Geometrijski oblici koji nisu poligoni. Pravilni poligon

U tečaju geometrije proučavamo svojstva geometrijskih likova i već smo se osvrnuli na najjednostavnije od njih: trokute i okoline. Istodobno, raspravljali smo i o posebnim posebnim slučajevima ovih figura, kao što su pravokutni, jednaki i pravi trougljeni ni-ki. Sada je došlo vrijeme da govorimo o općenitijim i složenijim brojkama - puno ugljena.

S privatnim slučajem puno ugljena već znamo - ovo je trokut (vidi sliku 1).

Riža. 1. Trokut

Već u samom nazivu je naznačeno da je ovo fi-gu-ra, koja ima tri ugla. Dalje, u puno ugljena može ih biti mnogo, tj. više od tri. Na primjer, nacrtajte peterokut (vidi sl. 2), tj. fi-gu-ru s pet uglova-la-mi.

Riža. 2. Penta-kut. Vi-glomazni poligon

Definicija.Poligon- figura, koja se sastoji od nekoliko točaka (više od dvije) i odgovara broju točaka iz kova, koji ih prate zajedno. Te se točke nazivaju top-ona-mi puno ugljena, ali od rezanja - sto-ro-na-mi. U tom slučaju nijedna susjedna stranica ne leži na istoj pravoj crti niti se dvije nesusjedne strane sijeku.

Definicija.Pravi poligon- ovo je konveksni poligon, koji ima sve strane i kutove jednake.

Bilo koje poligon dijeli ravninu na dva područja: unutarnje i vanjsko. Unutrašnji prostor također je iz puno ugljena.

Drugim riječima, na primjer, kada se govori o peterokutu, misli se i na cjelokupno unutarnje područje i na njegove granice. tsu. A sve točke koje se nalaze unutar puno ugljena povezane su s unutarnjim područjem, tj. točka je također od-no-sit-xia do pet-ugljen-ni-ku (vidi sl. 2).

Puno ugljena ponekad se naziva n-ugljen kako bi se naglasilo da je čest slučaj nepoznatog broja kutova (n komada).

Definicija. Peri-metar mnogo-ugljen-no-ka- zbroj duljina stranica lota ugljena.

Sada se moramo upoznati sa znamenitostima puno ugljena. Dijele se na ti prdiš I prdi. Na primjer, poligon prikazan na Sl. 2, čini se da prdite, a na sl. 3 ne prdi.

Riža. 3. Nevy-kvrgavi poligon

2. Konveksni i nekonveksni poligoni

Definicija 1. Poligon na-za-va-et-sya ti prdiš, ako, kada prolazi izravno kroz bilo koju od njegovih strana, cijeli poligon leži samo s jedne strane od ove ravne linije. Neva-puk-ly-mi pojavljuju se svi ostali puno ugljena.

Lako je zamisliti da kada produžite bilo koju stranu peterokuta na Sl. 2 sve će se pokazati da je jedna strana udaljena od ove ravne linije, tj. on je prdljiv. Ali kada prolazite ravno kroz četiri ugljena na Sl. 3 već vidimo da ga ona dijeli na dva dijela, t j . on nije veliki prdoš.

Ali postoji još jedna definicija koliko ugljena imate.

Definicija 2. Poligon na-za-va-et-sya ti prdiš, ako kad odaberete bilo koje dvije njegove unutarnje točke i kad ih spojite iz usjeka, sve točke iz usjeka su također unutarnje - nije baš puno ugljena.

Demonstracija korištenja ove definicije može se vidjeti na primjeru konstrukcije graničnih vrijednosti na sl. 2 i 3.

Definicija. Dia-go-na-lew puno ugljena naziva se svaki usjek koji spaja dva njegova nesusjedna vrha.

