Inverzne trigonometrijske funkcije i njihovi grafovi. Što je arksinus, arkosinus? Što je arktangens, arkotangens? Članak inverzne trigonometrijske funkcije

U brojnim problemima u matematici i njezinim primjenama, potrebno je koristiti poznatu vrijednost trigonometrijske funkcije za pronalaženje odgovarajuće vrijednosti kuta, izražene u stupnjevima ili radijanima. Poznato je da istoj vrijednosti sinusa odgovara beskonačan broj kutova, na primjer, ako je $\sin α=1/2,$ tada kut $α$ može biti jednak $30°$ i $150°,$ ili u radijanskim mjerama $π /6$ i $5π/6,$ i bilo koji kut koji se iz njih dobije dodavanjem člana u obliku $360°⋅k,$ odnosno $2πk,$ gdje je $k $ je bilo koji cijeli broj. Ovo postaje jasno ispitivanjem grafa funkcije $y=\sin x$ na cijelom brojevnom pravcu (vidi sliku $1$): ako na os $Oy$ nacrtamo segment duljine $1/2$ i nacrtamo ravna linija paralelna s osi $Ox, $ onda će ona presijecati sinusoidu u beskonačnom broju točaka. Kako bi se izbjegla moguća različitost odgovora, uvode se inverzne trigonometrijske funkcije, inače zvane kružne ili lučne funkcije (od latinske riječi arcus - “luk”).

Glavne četiri trigonometrijske funkcije $\sin x,$ $\cos x,$ $\mathrm(tg)\,x$ i $\mathrm(ctg)\,x$ odgovaraju četirima lučnim funkcijama $\arcsin x,$ $ \arccos x ,$ $\mathrm(arctg)\,x$ i $\mathrm(arcctg)\,x$ (čitaj: arksinus, arkosinus, arktangens, arkotangens). Razmotrimo funkcije \arcsin x i \mathrm(arctg)\,x, budući da su druge dvije izražene kroz njih pomoću formula:

$\arccos x = \frac(π)(2) − \arcsin x,$ $\mathrm(arcctg)\,x = \frac(π)(2) − \mathrm(arctg)\,x.$

Jednakost $y = \arcsin x$ po definiciji znači kut $y,$ izražen u radijanima i sadržan u rasponu od $−\frac(π)(2)$ do $\frac(π)(2), $ sinus koji je jednak $x,$ tj. $\sin y = x.$ Funkcija $\arcsin x$ je funkcija inverzna funkcija$\sin x,$ razmatran na intervalu $\left[−\frac(π)(2),+\frac(π)(2)\right],$ gdje ova funkcija monotono raste i uzima sve vrijednosti iz $−1 $ do $+1.$ Očito, argument $y$ funkcije $\arcsin x$ može uzeti samo vrijednosti iz intervala $\left[−1,+1\right].$ Dakle, funkcija $y=\arcsin x$ definirana je na intervalu $\left[−1,+1\right],$ je monotono rastuća, a njezine vrijednosti ispunjavaju interval $\left[−\frac(π) (2),+\frac(π)(2)\ desno].$ Graf funkcije prikazan je na sl. $2.$

Pod uvjetom $−1 ≤ a ≤ 1$, sva rješenja jednadžbe $\sin x = a$ možemo prikazati u obliku $x=(−1)^n \arcsin a + πn,$ $n=0 ,±1,± 2, ….$ Na primjer, ako

$\sin x = \frac(\sqrt(2))(2)$ zatim $x = (−1)^n \frac(π)(4)+πn,$ $n = 0, ±1, ±2 ,….$

Relacija $y=\mathrm(arcctg)\,x$ definirana je za sve vrijednosti $x$ i po definiciji znači da je kut $y,$ izražen u radijanima sadržan unutar

$−\frac(π)(2)

a tangens tog kuta jednak je x, tj. $\mathrm(tg)\,y = x.$ Funkcija $\mathrm(arctg)\,x$ definirana je na cijelom brojevnom pravcu i inverzna je funkcija funkcija $\mathrm( tg)\,x$, koja se razmatra samo na intervalu

$−\frac(π)(2)

Funkcija $y = \mathrm(arctg)\,x$ je monotono rastuća, njen graf je prikazan na sl. $3.$

