21=x

0,3x=21

70 km duljine cijele rute.

Odgovor: 70 km.

Faktorizacija polinoma.

Definicija . Predstavljanje polinoma kao produkta dvaju ili više polinoma naziva se faktorizacija.

Izvlačenje zajedničkog faktora iz zagrada .

Primjer :

Metoda grupiranja .

Grupiranje se mora izvesti tako da svaka grupa ima zajednički faktor, osim toga, nakon izuzimanja zajedničkog faktora iz zagrada u svakoj grupi, rezultirajući izrazi također moraju imati zajednički faktor.

Primjer :

Formule skraćenog množenja.

Umnožak razlike dvaju izraza i njihova zbroja jednak je razlici kvadrata tih izraza.

Kvadrat zbroja dvaju izraza jednak je kvadratu prvog izraza, plus dva puta umnožak prvog i drugog izraza, plus kvadrat drugog izraza. rješenja. 1. Nađi ostatak pri dijeljenju polinom x6 - 4x4 + x3 ... nema odluke, A odluke drugi su parovi (1; 2) i (2; 1). Odgovor: (1; 2) , (2; 1). Zadaci Za nezavisna rješenja. Riješite sustav...

• Ogledni kurikulum Algebra i počeci analize za 10.-11. razred (profilna razina) Objašnjenje

  Program

  Svaki paragraf daje traženi broj zadaci Za nezavisna rješenja prema rastućoj složenosti. ... algoritam dekompozicije polinom u potencijama binoma; polinomi sa složenim koeficijentima; polinomi sa pravim...

• Izborni kolegij “Rješavanje nestandardnih zadataka. Razred 9 „Ispunjava profesor matematike

  izborni predmet

  Jednadžba je ekvivalentna jednadžbi R(h) = Q(X), gdje su R(h) i Q(x) neki polinomi s jednom varijablom x. Pomicanje Q(x) u lijevu stranu... = . ODGOVOR: x1=2, x2=-3, xs=, x4=. ZADACI ZA NEOVISNA RJEŠENJA. Riješite sljedeće jednadžbe: x4 - 8x...

• Izborni program iz matematike za 8. razred

  Program

  Algebarski teorem, Vieta teorem Za kvadratni trinom i Za polinom proizvoljni stupanj, racionalni teorem... stvari. Ne samo da je popis zadaci Za nezavisna rješenja, ali i zadatak da se napravi sweep model ...