3. Teorem o zbroju unutarnjih kutova konveksnog n-kuta

Da bismo opisali svojstva mnogokuta, postoje dva važna teoreme o njihovim kutovima: teo-re-ma o zbroju unutarnjih kutova puno kutova I teo-re-ma o zbroju vanjskih kutova puno kutova. Pogledajmo ih.

Teorema. O zbroju unutarnjih kutova imate puno kutova (n-ugljen-no-ka).

Gdje je broj njegovih kutova (stranica).

Dokaz 1. Ilustracija na sl. 4 izbočeni n-kut.

Riža. 4. Neravni n-gon

S vrha ćemo voditi sve moguće dija-go. N-gon-nik dijele na tri-gon-nik, jer. Svaka strana tvori puno ugljena, osim strana koje leže prema vrhu. Sa slike je lako vidjeti da će zbroj kutova svih ovih trokuta biti točno jednak zbroju unutarnjih kutova n-kuta. Budući da je zbroj kutova bilo kojeg trokuta , tada je zbroj unutarnjih kutova n-kuta:

Razlog 2. Moguće je da postoji još jedan razlog za ovaj teorem. Ilustracija analognog n-kuta na sl. 5 i spojite bilo koju njegovu unutarnju točku sa svim vrhovima.

N-ugljen smo podijelili na n trokuta (koliko stranica, toliko trokuta)). Zbroj svih njihovih kutova jednak je zbroju unutarnjih kutova mnogokuta i zbroju kutova u unutarnjoj točki, a to je kut. Imamo:

Q.E.D.

Do-ka-za-ali.

Prema prethodnoj teoriji jasno je da zbroj kutova n-ugljena ne ovisi o broju njegovih stranica (od n). Na primjer, u trokutu je zbroj kutova . U wh-reh-coal-no-ke, i zbroj uglova - itd.

4. Teorem o zbroju vanjskih kutova konveksnog n-kuta

Teorema. O zbroju vanjskih kutova puno ugljena (n-ugljen-no-ka).

Gdje je broj njegovih kutova (stranica), a , ..., su vanjski kutovi.

Dokaz. Slika konveksnog n-kuta na sl. 6 i označite njegove unutarnje i vanjske kutove.

Riža. 6. Vi-konveksni n-kut s označenim vanjskim kutovima

Jer vanjski kut spojen je s unutarnjim kutom kao susjedni, dakle i slično za ostale vanjske kutove. Zatim:

Tijekom predrazvoja već smo koristili teorem o zbroju unutarnjih kutova n-ugljen-nika- ka.

Do-ka-za-ali.

Iz prethodnog teorema slijedi zanimljiva činjenica da je zbroj vanjskih kutova konveksnog n-ugljena jednak na broj njegovih kutova (stranica). Usput, ovisno o zbroju unutarnjih kutova.

Zatim ćemo detaljnije poraditi na konkretnom slučaju puno ugljena - zašto-ponovo-ugljen-ne-mi. U sljedećoj lekciji ćemo se upoznati s takvom figurom kao par-ral-le-lo-gram i razgovarati o njegovim svojstvima.

IZVOR

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-klasse

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144

Predmet, dob učenika: geometrija, 9. razred

Svrha lekcije: proučavanje vrsta poligona.

Obrazovni zadatak: obnoviti, proširiti i generalizirati znanja učenika o mnogokutima; formirati ideju o "sastavnim dijelovima" poligona; provesti istraživanje broja sastavnih elemenata pravilnih poligona (od trokuta do n-kuta);

Razvojna zadaća: razvijati sposobnost analiziranja, uspoređivanja, zaključivanja, razvijati računalne sposobnosti, usmeni i pisani matematički govor, pamćenje, kao i samostalnost u misaonim aktivnostima i učenju, sposobnost rada u paru i grupi; razvijati istraživačku i obrazovnu djelatnost;

Odgojni zadatak: njegovati samostalnost, aktivnost, odgovornost za povjereni posao, ustrajnost u postizanju cilja.