Sva rješenja jednadžbe $\mathrm(tg)\,x = a$ mogu se napisati u obliku $x=\mathrm(arctg)\,a+πn,$ $n=0,±1,±2,… .$

Imajte na umu da se inverzne trigonometrijske funkcije naširoko koriste u matematičkoj analizi. Na primjer, jedna od prvih funkcija za koju je dobiven prikaz beskonačnim potencijskim nizom bila je funkcija $\mathrm(arctg)\,x.$ Iz tog niza G. Leibniz je s fiksnom vrijednošću argumenta $x =1$, dobio poznati prikaz broja do beskonačnosti

Zadaci vezani uz inverzne trigonometrijske funkcije često se nude na završnim ispitima u školi i na prijamnim ispitima na nekim sveučilištima. Detaljno proučavanje ove teme moguće je ostvariti samo u okviru izborne nastave ili izbornih kolegija. Predloženi tečaj osmišljen je tako da što potpunije razvije sposobnosti svakog učenika i poboljša njegovu matematičku pripremu.

Tečaj traje 10 sati:

1. Funkcije arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 sata).

2.Operacije na inverznim trigonometrijskim funkcijama (4 sata).

3. Inverzne trigonometrijske operacije na trigonometrijskim funkcijama (2 sata).

Lekcija 1 (2 sata) Tema: Funkcije y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Cilj: cjelovito pokrivanje ove problematike.

1. Funkcija y = arcsin x.

a) Za funkciju y = sin x na segmentu postoji inverzna (jednoznačna) funkcija koju smo se dogovorili nazvati arcsinus i označiti je na sljedeći način: y = arcsin x. Graf inverzne funkcije je simetričan grafu glavne funkcije u odnosu na simetralu I - III koordinatnih kutova.

Svojstva funkcije y = arcsin x.

1) Domena definicije: segment [-1; 1];

2) Područje promjene: segment;

3) Funkcija y = arcsin x neparan: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Funkcija y = arcsin x je monotono rastuća;

5) Graf siječe osi Ox, Oy u ishodištu.

Primjer 1. Nađi a = arcsin. Ovaj se primjer može detaljno formulirati na sljedeći način: pronađite argument a, koji leži u rasponu od do, čiji je sinus jednak.

Riješenje. Postoji bezbroj argumenata čiji je sinus jednak , na primjer: itd. Ali nas zanima samo argument koji je na segmentu. Ovo bi bio argument. Dakle, .

Primjer 2. Pronađite .Riješenje. Raspravljajući na isti način kao u primjeru 1, dobivamo .

b) usmene vježbe. Pronađite: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Primjer odgovora: , jer . Imaju li smisla izrazi: ; arcsin 1,5; ?

c) Poredajte uzlaznim redoslijedom: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Funkcije y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (slično).

Lekcija 2 (2 sata) Tema: Inverzne trigonometrijske funkcije, njihovi grafovi.

Svrha: u ovoj lekciji potrebno je razviti vještine određivanja vrijednosti trigonometrijske funkcije, u konstruiranju grafova inverznih trigonometrijskih funkcija pomoću D (y), E (y) i potrebnih transformacija.

U ovoj lekciji dovršite vježbe koje uključuju pronalaženje domene definicije, domene vrijednosti funkcija tipa: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Treba konstruirati grafove funkcija: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsin;

d) y = arcsin; e) y = arcsin; e) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Primjer. Nacrtajmo y = arccos

U svoju domaću zadaću možete uključiti sljedeće vježbe: izgraditi grafove funkcija: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Grafovi inverznih funkcija

Lekcija br. 3 (2 sata) Tema:

Operacije na inverznim trigonometrijskim funkcijama.

Cilj: proširiti matematičko znanje (ovo je važno za one koji upisuju specijalnosti s povećanim zahtjevima za matematičko obrazovanje) uvođenjem osnovnih odnosa za inverzne trigonometrijske funkcije.

Materijal za lekciju.

Neke jednostavne trigonometrijske operacije na inverznim trigonometrijskim funkcijama: sin (arcsin x) = x, i xi? 1; cos (arcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Vježbe.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Neka je arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

Napomena: ispred korijena stavljamo znak “+” jer a = arcsin x zadovoljava .

c) sin (1,5 + arcsin).Odgovor: ;

d) ctg ( + arctg 3).Odgovor: ;

e) tg ( – arcctg 4).Odgovor: .

e) cos (0,5 + arccos). Odgovor: .