Tijekom nastave: citat napisan na ploči

“Priroda govori jezikom matematike, slova ovog jezika... matematičke figure.” G.Galliley

Na početku sata razred je podijeljen u radne grupe (u našem slučaju podijeljen u grupe od po 4 osobe - broj članova grupe jednak je broju grupa pitanja).

1. Faza poziva-

Ciljevi:

a) obnavljanje znanja učenika o temi;

b) buđenje interesa za temu koja se proučava, motiviranje svakog učenika za obrazovne aktivnosti.

Tehnika: Igra “Vjeruješ li da...”, organizacija rada s tekstom.

Oblici rada: frontalni, grupni.

“Vjeruješ li da...”

1. ... riječ "mnogokut" označava da sve figure u ovoj obitelji imaju "mnogo kutova"?

2. ... pripada li trokut velikoj obitelji poligona koji se razlikuju među mnogim različitim geometrijskim oblicima na ravnini?

3. ... je li kvadrat pravilan osmerokut (četiri stranice + četiri kuta)?

Danas ćemo u lekciji govoriti o poligonima. Saznajemo da je ta figura ograničena zatvorenom isprekidanom linijom, koja pak može biti jednostavna, zatvorena. Razgovarajmo o tome da poligoni mogu biti ravni, pravilni ili konveksni. Jedan od ravnih poligona je trokut, s kojim ste odavno upoznati (učenicima možete pokazati plakate koji prikazuju poligone, izlomljenu liniju, pokazati im različite vrste, također možete koristiti TSO).

2. Stadij začeća

Cilj: dobivanje nove informacije, njegovo razumijevanje, selekcija.

Tehnika: cik-cak.

Oblici rada: individualni->par->grupni.

Svaki član grupe dobiva tekst na temu lekcije, a tekst je sastavljen na način da uključuje informacije koje su učenicima već poznate i informacije koje su potpuno nove. Uz tekst učenici dobivaju pitanja na koje odgovore moraju pronaći u ovom tekstu.

Poligoni. Vrste poligona.

Tko još nije čuo za misteriozni Bermudski trokut u kojem brodovi i zrakoplovi netragom nestaju? Ali trokut, koji nam je poznat iz djetinjstva, prepun je puno zanimljivih i tajanstvenih stvari.

Uz već poznate nam vrste trokuta, podijeljenih po stranicama (razmjerni, jednakokračni, jednakostranični) i kutovima (oštri, tupi, pravokutni), trokut pripada velikoj obitelji mnogokuta, koji se razlikuju među mnogim različitim geometrijskim oblicima na avion.

Riječ "poligon" označava da sve figure u ovoj obitelji imaju "mnogo kutova". Ali to nije dovoljno za karakterizaciju figure.

Izlomljena linija A 1 A 2 ...A n je lik koji se sastoji od točaka A 1, A 2, ...A n i odsječaka koji ih spajaju A 1 A 2, A 2 A 3,.... Točke se nazivaju vrhovi polilinije, a segmenti se nazivaju karike polilinije. (Sl. 1)

Izlomljena linija se naziva jednostavnom ako nema samosjecišta (sl. 2, 3).

Polilinija se naziva zatvorenom ako joj se krajevi podudaraju. Duljina izlomljene linije je zbroj duljina njezinih karika (slika 4).

Jednostavna zatvorena izlomljena crta naziva se mnogokut ako njezine susjedne karike ne leže na istoj ravnici (slika 5).

Zamijenite određeni broj, na primjer 3, u riječi "mnogokut" umjesto dijela "mnogo". Dobit ćete trokut. Ili 5. Zatim - peterokut. Imajte na umu da, koliko ima kutova, toliko je i stranica, pa bi se ove figure mogle nazvati polilateralama.

Vrhovi izlomljene crte nazivaju se vrhovima mnogokuta, a karike izlomljene crte nazivaju se stranicama mnogokuta.

Poligon dijeli ravninu na dva područja: unutarnje i vanjsko (slika 6).

Ravni poligon ili poligonalno područje je konačni dio ravnine omeđen poligonom.

Dva vrha mnogokuta koji su krajevi jedne stranice nazivamo susjednim. Vrhovi koji nisu krajevi jedne stranice su nesusjedni.

Mnogokut s n vrhova, a time i n stranica, naziva se n-kut.

Iako je najmanji broj strana mnogokuta 3. Ali trokuti, kada su međusobno povezani, mogu tvoriti druge figure, koje su pak također poligoni.

Segmenti koji povezuju nesusjedne vrhove poligona nazivaju se dijagonalama.

Mnogokut se naziva konveksnim ako leži u istoj poluravnini u odnosu na bilo koji pravac koji sadrži njegovu stranicu. U tom slučaju se smatra da pravac pripada poluravnini.

Kut konveksnog mnogokuta pri danom vrhu je kut koji čine njegove stranice koje konvergiraju u tom vrhu.

Dokažimo teorem (o zbroju kutova konveksnog n-kuta): Zbroj kutova konveksnog n-kuta jednak je 180 0 *(n - 2).

Dokaz. U slučaju n=3 teorem vrijedi. Neka je A 1 A 2 ...A n zadan konveksni poligon i n>3. Povucimo dijagonale u njemu (iz jednog vrha). Budući da je mnogokut konveksan, te ga dijagonale dijele na n – 2 trokuta. Zbroj kutova mnogokuta je zbroj kutova svih ovih trokuta. Zbroj kutova svakog trokuta jednak je 180 0, a broj tih trokuta n je 2. Prema tome, zbroj kutova konveksnog n-kuta A 1 A 2 ...A n jednak je 180 0 * (n - 2). Teorem je dokazan.

Vanjski kut konveksnog mnogokuta na danom vrhu je kut koji graniči s unutarnjim kutom mnogokuta na tom vrhu.

Konveksni mnogokut naziva se pravilnim ako su mu sve stranice jednake i svi kutovi jednaki.

Dakle, kvadrat se može nazvati drugačije - pravilan četverokut. Jednakostranični trokuti također su pravilni. Takve su figure dugo zanimale obrtnike koji su ukrašavali zgrade. Izrađivali su lijepe šare, primjerice na parketu. Ali nisu svi pravilni poligoni mogli poslužiti za izradu parketa. Parket se ne može napraviti od pravilnih osmerokuta. Činjenica je da je svaki kut jednak 135 0. A ako je neka točka vrh dvaju takvih osmerokuta, tada će oni iznositi 270 0, a tamo nema mjesta za treći osmerokut: 360 0 - 270 0 = 90 0. Ali za kvadrat je to dovoljno. Stoga parket možete napraviti od pravilnih osmerokuta i kvadrata.

Zvijezde su također točne. Naša petokraka zvijezda je pravilna peterokutna zvijezda. A ako zarotirate kvadrat oko središta za 45 0, dobit ćete pravilnu osmerokutnu zvijezdu.

1 grupa

Što je isprekidana linija? Objasnite što su vrhovi i karike polilinije.

Koja se izlomljena crta naziva jednostavnom?

Koja se izlomljena linija naziva zatvorenom?

Kako se zove poligon? Kako se zovu vrhovi poligona? Kako se zovu stranice mnogokuta?

2. skupina

Koji se mnogokut naziva ravnim? Navedite primjere poligona.

Što je n – kvadrat?

Objasnite koji su vrhovi mnogokuta susjedni, a koji nisu.

Što je dijagonala mnogokuta?

3 grupa

Koji poligon nazivamo konveksnim?

Objasnite koji su kutovi mnogokuta vanjski, a koji unutarnji?

Koji se poligon naziva pravilnim? Navedite primjere pravilnih mnogokuta.

4 grupa

Koliki je zbroj kutova konveksnog n-kuta? Dokaži.