Izračunati:

a) grijeh (2 arctan 5) .

Neka je arctan 5 = a, tada je sin 2 a = ili grijeh (2 arctan 5) = ;

b) cos ( + 2 arcsin 0,8).Odgovor: 0,28.

c) arctg + arctg.

Neka je a = arctg, b = arctg,

tada je tg(a + b) = .

d) sin (arcsin + arcsin).

e) Dokažite da je za sve x I [-1; 1] pravi arcsin x + arccos x = .

Dokaz:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x) = sin ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

Da biste to sami riješili: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Za kućno rješenje: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.

Lekcija br. 4 (2 sata) Tema: Operacije nad inverznim trigonometrijskim funkcijama.

Cilj: U ovoj lekciji pokazati korištenje omjera u transformaciji složenijih izraza.

Materijal za lekciju.

ORALNO:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (luk 5), ctg (luk 5);

c) sin (arctg -3), cos (arcstg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

PISANO:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0,8) + sin (arctg 5) sin (arctg 0,8) =

3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Samostalni rad pomoći će u utvrđivanju razine ovladanosti gradivom.

1) tg (luk 2 – luk g) 2) cos( - arctan2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) sin (1.5 - arctan 3) 3) arcctg3 – arcctg 2

Za domaća zadaća možemo predložiti:

1) ctg (luk + luk + luk + luk); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) grijeh(2 arctg); 5) tg ( (arcsin ))

Lekcija br. 5 (2 sata) Tema: Inverzne trigonometrijske operacije na trigonometrijskim funkcijama.

Cilj: formirati razumijevanje učenika o inverznim trigonometrijskim operacijama na trigonometrijskim funkcijama, s fokusom na povećanje razumijevanja teorije koja se proučava.

Pri proučavanju ove teme pretpostavlja se da je opseg teorijskog materijala koji treba zapamtiti ograničen.

Materijal lekcije:

Možete početi učiti novi materijal proučavanjem funkcije y = arcsin (sin x) i iscrtavanjem njezina grafikona.

3. Svaki x I R je pridružen y I, tj.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Funkcija je neparna: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Graf y = arcsin (sin x) na:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( – x) = sin x , 0<= - x <= .

Tako,

Nakon što smo konstruirali y = arcsin (sin x) na , nastavljamo simetrično oko ishodišta na [- ; 0], s obzirom na neparnost ove funkcije. Koristeći periodičnost, nastavljamo duž cijelog brojevnog pravca.

Zatim zapišite neke odnose: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos a ) = a ako je 0<= a <= ; arctg (tg a) = a ako< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

I napravite sljedeće vježbe:a) arccos(sin 2).Odgovor: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6).Odgovor: - 0,1; c) arctg (tg 2).Odgovor: 2 - ;

d) arcctg(tg 0,6).Odgovor: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)).Odgovor: 2 - ; e) arcsin (sin ( - 0,6)). Odgovor: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Odgovor: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Odgovor: - 0,6; - arctan x; e) arccos + arccos

Što je arksinus, arkosinus? Što je arktangens, arkotangens?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u Poseban odjeljak 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Do pojmova arksinus, arkosinus, arktangens, arkotangens Studentska populacija je oprezna. On ne razumije te pojmove i stoga ne vjeruje ovoj lijepoj obitelji.) Ali uzalud. To su vrlo jednostavni koncepti. Što, usput rečeno, znatno olakšava život upućenoj osobi pri odlučivanju trigonometrijske jednadžbe!

Sumnjate u jednostavnost? Uzalud.) Upravo ovdje i sada vidjet ćete ovo.

Naravno, radi razumijevanja, bilo bi lijepo znati Što su sinus, kosinus, tangens i kotangens? Da njih tablične vrijednosti za neke kutove... Barem u najopćenitijim crtama. Tada ni ovdje neće biti problema.

Dakle, iznenađeni smo, ali zapamtite: arksinus, arkosinus, arktangens i arkotangens samo su neki od kutova. Ni više ni manje. Postoji kut, recimo 30°. I tu je kutak arcsin0.4. Ili arctg(-1,3). Kutova ima svakakvih.) Kutove možete jednostavno zapisivati ​​na različite načine. Možete napisati kut u smislu stupnjeva ili radijana. Ili možete - kroz njegov sinus, kosinus, tangens i kotangens...