Učenici rade s tekstom, traže odgovore na postavljena pitanja, nakon čega se formiraju stručne skupine u kojima se radi na istim temama: učenici izdvajaju glavne točke, sastavljaju popratni sažetak i iznose podatke u jednom od grafičke forme. Po završetku rada učenici se vraćaju u svoje radne skupine.

3. Faza refleksije -

a) procjena vlastitog znanja, izazov na sljedeći korak znanja;

b) razumijevanje i prisvajanje primljenih informacija.

Recepcija: istraživački rad.

Oblici rada: individualni->par->grupni.

Radne skupine uključuju stručnjake za odgovaranje na svaki dio predloženih pitanja.

Vraćajući se u radnu skupinu, stručnjak predstavlja ostale članove skupine s odgovorima na svoja pitanja. Skupina razmjenjuje informacije između svih članova radne skupine. Tako se u svakoj radnoj skupini, zahvaljujući radu stručnjaka, formira opće razumijevanje teme koja se proučava.

Istraživački rad učenika – popunjavanje tablice.

Pravilni poligoni	Crtanje	Broj strana	Broj vrhova	Zbroj svih unutarnjih kutova	Stupanjska mjera unutarnja kut	Mjera stupnja vanjskog kuta	Broj dijagonala
A) trokut
B) četverokut
B) peterotaktni
D) šesterokut
D) n-kut

Rješavanje zanimljivih problema na temu lekcije.

• U četverokutu nacrtaj ravnu liniju tako da ga dijeli na tri trokuta.
• Koliko stranica ima pravilan mnogokut, a svaki njegov unutarnji kut iznosi 135 0?
• U određenom mnogokutu svi unutarnji kutovi su međusobno jednaki. Može li zbroj unutarnjih kutova tog mnogokuta biti jednak: 360 0, 380 0?

Sažimanje lekcije. Snimanje domaće zadaće.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određena osoba ili veze s njim.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi - sukladno zakonu, sudskom postupku, pravnim postupcima i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

U ovoj lekciji ćemo započeti novu temu i predstaviti novi koncept za nas: "poligon". Razmotrit ćemo osnovne pojmove povezane s poligonima: stranice, vršni kutovi, konveksnost i nekonveksnost. Onda ćemo dokazati najvažnije činjenice, kao što je teorem o zbroju unutarnjih kutova mnogokuta, teorem o zbroju vanjskih kutova mnogokuta. Kao rezultat toga, približit ćemo se proučavanju posebnih slučajeva poligona, što ćemo razmotriti u daljnjim lekcijama.

Tema: Četverokuti

Lekcija: Poligoni

U tečaju geometrije proučavamo svojstva geometrijskih figura i već smo ispitali najjednostavnije od njih: trokute i krugove. U isto vrijeme, također smo raspravljali o specifičnim posebnim slučajevima ovih figura, kao što su pravi, jednakokračni i pravilni trokuti. Sada je vrijeme da razgovaramo o općenitijim i složenijim brojkama - poligoni.

S posebnim slučajem poligoni već smo upoznati - ovo je trokut (vidi sliku 1).

Riža. 1. Trokut

Već sam naziv naglašava da se radi o liku s tri kuta. Stoga, u poligon može ih biti mnogo, tj. više od tri. Na primjer, nacrtajmo peterokut (vidi sl. 2), tj. lik s pet kutova.

Riža. 2. Peterokut. Konveksni poligon

Definicija.Poligon- lik koji se sastoji od nekoliko točaka (više od dvije) i odgovarajućeg broja segmenata koji ih uzastopno povezuju. Te se točke nazivaju vrhovi poligon, a segmenti su stranke. U tom slučaju nijedna susjedna stranica ne leži na istoj pravoj liniji niti se dvije nesusjedne stranice sijeku.

Definicija.Pravilni poligon je konveksni mnogokut u kojem su sve stranice i kutovi jednaki.

Bilo koje poligon dijeli ravninu na dva područja: unutarnje i vanjsko. Unutrašnje područje također se naziva poligon.

Drugim riječima, kada se, primjerice, govori o peterokutu, misli se i na njegovu cjelokupnu unutarnju regiju i na njegovu granicu. A unutarnja regija uključuje sve točke koje leže unutar poligona, tj. točka se također odnosi na peterokut (vidi sliku 2).

Poligoni se također ponekad nazivaju n-kuti kako bi se naglasilo da se razmatra opći slučaj prisutnosti nekog nepoznatog broja kutova (n komada).

Definicija. Opseg poligona- zbroj duljina stranica mnogokuta.

Sada se trebamo upoznati s vrstama poligona. Dijele se na konveksan I nekonveksan. Na primjer, poligon prikazan na Sl. 2 je konveksan, a na Sl. 3 nekonveksna.

Riža. 3. Nekonveksni poligon

Definicija 1. Poligon nazvao konveksan, ako pri povlačenju ravne crte kroz bilo koju njegovu stranicu, cijeli poligon leži samo s jedne strane ove ravne linije. Nekonveksan su svi ostali poligoni.

Lako je zamisliti da kada produžite bilo koju stranicu peterokuta na Sl. 2 sve će biti s jedne strane ove ravne crte, tj. konveksan je. Ali kada crtate ravnu liniju kroz četverokut na Sl. 3 već vidimo da ga dijeli na dva dijela, t j . nije konveksan.

Ali postoji još jedna definicija konveksnosti poligona.

Definicija 2. Poligon nazvao konveksan, ako su pri odabiru bilo koje dvije njegove unutarnje točke i njihovom povezivanju segmentom sve točke segmenta ujedno i unutarnje točke poligona.

Demonstracija korištenja ove definicije može se vidjeti na primjeru konstruiranja segmenata na sl. 2 i 3.

Definicija. Dijagonalno poligona je svaki segment koji povezuje dva nesusjedna vrha.

Za opisivanje svojstava poligona postoje dva najvažnija teoreme o njihovim kutovima: teorem o zbroju unutarnjih kutova konveksnog mnogokuta I teorem o zbroju vanjskih kutova konveksnog mnogokuta. Pogledajmo ih.

Teorema. O zbroju unutarnjih kutova konveksnog mnogokuta (n-gon).

Gdje je broj njegovih kutova (stranica).

Dokaz 1. Prikažimo na sl. 4 konveksni n-kut.

Riža. 4. Konveksni n-kut

Iz vrha povučemo sve moguće dijagonale. Dijele n-kut na trokute, jer svaka od stranica poligona tvori trokut, osim stranica koje graniče s vrhom. Sa slike je lako vidjeti da će zbroj kutova svih ovih trokuta biti točno jednak zbroju unutarnjih kutova n-kuta. Budući da je zbroj kutova bilo kojeg trokuta , tada je zbroj unutarnjih kutova n-kuta:

Q.E.D.

Dokaz 2. Moguć je još jedan dokaz ovog teorema. Nacrtajmo sličan n-kut na sl. 5 i spoji bilo koju njegovu unutarnju točku sa svim vrhovima.

Riža. 5.

Dobili smo razdiobu n-kuta na n trokuta (onoliko stranica koliko i trokuta). Zbroj svih njihovih kutova jednak je zbroju unutarnjih kutova mnogokuta i zbroju kutova u unutarnjoj točki, a to je kut. Imamo:

Q.E.D.

dokazano.

Prema dokazanom teoremu jasno je da zbroj kutova n-kuta ovisi o broju njegovih stranica (na n). Na primjer, u trokutu, a zbroj kutova je . U četverokutu, a zbroj kutova je itd.

Teorema. O zbroju vanjskih kutova konveksnog mnogokuta (n-gon).

Gdje je broj njegovih kutova (stranica), a , …, su vanjski kutovi.