Što znači izraz

arcsin 0,4 ?

Ovo je kut čiji je sinus 0,4! Da da. Ovo je značenje arkusina. Posebno ću ponoviti: arcsin 0,4 je kut čiji je sinus jednak 0,4.

To je sve.

Kako biste ovu jednostavnu misao dugo zadržali u glavi, dat ću čak i raščlambu ovog strašnog pojma - arcsinusa:

luk grijeh 0,4
kut, čiji sinus jednako 0,4

Kako se piše tako se i čuje.) Gotovo. Konzola luk sredstva luk(riječ arh znate li?), jer stari su ljudi koristili lukove umjesto kutova, ali to ne mijenja bit stvari. Zapamtite ovo elementarno dekodiranje matematičkog pojma! Štoviše, za arkosinus, arktangens i arkotangens dekodiranje se razlikuje samo u nazivu funkcije.

Što je arccos 0.8?
Ovo je kut čiji je kosinus 0,8.

Što je arctg(-1,3)?
Ovo je kut čiji je tangens -1,3.

Što je arcctg 12?
Ovo je kut čiji je kotangens 12.

Takvo elementarno dekodiranje omogućuje, usput, izbjegavanje epskih grešaka.) Na primjer, izraz arccos1,8 izgleda sasvim solidno. Krenimo s dekodiranjem: arccos1.8 je kut čiji je kosinus jednak 1.8... Skok-skok!? 1,8!? Kosinus ne može biti veći od jedan!!!

Pravo. Izraz arccos1,8 nema smisla. A pisanje takvog izraza u nekom odgovoru jako će zabaviti inspektora.)

Elementarno, kao što vidite.) Svaki kut ima svoj osobni sinus i kosinus. I gotovo svatko ima svoj tangens i kotangens. Dakle, znajući trigonometrijsku funkciju, možemo zapisati sam kut. Tome su namijenjeni arksinusi, arkkosinusi, arktangensi i arkotangensi. Od sada ću cijelu ovu obitelj zvati umanjenim imenom - lukovi. Da manje pišem.)

Pažnja! Elementarni verbalni i svjestan dešifriranje lukova omogućuje mirno i pouzdano rješavanje raznih zadataka. I u neobičan Samo ona sprema zadatke.

Je li moguće prijeći s luka na obične stupnjeve ili radijane?- čujem oprezno pitanje.)

Zašto ne!? Lako. Možete ići tamo i natrag. Štoviše, ponekad se to mora učiniti. Lukovi su jednostavna stvar, ali nekako je mirnije bez njih, zar ne?)

Na primjer: što je arcsin 0,5?

Prisjetimo se dekodiranja: arcsin 0,5 je kut čiji je sinus 0,5. Sada uključite glavu (ili Google) i zapamtite koji kut ima sinus 0,5? Sinus je jednak 0,5 y kut od 30 stupnjeva. To je to: arcsin 0,5 je kut od 30°. Možete slobodno napisati:

arcsin 0,5 = 30°

Ili, formalnije, u radijanima:

To je to, možete zaboraviti na arcsinus i nastaviti raditi s uobičajenim stupnjevima ili radijanima.

Ako ste shvatili što je arksinus, arkosinus... Što je arktangens, arkotangens... Lako se možete nositi s, na primjer, takvim čudovištem.)

Neznalica će ustuknuti od užasa, da...) Ali informirana osoba zapamtite dekodiranje: arcsinus je kut čiji sinus... I tako dalje. Ako zna i upućena osoba tablica sinusa... tablica kosinusa. Tablica tangensa i kotangenata, onda nema nikakvih problema!

Dovoljno je shvatiti da:

Ja ću ga dešifrirati, tj. Dopustite mi da prevedem formulu u riječi: kut čiji je tangens 1 (arctg1)- ovo je kut od 45°. Ili, što je isto, Pi/4. Također:

i to je to... Zamijenimo sve lukove vrijednostima u radijanima, sve je smanjeno, ostaje samo izračunati koliko je 1+1. Bit će 2.) Što je točan odgovor.

Ovako možete (i trebate) prijeći s arkusina, arkkosinusa, arktangensa i arkotangensa na obične stupnjeve i radijane. Ovo uvelike pojednostavljuje zastrašujuće primjere!