Dokaz. Oslikajmo konveksni n-kut na sl. 6 i označite njegove unutarnje i vanjske kutove.

Riža. 6. Konveksni n-kut s naznačenim vanjskim kutovima

Jer Zatim je vanjski kut povezan s unutarnjim kao susjedni a slično i za ostale vanjske kutove. Zatim:

Prilikom transformacija koristili smo već dokazani teorem o zbroju unutarnjih kutova n-kuta.

dokazano.

Iz dokazanog teorema slijedi zanimljiva činjenica, da je zbroj vanjskih kutova konveksnog n-kuta jednak na broj njegovih kutova (stranica). Usput, za razliku od zbroja unutarnjih kutova.

Bibliografija

1. Aleksandrov A.D. i dr. Geometrija 8.r. - M.: Obrazovanje, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolov V.V. Geometrija, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija, 8. razred. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Domaća zadaća

Dio ravnine omeđen zatvorenom izlomljenom linijom zove se poligon.

Segmenti ove izlomljene linije nazivaju se stranke poligon. AB, BC, CD, DE, EA (slika 1) su stranice mnogokuta ABCDE. Zbroj svih stranica mnogokuta naziva se njegovim perimetar.

Poligon se zove konveksan, ako se nalazi na jednoj strani bilo koje od njegovih stranica, neograničeno proširen izvan oba vrha.

Poligon MNPKO (slika 1) neće biti konveksan jer se nalazi na više od jedne strane pravca KR.

Razmotrit ćemo samo konveksne poligone.

Kutovi koje tvore dvije susjedne stranice mnogokuta nazivaju se njegovim unutarnje uglovi, a njihovi vrhovi su vrhovi poligona.

Isječak ravne crte koji spaja dva nesusjedna vrha mnogokuta naziva se dijagonala mnogokuta.

AC, AD - dijagonale mnogokuta (slika 2).

Kutovi susjedni unutarnjim kutovima mnogokuta nazivaju se vanjskim kutovima mnogokuta (slika 3).

Ovisno o broju kutova (stranica), mnogokut se naziva trokut, četverokut, peterokut itd.

Za dva mnogokuta kažemo da su sukladna ako se mogu spojiti preklapanjem.

Upisani i opisani poligoni

Ako svi vrhovi mnogokuta leže na kružnici, tada se mnogokut zove upisana u krug, a krug - opisao blizu poligona (sl.).

Ako su sve strane poligona tangente na krug, tada se mnogokut zove opisao o krugu, a krug se zove upisana u poligon (sl.).

Sličnost poligona

Dva istoimena mnogokuta nazivaju se sličnima ako su kutovi jednoga od njih jednaki kutovima drugoga, a slične su stranice mnogokuta proporcionalne.

Mnogokuti s istim brojem stranica (kutova) nazivaju se istoimenim mnogokutima.

Stranice sličnih poligona koji spajaju vrhove odgovarajućih jednakih kutova nazivaju se sličnim (slika).

Tako, na primjer, da bi mnogokut ABCDE bio sličan mnogokutu A'B'C'D'E', potrebno je da je: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' i, dodatno, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Omjer opsega sličnih poligona

Prvo, razmotrite svojstvo niza jednakih omjera. Neka nam, na primjer, budu sljedeći omjeri: 2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4 =2.

Nađimo zbroj prethodnih članova ovih odnosa, zatim zbroj njihovih sljedećih članova i pronađimo omjer rezultirajućih zbrojeva, dobivamo:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Istu stvar dobivamo ako uzmemo niz nekih drugih odnosa, na primjer: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Nađimo zbroj prethodnih članova te relacije i zbroj sljedećih, a zatim pronaći omjer tih suma, dobivamo:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

U oba slučaja, zbroj prethodnih članova niza jednakih odnosa odnosi se na zbroj sljedećih članova istog niza, kao što se prethodni član bilo koje od tih relacija odnosi na svoj sljedeći.