Često se u takvim primjerima unutar lukova nalaze negativan značenja. Kao, arctg(-1.3), ili, na primjer, arccos(-0.8)... To nije problem. Evo jednostavnih formula za prelazak s negativnih na pozitivne vrijednosti:

Trebate, recimo, odrediti vrijednost izraza:

To se može riješiti pomoću trigonometrijske kružnice, ali je ne želite nacrtati. Pa dobro. Krećemo od negativan vrijednosti unutar ark kosinusa k pozitivan prema drugoj formuli:

Unutar ark kosinusa s desne strane već je pozitivan značenje. Što

jednostavno morate znati. Sve što preostaje je zamijeniti radijane umjesto ark kosinusa i izračunati odgovor:

To je sve.

Ograničenja za arksinus, arkosinus, arktangens, arkotangens.

Postoji li problem s primjerima 7 - 9? Pa, da, postoji tu neki trik.)

Svi ovi primjeri, od 1 do 9, pažljivo su razvrstani u detalje Članak 555.Što, kako i zašto. Sa svim tajnim zamkama i trikovima. Plus načini dramatičnog pojednostavljenja rješenja. Usput, ovaj odjeljak sadrži mnogo korisnih informacija i praktičnih savjeta o trigonometriji općenito. I ne samo u trigonometriji. Puno pomaže.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Inverzne trigonometrijske funkcije(kružne funkcije, lučne funkcije) - matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama.

Oni obično uključuju 6 ​​funkcija:

• arcsinus(oznaka: arcsin x; arcsin x- ovo je kut grijeh koji je jednak x),
• arkosinus(oznaka: arccos x; arccos x je kut čiji je kosinus jednak x i tako dalje),
• arktangens(oznaka: arctan x ili arctan x),
• arkotangens(oznaka: arcctg x ili arccot ​​​​x ili arccotan x),
• arcsekant(oznaka: arcsec x),
• arkokosekant(oznaka: arccosec x ili arccsc x).

arcsinus (y = arcsin x) - inverzna funkcija na grijeh (x = sin y . Drugim riječima, vraća kut prema njegovoj vrijednosti grijeh.

arc kosinus (y = arccos x) - inverzna funkcija na cos (x = cos y cos.

Arktangens (y = arctan x) - inverzna funkcija na tg (x = tan y), koji ima domenu i skup vrijednosti . Drugim riječima, vraća kut prema njegovoj vrijednosti tg.

Arkotangens (y = arcctg x) - inverzna funkcija na ctg (x = cotg y), koji ima domenu definicije i skup vrijednosti. Drugim riječima, vraća kut prema njegovoj vrijednosti ctg.

arcsec- arcsekans, vraća kut prema vrijednosti njegovog sekansa.

arccosec- arkokosekans, vraća kut na temelju vrijednosti njegovog kosekansa.

Kada inverzna trigonometrijska funkcija nije definirana u određenoj točki, tada se njezina vrijednost neće pojaviti u konačnoj tablici. Funkcije arcsec I arccosec nisu određene na segmentu (-1,1), ali arcsin I arccos određuju se samo na intervalu [-1,1].

Naziv inverzne trigonometrijske funkcije formira se od naziva odgovarajuće trigonometrijske funkcije dodavanjem prefiksa “luk-” (od lat. luk nas- luk). To je zbog činjenice da je geometrijski vrijednost inverzne trigonometrijske funkcije povezana s duljinom luka jedinične kružnice (ili kutom koji spaja taj luk), koji odgovara jednom ili drugom segmentu.

Ponekad se u stranoj literaturi, kao iu znanstvenim/inženjerskim kalkulatorima, koriste oznake poput grijeh−1, cos −1 za arksinus, arkosinus i slično, ovo se smatra nepotpuno točnim, jer vjerojatno će doći do zabune s dizanjem funkcije na potenciju −1 (« −1 » (minus prva potencija) definira funkciju x = f -1 (y), inverzna funkcija y = f(x)).

Osnovni odnosi inverznih trigonometrijskih funkcija.

Ovdje je važno obratiti pozornost na intervale za koje formule vrijede.

Formule koje povezuju inverzne trigonometrijske funkcije.

Označimo bilo koju od vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija s Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot ​​​​x i zadrži oznaku: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot ​​​​x za njihove glavne vrijednosti, onda se veza među njima izražava takvim odnosima.