Ovo smo svojstvo izveli razmatrajući brojne numeričke primjere. Može se izvesti striktno iu općem obliku.

Sada razmotrite omjer opsega sličnih poligona.

Neka je mnogokut ABCDE sličan mnogokutu A’B’C’D’E’ (sl.).

Iz sličnosti ovih poligona slijedi da

AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’

Na temelju svojstva koje smo izveli za niz jednakih omjera, možemo napisati:

Zbroj prethodnih članova relacija koje smo uzeli predstavlja opseg prvog poligona (P), a zbroj sljedećih članova ovih relacija predstavlja opseg drugog poligona (P'), što znači P / P ' = AB / A'B'.

Stoga, Opseg sličnih mnogokuta odnosi se na njihove slične stranice.

Omjer površina sličnih poligona

Neka su ABCDE i A’B’C’D’E’ slični poligoni (Slika).

Poznato je da je ΔAVS ~ ΔA'V'S' ΔACD ~ ΔA'C'D' i ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Osim,

;

Budući da su drugi omjeri ovih proporcija jednaki, što slijedi iz sličnosti poligona, onda

Koristeći svojstvo niza jednakih omjera dobivamo:

Ili

gdje su S i S’ površine tih sličnih poligona.

Stoga, Površine sličnih mnogokuta odnose se kao kvadrati sličnih stranica.

Dobivena formula se može pretvoriti u ovaj oblik: S / S’ = (AB / A’B’) 2

Površina proizvoljnog poligona

Neka je potrebno izračunati površinu proizvoljnog četverokuta ABC (sl.).

Nacrtajmo u njemu dijagonalu, na primjer AD. Dobili smo dva trokuta ABD i ACD čije površine možemo izračunati. Zatim nalazimo zbroj površina tih trokuta. Rezultirajući zbroj će izraziti površinu ovog četverokuta.

Ako trebate izračunati površinu peterokuta, onda radimo istu stvar: crtamo dijagonale iz jednog od vrhova. Dobili smo tri trokuta čije površine možemo izračunati. To znači da možemo pronaći površinu ovog peterokuta. Činimo isto kada izračunavamo površinu bilo kojeg poligona.

Projektirana površina poligona

Podsjetimo se da je kut između pravca i ravnine kut između zadanog pravca i njegove projekcije na ravninu (sl.).

Teorema. Površina ortogonalne projekcije poligona na ravninu jednaka je površini projiciranog poligona pomnoženoj s kosinusom kuta koji čine ravnina poligona i ravnina projekcije.

Svaki poligon se može podijeliti na trokute čiji je zbroj površina jednak površini poligona. Stoga je dovoljno dokazati teorem za trokut.

Neka je ΔAVS projiciran na ravninu R. Razmotrimo dva slučaja:

a) jedna od stranica ΔABC je paralelna s ravninom R;

b) niti jedna stranica ΔABC nije paralelna R.

Razmotrimo prvi slučaj: neka [AB] || R.

Nacrtajmo ravninu kroz (AB) R 1 || R i projicirati ortogonalno ΔAVS na R 1 i dalje R(riža.); dobivamo ΔAVS 1 i ΔA'V'S'.

Po svojstvu projekcije imamo ΔAVS 1 (cong) ΔA'V'S', pa prema tome

S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’

Nacrtajmo ⊥ i isječak D 1 C 1 . Tada je ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ vrijednost kuta između ravnine ΔABC i ravnine R 1 . Zato

S Δ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

pa prema tome S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.

Prijeđimo na razmatranje drugi slučaj. Nacrtajmo avion R 1 || R kroz taj vrh ΔAVS, udaljenost od koje do ravnine R najmanji (neka ovo bude vrh A).

Projicirajmo ΔAVS na ravninu R 1 i R(riža.); neka su njegove projekcije ΔAV 1 S 1 odnosno ΔA'V'S'.

Neka je (BC) ∩ str 1 = D. Zatim

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Ostali materijali